अपरिभाषित (गणित)

गणित में, अपरिभाषित शब्द का उपयोग अक्सर एक अभिव्यक्ति को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, जिसे एक व्याख्या या एक मूल्य नहीं दिया जाता है (जैसे कि एक अनिश्चित रूप , जिसमें विभिन्न मूल्यों को ग्रहण करने की प्रवृत्ति होती है)।^[1] यह शब्द संदर्भ के आधार पर कई अलग -अलग अर्थों पर ले जा सकता है।उदाहरण के लिए:

गणित की विभिन्न शाखाओं में, कुछ अवधारणाओं को आदिम धारणा ओं (जैसे, शब्द बिंदु, रेखा और ज्यामिति में कोण) के रूप में पेश किया जाता है।चूंकि इन शर्तों को अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में परिभाषित नहीं किया गया है, इसलिए उन्हें अपरिभाषित शब्दों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
एक फ़ंक्शन (गणित) को किसी फ़ंक्शन के डोमेन के बाहर बिंदुओं पर अपरिभाषित कहा जाता है – उदाहरण के लिए, वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन $f(x)={\sqrt {x}}$ नकारात्मक & nbsp के लिए अपरिभाषित है; $x$ (यानी, यह नकारात्मक तर्कों के लिए कोई मूल्य नहीं प्रदान करता है)।
बीजगणित में, कुछ अंकगणित ीय संचालन अपने ऑपरेंड्स (जैसे, शून्य द्वारा विभाजन) के कुछ मूल्यों के लिए एक अर्थ नहीं दे सकते हैं।किस स्थिति में, ऐसे ऑपरेंड से जुड़े अभिव्यक्तियों को अपरिभाषित कहा जाता है।^[2]

अपरिभाषित शब्द

प्राचीन काल में, जियोमेटर्स ने हर शब्द को परिभाषित करने का प्रयास किया।उदाहरण के लिए, अलेक्जेंड्रिया का यूक्लिड ने एक बिंदु (ज्यामिति) को परिभाषित किया, जिसका कोई हिस्सा नहीं है।आधुनिक समय में, गणितज्ञ यह मानते हैं कि हर शब्द को अनिवार्य रूप से परिभाषित करने का प्रयास करना अनिवार्य रूप से परिपत्र परिभाषा ओं की ओर जाता है, और इसलिए कुछ शब्दों को छोड़ दें (जैसे कि बिंदु) अपरिभाषित (अधिक के लिए आदिम धारणा देखें)।

यह अधिक अमूर्त दृष्टिकोण फलदायी सामान्यीकरण के लिए अनुमति देता है।टोपोलॉजी में, एक सामयिक स्थान को कुछ गुणों के साथ संपन्न बिंदुओं के सेट (गणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन सामान्य सेटिंग में, इन बिंदुओं की प्रकृति को पूरी तरह से अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है।इसी तरह, श्रेणी सिद्धांत में, एक श्रेणी (गणित) में वस्तुएं और तीर होते हैं, जो फिर से आदिम, अपरिभाषित शब्द हैं।यह इस तरह के अमूर्त गणितीय सिद्धांतों को बहुत विविध ठोस स्थितियों पर लागू करने की अनुमति देता है।

अंकगणित में

भाव $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}0/0$ अंकगणित में अपरिभाषित है, जैसा कि शून्य द्वारा विभाजन में समझाया गया है (एक ही अभिव्यक्ति का उपयोग L'HOPITAL के नियम को अनिश्चित रूप से दर्शाने के लिए किया जाता है)।

गणितज्ञों की अलग -अलग राय हैं कि क्या $00$ को समान 1 के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए, या अपरिभाषित छोड़ दिया जाना चाहिए।

मूल्य जिसके लिए फ़ंक्शन अपरिभाषित हैं

उन संख्याओं का सेट जिसके लिए एक फ़ंक्शन (गणित) को परिभाषित किया जाता है, उन्हें फ़ंक्शन का डोमेन कहा जाता है।यदि कोई संख्या किसी फ़ंक्शन के डोमेन में नहीं है, तो फ़ंक्शन को उस नंबर के लिए अपरिभाषित कहा जाता है।दो सामान्य उदाहरण हैं ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ , जिसके लिए अपरिभाषित है $x=0$ , और $f(x)={\sqrt {x}}$ , जो नकारात्मक & nbsp के लिए अपरिभाषित (वास्तविक संख्या प्रणाली में) है; $x$ ।

