आधा स्थान (ज्यामिति)

ज्यामिति में, एक आधा स्थान या तो दो भागों में से होता है जिसमें एक विमान (ज्यामिति) तीन-आयामी यूक्लिडियन स्थान को विभाजित करता है। यदि अंतरिक्ष दो-आयामी है, तो एक आधा स्थान को आधा-प्लेन (खुला या बंद) कहा जाता है।एक आयामी स्थान में एक आधा स्थान को अर्ध-पंक्ति या रे (गणित) कहा जाता है।

अधिक आम तौर पर, एक आधा स्थान या तो दो भागों में से होता है जिसमें एक हाइपरप्लेन एक एफाइन स्पेस को विभाजित करता है।यही है, हाइपरप्लेन के लिए घटनाएं नहीं हैं, दो उत्तल सेटों (यानी, आधे-स्पेस) में विभाजन (सेट सिद्धांत) हैं, जैसे कि एक बिंदु को एक बिंदु से दूसरे में एक बिंदु को जोड़ने वाले किसी भी उप-स्थान को हाइपरप्लेन को इंटरसेक्ट करना होगा।

एक आधा स्थान या तो ओपन या बंद हो सकता है।एक खुला आधा स्थान या तो दो खुले सेटों में से है, जो कि एक हाइपरप्लेन के घटाव से उत्पन्न होता है।एक बंद आधा स्थान एक खुले आधे स्थान और हाइपरप्लेन का संघ है जो इसे परिभाषित करता है।

एक आधा स्थान एक रैखिक असमानता द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जो रैखिक समीकरण से प्राप्त होता है जो परिभाषित हाइपरप्लेन को निर्दिष्ट करता है। एक सख्त रैखिक असमानता (गणित) एक खुला आधा स्थान निर्दिष्ट करता है:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b$

एक गैर-सख्ती एक बंद आधा स्थान निर्दिष्ट करता है:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b$

यहाँ, एक मानता है कि सभी वास्तविक संख्याओं में से नहीं₁, एक₂, ..., एक_n शून्य हैं।

गुण

• एक आधा स्थान एक उत्तल सेट है।

ऊपरी और निचले आधे स्थान

ओपन (बंद) ऊपरी आधा स्थान सभी का आधा स्थान है ( x ₁, एक्स₂, ..., एक्स_n) ऐसा एक्स_n > 0 () 0)।खुले (बंद) निचले आधे स्थान को समान रूप से परिभाषित किया गया है, यह आवश्यक है कि x की आवश्यकता होती है_n नकारात्मक (गैर-सकारात्मक) बनें।

यह भी देखें

• लाइन (ज्यामिति)
• ऊपरी हाफ-प्लेन
• पॉइंकेरे हाफ-प्लेन मॉडल
• सीगल ऊपरी आधा स्थान
• नेफ बहुभुज, आधे स्थानों का उपयोग करके पॉलीहेड्रा का निर्माण।

बाहरी कड़ियाँ

• "Half-plane", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Half-Space". MathWorld.

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