अवशेष (जटिल विश्लेषण)

गणित में, अधिक विशेष रूप से जटिल विश्लेषण में, अवशेष एक जटिल संख्या है जो एक गणितीय विलक्षणता को घेरने वाले पथ के साथ मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन के लाइन इंटीग्रल के समानुपाती होती है। (अधिक सामान्यतः, अवशेषों की गणना किसी भी फ़ंक्शन के लिए की जा सकती है $f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C}$ यह असतत बिंदुओं को छोड़कर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है {ए_k}_k, भले ही उनमें से कुछ आवश्यक विलक्षणता हों।) अवशेषों की गणना काफी आसानी से की जा सकती है और, एक बार ज्ञात होने पर, अवशेष प्रमेय के माध्यम से सामान्य समोच्च अभिन्न अंग के निर्धारण की अनुमति मिलती है।

परिभाषा

मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन का अवशेष $f$ एक अलग विलक्षणता पर $a$, अक्सर निरूपित किया जाता है $\operatorname {Res} (f,a)$, $\operatorname {Res} _{a}(f)$, $\mathop {\operatorname {Res} } _{z=a}f(z)$ या $\mathop {\operatorname {res} } _{z=a}f(z)$, अद्वितीय मान है $R$ ऐसा है कि $f(z)-R/(z-a)$ एक छिद्रित डिस्क में एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन एंटीडेरिवेटिव (जटिल विश्लेषण) होता है $0<\vert z-a\vert <\delta$.

वैकल्पिक रूप से, अवशेषों की गणना लॉरेंट श्रृंखला के विस्तार को खोजकर की जा सकती है, और अवशेषों को गुणांक ए के रूप में परिभाषित किया जा सकता है₋₁ लॉरेंट श्रृंखला का।

इस अवधारणा का उपयोग अवशेष प्रमेय में विचार की गई कुछ समोच्च अभिन्न समस्याओं के समोच्च एकीकरण मान प्रदान करने के लिए किया जा सकता है। अवशेष प्रमेय के अनुसार, मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए $f$, बिंदु पर अवशेष $a_{k}$ इस प्रकार दिया गया है:

$\operatorname {Res} (f,a_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,.$

जहां γ एक वक्र अभिविन्यास जॉर्डन वक्र है $a_{k}$ और वक्र पर या उसके अंदर कोई अन्य विलक्षणता शामिल नहीं है।

अवशेष की परिभाषा को मनमानी रीमैन सतहों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। कल्पना करना $\omega$ रीमैन सतह पर एक-रूप|1-रूप है। होने देना $\omega$ किसी बिंदु पर मेरोमोर्फिक बनें $x$, ताकि हम लिख सकें $\omega$ स्थानीय निर्देशांक में जैसे $f(z)\;dz$. फिर, का अवशेष $\omega$ पर $x$ के अवशेष के रूप में परिभाषित किया गया है $f(z)$ के अनुरूप बिंदु पर $x$.

समोच्च एकीकरण

See also: Contour integration

एकपदी का समोच्च समाकलन

एकपदी के अवशेष की गणना करना

$\oint _{C}z^{k}\,dz$

अधिकांश अवशेषों की गणना करना आसान बनाता है। चूँकि पथ अभिन्न अभिकलन समरूपी अपरिवर्तनीय हैं, हम जाने देंगे $C$ त्रिज्या वाला वृत्त हो $1$. फिर, निर्देशांक के परिवर्तन का उपयोग करके $z\to e^{i\theta }$ हम उसे ढूंढते हैं

$dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta$

इसलिए हमारा अभिन्न अंग अब इस प्रकार पढ़ता है

$\oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

इस प्रकार, का अवशेष $z^{k}$ यदि पूर्णांक है तो 1 है $k=-1$ और 0 अन्यथा.

लॉरेंट श्रृंखला का सामान्यीकरण

यदि किसी फ़ंक्शन को c के चारों ओर लॉरेंट श्रृंखला विस्तार के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.$$

फिर, बिंदु c पर अवशेष की गणना इस प्रकार की जाती है:

$$\operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz={1 \over 2\pi i}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(z-c)^{n}\,dz=a_{-1}$$

एकपदी के समोच्च समाकलन के परिणामों का उपयोग करना। इसलिए, यदि किसी फ़ंक्शन का लॉरेंट श्रृंखला प्रतिनिधित्व c के आसपास मौजूद है, तो c के आसपास इसका अवशेष के गुणांक द्वारा जाना जाता है $(z-c)^{-1}$ अवधि।

अवशेष प्रमेय में अनुप्रयोग

Main article: Residue theorem

मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए $f$, एक वक्र अभिविन्यास जॉर्डन वक्र के भीतर विलक्षणताओं के एक सीमित सेट के साथ $C$ जो किसी विलक्षणता से नहीं गुजरता है, समोच्च अभिन्न का मान अवशेष प्रमेय के अनुसार दिया गया है, इस प्रकार:

$$\oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (C,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).$$

कहाँ $\operatorname {I} (C,a_{k})$, घुमावदार संख्या, है $1$ अगर $a_{k}$ के अंदरूनी हिस्से में है $C$ और $0$ यदि नहीं, तो इसे सरल बनाया जा रहा है:

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})$$

कहाँ $a_{k}$ समोच्च के भीतर सभी पृथक विलक्षणताएँ हैं $C$.

