गेंद (गणित)

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, एक गेंद एक गोले से घिरा आयतन है

गणित में, एक गेंद एक गोले से घिरी हुई ठोस ज्यामिति होती है; इसे ठोस गोला भी कहते हैं।^[1] यह एक बंद गेंद (गोले का निर्माण करने वाले सीमा बिंदु ओं सहित) या एक खुली गेंद (उन्हें छोड़कर) हो सकती है।

इन अवधारणाओं को न केवल त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बल्कि निचले और उच्च आयामों के लिए और सामान्य रूप से मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए भी परिभाषित किया गया है। एक गेंद इन $n$ आयामों को हाइपरबॉल कहा जाता है या $n$ -बॉल और एक हाइपरस्फेयर या एन-स्फीयर से घिरा है|( $n -1$ )-वृत्त। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन विमान में एक गेंद एक डिस्क (गणित) के समान है, जो एक वृत्त से घिरा क्षेत्र है। यूक्लिडियन स्पेस|यूक्लिडियन 3-स्पेस में, एक गेंद को 2-गोले|2-आयामी क्षेत्र से घिरा हुआ आयतन माना जाता है। एक-आयामी अंतरिक्ष में, एक गेंद एक रेखा खंड है।

अन्य संदर्भों में, जैसे कि यूक्लिडियन ज्यामिति और अनौपचारिक उपयोग में, कभी-कभी गोले का अर्थ गेंद के लिए उपयोग किया जाता है। टोपोलॉजी के क्षेत्र में बंद $n$ -आयामी गेंद को अक्सर के रूप में दर्शाया जाता है $B^{n}$ या $D^{n}$ जबकि खुला $n$ -आयामी गेंद है $\operatorname {Int} B^{n}$ या $\operatorname {Int} D^{n}$ .

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में

यूक्लिडियन में $n$ -स्पेस, एक (खुला) $n$ त्रिज्या की गेंद $r$ और केंद्र $x$ से कम दूरी के सभी बिंदुओं का समुच्चय है $r$ से $x$ . एक बंद $n$ त्रिज्या की गेंद $r$ से कम या उसके बराबर दूरी के सभी बिंदुओं का समुच्चय है $r$ से दूर $x$ .

यूक्लिडियन में $n$ -स्पेस, हर गेंद एक अति क्षेत्र से घिरी होती है। गेंद एक बाउंडेड इंटरवल (गणित) है जब $n = 1$ , एक डिस्क (गणित) है जो एक वृत्त से घिरा होता है जब $n = 2$ , और एक गोले से घिरा होता है जब $n = 3$ .

वॉल्यूम

 $n$ n}} त्रिज्या की एक यूक्लिडियन गेंद का-आयामी आयतन  $R$  में  $n$ -आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष है:^[2]

V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n},

कहाँ पे

Γ

लियोनहार्ड यूलर का गामा समारोह है (जिसे भिन्नात्मक तर्कों के लिए कारख़ाने का फ़ंक्शन के विस्तार के रूप में माना जा सकता है)। पूर्णांकों और आधे पूर्णांकों पर गामा फ़ंक्शन के विशेष मानों के लिए स्पष्ट सूत्रों का उपयोग करने से यूक्लिडियन गेंद के आयतन के लिए सूत्र मिलते हैं जिन्हें गामा फ़ंक्शन के मूल्यांकन की आवश्यकता नहीं होती है। य़े हैं:

{\begin{aligned}V_{2k}(R)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(R)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}\,.\end{aligned}}

विषम-विमीय आयतन के सूत्र में, दोहरा भाज्य

(2 k + 1)!!

विषम पूर्णांकों के लिए परिभाषित किया गया है

2 k + 1

जैसा

(2 k + 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 k - 1) \cdot (2 k + 1)

.

सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान में

होने देना $(M, d)$ एक मीट्रिक स्थान हो, अर्थात् एक सेट $M$ एक मीट्रिक (गणित) (दूरी फ़ंक्शन) के साथ $d$ . त्रिज्या की खुली (मीट्रिक) गेंद $r > 0$ एक बिंदु पर केंद्रित $p$ में $M$ , आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $B r (p)$ या $B (p; r)$ , द्वारा परिभाषित किया गया है

B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},

बंद (मीट्रिक) गेंद, जिसे द्वारा दर्शाया जा सकता है

B r [p]

या

B [p; r]

, द्वारा परिभाषित किया गया है

B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.

विशेष रूप से ध्यान दें कि एक गेंद (खुली या बंद) में हमेशा शामिल होता है

p

स्वयं, क्योंकि परिभाषा की आवश्यकता है

r > 0

.

