आवरण (टोपोलॉजी)

गणित में, और विशेष रूप से समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय (गणित) का आवरण (या आच्छादन) $X$ के उपसमूहों का संग्रह है $X$ जिसका सब मिलन है $X$. अधिक औपचारिक रूप से, यदि $C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ उपसमुच्चय का एक अनुक्रमित परिवार है $U_{\alpha }\subset X$, तब $C$ का आवरण है $X$ यदि $\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=X$. इस प्रकार संग्रह $\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ का आवरण है $X$ यदि प्रत्येक तत्व $X$ कम से कम एक सबसेट के अंतर्गत आता है $U_{\alpha }$.

टोपोलॉजी में कवर

कवर आमतौर पर टोपोलॉजी के संदर्भ में उपयोग किए जाते हैं। यदि सेट $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, फिर एक कवर $C$ का $X$ उपसमुच्चय का संग्रह है $\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ का $X$ जिसका मिलन संपूर्ण स्थान है $X$. इस मामले में हम कहते हैं $C$ कवर $X$, या वह सेट करता है $U_{\alpha }$ आवरण $X$.

इसके अलावा यदि $Y$ की एक (सांस्थितिकीय) उपसमष्टि है $X$, फिर का एक आवरण $Y$ उपसमुच्चय का संग्रह है $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ का $X$ जिसका संघ शामिल है $Y$, अर्थात।, $C$ का आवरण है $Y$ यदि

$Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.$

यानी हम कवर कर सकते हैं $Y$ या तो खुले सेट के साथ $Y$ खुद, या कवर $Y$ मूल स्थान में खुले सेट द्वारा $X$.

सी को एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स का कवर होने दें। सी का एक 'सबकवर' सी का एक सबसेट है जो अभी भी एक्स को कवर करता है।

हम कहते हैं कि C एक 'है।open coverयदि इसका प्रत्येक सदस्य एक खुला सेट है (अर्थात प्रत्येक U_α टी में समाहित है, जहां टी एक्स पर टोपोलॉजी है)।

एक्स के एक कवर को स्थानीय रूप से सीमित संग्रह कहा जाता है यदि एक्स के प्रत्येक बिंदु में पड़ोस (टोपोलॉजी) होता है जो कवर में केवल कई सेटों को सीमित करता है। औपचारिक रूप से, सी = {यू_α} यदि किसी के लिए स्थानीय रूप से परिमित है $x\in X,$ x का कुछ पड़ोस N(x) मौजूद है जैसे कि सेट

$\left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}$

परिमित है। X के एक आवरण को 'बिंदु परिमित' कहा जाता है यदि X का प्रत्येक बिंदु आवरण में केवल परिमित रूप से कई सेटों में समाहित है। एक आवरण बिंदु परिमित है यदि यह स्थानीय रूप से परिमित है, हालांकि इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

शोधन

एक आवरण का शोधन $C$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ एक नया आवरण है $D$ का $X$ ऐसा है कि हर सेट में $D$ में कुछ सेट में निहित है $C$. औपचारिक रूप से,

$D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}$ का शोधन है $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ अगर सभी के लिए $\beta \in B$ वहां मौजूद $\alpha \in A$ ऐसा है कि $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.$

दूसरे शब्दों में, एक शोधन मानचित्र है $\phi :B\to A$ संतुष्टि देने वाला $V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}$ हरएक के लिए $\beta \in B.$ उदाहरण के लिए, इस मानचित्र का प्रयोग चेक कोहोलॉजी में किया जाता है $X$. हर उपकवर भी एक शोधन है, लेकिन विपरीत हमेशा सत्य नहीं होता है। कवर में मौजूद सेट से एक सबकवर बनाया जाता है, लेकिन उनमें से कुछ को छोड़ दिया जाता है; जबकि किसी भी सेट से शोधन किया जाता है जो कवर में सेट के सबसेट होते हैं।

शोधन संबंध के कवर के सेट पर एक प्रीऑर्डर है $X$.