अवशेषों की गणना

मान लीजिए कि एक छिद्रित डिस्क D = {z : 0 < |z − c| जटिल तल में < R } दिया गया है और f एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है जिसे D पर (कम से कम) परिभाषित किया गया है। c पर f का अवशेष Res(f, c) गुणांक a है₋₁ का (z − c)⁻¹ लॉरेंट श्रृंखला में c के चारों ओर f का विस्तार। इस मान की गणना के लिए विभिन्न विधियाँ मौजूद हैं, और किस विधि का उपयोग करना है यह प्रश्न में फ़ंक्शन और विलक्षणता की प्रकृति पर निर्भर करता है।

अवशेष प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:

$\operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz$

जहां γ वामावर्त तरीके से c के चारों ओर एक वृत्त का पता लगाता है और इससे होकर नहीं गुजरता है या इसके भीतर अन्य विलक्षणताएं शामिल नहीं होती हैं। हम c के चारों ओर त्रिज्या ε का एक वृत्त बनने के लिए पथ γ चुन सकते हैं। चूंकि ε हमारी इच्छानुसार छोटा हो सकता है, इसलिए पृथक विलक्षणताओं की प्रकृति के कारण इसे केवल c की विलक्षणता को शामिल करने के लिए बनाया जा सकता है। इसका उपयोग उन मामलों में गणना के लिए किया जा सकता है जहां अभिन्न की गणना सीधे की जा सकती है, लेकिन आमतौर पर ऐसा होता है कि अवशेषों का उपयोग अभिन्न की गणना को सरल बनाने के लिए किया जाता है, न कि दूसरे तरीके से।

हटाने योग्य विलक्षणताएं

यदि फ़ंक्शन f संपूर्ण डिस्क पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता हो सकता है $|y-c|<R$, फिर Res(f, c) = 0. इसका विपरीत आम तौर पर सत्य नहीं है।

सरल ध्रुव

एक साधारण ध्रुव c पर, f का अवशेष इस प्रकार दिया जाता है:

$\operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).$

यदि वह सीमा मौजूद नहीं है, तो वहां एक आवश्यक विलक्षणता है। यदि यह 0 है तो यह वहां या तो विश्लेषणात्मक है या हटाने योग्य विलक्षणता है। यदि यह अनंत के बराबर है तो क्रम 1 से अधिक है।

ऐसा हो सकता है कि फलन f को दो फलनों के भागफल के रूप में व्यक्त किया जा सके, $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}$, जहां g और h c के पड़ोस (गणित) में h(c) = 0 और h'(c) ≠ 0 के साथ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन हैं। ऐसे मामले में, L'Hôpital के नियम का उपयोग उपरोक्त सूत्र को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है को:

${\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}$

उच्च-क्रम वाले ध्रुवों के लिए सीमा सूत्र

अधिक सामान्यतः, यदि c क्रम n का एक ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है, तो z = c के आसपास f का अवशेष सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

$\operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).$

निम्न-क्रम वाले ध्रुवों के लिए अवशेष निर्धारित करने में यह सूत्र बहुत उपयोगी हो सकता है। उच्च-क्रम वाले ध्रुवों के लिए, गणनाएँ असहनीय हो सकती हैं, और श्रृंखला विस्तार आमतौर पर आसान होता है। आवश्यक विलक्षणता के लिए, ऐसा कोई सरल सूत्र मौजूद नहीं है, और अवशेषों को आमतौर पर श्रृंखला विस्तार से सीधे लिया जाना चाहिए।

अनंत पर अवशेष

सामान्य तौर पर, अनंत पर अवशेष को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).$

यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है:

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,$

तो अनंत पर अवशेष की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

$\operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).$

यदि इसके बजाय

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,$

तो अनंत पर अवशेष है

$\operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).$

होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के लिए पृथक विलक्षणताओं पर अवशेषों और अनंत पर अवशेषों का योग शून्य है जो देता है:

$\operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} \left(f\left(z\right),a_{k}\right).$

श्रृंखला विधियाँ

यदि किसी फ़ंक्शन के हिस्सों या सभी को टेलर श्रृंखला या लॉरेंट श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, जो संभव हो सकता है यदि भागों या पूरे फ़ंक्शन में एक मानक श्रृंखला विस्तार हो, तो अवशेष की गणना करना अन्य तरीकों की तुलना में काफी सरल है। फ़ंक्शन का अवशेष केवल गुणांक द्वारा दिया जाता है $(z-c)^{-1}$ लॉरेंट श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार।

उदाहरण

श्रृंखला विस्तार से अवशेष

उदाहरण 1

उदाहरण के तौर पर, समोच्च अभिन्न पर विचार करें

$\oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz$

जहाँ C 0 के बारे में कुछ सरल बंद वक्र है।

आइए हम श्रृंखला द्वारा एकीकरण के बारे में एक मानक अभिसरण परिणाम का उपयोग करके इस अभिन्न का मूल्यांकन करें। हम टेलर श्रृंखला को स्थानापन्न कर सकते हैं $e^{z}$ एकीकरण में. तब अभिन्न हो जाता है

