एकजीनी प्रणाली

शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक भौतिक प्रणाली को मोनोजेनिक प्रणाली कहा जाता है यदि प्रणाली पर कार्य करने वाले बल को एक विशेष, विशेष रूप से सुविधाजनक गणितीय रूप में मॉडल किया जा सकता है। आमतौर पर भौतिकी में जिन प्रणालियों का अध्ययन किया जाता है वे मोनोजेनिक हैं। यह शब्द कॉर्नेलियस लैंज़ोस ने अपनी पुस्तक द वेरिएशनल प्रिंसिपल्स ऑफ मैकेनिक्स (1970) में पेश किया था। लैग्रेंजियन यांत्रिकी में, मोनोजेनिक होने की संपत्ति गणितीय रूप से समकक्ष होने के लिए कुछ अलग-अलग फॉर्मूलेशन के लिए एक आवश्यक शर्त है। यदि एक भौतिक प्रणाली एक होलोनोमिक प्रणाली और एक मोनोजेनिक प्रणाली दोनों है, तो डी'एलेम्बर्ट के सिद्धांत से लैग्रेंजियन यांत्रिकी|लैग्रेंज के समीकरण प्राप्त करना संभव है; लैग्रेंज के समीकरणों को हैमिल्टन के सिद्धांत से प्राप्त करना भी संभव है।

गणितीय परिभाषा

एक भौतिक प्रणाली में, यदि सभी बल, बाधा बलों के अपवाद के साथ, सामान्यीकृत क्षमता से व्युत्पन्न होते हैं, और यह सामान्यीकृत अदिश क्षमता सामान्यीकृत निर्देशांक, सामान्यीकृत समन्वय#सामान्यीकृत वेग और गतिज ऊर्जा, या समय का एक कार्य है, तो, यह प्रणाली एक मोनोजेनिक प्रणाली है।

समीकरणों का उपयोग करके व्यक्त किया गया, सामान्यीकृत बल के बीच सटीक संबंध ${\mathcal {F}}_{i}$ और सामान्यीकृत क्षमता ${\mathcal {V}}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N},\ t)$ इस प्रकार है:

${\mathcal {F}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right);$

कहाँ $q_{i}$ सामान्यीकृत समन्वय है, ${\dot {q_{i}}}$ सामान्यीकृत वेग है, और $t$ यह समय है।

यदि एक मोनोजेनिक प्रणाली में सामान्यीकृत क्षमता केवल सामान्यीकृत निर्देशांक पर निर्भर करती है, न कि सामान्यीकृत वेग और समय पर, तो, यह प्रणाली एक रूढ़िवादी बल है। सामान्यीकृत बल और सामान्यीकृत क्षमता के बीच संबंध इस प्रकार है:

${\mathcal {F}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial q_{i}}}$ .

यह भी देखें

• स्क्लेरोनोमस