कक्षा (गतिशीलता)

गणित में, विशेष रूप से गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में, एक कक्षा गतिशील प्रणाली के विकास कार्य से संबंधित बिंदुओं का एक संग्रह है। इसे प्रारंभिक स्थितियों के एक विशेष सेट के तहत गतिशील प्रणाली के प्रक्षेपवक्र द्वारा कवर किए गए चरण स्थान (गतिशील प्रणाली) के सबसेट के रूप में समझा जा सकता है, क्योंकि सिस्टम विकसित होता है। चूंकि एक चरण अंतरिक्ष प्रक्षेपवक्र चरण अंतरिक्ष निर्देशांक के किसी भी सेट के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है, विभिन्न कक्षाओं के लिए चरण अंतरिक्ष में अंतर करना संभव नहीं है, इसलिए एक गतिशील प्रणाली की सभी कक्षाओं का सेट चरण का एक विभाजन (सेट सिद्धांत) है अंतरिक्ष। टोपोलॉजिकल गतिशीलता का उपयोग करके कक्षाओं के गुणों को समझना गतिशील प्रणालियों के आधुनिक सिद्धांत के उद्देश्यों में से एक है।

असतत-समय गतिशील प्रणालियों के लिए, कक्षाएँ अनुक्रम हैं; वास्तविक गतिशील प्रणालियों के लिए, कक्षाएँ वक्र हैं; और होलोमोर्फिक फ़ंक्शन डायनेमिक सिस्टम के लिए, कक्षाएँ रीमैन सतहें हैं।

परिभाषा

सरल हार्मोनिक गति में द्रव्यमान-वसंत प्रणाली की आवधिक कक्षा को दर्शाने वाला आरेख। (यहां दो आरेखों को संरेखित करने के लिए वेग और स्थिति अक्षों को मानक सम्मेलन से उलट दिया गया है)

टी एक समूह (गणित), एम एक सेट (गणित) और Φ विकास फ़ंक्शन के साथ एक गतिशील प्रणाली (टी, एम, Φ) दी गई है

$\Phi :U\to M$ कहाँ $U\subset T\times M$ साथ $\Phi (0,x)=x$

हम परिभाषित करते हैं

$I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},$

फिर सेट

$\gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M$

x के माध्यम से कक्षा कहलाती है। वह कक्षा जिसमें एक बिंदु होता है, स्थिर कक्षा कहलाती है। यदि कोई मौजूद है तो एक गैर-स्थिर कक्षा को बंद या आवधिक कहा जाता है $t\neq 0$ में $I(x)$ ऐसा है कि

$\Phi (t,x)=x$.

वास्तविक गतिशील प्रणाली

एक वास्तविक गतिशील प्रणाली (आर, एम, Φ) को देखते हुए, I(x) वास्तविक संख्याओं में एक खुला अंतराल है, अर्थात $I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})$. एम में किसी भी एक्स के लिए

$\gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}$

x और के माध्यम से सकारात्मक अर्ध-कक्षा कहा जाता है

$\gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}$

x के माध्यम से ऋणात्मक अर्ध-कक्षा कहा जाता है।

असतत समय गतिशील प्रणाली

समय-अपरिवर्तनीय विकास फ़ंक्शन के साथ एक अलग समय गतिशील प्रणाली के लिए $f$:

x की आगे की कक्षा सेट है:

$\gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}$

यदि फ़ंक्शन उलटा है, तो x की पिछली कक्षा सेट है:

$\gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}$

और x की कक्षा सेट है:

$\gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}$

कहाँ :

• $f$ विकास कार्य है $f:X\to X$
• तय करना $X$ गतिशील स्थान है,
• $t$ पुनरावृत्ति की संख्या है, जो प्राकृतिक संख्या है और $t\in T$
• $x$ सिस्टम की प्रारंभिक अवस्था है और $x\in X$

सामान्य गतिशील प्रणाली

एक सामान्य गतिशील प्रणाली के लिए, विशेष रूप से सजातीय गतिशीलता में, जब किसी के पास एक अच्छा समूह होता है $G$ संभाव्यता स्थान पर कार्य करना $X$ माप-संरक्षण तरीके से, एक कक्षा $G.x\subset X$ यदि स्टेबलाइज़र को आवधिक (या समतुल्य, बंद) कहा जाएगा $Stab_{G}(x)$ अंदर एक जाली है $G$.

इसके अलावा, एक संबंधित शब्द एक परिबद्ध कक्षा है, जब सेट होता है $G.x$ अंदर प्री-कॉम्पैक्ट है $X$.

