हिल उपज मानदंड

रॉडने हिल द्वारा विकसित हिल उपज मानदंड, अनिसोट्रोपिक प्लास्टिक विकृतियों का वर्णन करने के लिए कई उपज मानदंडों में से एक है। सबसे पहला संस्करण वॉन मिज़ उपज मानदंड का सीधा विस्तार था और इसका रूप द्विघात था। इस मॉडल को बाद में एक घातांक एम की अनुमति देकर सामान्यीकृत किया गया। इन मानदंडों की विविधताएं धातुओं, पॉलिमर और कुछ कंपोजिट के लिए व्यापक रूप से उपयोग में हैं।

द्विघात पहाड़ी उपज मानदंड

द्विघात हिल उपज मानदंड^[1] रूप है

F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}=1~.

यहां एफ, जी, एच, एल, एम, एन स्थिरांक हैं जिन्हें प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जाना है $\sigma _{ij}$ तनाव हैं. द्विघात हिल उपज मानदंड केवल विचलन तनाव पर निर्भर करता है और दबाव से स्वतंत्र है। यह तनाव और संपीड़न में समान उपज तनाव की भविष्यवाणी करता है।

एफ, जी, एच, एल, एम, एन के लिए अभिव्यक्ति

यदि सामग्री अनिसोट्रॉपी की अक्षों को ऑर्थोगोनल माना जाता है, तो हम लिख सकते हैं

(G+H)~(\sigma _{1}^{y})^{2}=1~;~~(F+H)~(\sigma _{2}^{y})^{2}=1~;~~(F+G)~(\sigma _{3}^{y})^{2}=1

कहाँ $\sigma _{1}^{y},\sigma _{2}^{y},\sigma _{3}^{y}$ अनिसोट्रॉपी के अक्षों के संबंध में सामान्य उपज तनाव हैं। इसलिए हमारे पास है।

F={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]

G={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]

H={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]

इसी प्रकार, यदि $\tau _{12}^{y},\tau _{23}^{y},\tau _{31}^{y}$ हमारे पास कतरनी में उपज तनाव (अनिसोट्रॉपी के अक्षों के संबंध में) हैं।

L={\cfrac {1}{2~(\tau _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2~(\tau _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2~(\tau _{12}^{y})^{2}}}

समतल तनाव के लिए द्विघात हिल उपज मानदंड

पतली लुढ़की प्लेटों (समतल तनाव की स्थिति) के लिए द्विघात हिल उपज मानदंड को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।

\sigma _{1}^{2}+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}

जहां प्रिंसिपल जोर देते हैं $\sigma _{1},\sigma _{2}$ अनिसोट्रॉपी के अक्षों के साथ संरेखित माना जाता है $\sigma _{1}$ रोलिंग दिशा में और $\sigma _{2}$ रोलिंग दिशा के लंबवत, $\sigma _{3}=0$ , $R_{0}$ रोलिंग दिशा में लैंकफोर्ड गुणांक|आर-मान है, और $R_{90}$ लैंकफोर्ड गुणांक|आर-मान रोलिंग दिशा के लंबवत है।

अनुप्रस्थ आइसोट्रॉपी के विशेष मामले के लिए हमारे पास है $R=R_{0}=R_{90}$ और हमें मिलता है

\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R}{1+R}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}

Derivation of Hill's criterion for plane stress

For the situation where the principal stresses are aligned with the directions of anisotropy we have

f:=F(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+G(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}+H(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}-1=0\,

where $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ are the principal stresses. If we assume an associated flow rule we have

{\dot {\varepsilon }}_{i}^{p}={\dot {\lambda }}~{\cfrac {\partial f}{\partial \sigma _{i}}}\qquad \implies \qquad {\cfrac {d\varepsilon _{i}^{p}}{d\lambda }}={\cfrac {\partial f}{\partial \sigma _{i}}}~.

This implies that

{\begin{aligned}{\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\lambda }}&=2(G+H)\sigma _{1}-2H\sigma _{2}-2G\sigma _{3}\\{\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+H)\sigma _{2}-2H\sigma _{1}-2F\sigma _{3}\\{\cfrac {d\varepsilon _{3}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+G)\sigma _{3}-2G\sigma _{1}-2F\sigma _{2}~.\end{aligned}}

For plane stress $\sigma _{3}=0$ , which gives

{\begin{aligned}{\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\lambda }}&=2(G+H)\sigma _{1}-2H\sigma _{2}\\{\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+H)\sigma _{2}-2H\sigma _{1}\\{\cfrac {d\varepsilon _{3}^{p}}{d\lambda }}&=-2G\sigma _{1}-2F\sigma _{2}~.\end{aligned}}

The R-value $R_{0}$ is defined as the ratio of the in-plane and out-of-plane plastic strains under uniaxial stress $\sigma _{1}$ . The quantity $R_{90}$ is the plastic strain ratio under uniaxial stress $\sigma _{2}$ . Therefore, we have

R_{0}={\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\varepsilon _{3}^{p}}}={\cfrac {H}{G}}~;~~R_{90}={\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\varepsilon _{3}^{p}}}={\cfrac {H}{F}}~.

