द्वी कूपक विभव (डबल वेल पोटेंशिअल)

क्वांटम यांत्रिकी में विभवों के अध्ययन में ,द्वी कूपक विभव (डबल वेल पोटेंशिअल) वास्तव में सबसे महत्वपूर्ण विभवों में से एक है, क्योंकि इसके समाधान में 'शास्त्रीय' अवस्थाओं के रैखिक अध्यारोपण (सुपरपोजिशन) के रूप में एक अवस्था की धारणा समाविष्ट है। यह अवधारणा क्वांटम सूचना सिद्धांत में बहुत महत्वपूर्ण स्थान रखती है।

तथाकथित डबल-वेल क्षमता क्वांटम यांत्रिकी में, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में और अन्य जगहों पर विभिन्न भौतिक घटनाओं या गणितीय गुणों की खोज के लिए काफी रुचि की कई क्वार्टिक संभावनाओं में से एक है क्योंकि यह कई मामलों में स्पष्ट गणना के बिना अनुमति देता है- सरलीकरण।

इस प्रकार "सममित डबल-वेल पोटेंशिअल" ने एक यूक्लिडियनीकृत क्षेत्र सिद्धांत में एक छद्म-शास्त्रीय विन्यास के रूप में इंस्टेंटॉन की अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए एक मॉडल के रूप में कई वर्षों तक कार्य किया। [1] सरल क्वांटम यांत्रिक संदर्भ में यह क्षमता फेनमैन पथ इंटीग्रल के मूल्यांकन के लिए एक मॉडल के रूप में कार्य करती है। [2] [3] या ऊर्जा eigenvalues ​​स्पष्ट रूप से प्राप्त करने के प्रयोजन के लिए विभिन्न तरीकों से श्रोडिंगर समीकरण का समाधान।

दूसरी ओर, "इन्वर्टेड सिमिट्रिक डबल-वेल पोटेंशियल", क्षय दरों की गणना के लिए श्रोडिंगर समीकरण में एक गैर-तुच्छ क्षमता के रूप में कार्य करता है [4] और स्पर्शोन्मुख विस्तार के बड़े आदेश व्यवहार की खोज। [5] [6] ][7]

क्वार्टिक क्षमता का तीसरा रूप "परेशान सरल हार्मोनिक ऑसीलेटर" या "शुद्ध एनार्मोनिक ऑसीलेटर" का है जिसमें पूरी तरह से अलग ऊर्जा स्पेक्ट्रम होता है।

चौथे प्रकार की संभावित क्वार्टिक क्षमता उपरोक्त नामित पहले दो में से एक का "असममित आकार" है।

डबल-वेल और अन्य क्वार्टिक पोटेंशिअल का विभिन्न तरीकों से इलाज किया जा सकता है- मुख्य तरीके हैं (ए) एक गड़बड़ी विधि (जो कि बी डिंगल और एच.जे.डब्ल्यू. मुलर-कर्स्टन [8] की है) जिसके लिए सीमा शर्तों को लागू करने की आवश्यकता होती है, (बी) डब्ल्यूकेबी विधि और (सी) पथ अभिन्न विधि .. सभी मामलों को एचजेडब्ल्यू की पुस्तक में विस्तार से माना जाता है। मुलर-कर्स्टन। [9] मैथ्यू कार्यों और उनके eigenvalues ​​​​(जिसे विशेषता संख्या भी कहा जाता है) के स्पर्शोन्मुख विस्तार के बड़े आदेश व्यवहार को आरबी डिंगल और एचजेडब्ल्यू के एक और पेपर में प्राप्त किया गया है। मुलर। [10]

