डिरिचलेट संवलन (डिरिचलेट कनवल्शन)

गणित में, डिरिचलेट कनवल्शन अंकगणितीय कार्य के लिए परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है; यह संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण है। यह पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट द्वारा विकसित किया गया था।

परिभाषा

अगर $f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ धनात्मक पूर्णांकों से जटिल संख्याओं तक दो अंकगणितीय कार्य हैं, डिरिचलेट कनवल्शन f ∗ g द्वारा परिभाषित एक नया अंकगणितीय कार्य है:

$(f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b)$

जहां योग n के सभी धनात्मक विभाजकों d, या समान रूप से सभी अलग-अलग जोड़ियों पर फैला हुआ है (a, b) धनात्मक पूर्णांकों का जिसका गुणनफल n है।

यह उत्पाद डिरिचलेट श्रृंखला के अध्ययन में स्वाभाविक रूप से होता है जैसे रीमैन जीटा फ़ंक्शन। यह उनके गुणांकों के संदर्भ में दो डिरिचलेट श्रृंखला के गुणन का वर्णन करता है:

$\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).$

गुण

अंकगणितीय कार्यों का सेट एक क्रमविनिमेय वलय बनाता है,Dirichlet ring, बिंदुवार जोड़ के तहत, जहां f + g द्वारा परिभाषित किया गया है (f + g)(n) = f(n) + g(n), और डिरिचलेट कनवल्शन। गुणात्मक पहचान इकाई फ़ंक्शन ε द्वारा परिभाषित है ε(n) = 1 अगर n = 1 और ε(n) = 0 अगर n > 1. इस वलय की इकाई (रिंग थ्योरी) (उल्टे तत्व) अंकगणितीय फलन f हैं f(1) ≠ 0.

विशेष रूप से, डिरिचलेट कनवल्शन साहचर्य है,

$(f*g)*h=f*(g*h),$

जोड़ पर वितरण

$f*(g+h)=f*g+f*h$,

क्रमविनिमेयता,

$f*g=g*f$,

और एक पहचान तत्व है,

$f*\varepsilon$ = $\varepsilon *f=f$.

इसके अलावा, प्रत्येक के लिए $f$ रखना $f(1)\neq 0$, एक अंकगणितीय कार्य मौजूद है $f^{-1}$ साथ $f*f^{-1}=\varepsilon$, इसको कॉल किया गयाDirichlet inverse का $f$.

दो गुणक कार्यों का डिरिचलेट कनवल्शन फिर से गुणक होता है, और हर शून्य गुणक फलन में एक डिरिचलेट व्युत्क्रम होता है जो गुणक भी होता है। दूसरे शब्दों में, गुणात्मक कार्य डिरिचलेट रिंग के उलटे तत्वों के समूह का एक उपसमूह बनाते हैं। हालाँकि सावधान रहें कि दो गुणक कार्यों का योग गुणक नहीं है (चूंकि $(f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1$), इसलिए गुणक कार्यों का सबसेट डिरिचलेट रिंग का उपसमूह नहीं है। गुणात्मक कार्यों पर लेख महत्वपूर्ण गुणक कार्यों के बीच कई कनवल्शन संबंधों को सूचीबद्ध करता है।

अंकगणितीय कार्यों पर एक और ऑपरेशन बिंदुवार गुणन है: fg द्वारा परिभाषित किया गया है (fg)(n) = f(n) g(n). एक पूर्ण गुणक फलन दिया गया है $h$, द्वारा बिंदुवार गुणा $h$ डिरिचलेट कनवल्शन पर वितरित करता है: $(f*g)h=(fh)*(gh)$. दो पूरी तरह से गुणा करने वाले कार्यों का कनवल्शन गुणक है, लेकिन जरूरी नहीं कि पूरी तरह से गुणक हो।

उदाहरण

इन सूत्रों में, हम निम्नलिखित अंकगणितीय कार्यों का उपयोग करते हैं:

