गॉसियन फिलटर

एक विशिष्ट गॉसियन फिलटर की आवेग प्रतिक्रिया का आकार

इलेकट्रॉनिकी तथा संकेत संसाधन, मुख्यतः अंकीय संकेत प्रक्रमण, में गॉसियन फिलटर ऐसा फ़िल्टर होता है जिसकी आवेग अनुक्रिया एक गॉसियन फलन होती है (या उसके सन्निकटन), क्यूंकि सच्चे गॉसियन अभिक्रिया की आवेग अनुक्रिया असीम होगी। गॉसियन फिलटरों में, उत्थान-पतन समय को न्यूनतम करते हुए, एक सोपान फलन आगत के लिए अतिलंघन न करने का गुण होता है। यह व्यवहार इस तथ्य से घनिष्ट सम्बन्ध रखता है कि गॉसियन फिलटर में न्यूनतम संभव समूह विलम्ब होता है। गॉसियन फिलटर में उच्च आवृत्तियों के निरोधन का सर्वश्रेष्ठ संचय होता है तथा स्थानिक विस्तार न्यूनतम होता है जो कि अनिश्चितता सिद्धांत का क्रांतिक बिन्दु है। ये सभी गुण दोलनदर्शियों एवं अंकीय दूरसंचार प्रणालियों जैसे क्षेत्रों में अत्यंत महत्वपूर्ण होते हैं।

गणितीय रूप से, गॉसियन फिलटर गॉसियन फलन के साथ आगत संकेत को संवलन द्वारा संशोधित करता है; इस रूपांतरण को वीयरस्ट्रैस रूपांतरण के रूप में भी जाना जाता है।

परिभाषा

एकल-आयामी गॉसियन फिलटर की आवेग अनुक्रिया निम्न द्वारा दी जाती है:

$g(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}e^{-ax^{2}}$

तथा आवृत्ति अनुक्रिया फूरिये रूपांतर द्वारा दी जाती है

${\hat {g}}(f)=e^{-\pi ^{2}f^{2}/a}$

जहाँ $f$ सामान्य आवृत्ति होती है। इन समीकरणों को मानक विचलन के साथ नीचे दिए गए प्राचल के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

$g(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}$

तथा आवृत्ति प्रतिक्रिया को निम्न द्वारा दिया जाता है

${\hat {g}}(f)=e^{-f^{2}/(2\sigma _{f}^{2})}$

$a$ को $\sigma$ के एक फलन के रूप में $g(x)$ के लिए दो समीकरणों के साथ तथा $\sigma _{f}$ के एक फलन के रूप में ${\hat {g}}(f)$ के लिए दो समीकरणों के साथ लिखकर यह दिखाया जा सकता है कि मानक विचलन तथा आवृत्ति प्रक्षेत्र में मानक विचलन का गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है

$\sigma \sigma _{f}={\frac {1}{2\pi }}$,

जहां मानक विचलन को उनकी भौतिक इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। उदहारण के लिए, समय और आवृत्ति की स्थिति में सेकंड और हर्ट्ज़ में व्यक्त किया जाता है।

द्विआयामी गॉसियन फिलटर में, यह ऐसे दो गॉसियन, प्रति दिशा में एक, का गुणनफल होता है:

$g(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2})}$

जहां x क्षैतिज अक्ष में मूल बिंदु से दूरी है, y ऊर्ध्वाधर अक्ष में मूल बिंदु से दूरी है, तथा σ गॉसियन वितरण का मानक विचलन है।

अंकीय कार्यान्वयन

$x\in (-\infty ,\infty )$ गॉसियन फलन है अतः सैद्धांतिक रूप से इसे असीम गवाक्ष विस्तार की आवश्यकता होगी। क्यूंकि यह तीव्रता से क्षयित होता है, इसलिए यह युक्ति संगत होगा कि एक साधारण आयताकार गवाक्ष फलन के उपयोग द्वारा फिलटर गवाक्ष को छिन्न करके फिलटर को सीधा संकीर्ण गवाक्ष पर लागू कर दिया जाए। अन्य स्थितियों में, छिन्नन सार्थक त्रुटियाँ उत्पन्न कर सकता है।अतः भिन्न गवाक्ष फलन परिणाम का उपयोग करके अधिक उपयुक्त परिणाम प्राप्त किये जा सकते हैं; विस्तृत विवरण के लिए स्केल स्पेस कार्यान्वयन देखें।

