पाटीगणितम् में 'घन'
यहां हम सीखेंगे कि पाटीगणितम् के अनुसार किसी संख्या का घन कैसे ज्ञात किया जाता है।
श्लोक
स्थाप्योऽन्त्यघनोऽन्त्यकृतिः स्थानाधिक्यं त्रिपूर्वगुणिता च ।
आद्यकृतिरन्त्यगुणिता त्रिगुणा च घनस्तथाऽऽद्यस्य ॥ २७ ॥
निर्युक्तराशिरन्त्यं (तस्य) घनोऽसौ समत्रिराशिहतिः ।
एकादिचये वाऽन्त्ये त्र्यादिहते पूर्वघनयुतिः सैके ॥ २८ ॥
अनुवाद
[मान लें कि दी गई संख्या के अंतिम अंक को 'अंतिम' (अंत्य) कहा जाता है और अंतिम-लेकिन-एक अंक को 'प्रथम' (अदि) या 'पूर्ववर्ती' (पूर्व) कहा जाता है।]
'अंतिम' का घन नीचे सेट करें; फिर सेट करें, (क्रमशः) एक स्थान आगे (स्थानाधिकारम्), (i) 'अंतिम' के वर्ग को 'पूर्ववर्ती' से तीन गुना गुणा किया जाए, (ii) 'पहले' के वर्ग को 'अंतिम' से गुणा किया जाए साथ ही 3 से, और (iii) 'पहले' का घन। यह संयुक्त संख्या का घन देता है ('अंतिम' और 'प्रथम' द्वारा गठित) (निर्युक्त-राशि), जिसे अब 'अंतिम' माना जाना चाहिए (बशर्ते दी गई संख्या में दो से अधिक अंक हों) .
तीन समान मात्राओं का (जारी) उत्पाद; या, श्रृंखला में पहले पद के लिए 1 और सामान्य अंतर (अंतिम दो पदों पर विचार करते हुए, उन्हें क्रमशः 'प्रथम' या 'पूर्ववर्ती' और 'अंतिम' के रूप में निर्दिष्ट करते हुए), अंतिम को गुणा किया गया। 'पहले' को तीन गुना करके, और 1 से बढ़ाकर, और जो 'पूर्ववर्ती' के घन में जोड़ा जाता है, वह भी घन है।
यहां बताए गए तीन नियमों में से पहला नियम किसी संख्या को घनित करने की मुख्य विधि है, इसे उदाहरण से समझाने के लिए, आइए जानें
256 का घन.
उदाहरण: 256 का घन
आरंभ करने के लिए हम 25 का घन ज्ञात करते हैं जिसमें 2 'अंतिम' और 5 'प्रथम' है।
| last | first |
|---|---|
| 2 | 5 |
| Cube of the last (23) | 8 | |||
| Square of the 'last' as multiplied by
thrice the 'first'. (3 x 5 x 22 = 60) to be placed in the next place such that 0 is one place next to 8 |
6 | 0 | ||
| Square of the 'first' as multiplied by
thrice the 'last'. (3 x 2 x 52 = 150) to be placed in the next place such that 0 is one place next to 0 |
1 | 5 | 0 | |
| Cube of the first (53=125) to be placed in the next place
such that 5 is one place next to 0 |
1 | 2 | 5 | |
| Sum of the each columns= Cube of 25 = | 15 | 6 | 2 | 5 |
अब हम 256 का घन पाते हैं जिसमें 25 'अंतिम' और 6 'पहला' है।
| last | first |
|---|---|
| 25 | 6 |
| Cube of the last (253) | 1 | 5 | 6 | 2 | 5 | |||
| Square of the 'last' as multiplied by
thrice the 'first'. (3 x 6 x 252 = 60) to be placed in the next place such that 0 is one place next to 5 |
1 | 1 | 2 | 5 | 0 | |||
| Square of the 'first' as multiplied by
thrice the 'last'. (3 x 25 x 62 = 150) to be placed in the next place such that 0 is one place next to 0 |
2 | 7 | 0 | 0 | ||||
| Cube of the first (63 = 216) to be placed in the next place
such that 6 is one place next to 0 |
2 | 1 | 6 | |||||
| Sum of the each columns= Cube of 256 = | 1 | 6 | 7 | 7 | 7 | 2 | 1 | 6 |
256 का घन = 16777216