एक इकाई गेंद (खुली या बंद) त्रिज्या 1 की एक गेंद है।

मीट्रिक स्थान का एक उपसमुच्चय बंधा हुआ सेट होता है यदि वह किसी गेंद में समाहित हो। एक समुच्चय पूर्णतः परिबद्ध होता है, यदि कोई धनात्मक त्रिज्या दी गई हो, तो वह उस त्रिज्या की बहुत-सी सूक्ष्म गेंदों से आच्छादित होता है।

एक मीट्रिक स्थान की खुली गेंदें एक आधार (टोपोलॉजी) के रूप में काम कर सकती हैं, जिससे इस स्थान को एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया जा सकता है, जिसके खुले सेट खुली गेंदों के सभी संभावित संघ (सेट सिद्धांत) हैं। मीट्रिक स्थान पर इस टोपोलॉजी को मीट्रिक द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी कहा जाता है $d$ .

होने देना $B r (p)$ खुली गेंद के बंद होने (टोपोलॉजी) को निरूपित करें $B r (p)$ इस टोपोलॉजी में। जबकि ऐसा हमेशा होता है कि $B r (p) \subseteq B r (p) \subseteq B r [p]$ , यह है not हमेशा ऐसा होता है कि $B r (p) = B r [p]$ . उदाहरण के लिए, एक मीट्रिक स्थान में $X$ असतत मीट्रिक के साथ, एक है $B 1 (p) = {p}$ तथा $B 1 [p] = X$ , किसी के लिए $p \in X$ .

मानक सदिश स्थानों में

कोई भी मानक सदिश स्थान $V$ आदर्श के साथ $\|\cdot \|$ मीट्रिक के साथ एक मीट्रिक स्थान भी है $d(x,y)=\|x-y\|.$ ऐसे स्थानों में, एक मनमाना गेंद $B_{r}(y)$ अंकों का $x$ एक बिंदु के आसपास $y$ से कम की दूरी के साथ $r$ एक स्केल के रूप में देखा जा सकता है (द्वारा $r$ ) और अनुवादित (द्वारा .) $y$ ) यूनिट बॉल की कॉपी $B_{1}(0).$ ऐसी केंद्रित गेंदों के साथ $y=0$ के साथ निरूपित कर रहे हैं $B(r).$ पहले चर्चा की गई यूक्लिडियन गेंदें एक आदर्श सदिश स्थान में गेंदों का एक उदाहरण हैं।

$p$ -आदर्श

कार्तीय स्थान में $R n$ पी-मानदंड के साथ| $p$ -आदर्श $L p$ , वह है

\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},

त्रिज्या के साथ मूल के चारों ओर एक खुली गेंद

r

सेट द्वारा दिया जाता है

B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.

के लिये

n = 2

, एक 2-आयामी विमान में

\mathbb {R} ^{2}

, गेंदों के अनुसार

L 1

-नॉर्म (अक्सर टैक्सीकैब ज्यामिति या मैनहट्टन मीट्रिक कहा जाता है) निर्देशांक अक्षों के समानांतर उनके विकर्णों के साथ वर्गों से घिरे होते हैं; उनके अनुसार

L \infty

-नॉर्म, जिसे चेबीशेव दूरी मीट्रिक भी कहा जाता है, उनकी सीमाओं के रूप में समन्वय अक्षों के समानांतर उनके पक्ष होते हैं।

L 2

>}}-मानदंड, जिसे यूक्लिडियन मीट्रिक के रूप में जाना जाता है, मंडलियों के भीतर और अन्य मूल्यों के लिए प्रसिद्ध डिस्क उत्पन्न करता है

p

, संबंधित गेंदें लैमे कर्व्स (हाइपोएलिप्स या हाइपरेलिप्स) से घिरे क्षेत्र हैं।

के लिये $n = 3$ , द $L 1$ - गेंदें ऑक्टाहेड्रा के भीतर कुल्हाड़ियों-संरेखित शरीर के विकर्णों के साथ होती हैं, the $L \infty$ -बॉल कुल्हाड़ियों-संरेखित किनारों वाले क्यूब्स के भीतर होते हैं, और गेंदों की सीमाओं के लिए $L p$ साथ $p > 2$ सुपरेलिप्सोइड हैं। स्पष्टतः, $p = 2$ सामान्य क्षेत्रों के भीतर उत्पन्न करता है।

सामान्य उत्तल मानदंड

अधिक आम तौर पर, किसी भी केंद्रीय समरूपता , बंधे हुए सेट, खुले सेट और उत्तल सेट सबसेट को देखते हुए $X$ का $R n$ , कोई एक मानदंड (गणित) को परिभाषित कर सकता है $R n$ जहां सभी गेंदों का अनुवाद किया जाता है और समान रूप से स्केल की गई प्रतियां $X$ . ध्यान दें कि यदि खुले उपसमुच्चय को बंद उपसमुच्चय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह प्रमेय मान्य नहीं है, क्योंकि मूल बिंदु योग्य है, लेकिन एक मानदंड को परिभाषित नहीं करता है $R n$ .