• $\varepsilon$ गुणक पहचान है: $\varepsilon (1)=1$, अन्यथा 0 ($\varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor$).
• $1$ मूल्य 1 के साथ निरंतर कार्य है: $1(n)=1$ सभी के लिए $n$. ध्यान रखें कि $1$ पहचान नहीं है। (कुछ लेखक घटना बीजगणित # विशेष_तत्व के रूप में $\zeta$ क्योंकि संबद्ध डिरिचलेट श्रृंखला रिमेंन जीटा फलन है।)
• $1_{C}$ के लिए $C\subset \mathbb {N}$ एक सेट सूचक समारोह है: $1_{C}(n)=1$ आईएफएफ $n\in C$, अन्यथा 0.
• ${\text{Id}}$ मान n के साथ पहचान कार्य है: ${\text{Id}}(n)=n$.
• ${\text{Id}}_{k}$kth पावर फंक्शन है: ${\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}$.

निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं:

• $1*\mu =\varepsilon$, निरंतर फलन का डिरिचलेट व्युत्क्रम $1$ मोबियस फ़ंक्शन है। इस तरह:
• $g=f*1$ अगर और केवल अगर $f=g*\mu$, मोबियस उलटा सूत्र
• $\sigma _{k}={\text{Id}}_{k}*1$, भाजक फलन|kth-शक्ति-की-भाजक योग फलन σ_k
• $\sigma ={\text{Id}}*1$, सम-विभाजक कार्य σ = σ₁
• $d=1*1$ , संख्या-के-भाजक कार्य d(n) = σ₀
• ${\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu$, σ के सूत्रों के मोबियस व्युत्क्रम द्वारा_k, σ, और डी
• ${\text{Id}}=\sigma *\mu$
• $1=d*\mu$
• $\phi *1={\text{Id}}$ , यूलर के टोटिएंट फंक्शन#डिवाइजर योग|यूलर के टोटिएंट फंक्शन के तहत प्रदान किया गया
• $\phi ={\text{Id}}*\mu$ , मोबियस उलटा द्वारा
• $\sigma =\phi *d$ , के दोनों ओर 1 को संलिप्त करने से $\phi *1={\text{Id}}$
• $\lambda *|\mu |=\varepsilon$ जहां λ लिउविल का फलन है
• $\lambda *1=1_{\text{Sq}}$जहाँ Sq = {1, 4, 9, ...} वर्गों का समुच्चय है
• ${\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon$
• $d^{3}*1=(d*1)^{2}$
• $J_{k}*1={\text{Id}}_{k}$, जॉर्डन का कुल कार्य
• $({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}$
• $\Lambda *1=\log$, कहाँ $\Lambda$ मैंगोल्ड्ट फंक्शन है | मैंगोल्ड्ट फंक्शन
• $|\mu |\ast 1=2^{\omega },$ कहाँ $\omega (n)$ n के अलग-अलग अभाज्य गुणकों की गणना करने वाला प्रधान ओमेगा कार्य है
• $\Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}$, प्रमुख शक्तियों का विशिष्ट कार्य।
• $\omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }$ कहाँ $1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}$ primes का विशिष्ट कार्य है।

यह अंतिम पहचान दर्शाती है कि प्रधान-गणना समारोह योगात्मक समारोह द्वारा दिया जाता है

$\pi (x)=\sum _{n\leq x}(\omega \ast \mu )(n)=\sum _{d=1}^{x}\omega (d)M\left(\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor \right)$ कहाँ $M(x)$ मेर्टेंस कार्य करता है है और $\omega$ ऊपर से विशिष्ट प्रधान कारक गणना कार्य है। यह विस्तार विभाजक योग पहचान पृष्ठ (इन राशियों के लिए एक मानक ट्रिक) पर दिए गए डिरिचलेट कनवल्शन के योग के लिए पहचान से अनुसरण करता है।

डिरिचलेट व्युत्क्रम

उदाहरण

एक अंकगणितीय समारोह दिया $f$ इसका डिरिचलेट व्युत्क्रम $g=f^{-1}$ पुनरावर्ती रूप से गणना की जा सकती है: का मान $g(n)$ की दृष्टि से है $g(m)$ के लिए $m<n$.