Then, using $H=R_{0}G$ and $\sigma _{3}=0$ , the yield condition can be written as

f:=F\sigma _{2}^{2}+G\sigma _{1}^{2}+R_{0}G(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}-1=0\,

which in turn may be expressed as

\sigma _{1}^{2}+{\cfrac {F+R_{0}G}{G(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}={\cfrac {1}{(1+R_{0})G}}~.

This is of the same form as the required expression. All we have to do is to express $F,G$ in terms of $\sigma _{1}^{y}$ . Recall that,

{\begin{aligned}F&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]\\G&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]\\H&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]\end{aligned}}

We can use these to obtain

{\begin{aligned}R_{0}={\cfrac {H}{G}}&\implies (1+R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-(1+R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}=(1-R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\\R_{90}={\cfrac {H}{F}}&\implies (1+R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-(1-R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}=(1+R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\end{aligned}}

Solving for ${\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}},{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}$ gives us

{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}={\cfrac {R_{0}+R_{90}}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}~;~~{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}={\cfrac {R_{0}(1+R_{90})}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}

Plugging back into the expressions for $F,G$ leads to

F={\cfrac {R_{0}}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}~;~~G={\cfrac {1}{1+R_{0}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}

which implies that

{\cfrac {1}{G(1+R_{0})}}=(\sigma _{1}^{y})^{2}~;~~{\cfrac {F+R_{0}G}{G(1+R_{0})}}={\cfrac {R_{0}(1+R_{90})}{R_{90}(1+R_{0})}}~.

Therefore the plane stress form of the quadratic Hill yield criterion can be expressed as

\sigma _{1}^{2}+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}

सामान्यीकृत पहाड़ी उपज मानदंड

सामान्यीकृत हिल उपज मानदंड^[2] रूप है

{\begin{aligned}F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}&+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+M|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}=\sigma _{y}^{m}~.\end{aligned}}

कहाँ $\sigma _{i}$ प्रमुख तनाव हैं (जो अनिसोट्रॉपी की दिशाओं के साथ संरेखित हैं), $\sigma _{y}$ उपज तनाव है, और एफ, जी, एच, एल, एम, एन स्थिरांक हैं। एम का मान सामग्री की अनिसोट्रॉपी की डिग्री से निर्धारित होता है और उपज सतह की उत्तलता सुनिश्चित करने के लिए 1 से अधिक होना चाहिए।

अनिसोट्रोपिक सामग्री के लिए सामान्यीकृत पहाड़ी उपज मानदंड

ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्रियों के लिए $1-2$ समरूपता का तल होने के कारण, सामान्यीकृत हिल उपज मानदंड (के साथ) कम हो जाता है $F=G$ और $L=M$ )

{\begin{aligned}f:=&F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+L|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0\end{aligned}}

आर-मूल्य (प्लास्टिसिटी) |आर-वैल्यू या लैंकफोर्ड गुणांक उस स्थिति पर विचार करके निर्धारित किया जा सकता है $\sigma _{1}>(\sigma _{2}=\sigma _{3}=0)$ . आर-वैल्यू तब द्वारा दिया जाता है

R={\cfrac {(2^{m-1}+2)L-N+H}{(2^{m-1}-1)L+2N+F}}~.

समतल तनाव की स्थितियों में और कुछ मान्यताओं के साथ, सामान्यीकृत हिल मानदंड कई रूप ले सकता है।^[3] * मामला एक: $L=0,H=0.$

f:={\cfrac {1+2R}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})-{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0

केस 2: $N=0,F=0.$

f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(1-2^{m-1})(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-{\cfrac {1}{(1-2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0

केस 3: $N=0,H=0.$

f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|\sigma _{1}|^{m}-|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0

केस 4: $L=0,F=0.$

f:={\cfrac {1+2R}{2(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+{\cfrac {1}{2(1+R)}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0

केस 5: $L=0,N=0.$ . यह होसफोर्ड उपज मानदंड है।

f:={\cfrac {1}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0

सामान्यीकृत हिल उपज मानदंड के इन रूपों का उपयोग करते समय सावधानी बरती जानी चाहिए क्योंकि कुछ संयोजनों के लिए उपज सतहें अवतल (कभी-कभी असीमित भी) हो जाती हैं।

R

और

m

.^[4]

हिल 1993 उपज मानदंड

1993 में, हिल ने एक और उपज मानदंड प्रस्तावित किया ^[5] समतल अनिसोट्रॉपी के साथ समतल तनाव समस्याओं के लिए। हिल93 मानदंड का रूप है

\left({\cfrac {\sigma _{1}}{\sigma _{0}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\sigma _{2}}{\sigma _{90}}}\right)^{2}+\left[(p+q-c)-{\cfrac {p\sigma _{1}+q\sigma _{2}}{\sigma _{b}}}\right]\left({\cfrac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{0}\sigma _{90}}}\right)=1

कहाँ $\sigma _{0}$ रोलिंग दिशा में एकअक्षीय तन्यता उपज तनाव है, $\sigma _{90}$ रोलिंग दिशा की सामान्य दिशा में एकअक्षीय तन्यता उपज तनाव है, $\sigma _{b}$ एक समान द्विअक्षीय तनाव के तहत उपज तनाव है, और $c,p,q$ पैरामीटर के रूप में परिभाषित हैं