टोपोलॉजिकल स्पेस में

कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस में गेंदों के बारे में बात कर सकता है $X$ , जरूरी नहीं कि एक मीट्रिक द्वारा प्रेरित हो। एक (खुला या बंद) $n$ -आयामी टोपोलॉजिकल बॉल $X$ का कोई उपसमुच्चय है $X$ जो एक (खुले या बंद) यूक्लिडियन के लिए होमोमोर्फिक है $n$ -गेंद। संस्थानिक $n$ -बॉल संयोजक टोपोलॉजी में कोशिका संकुल के बिल्डिंग ब्लॉक्स के रूप में महत्वपूर्ण हैं।

कोई भी खुला टोपोलॉजिकल $n$ -बॉल कार्टेशियन स्पेस के लिए होमियोमॉर्फिक है $R n$ और खुले हाइपरक्यूब के लिए|इकाई $n$ -क्यूब (हाइपरक्यूब) $(0, 1) n \subseteq R n$ . कोई भी बंद टोपोलॉजिकल $n$ -बॉल बंद करने के लिए होमोमोर्फिक है $n$ -क्यूब $[0, 1] n$ .

एक $n$ -बॉल an . के लिए होमियोमॉर्फिक है $m$ -बॉल अगर और केवल अगर $n = m$ . एक खुले . के बीच होमोमोर्फिज्म $n$ -गेंद $B$ तथा $R n$ दो वर्गों में वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसे दो संभावित अभिविन्यास (गणित) के साथ पहचाना जा सकता है $B$ .

एक टोपोलॉजिकल $n$ -बॉल को कई गुना अलग करने योग्य नहीं होना चाहिए; यदि यह चिकना है, तो इसे यूक्लिडियन से भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है $n$ -गेंद।

क्षेत्र

एक गेंद के लिए कई विशेष क्षेत्रों को परिभाषित किया जा सकता है:

गोलाकार टोपी , एक तल से घिरी हुई
गोलाकार क्षेत्र , गोले के केंद्र में शीर्ष के साथ एक शंक्वाकार सीमा से घिरा हुआ है
गोलाकार खंड , समानांतर विमानों की एक जोड़ी से घिरा
गोलाकार खोल , भिन्न त्रिज्या के दो संकेंद्रित गोले से घिरा हुआ है
गोलाकार कील , एक गोले के केंद्र और गोले की सतह से गुजरने वाले दो विमानों से घिरी हुई

यह भी देखें

गेंद - साधारण अर्थ
डिस्क (गणित)
औपचारिक गेंद , ऋणात्मक त्रिज्या का विस्तार
पड़ोस (गणित)
गोलाकार, एक समान ज्यामितीय आकृति
3-गोला
3-क्षेत्र | $n$ -स्फीयर, या हाइपरस्फीयर
सिकंदर सींग वाला गोला
कई गुना
एन-बॉल का आयतन|एन का आयतन $n$ -गेंद
अष्टफलक - में एक 3-गेंद $l 1$ मीट्रिक

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची

यूक्लिडियन स्पेस
घन ज्यामिति
अंक शास्त्र
वृत्त
मीट्रिक स्थान
घेरा
मात्रा
2-क्षेत्र
एक आयामी स्थान
अंतराल (गणित)
गामा फ़ंक्शन के विशेष मूल्य
यूनिट बॉल
पूरी तरह से बंधे
क्लोजर (टोपोलॉजी)
नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस
खुला सेट
भिन्नरूपी
अलग करने योग्य कई गुना
विविध
सिकंदर सींग वाले गोले

संदर्भ

↑ Sūgakkai, Nihon (1993). गणित का विश्वकोश शब्दकोश. MIT Press. ISBN 9780262590204.
↑ Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. [1] Release 1.0.6 of 2013-05-06.

Smith, D. J.; Vamanamurthy, M. K. (1989). "How small is a unit ball?". Mathematics Magazine. 62 (2): 101–107. doi:10.1080/0025570x.1989.11977419. JSTOR 2690391.
Dowker, J. S. (1996). "Robin Conditions on the Euclidean ball". Classical and Quantum Gravity. 13 (4): 585–610. arXiv:hep-th/9506042. Bibcode:1996CQGra..13..585D. doi:10.1088/0264-9381/13/4/003. S2CID 119438515.
Gruber, Peter M. (1982). "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball". Israel Journal of Mathematics. 42 (4): 277–283. doi:10.1007/BF02761407.

[1] Sūgakkai, Nihon (1993). गणित का विश्वकोश शब्दकोश. MIT Press. ISBN 9780262590204.

[2] Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. [1] Release 1.0.6 of 2013-05-06.

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गेंद (गणित)

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