कक्षाओं का वर्गीकरण अन्य गणितीय क्षेत्रों के संबंध में दिलचस्प प्रश्नों को जन्म दे सकता है, उदाहरण के लिए ओपेनहेम अनुमान (मार्गुलिस द्वारा सिद्ध) और लिटिलवुड अनुमान (लिंडेनस्ट्रॉस द्वारा आंशिक रूप से सिद्ध) इस प्रश्न से निपट रहे हैं कि क्या प्रत्येक परिबद्ध कक्षा पर कुछ प्राकृतिक क्रिया होती है सजातीय स्थान $SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )$ वास्तव में यह आवधिक है, यह अवलोकन रघुनाथन के कारण है और अलग-अलग भाषा में कैसल्स और स्विनर्टन-डायर के कारण है। ऐसे प्रश्न गहराई से माप-वर्गीकरण प्रमेयों से संबंधित हैं।

टिप्पणियाँ

It is often the case that the evolution function can be understood to compose the elements of a group, in which case the group-theoretic orbits of the group action are the same thing as the dynamical orbits.

उदाहरण

• 

  जटिल द्विघात बहुपद पर आधारित असतत गतिशील प्रणाली की क्रांतिक कक्षा। यह गुणक = 0.99993612384259 के साथ कमजोर रूप से आकर्षक निश्चित बिंदु (गणित) की ओर जाता है

• जूलिया ने p(z)= z^ सेट किया
• 3+(1.0149042485835864102+0.10183008497976470119i)*z; (zoom).png

  क्रांतिक कक्षा कमजोर रूप से आकर्षित बिंदु की ओर प्रवृत्त होती है। कोई व्यक्ति निश्चित बिंदु को आकर्षित करने से लेकर निश्चित बिंदु को प्रतिकर्षित करने तक सर्पिल को देख सकता है (z= 0) जो स्तर वक्रों के उच्च घनत्व वाला स्थान है।

• संतुलन बिंदु की कक्षा एक स्थिर कक्षा होती है।

कक्षाओं की स्थिरता

कक्षाओं का एक बुनियादी वर्गीकरण है

• स्थिर कक्षाएँ या निश्चित बिंदु
• आवधिक कक्षाएँ
• गैर-स्थिर और गैर-आवधिक कक्षाएँ

एक कक्षा दो तरह से बंद होने में विफल हो सकती है। यदि यह (गणित) को एक आवधिक कक्षा तक सीमित करता है तो यह एक स्पर्शोन्मुख आवधिक कक्षा हो सकती है। ऐसी कक्षाएँ बंद नहीं होती हैं क्योंकि वे वास्तव में कभी दोहराई नहीं जाती हैं, बल्कि वे मनमाने ढंग से दोहराई जाने वाली कक्षा के करीब हो जाती हैं। एक कक्षा अराजकता सिद्धांत भी हो सकती है। ये कक्षाएँ मनमाने ढंग से प्रारंभिक बिंदु के करीब आती हैं, लेकिन कभी भी एक आवधिक कक्षा में परिवर्तित होने में विफल रहती हैं। वे प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता प्रदर्शित करते हैं, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक मूल्य में छोटे अंतर कक्षा के भविष्य के बिंदुओं में बड़े अंतर का कारण बनेंगे।

कक्षाओं के अन्य गुण भी हैं जो विभिन्न वर्गीकरण की अनुमति देते हैं। एक कक्षा अतिशयोक्तिपूर्ण संतुलन बिंदु हो सकती है यदि आस-पास के बिंदु तेजी से कक्षा के पास आते हैं या उससे दूर जाते हैं।

यह भी देखें

• घुमंतू सेट
• चरण स्थान विधि
• मकड़ी के जाले की साजिश या वर्हुल्स्ट आरेख
• जटिल द्विघात मानचित्रण और कक्षा के गुणक के आवधिक बिंदु
• कक्षा चित्र

संदर्भ

• Hale, Jack K.; Koçak, Hüseyin (1991). "Periodic Orbits". Dynamics and Bifurcations. New York: Springer. pp. 365–388. ISBN 0-387-97141-6.
• Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1996). Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge. ISBN 0-521-57557-5.
• Perko, Lawrence (2001). "Periodic Orbits, Limit Cycles and Separatrix Cycles". Differential Equations and Dynamical Systems (Third ed.). New York: Springer. pp. 202–211. ISBN 0-387-95116-4.