फिलटर प्रक्रिया में संवलन संलिप्त है। फिलटर फलन को समाकल रूपांतरण का कर्नेल (आधार) कहा जाता है। गॉसियन कर्नेल सतत होता है। साधारणतः, असतत समतुल्य प्रतिचयित गॉसियन कर्नेल होता है जो सतत गॉसियन से प्राप्त प्रतिगर्शन बिंदुओं द्वारा निर्मित होता है। वैकल्पिक पद्धति के रूप में असतत गॉसियन कर्नेल का उपयोग किया जा सकता है जिसकी विशिष्टताएं अधिक श्रेष्ठ होती हैं। प्रतिचयित गॉसियन कर्नेल के विपरीत असतत गॉसियन कर्नेल असतत विसरण समीकरण का हल होता है।

चूंकि गॉसियन फलन का फूरियर रूपांतरण द्वारा गॉसियन फलन ही उत्पन्न होता है, अतः संकेत को रूपांतरित करने के लिए (अधिमानतः अतिव्यापी गवाक्षित वाले खण्डों में विभाजित होने के बाद) उसको द्रूत फूरिये रूपांतरण द्वारा रूपांतरित करने के पश्चात एक गॉसियन फलन के साथ गुणा करके पुनः वापस रूपांतरित किया जाता है। यह स्वेच्छ परिमित आवेगी प्रतिवेदन फिलटर को लागू करने की मानक प्रक्रिया है, केवल इस अंतर के साथ कि फिलटर गवाक्ष का फूरियर रूपांतरण स्पष्ट रूप से ज्ञात होता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय के कारण, गॉसियन को गतिमान माध्य जैसे अत्यंत सरल फिलटर को कई बार चला कर अनुमानित किया जा सकता है। सरल गतिमान माध्य संवलन के अनुरूप होता है जिसमें बी-स्प्लाइन (आयताकार स्पंदावलि) स्थायी होती है। उदाहरण के लिए, गतिमान माध्य की चार पुनरावृत्तियों में फिलटर गवाक्ष के रूप में एक घनाकार बी-स्पलाइन उत्पन्न होती है जो गॉसियन को अत्यन्त अनुकूल रूप से अनुमानित करती है। गतिमान माध्य का अभिकलन अत्यन्त सुलभ होता है, इसलिए स्तरों को सरलता से सोपानित किया जा सकता है।

असतत स्थिति में मानक विचलन का सम्बन्ध निम्नलिखित द्वारा दर्शाया जाता है

$\sigma \cdot \sigma _{f}={\frac {N}{2\pi }}$

जहां मानक विचलन को नमूनों की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है और N नमूनों की कुल संख्या होती है। सांख्यिकी की भाषा में कहा जाये तो, फिलटर के मानक विचलन की व्याख्या उसके आकार के माप के रूप में की जा सकती है।

गॉसियन फिलटर की आवृत्ति सीमाओं (कट-ऑफ) को आवृत्ति प्रक्षेत्र में मानक विचलन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जिससे निम्नलिखित युक्ति प्राप्त होती है

$f_{c}=\sigma _{f}={\frac {1}{2\pi \sigma }}$

जहां सभी राशियों को उनकी भौतिक इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। यदि नमूनों में $\sigma$ को मापा जाता है तो आवृत्ति सीमा (भौतिक इकाइयों में) की गणना निम्नलिखित द्वारा की जा सकती है

$f_{c}={\frac {F_{s}}{2\pi \sigma }}$

कहाँ पे $F_{s}$ प्रतिचयन दर है। इस आवृत्ति सीमा पर गॉसियन फिलटर का प्रतिक्रिया मान exp(−0.5) ≈ 0.607 के बराबर होता है।

हालांकि, कट-ऑफ आवृत्ति को आधा पावर पॉइंट के रूप में परिभाषित करना अधिक सामान्य है: जहां फ़िल्टर प्रतिक्रिया पावर स्पेक्ट्रम में 0.5 (−3 dB) तक कम हो जाती है, या 1/√2आयाम स्पेक्ट्रम में 0.707 (उदाहरण के लिए बटरवर्थ फ़िल्टर#मूल पेपर देखें)। फ़िल्टर की प्रतिक्रिया के लिए एक मनमाना कट-ऑफ मान 1/c के लिए कट-ऑफ आवृत्ति द्वारा दी गई है

$f_{c}={\sqrt {\ln(c)}}\cdot \sigma _{f}$

c = 2 के लिए अंतिम समीकरण में फ़्रीक्वेंसी डोमेन में मानक विचलन से पहले का स्थिरांक लगभग 1.1774 के बराबर होता है, जो आधी अधिकतम (FWHM) पर पूर्ण चौड़ाई का आधा होता है (गॉसियन फलन#गुण देखें)। ग के लिए =√2 यह स्थिरांक लगभग 0.8326 के बराबर होता है। ये मान 1 के काफी करीब हैं।