सामान्यतया, किसी दिए गए ढांचे का परिशोधन एक और है जो किसी अर्थ में इसे शामिल करता है। एक अंतराल (गणित) का विभाजन करते समय उदाहरण मिलते हैं (एक शोधन $a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}$ प्राणी $a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}$), टोपोलॉजी पर विचार (यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मानक टोपोलॉजी तुच्छ टोपोलॉजी का शोधन है)। उप-विभाजित सरलीकृत परिसरों (एक साधारण परिसर का पहला बैरीसेंट्रिक उपखंड एक शोधन है), स्थिति थोड़ी अलग होती है: महीन परिसर में प्रत्येक सरल भाग मोटे एक में कुछ सरल का चेहरा होता है, और दोनों में समान अंतर्निहित पॉलीहेड्रा होता है।

फिर भी शुद्धिकरण की एक और धारणा है तारा शोधन।

सबकवर

एक उपकवर प्राप्त करने का एक आसान तरीका कवर में दूसरे सेट में निहित सेट को छोड़ना है। विशेष रूप से खुले कवरों पर विचार करें। होने देना ${\mathcal {B}}$ का एक सामयिक आधार हो $X$ और ${\mathcal {O}}$ का खुला आवरण हो $X.$ पहले लो ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.$ फिर ${\mathcal {A}}$ का शोधन है ${\mathcal {O}}$. अगला, प्रत्येक के लिए $A\in {\mathcal {A}},$ हम ए का चयन करते हैं $U_{A}\in {\mathcal {O}}$ युक्त $A$ (पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता है)। फिर ${\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}$ का उपकवर है ${\mathcal {O}}.$ इसलिए एक खुले कवर के उप-कवर की कार्डिनैलिटी किसी भी टोपोलॉजिकल आधार की तरह छोटी हो सकती है। इसलिए विशेष रूप से दूसरी गणनीयता का अर्थ है कि एक स्थान लिंडेलोफ अंतरिक्ष | लिंडेलोफ है।

सघनता

आवरण की भाषा का प्रयोग अक्सर सघनता से संबंधित कई सांस्थितिक गुणों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस X कहा जाता है सघन स्थान: यदि प्रत्येक खुले आवरण में एक परिमित उपकवर होता है, (या समतुल्य है कि प्रत्येक खुले आवरण का एक परिमित शोधन होता है); लिंडेलोफ स्पेस | लिंडेलोफ: यदि प्रत्येक खुले कवर में एक गणनीय उपकवर होता है, (या समकक्ष रूप से प्रत्येक खुले कवर में एक गणनीय शोधन होता है);

मेटाकॉम्पैक्ट स्थान

यदि प्रत्येक खुले आवरण में बिंदु-सीमित खुला शोधन होता है;

पैराकॉम्पैक्ट स्पेस: यदि प्रत्येक ओपन कवर स्थानीय रूप से परिमित ओपन रिफाइनमेंट को स्वीकार करता है।

कुछ और विविधताओं के लिए उपरोक्त लेख देखें।

कवरिंग डायमेंशन

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स को कवरिंग डायमेंशन का कहा जाता है, यदि एक्स के प्रत्येक खुले कवर में एक बिंदु-परिमित खुला शोधन होता है जैसे कि एक्स का कोई बिंदु शोधन में n+1 सेट से अधिक में शामिल नहीं होता है और यदि n न्यूनतम मूल्य है जिसके लिए यह सच है। यदि ऐसा कोई न्यूनतम n मौजूद नहीं है, तो अंतरिक्ष को अनंत आवरण वाला आयाम कहा जाता है।

यह भी देखें

• Atlas (topology)
• Bornology
• Covering space
• Grothendieck topology
• Partition of a set
• Set cover problem
• Star refinement

संदर्भ

1. Introduction to Topology, Second Edition, Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
2. General Topology, John L. Kelley. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.

बाहरी कड़ियाँ

• "Covering (of a set)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]