त्रिकोणमिति में

त्रिकोणमिति में, सभी के लिए $n\in \mathbb {Z}$ , कार्य $\tan \theta$ और $\sec \theta$ सभी के लिए अपरिभाषित हैं ${\textstyle \theta =\pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)}$ , जबकि कार्य करता है $\cot \theta$ और $\csc \theta$ सभी के लिए अपरिभाषित हैं $\theta =\pi n$ ।

जटिल विश्लेषण में

जटिल विश्लेषण में, एक बिंदु $z\in \mathbb {C}$ जहां एक समलैंगिक कार्य अपरिभाषित है, को गणितीय विलक्षणता कहा जाता है।हटाने योग्य विलक्षणता के बीच एक अंतर करता है (यानी, फ़ंक्शन को होलोमोर्फिक रूप से बढ़ाया जा सकता है $z$ ), पोल (जटिल विश्लेषण) (यानी, फ़ंक्शन को मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन को बढ़ाया जा सकता है $z$ ), और आवश्यक विलक्षणता (यानी, कोई मेरोमोर्फिक एक्सटेंशन नहीं $z$ मौजूद हो सकता है)।

कंप्यूटर विज्ञान में

=== ↓ और ↑ === का उपयोग करके संकेतन कम्प्यूटबिलिटी थ्योरी (कंप्यूटर साइंस) में, अगर $f$ पर एक आंशिक कार्य है $S$ और $a$ का एक तत्व है $S$ , तो यह के रूप में लिखा है $f(a)\downarrow$ , और f (a) के रूप में पढ़ा जाता है।^[3] यदि $a$ के डोमेन में नहीं है $f$ , तो यह के रूप में लिखा है $f(a)\uparrow$ , और के रूप में पढ़ा जाता है $f(a)$ अपरिभाषित है।

अनंत के प्रतीक

विश्लेषण में, सिद्धांत और अन्य गणितीय विषयों को मापें, प्रतीक $\infty$ अक्सर एक अनंत छद्म संख्या को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है, इसके नकारात्मक के साथ, $-\infty$ ।प्रतीक का अपने आप में कोई अच्छी तरह से परिभाषित अर्थ नहीं है, लेकिन एक अभिव्यक्ति की तरह है $\left\{a_{n}\right\}\rightarrow \infty$ एक विचलन अनुक्रम के लिए शॉर्टहैंड है, जो कुछ बिंदु पर अंततः किसी भी वास्तविक संख्या से बड़ा है।

प्रतीकों के साथ मानक अंकगणितीय संचालन करना $\pm \infty$ अपरिभाषित है।कुछ एक्सटेंशन, हालांकि, जोड़ और गुणन के निम्नलिखित सम्मेलनों को परिभाषित करते हैं:

$x+\infty =\infty$ सबके लिए $x\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ ।
$-\infty +x=-\infty$ सबके लिए $x\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$ ।
$x\cdot \infty =\infty$ सबके लिए $x\in \mathbb {R} ^{+}$ ।

इसके अलावा और गुणन का कोई समझदार विस्तार नहीं $\infty$ निम्नलिखित मामलों में मौजूद है:

$\infty -\infty$
$0\cdot \infty$ (हालांकि माप सिद्धांत में, इसे अक्सर परिभाषित किया जाता है $0$ )
${\frac {\infty }{\infty }}$
$-\infty [{1(0)}]$

अधिक विस्तार के लिए, विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा देखें।

संदर्भ

↑ Weisstein, Eric W. "अपरिभाषित". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-15.
↑ "गणित में अपरिभाषित बनाम अनिश्चित". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-12-15.
↑ Enderton, Herbert B. (2011). कम्प्यूटिबिलिटी: पुनरावृत्ति सिद्धांत का परिचय. Elseveier. pp. 3–6. ISBN 978-0-12-384958-8.

इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची

अंक शास्त्र
एक फ़ंक्शन का डोमेन
समारोह (गणित)
शून्य से विभाजन
कम्प्यूटिबिलिटी सिद्धांत (कंप्यूटर विज्ञान)
माप सिद्धांत
अलग -अलग अनुक्रम

आगे की पढाई

Smart, James R. (1988). Modern Geometries (Third ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-08310-2.

श्रेणी: गणितीय शब्दावली] श्रेणी: पथरी

[1] Weisstein, Eric W. "अपरिभाषित". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-15.

[2] "गणित में अपरिभाषित बनाम अनिश्चित". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-12-15.

[3] Enderton, Herbert B. (2011). कम्प्यूटिबिलिटी: पुनरावृत्ति सिद्धांत का परिचय. Elseveier. pp. 3–6. ISBN 978-0-12-384958-8.

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