$\oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.$

चलिए 1/z लाते हैं^{श्रृंखला में 5}कारक। फिर श्रृंखला का समोच्च अभिन्न अंग लिखता है

${\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}$

चूंकि श्रृंखला एकीकरण पथ के समर्थन पर समान रूप से अभिसरण करती है, इसलिए हमें एकीकरण और सारांश का आदान-प्रदान करने की अनुमति है। पथ इंटीग्रल्स की श्रृंखला पिछली गणना के कारण बहुत सरल रूप में ढह जाती है। तो अब प्रत्येक अन्य पद का C के आसपास का समाकलन cz के रूप में नहीं है⁻¹शून्य है, और समाकलन को घटाकर कर दिया गया है

$\oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.$

मान 1/4! ई का अवशेष है^z/z⁵z = 0 पर, और निरूपित किया जाता है

$\operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.$

उदाहरण 2

दूसरे उदाहरण के रूप में, फ़ंक्शन की विलक्षणताओं पर अवशेषों की गणना करने पर विचार करें

$$f(z)={\sin z \over z^{2}-z}$$

जिसका उपयोग कुछ समोच्च इंटीग्रल्स की गणना के लिए किया जा सकता है। ऐसा प्रतीत होता है कि इस फ़ंक्शन में z = 0 पर एक विलक्षणता है, लेकिन यदि कोई हर का गुणनखंड करता है और इस प्रकार फ़ंक्शन को इस प्रकार लिखता है

$$f(z)={\sin z \over z(z-1)}$$

यह स्पष्ट है कि z = 0 पर एकवचनता एक हटाने योग्य विलक्षणता है और फिर z = 0 पर अवशेष इसलिए 0 है। एकमात्र अन्य विलक्षणता z = 1 पर है। z = a के बारे में फ़ंक्शन g(z) के लिए टेलर श्रृंखला की अभिव्यक्ति को याद करें:

$$g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots$$

तो, g(z) = syn z और a = 1 के लिए हमारे पास है

$$\sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .$$

और g(z) = 1/z और a = 1 के लिए हमारे पास है

$${\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .$$

उन दो श्रृंखलाओं को गुणा करने और 1/(z − 1) प्रस्तुत करने से हमें प्राप्त होता है

$${\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .$$

तो z = 1 पर f(z) का अवशेष पाप 1 है।

उदाहरण 3

अगला उदाहरण दिखाता है कि, श्रृंखला विस्तार द्वारा अवशेषों की गणना करते समय, औपचारिक श्रृंखला # लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र द्वारा एक प्रमुख भूमिका निभाई जाती है। होने देना

$$u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}$$

एक संपूर्ण कार्य हो, और चलो

$$v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}$$

अभिसरण की सकारात्मक त्रिज्या के साथ, और साथ ${\textstyle v_{1}\neq 0}$. इसलिए ${\textstyle v(z)}$ एक स्थानीय व्युत्क्रम है ${\textstyle V(z)}$ 0 पर, और ${\textstyle u(1/V(z))}$ 0 पर मेरोमोर्फिक है। तब हमारे पास है:

$$\operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.$$

वास्तव में,

$$\operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}$$

क्योंकि पहली श्रृंखला 0 के आसपास किसी भी छोटे वृत्त पर समान रूप से अभिसरण करती है। लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करना

$$\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},$$

और हमें उपरोक्त अभिव्यक्ति मिलती है। उदाहरण के लिए, यदि $u(z)=z+z^{2}$ और भी $v(z)=z+z^{2}$, तब

$$V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}$$

और

$$u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.$$

पहला पद अवशेष में 1 का योगदान देता है, और दूसरा पद 2 का योगदान देता है क्योंकि यह स्पर्शोन्मुख है $1/z^{2}+2/z$.

ध्यान दें कि, संबंधित मजबूत सममित धारणाओं के साथ ${\textstyle u(z)}$ और ${\textstyle v(z)}$, यह भी अनुसरण करता है

$$\operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),$$

कहाँ ${\textstyle U(z)}$ का स्थानीय व्युत्क्रम है ${\textstyle u(z)}$ 0 पर.

यह भी देखें

• अवशेष प्रमेय किसी फ़ंक्शन के कुछ ध्रुवों के चारों ओर एक समोच्च अभिन्न अंग को उनके अवशेषों के योग से जोड़ता है
• कॉची का अभिन्न सूत्र
• कॉची का अभिन्न प्रमेय
• मित्तग-लेफ़लर का प्रमेय
• समोच्च एकीकरण के तरीके
• मोरेरा का प्रमेय
• जटिल विश्लेषण में आंशिक अंश

संदर्भ

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill.
• Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. (1998). Basic Complex Analysis (3rd ed.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

बाहरी संबंध

• "Residue of an analytic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Complex Residue". MathWorld.