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[[टोपोलॉजी]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल समष्टि]] में बिंदु <math>x</math> के लिए '''नेबरहुड प्रणाली''', '''नेबरहुड की पूर्ण प्रणाली''',<ref>{{cite book|last=Mendelson|first=Bert|date=1990 |orig-year=1975|title=टोपोलॉजी का परिचय|edition=Third|publisher=Dover|isbn=0-486-66352-3|page=41}}</ref> या '''नेबरहुड फ़िल्टर''' <math>\mathcal{N}(x)</math>, <math>x</math> के सभी नेबरहूड़स (गणित) का संग्रह है।
==परिभाषाएँ==

'''किसी बिंदु या समुच्चय का नेबरहुड'''

टोपोलॉजिकल समष्टि <math>X</math> में बिंदु <math>x</math> (या उपसमुच्चय<ref group=note name=nhoodOfPointVsSet />) का विवृत नेबरहुड <math>X</math> का कोई [[खुला सेट|विवृत उपसमुच्चय]] <math>U</math> है जिसमें <math>x</math> सम्मिलित है।

<math>X</math> में <math>x</math> का नेबरहुड कोई उपसमुच्चय <math>N \subseteq X</math> है जिसमें <math>x</math> का कुछ विवृत नेबरहुड सम्मिलित है; स्पष्ट रूप से, <math>N</math>, <math>X</math> में <math>x</math> का नेबरहुड है यदि और केवल तभी जब <math>x \in U \subseteq N</math> के साथ कुछ विवृत उपसमुच्चय <math>U</math> उपस्थित हो।{{sfn|Bourbaki|1989|pp=17-21}}{{sfn|Willard|2004|pp=31-37}}

समान रूप से, <math>x</math> का नेबरहुड कोई भी समुच्चय होता है जिसके टोपोलॉजिकल इंटीरियर में <math>x</math> होता है।

महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि, नेबरहुड का विवृत समुच्चय होना आवश्यक नहीं है; वे नेबरहुड जो विवृत होते हैं, विवृत नेबरहुड कहलाते हैं।<ref group="note" name="NhoodsNotRequiredToBeOpen" />

इसी प्रकार, नेबरहुड जो [[बंद सेट]] (क्रमशः, [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] , [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]] इत्यादि) सेट भी है, को ए कहा जाता है {{em|{{visible anchor|closed neighbourhood}}}} (क्रमश, {{em|{{visible anchor|compact neighbourhood}}}}, {{em|{{visible anchor|connected neighbourhood}}}}, वगैरह।)।
कई अन्य प्रकार के नेबरहुड हैं जिनका उपयोग टोपोलॉजी और [[कार्यात्मक विश्लेषण]] जैसे संबंधित क्षेत्रों में किया जाता है।
निश्चित उपयोगी संपत्ति रखने वाले सभी नेबरहुड के परिवार अक्सर #नेबरहुड का आधार बनाते हैं, हालांकि कई बार, ये नेबरहुड आवश्यक रूप से खुले नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान, वे स्थान हैं, जिनमें हर बिंदु पर नेबरहुड का आधार होता है, जिसमें पूरी तरह से कॉम्पैक्ट सेट होते हैं।

नेबरहुड फ़िल्टर

बिंदु के लिए नेबरहुड प्रणाली (या [[खाली सेट]] | गैर-रिक्त उपसमुच्चय) <math>x</math> [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)]] है जिसे कहा जाता है {{em|[[neighbourhood filter]] for <math>x.</math>}} बिंदु के लिए नेबरहुड फ़िल्टर <math>x \in X</math> [[सिंगलटन सेट]] के नेबरहुड फ़िल्टर के समान है <math>\{x\}.</math>
===नेबरहुड का आधार===