एक साधारण चलती औसत एक समान वितरण (असतत) से मेल खाती है और इस प्रकार आकार की इसकी फ़िल्टर चौड़ाई $n$ मानक विचलन है ${\sqrt {(n^{2}-1)/12}}$. इस प्रकार क्रमिक का अनुप्रयोग $m$ आकार के साथ चलती औसत ${n}_{1},\dots ,{n}_{m}$ का मानक विचलन प्राप्त करें

$\sigma ={\sqrt {\frac {n_{1}^{2}+\cdots +n_{m}^{2}-m}{12}}}$

(ध्यान दें कि मानक विचलन योग नहीं करते हैं, लेकिन प्रसरण करते हैं।)

एक गॉसियन कर्नेल की आवश्यकता है $6\sigma -1$ मान, उदा. एक के लिए ${\sigma }$ 3 में से इसे 17 लंबाई के कर्नेल की आवश्यकता होती है। 5 बिंदुओं के चलने वाले माध्य फ़िल्टर में का सिग्मा होगा ${\sqrt {2}}$. इसे तीन बार चलाने से a ${\sigma }$ 2.42 का। यह देखा जाना बाकी है कि खराब सन्निकटन के बजाय गॉसियन का उपयोग करने का लाभ कहां है।

जब दो आयामों में लागू किया जाता है, तो यह सूत्र एक गॉसियन सतह उत्पन्न करता है जिसका मूल में अधिकतम होता है, जिसका :wikt:contours केंद्र के रूप में मूल के साथ संकेंद्रित वृत्त होते हैं। एक दो आयामी कनवल्शन मैट्रिक्स (गणित) को सूत्र से पूर्व-गणना की जाती है और दो आयामी डेटा के साथ सजाया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व का नया मान उस तत्व के पड़ोस के भारित औसत पर सेट होता है। फोकल तत्व को सबसे भारी वजन (उच्चतम गॉसियन मूल्य वाला) प्राप्त होता है और पड़ोसी तत्वों को छोटे वजन प्राप्त होते हैं क्योंकि फोकल तत्व से उनकी दूरी बढ़ जाती है। छवि प्रसंस्करण में, मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व चमक या रंग तीव्रता जैसे पिक्सेल विशेषता का प्रतिनिधित्व करता है, और समग्र प्रभाव को गौस्सियन धुंधलापन कहा जाता है।

गॉसियन फिलटर गैर-कारणात्मक है जिसका अर्थ है कि फ़िल्टर विंडो समय-क्षेत्र में मूल के बारे में सममित है। यह गॉसियन फिलटर को भौतिक रूप से अवास्तविक बनाता है। यह आमतौर पर उन अनुप्रयोगों के लिए कोई परिणाम नहीं होता है जहां फ़िल्टर बैंडविड्थ सिग्नल से बहुत बड़ा होता है। रीयल-टाइम सिस्टम में, देरी होती है क्योंकि आने वाले नमूनों को सिग्नल पर फ़िल्टर लागू करने से पहले फ़िल्टर विंडो को भरने की आवश्यकता होती है। जबकि देरी की कोई भी मात्रा सैद्धांतिक गॉसियन फ़िल्टर कारण नहीं बना सकती है (क्योंकि गॉसियन फलन हर जगह शून्य नहीं है), गॉसियन फलन इतनी तेज़ी से शून्य में परिवर्तित हो जाता है कि एक कारण अनुमान मामूली देरी के साथ किसी भी आवश्यक सहनशीलता को प्राप्त कर सकता है, यहां तक ​​​​कि सटीकता तक भी आईईईई फ्लोटिंग पॉइंट का।

आवेदन

• जीएसएम चूंकि यह जीएमएसके मॉडुलन लागू करता है
• GFSK में गॉसियन फिलटर का भी उपयोग किया जाता है।
• इमेज प्रोसेसिंग में प्रयुक्त कैनी एज डिटेक्टर ।

यह भी देखें

• बटरवर्थ फ़िल्टर
• कंघी फिल्टर
• चेबीशेव फ़िल्टर
• असतत गाऊसी कर्नेल
• अण्डाकार फिल्टर
• गौस्सियन धुंधलापन
• गाऊसी पिरामिड
• स्केल स्पेस
• स्केल स्पेस कार्यान्वयन

संदर्भ

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