{\begin{aligned}c&={\cfrac {\sigma _{0}}{\sigma _{90}}}+{\cfrac {\sigma _{90}}{\sigma _{0}}}-{\cfrac {\sigma _{0}\sigma _{90}}{\sigma _{b}^{2}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~p&={\cfrac {2R_{0}(\sigma _{b}-\sigma _{90})}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}-{\cfrac {2R_{90}\sigma _{b}}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{0}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~q&={\cfrac {2R_{90}(\sigma _{b}-\sigma _{0})}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}-{\cfrac {2R_{0}\sigma _{b}}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{90}}}\end{aligned}}

और $R_{0}$ रोलिंग दिशा में एकअक्षीय तनाव के लिए आर-मान है, और $R_{90}$ रोलिंग दिशा के लंबवत इन-प्लेन दिशा में एकअक्षीय तनाव के लिए आर-मान है।

हिल की उपज कसौटी का विस्तार

हिल की उपज मानदंड के मूल संस्करण ऐसी सामग्री के लिए डिज़ाइन किए गए थे जिनमें दबाव-निर्भर उपज सतहें नहीं थीं जो पॉलीमर और फोम को मॉडल करने के लिए आवश्यक हैं।

कैडेल-राघव-एटकिन्स उपज मानदंड

एक विस्तार जो दबाव निर्भरता की अनुमति देता है वह कैडेल-राघवा-एटकिंस (सीआरए) मॉडल है ^[6] जिसका स्वरूप है

F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}=1~.

देशपांडे-फ्लेक-एशबी उपज मानदंड

हिल के द्विघात उपज मानदंड का एक और दबाव-निर्भर विस्तार, जिसका रूप ब्रेस्लर पिस्टर उपज मानदंड के समान है, देशपांडे, फ्लेक और एशबी (डीएफए) उपज मानदंड है। ^[7] मधुकोश संरचनाओं के लिए (सैंडविच संरचित समग्र निर्माण में प्रयुक्त)। इस उपज मानदंड का स्वरूप है

F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+K(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})^{2}=1~.

यह भी देखें

होस्फोर्ड उपज मानदंड#अनिसोट्रोपिक प्लास्टिसिटी के लिए लोगान-होस्फोर्ड उपज मानदंड|अनिसोट्रोपिक प्लास्टिसिटी के लिए लोगान-होस्फोर्ड उपज मानदंड

संदर्भ

↑ R. Hill. (1948). A theory of the yielding and plastic flow of anisotropic metals. Proc. Roy. Soc. London, 193:281–297
↑ R. Hill. (1979). Theoretical plasticity of textured aggregates. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 85(1):179–191.
↑ Chu, E. (1995). Generalization of Hill's 1979 anisotropic yield criteria. Journal of Materials Processing Technology, vol. 50, pp. 207–215.
↑ Zhu, Y., Dodd, B., Caddell, R. M. and Hosford, W. F. (1987). Limitations of Hill's 1979 anisotropic yield criterion. International Journal of Mechanical Sciences, vol. 29, p. 733.
↑ Hill. R. (1993). User-friendly theory of orthotropic plasticity in sheet metals. International Journal of Mechanical Sciences, vol. 35, no. 1, pp. 19–25.
↑ Caddell, R. M., Raghava, R. S. and Atkins, A. G., (1973), Yield criterion for anisotropic and pressure dependent solids such as oriented polymers. Journal of Materials Science, vol. 8, no. 11, pp. 1641–1646.
↑ Deshpande, V. S., Fleck, N. A. and Ashby, M. F. (2001). Effective properties of the octet-truss lattice material. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, vol. 49, no. 8, pp. 1747–1769.

बाहरी संबंध

Yield criteria for aluminum

[1] R. Hill. (1948). A theory of the yielding and plastic flow of anisotropic metals. Proc. Roy. Soc. London, 193:281–297

[2] R. Hill. (1979). Theoretical plasticity of textured aggregates. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 85(1):179–191.

[3] Chu, E. (1995). Generalization of Hill's 1979 anisotropic yield criteria. Journal of Materials Processing Technology, vol. 50, pp. 207–215.

[4] Zhu, Y., Dodd, B., Caddell, R. M. and Hosford, W. F. (1987). Limitations of Hill's 1979 anisotropic yield criterion. International Journal of Mechanical Sciences, vol. 29, p. 733.

[5] Hill. R. (1993). User-friendly theory of orthotropic plasticity in sheet metals. International Journal of Mechanical Sciences, vol. 35, no. 1, pp. 19–25.

[6] Caddell, R. M., Raghava, R. S. and Atkins, A. G., (1973), Yield criterion for anisotropic and pressure dependent solids such as oriented polymers. Journal of Materials Science, vol. 8, no. 11, pp. 1641–1646.

[7] Deshpande, V. S., Fleck, N. A. and Ashby, M. F. (2001). Effective properties of the octet-truss lattice material. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, vol. 49, no. 8, pp. 1747–1769.

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