ए {{em|{{visible anchor|neighbourhood basis}}}} या {{em|{{visible anchor|local basis}}}} (या {{em|{{visible anchor|neighbourhood base}}}} या {{em|{{visible anchor|local base}}}}) बिंदु के लिए <math>x</math> नेबरहुड फ़िल्टर का [[फ़िल्टर आधार]] है; इसका मतलब यह है कि यह उपसमुच्चय है
<math display=block>\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)</math>
ऐसा कि सभी के लिए <math>V \in \mathcal{N}(x),</math> वहाँ कुछ मौजूद है <math>B \in \mathcal{B}</math> ऐसा है कि <math>B \subseteq V.</math>{{sfn|Willard|2004|pp=31-37}}
यानी किसी भी नेबरहुड के लिए <math>V</math> हम नेबरहुड ढूंढ सकते हैं <math>B</math> नेबरहुड के आधार में जो निहित है <math>V.</math>
समान रूप से, <math>\mathcal{B}</math> पर स्थानीय आधार है <math>x</math> यदि और केवल यदि नेबरहुड फ़िल्टर <math>\mathcal{N}</math> से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है <math>\mathcal{B}</math> इस अर्थ में कि निम्नलिखित समानता कायम है:<ref>{{cite book|last=Willard|first=Stephen|date=1970|title=सामान्य टोपोलॉजी|url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0|url-access=registration|publisher=Addison-Wesley Publishing|isbn=9780201087079}} (See Chapter 2, Section 4)</ref> 
<math display=block>\mathcal{N}(x) = \left\{ V \subseteq X ~:~ B \subseteq V \text{ for some } B \in \mathcal{B} \right\}\!\!\;.</math> परिवार <math>\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)</math> के लिए नेबरहुड का आधार है <math>x</math> अगर और केवल अगर <math>\mathcal{B}</math> का [[कोफ़ाइनल सेट]] है <math>\left(\mathcal{N}(x), \supseteq\right)</math> [[आंशिक आदेश]] के संबंध में <math>\supseteq</math> (महत्वपूर्ण बात यह है कि यह आंशिक क्रम [[सुपरसेट]] संबंध है न कि उपसमुच्चय संबंध)।

===नेबरहुड का उपआधार===

ए {{em|{{visible anchor|neighbourhood subbasis}}}} पर <math>x</math> परिवार है <math>\mathcal{S}</math> के उपसमुच्चय <math>X,</math> जिनमें से प्रत्येक में शामिल है <math>x,</math> जैसे कि तत्वों के सभी संभावित परिमित [[प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत)]] का संग्रह <math>\mathcal{S}</math> पर नेबरहुड का आधार बनता है <math>x.</math>
==उदाहरण==

अगर <math>\R</math> इसके नेबरहुड की तुलना में इसकी सामान्य [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] है <math>0</math> वे सभी उपसमुच्चय हैं <math>N \subseteq \R</math> जिसके लिए कुछ [[वास्तविक संख्या]] मौजूद है <math>r > 0</math> ऐसा है कि <math>(-r, r) \subseteq N.</math> उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सभी सेट नेबरहुड के हैं <math>0</math> में <math>\R</math>:
<math display=block>(-2, 2), \; [-2,2], \; [-2, \infty), \; [-2, 2) \cup \{10\}, \; [-2, 2] \cup \Q, \; \R</math>
लेकिन निम्नलिखित में से कोई भी सेट का नेबरहुड नहीं है <math>0</math>:
<math display=block>\{0\}, \; \Q, \; (0,2), \; [0, 2), \; [0, 2) \cup \Q, \; (-2, 2) \setminus \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots\right\}</math> कहाँ <math>\Q</math> [[तर्कसंगत संख्या]]ओं को दर्शाता है।

अगर <math>U</math> टोपोलॉजिकल समष्टि का खुला उपसमुच्चय है <math>X</math> फिर हर के लिए <math>u \in U,</math> <math>U</math> का नेबरहुड है <math>u</math> में <math>X.</math> अधिक सामान्यतः, यदि <math>N \subseteq X</math> क्या कोई सेट है और <math>\operatorname{int}_X N</math> के आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) को दर्शाता है <math>N</math> में <math>X,</math> तब <math>N</math> नेबरहुड है (में) <math>X</math>) हर बिंदु का <math>x \in \operatorname{int}_X N</math> और इसके अलावा, <math>N</math> है {{em|not}} किसी अन्य बिंदु का नेबरहुड।
अलग ढंग से कहा, <math>N</math> बिंदु का नेबरहुड है <math>x \in X</math> अगर और केवल अगर <math>x \in \operatorname{int}_X N.</math>
नेबरहुड के अड्डे

किसी भी टोपोलॉजिकल समष्टि में, किसी बिंदु के लिए नेबरहुड प्रणाली भी बिंदु के लिए नेबरहुड का आधार है। बिंदु पर सभी खुले नेबरहुड का सेट उस बिंदु पर नेबरहुड का आधार बनाता है।
किसी भी बिंदु के लिए <math>x</math> [[मीट्रिक स्थान]] में, चारों ओर [[खुली गेंद]]ों का क्रम <math>x</math> त्रिज्या के साथ <math>1/n</math> [[गणनीय]] नेबरहुड आधार बनाएं <math>\mathcal{B} = \left\{B_{1/n} : n = 1,2,3,\dots \right\}</math>. इसका मतलब यह है कि प्रत्येक मीट्रिक स्थान [[प्रथम-गणनीय]] है।

जगह दी गई <math>X</math> [[अविवेकी टोपोलॉजी]] के साथ किसी भी बिंदु के लिए नेबरहुड प्रणाली <math>x</math> केवल संपूर्ण स्थान समाहित है, <math>\mathcal{N}(x) = \{X\}</math>.