सममित डबल-वेल

साहित्य में मुख्य रुचि (क्षेत्र सिद्धांत से संबंधित कारणों के लिए) सममित डबल-वेल (संभावित) पर केंद्रित है, और वहां क्वांटम मैकेनिकल ग्राउंड स्टेट पर है। चूंकि क्षमता के केंद्रीय कूबड़ के माध्यम से सुरंग बनाना शामिल है, इस क्षमता के लिए श्रोडिंगर समीकरण की आइगेनर्जी की गणना गैर-तुच्छ है। जमीनी स्थिति का मामला स्यूडोक्लासिकल कॉन्फ़िगरेशन द्वारा मध्यस्थ होता है जिसे इंस्टेंटन और एंटी-इंस्टेंटन के रूप में जाना जाता है। स्पष्ट रूप में ये अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य हैं। स्यूडोक्लासिकल कॉन्फ़िगरेशन के रूप में ये स्वाभाविक रूप से सेमीक्लासिकल विचारों में प्रकट होते हैं - (व्यापक रूप से अलग) इंस्टेंटन-एंटी-इंस्टेंटन जोड़े के योग को तनु गैस सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। अंतत: प्राप्त की गई जमीनी अवस्था ईजेनर्जी एक अभिव्यक्ति है जिसमें तत्काल की यूक्लिडियन क्रिया का घातांक होता है। यह एक एक्सप्रेशन है जिसमें कारक 1 / ℏ {\displaystyle 1/\hbar} है और इसलिए इसे (शास्त्रीय रूप से) गैर-प्रतिस्पर्धी प्रभाव के रूप में वर्णित किया गया है।

सममित डबल-वेल सेल्फ-इंटरैक्शन के साथ एक स्केलर फील्ड सिद्धांत के पथ अभिन्न सिद्धांत में इंस्टेंटन कॉन्फ़िगरेशन की स्थिरता की जांच इंस्टेंटन के बारे में छोटे दोलनों के समीकरण का उपयोग करके की जाती है। कोई यह पाता है कि यह समीकरण पॉशल-टेलर समीकरण है (अर्थात् पोस्चल-टेलर क्षमता के साथ श्रोडिंगर समीकरण की तरह एक दूसरे क्रम का अंतर समीकरण) गैर-नकारात्मक आइगेनवैल्यू के साथ। ईजेनवैल्यू की गैर-नकारात्मकता तत्काल की स्थिरता का संकेत है। [11]

जैसा कि ऊपर कहा गया है, इंस्टेंटन यूक्लिडियन समय की एक अनंत रेखा पर परिभाषित स्यूडोपार्टिकल कॉन्फ़िगरेशन है जो क्षमता के दो कुओं के बीच संचार करता है और सिस्टम की जमीनी स्थिति के लिए जिम्मेदार है। उच्च, यानी उत्साहित, राज्यों के लिए संगत रूप से जिम्मेदार विन्यास यूक्लिडियन समय के एक चक्र पर परिभाषित आवधिक तत्काल हैं जो स्पष्ट रूप में जैकोबियन अण्डाकार कार्यों (त्रिकोणमितीय कार्यों के सामान्यीकरण) के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। इन मामलों में पथ अभिन्न के मूल्यांकन में संबंधित अण्डाकार अभिन्न शामिल हैं। इन आवधिक तत्कालों के बारे में छोटे उतार-चढ़ाव का समीकरण एक लैम समीकरण है जिसका समाधान लेमे फ़ंक्शन हैं। अस्थिरता के मामलों में (इनवर्टेड डबल-वेल पोटेंशिअल के लिए) इस समीकरण में ऋणात्मक आइगेनमान होते हैं जो इस अस्थिरता, यानी क्षय का संकेत देते हैं। [11]

डिंगल और मुलर की गड़बड़ी विधि का अनुप्रयोग (मूल रूप से मैथ्यू समीकरण पर लागू होता है, यानी कोसाइन क्षमता के साथ श्रोडिंगर समीकरण) क्वार्टिक क्षमता के लिए श्रोडिंगर समीकरण के पैरामीटर समरूपता के शोषण की आवश्यकता होती है। एक क्षमता के दो मिनीमा में से एक के आसपास फैलता है। इसके अलावा इस पद्धति में ओवरलैप के डोमेन में समाधान की विभिन्न शाखाओं के मिलान की आवश्यकता होती है। सीमा स्थितियों के अनुप्रयोग से अंतत: (आवधिक क्षमता के मामले में) गैर-विक्षोभ प्रभाव उत्पन्न होता है।

निम्नलिखित रूप में सममित डबल-वेल क्षमता के लिए श्रोडिंगर समीकरण में मापदंडों के संदर्भ में

${\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;c^{2}>0,h^{4}>0,$

के लिए eigenvalues $q_{0}=1,3,5,...$ पाए जाते हैं (मुलर-कर्स्टन की पुस्तक देखें, सूत्र (18.175b), पृष्ठ 425)

$E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})$

$\;\;\;\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.$