के लिए $n=1$:

$(f*g)(1)=f(1)g(1)=\varepsilon (1)=1$, इसलिए

$g(1)=1/f(1)$. इसका अर्थ यह है कि $f$ डिरिचलेट व्युत्क्रम if नहीं है $f(1)=0$.

के लिए $n=2$:

$(f*g)(2)=f(1)g(2)+f(2)g(1)=\varepsilon (2)=0$,

$g(2)=-(f(2)g(1))/f(1)$,

के लिए $n=3$:

$(f*g)(3)=f(1)g(3)+f(3)g(1)=\varepsilon (3)=0$,

$g(3)=-(f(3)g(1))/f(1)$,

के लिए $n=4$:

$(f*g)(4)=f(1)g(4)+f(2)g(2)+f(4)g(1)=\varepsilon (4)=0$,

$g(4)=-(f(4)g(1)+f(2)g(2))/f(1)$,

और सामान्य तौर पर के लिए $n>1$,

$g(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d).$

गुण

डिरिचलेट व्युत्क्रम धारण के निम्नलिखित गुण:

• फलन f का डाइरिचलेट व्युत्क्रम होता है यदि और केवल यदि f(1) ≠ 0.
• गुणक फलन का डिरिचलेट व्युत्क्रम पुन: गुणक होता है।
• डिरिचलेट कनवल्शन का डिरिचलेट व्युत्क्रम प्रत्येक फ़ंक्शन के व्युत्क्रमों का कनवल्शन है: $(f\ast g)^{-1}=f^{-1}\ast g^{-1}$.
• एक गुणक फलन f पूरी तरह से गुणक है यदि और केवल यदि $f^{-1}(n)=\mu (n)f(n)$.
• यदि f पूर्णतया गुणक है तो $(f\cdot g)^{-1}=f\cdot g^{-1}$ जब कभी भी $g(1)\neq 0$ और कहाँ $\cdot$ कार्यों के बिंदुवार गुणन को दर्शाता है।

अन्य सूत्र

Arithmetic function	Dirichlet inverse:
Constant function with value 1	Möbius function μ
$n^{\alpha }$	$\mu (n)\,n^{\alpha }$
Liouville's function λ	Absolute value of Möbius function |μ|
Euler's totient function $\varphi$	$\sum _{d|n}d\,\mu (d)$
The generalized sum-of-divisors function $\sigma _{\alpha }$	$\sum _{d|n}d^{\alpha }\mu (d)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)$

किसी अंकगणितीय फलन f के डिरिचलेट व्युत्क्रम के लिए एक सटीक, गैर-पुनरावर्ती सूत्र विभाजक योग पहचान # अंकगणितीय फलन के डिरिचलेट व्युत्क्रम में दिया गया है। एफ के डिरिचलेट व्युत्क्रम के लिए एक अधिक विभाजन सिद्धांत अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है

$f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{\Omega (n)}\left\{\sum _{{\lambda _{1}+2\lambda _{2}+\cdots +k\lambda _{k}=n} \atop {\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}|n}}{\frac {(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})!}{1!2!\cdots k!}}(-1)^{k}f(\lambda _{1})f(\lambda _{2})^{2}\cdots f(\lambda _{k})^{k}\right\}.$

निम्न सूत्र एक व्युत्क्रमणीय अंकगणितीय फलन f के डिरिचलेट व्युत्क्रम को व्यक्त करने का एक संक्षिप्त तरीका प्रदान करता है:

$f^{-1}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(f(1)\varepsilon -f)^{*k}}{f(1)^{k+1}}}$ जहां अभिव्यक्ति $(f(1)\varepsilon -f)^{*k}$ अंकगणितीय समारोह के लिए खड़ा है $f(1)\varepsilon -f$ स्वयं के साथ k बार जटिल। ध्यान दें कि, एक निश्चित सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$, अगर $k>\Omega (n)$ तब $(f(1)\varepsilon -f)^{*k}(n)=0$ , यह है क्योंकि $f(1)\varepsilon (1)-f(1)=0$ और n को k धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के प्रत्येक तरीके में एक 1 अवश्य शामिल होना चाहिए, इसलिए दाहिनी ओर की श्रृंखला प्रत्येक स्थिर धनात्मक पूर्णांक n के लिए अभिसरित होती है।

डिरिचलेट श्रृंखला

यदि f एक अंकगणितीय फलन है, तो डिरिचलेट श्रेणी जनक फलन किसके द्वारा परिभाषित किया जाता है

$DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

उन जटिल संख्या तर्कों के लिए जिनके लिए श्रृंखला अभिसरण करती है (यदि कोई हो)। डिरिचलेट श्रृंखला का गुणन निम्नलिखित अर्थों में डिरिचलेट कनवल्शन के साथ संगत है:

$DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,$

सभी एस के लिए जिसके लिए बाएं हाथ की दोनों श्रृंखलाएं अभिसरित होती हैं, उनमें से एक कम से कम अभिसारी होती है बिल्कुल (ध्यान दें कि बायीं ओर की दोनों श्रृंखलाओं के साधारण अभिसरण का मतलब दाहिने हाथ की ओर का अभिसरण नहीं है!)। यदि कोई डिरिचलेट श्रृंखला को फूरियर रूपांतरण के रूप में सोचता है तो यह कनवल्शन प्रमेय के समान है।

संबंधित अवधारणाएं

एकात्मक भाजक, द्वि-एकात्मक भाजक | द्वि-एकात्मक या अनन्त भाजक के कनवल्शन में विभाजकों का प्रतिबंध समान कम्यूटेटिव ऑपरेशंस को परिभाषित करता है जो डिरिचलेट कनवल्शन के साथ कई विशेषताएं साझा करता है (मोबियस इनवर्जन का अस्तित्व, मल्टीप्लिकेटिविटी की दृढ़ता, टोटिएंट्स की परिभाषाएं, संबंधित अभाज्य संख्याओं पर यूलर-प्रकार के उत्पाद सूत्र, आदि)।

डिरिचलेट कनवल्शन विभाज्यता द्वारा आदेशित धनात्मक पूर्णांकों के लिए आपतित बीजगणित का कनवल्शन है।

यह भी देखें

• अंकगणितीय कार्य
• विभाजक योग पहचान
• मोबियस उलटा सूत्र

संदर्भ

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Chan, Heng Huat (2009). Analytic Number Theory for Undergraduates. Monographs in Number Theory. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4271-36-3.
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 38. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Cohen, Eckford (1959). "A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion". Pacific J. Math. Vol. 9, no. 1. pp. 13–23. MR 0109806.
• Cohen, Eckford (1960). "Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer". Mathematische Zeitschrift. Vol. 74. pp. 66–80. doi:10.1007/BF01180473. MR 0112861.
• Cohen, Eckford (1960). "The number of unitary divisors of an integer". American Mathematical Monthly. Vol. 67, no. 9. pp. 879–880. MR 0122790.
• Cohen, Graeme L. (1990). "On an integers' infinitary divisors". Math. Comp. Vol. 54, no. 189. pp. 395–411. doi:10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5. MR 0993927.
• Cohen, Graeme L. (1993). "Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer". Int. J. Math. Math. Sci. Vol. 16, no. 2. pp. 373–383. doi:10.1155/S0161171293000456.
• Sandor, Jozsef; Berge, Antal (2003). "The Möbius function: generalizations and extensions". Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang). 6 (2): 77–128. MR 1962765.
• Finch, Steven (2004). "Unitarism and Infinitarism" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2015-02-22.

बाहरी संबंध

• "Dirichlet convolution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]