किसी स्थान पर माप के स्थान पर [[कमजोर टोपोलॉजी]] में <math>E,</math> नेबरहुड आधार के बारे में <math>\nu</math> द्वारा दिया गया है
<math display=block>\left\{\mu \in \mathcal{M}(E) : \left|\mu f_i - \nu f_i\right| < r_i, \, i = 1,\dots,n\right\}</math>
कहाँ <math>f_i</math> [[सतत कार्य (टोपोलॉजी)]] से बंधे हुए कार्य हैं <math>E</math> वास्तविक संख्याओं के लिए और <math>r_1, \dots, r_n</math> सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।

सेमीनोर्म्ड [[अर्ध मानकीकृत स्थान]] टोपोलॉजिकल समूह

[[सेमिनोर्म]]्ड समष्टि में, जो सेमीनॉर्म से प्रेरित टोपोलॉजिकल समष्टि वाला [[ सदिश स्थल | सदिश स्थल]] है, सभी नेबरहुड प्रणालियों का निर्माण मूल के लिए नेबरहुड प्रणाली के [[अनुवाद (ज्यामिति)]] द्वारा किया जा सकता है,
<math display=block>\mathcal{N}(x) = \mathcal{N}(0) + x.</math>
ऐसा इसलिए है, क्योंकि धारणा के अनुसार, प्रेरित टोपोलॉजी में वेक्टर जोड़ अलग से निरंतर होता है। इसलिए, टोपोलॉजी मूल में इसकी नेबरहुड प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है। अधिक सामान्यतः, यह तब भी सत्य रहता है जब स्थान [[टोपोलॉजिकल समूह]] होता है या टोपोलॉजी को [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस|स्यूडोमेट्रिक समष्टि]] द्वारा परिभाषित किया जाता है।

==गुण==

मान लीजिए <math>u \in U \subseteq X</math> और <math>\mathcal{N}</math>, <math>X</math> में <math>u</math> का नेबरहुड बेसिस है। सुपरसेट समावेशन <math>\,\supseteq.</math> द्वारा आंशिक रूप से क्रमबद्ध करके <math>\mathcal{N}</math> को [[निर्देशित सेट|निर्देशित समुच्चय]] में परिवर्तित किया जाता है। तब <math>U</math>, <math>X</math> में <math>u</math> का नेबरहुड है यदि <math>X \setminus U</math> में <math>\mathcal{N}</math>-अनुक्रमित [[नेट (गणित)]] <math>\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}}</math> उपस्थित है जैसे कि प्रत्येक <math>N \in \mathcal{N}</math> के लिए <math>x_N \in N \setminus U</math> (जिसका अर्थ है कि <math>X</math> में <math>\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}} \to u</math>) होता है।

==यह भी देखें==

* {{annotated link|आधार (टोपोलॉजी)}}
* {{annotated link|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत)}}
* {{annotated link|टोपोलॉजी में फ़िल्टर}}
* {{annotated link|स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि}}
* {{annotated link|नेबरहुड (गणित)}}
* {{annotated link|सब बेस}}
* {{annotated link|ट्यूबलर नेबरहुड}}

==संदर्भ==

{{reflist|group=note|refs=
<ref group=note name=nhoodOfPointVsSet>Usually, "neighbourhood" refers to a neighbourhood {{em|of a point}} and it will be clearly indicated if it instead refers to a neighborhood of a set. 
So for instance, a statement such as "a neighbourhood in <math>X</math>" that does not refer to any particular point or set should, unless somehow indicated otherwise, be taken to mean "a neighbourhood {{em|of some point}} in <math>X.</math>"</ref>

<ref group=note name=NhoodsNotRequiredToBeOpen>Most authors do not require that neighborhoods be open sets because writing "open" in front of "neighborhood" when this property is needed is not overly onerous and because requiring that they always be open would also greatly limit the usefulness of terms such as "closed neighborhood" and "compact neighborhood".</ref>
}}
{{reflist}}

==ग्रन्थसूची==

* {{Bourbaki General Topology Part I Chapters 1-4}}
* {{Dixmier General Topology}}
* {{Willard General Topology}}

{{DEFAULTSORT:Neighbourhood System}}[[Category: सामान्य टोपोलॉजी]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 20/07/2023]]