पूर्ण मीट्रिक स्थान

गणितीय विश्लेषण में, एक मीट्रिक स्थान $M$ पूर्ण कहा जाता है (या एक कॉची स्थान) यदि प्रत्येक कॉची क्रम#में बिंदुओं के एक मीट्रिक स्थान में $M$ एक अनुक्रम की एक सीमा है जो अंदर भी है $M$ .

सहज रूप से, एक स्थान पूरा हो गया है यदि इसमें से कोई बिंदु गायब नहीं है (अंदर या सीमा पर)। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं का समुच्चय पूर्ण नहीं है, क्योंकि उदा. 2 का वर्गमूल | ${\sqrt {2}}$ इसमें से गायब है, भले ही कोई परिमेय संख्याओं का कॉची अनुक्रम बना सकता है जो इसे अभिसरण करता है (नीचे और उदाहरण देखें)। सभी छेदों को भरना हमेशा संभव होता है, जिससे किसी दिए गए स्थान को पूरा किया जा सकता है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

परिभाषा

कॉची अनुक्रम

एक क्रम $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ एक मीट्रिक अंतरिक्ष में $(X,d)$ प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या के लिए कौशी if कहलाता है $r>0$ एक सकारात्मक पूर्णांक है $N$ जैसे कि सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $m,n>N,$

d\left(x_{m},x_{n}\right)<r.

पूरी जगह

एक मीट्रिक स्थान $(X,d)$ पूर्ण है यदि निम्नलिखित में से कोई भी समतुल्य शर्तें पूरी होती हैं:

हर कौशी अनुक्रम#में बिंदुओं के एक मीट्रिक स्थान में $X$ एक अनुक्रम की एक सीमा है जो अंदर भी है $X.$
प्रत्येक कॉची क्रम में $X$ में विलीन हो जाता है $X$ (यानी, किसी बिंदु पर $X$ ).
खाली सेट का हर घटता हुआ क्रम|गैर-रिक्त बंद उपसमुच्चय $X,$ व्यास के साथ # सामान्यीकरण 0 के लिए चल रहा है, एक गैर-रिक्त चौराहा (सेट सिद्धांत) है: यदि $F_{n}$ बंद है और खाली नहीं है, $F_{n+1}\subseteq F_{n}$ हरएक के लिए $n,$ और $\operatorname {diam} \left(F_{n}\right)\to 0,$ तो एक बिंदु है $x\in X$ सभी सेटों के लिए सामान्य $F_{n}.$

उदाहरण

घटाव के निरपेक्ष मान द्वारा दिए गए मानक मीट्रिक के साथ परिमेय संख्याओं का स्थान Q पूर्ण नहीं है। उदाहरण के लिए परिभाषित अनुक्रम पर विचार करें $x_{1}=1$ और $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ यह परिमेय संख्याओं का कौशी क्रम है, लेकिन यह किसी भी परिमेय सीमा की ओर अभिसरित नहीं होता है: यदि अनुक्रम की एक सीमा होती $x,$ फिर हल करके $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ अनिवार्य रूप से $x^{2}=2,$ अभी तक किसी भी परिमेय संख्या में यह गुण नहीं है। हालाँकि, वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के रूप में माना जाता है, यह अपरिमेय संख्या में परिवर्तित होता है ${\sqrt {2}}$ .

अंतराल (गणित) $(0,1)$ , फिर से निरपेक्ष मान मीट्रिक के साथ, पूर्ण भी नहीं है। द्वारा परिभाषित अनुक्रम { $x_{n}={\tfrac {1}{n}}$ } कॉची है, लेकिन दिए गए स्थान में इसकी कोई सीमा नहीं है। हालांकि बंद सेट अंतराल इकाई अंतराल | $[0,1]$ तैयार है; उदाहरण के लिए दिए गए अनुक्रम की इस अंतराल में एक सीमा है और सीमा शून्य है।

वास्तविक संख्याओं का स्थान R और जटिल संख्याओं का स्थान C (पूर्ण मान द्वारा दी गई मीट्रिक के साथ) पूर्ण हैं, और ऐसा ही यूक्लिडियन स्थान R हैⁿ, यूक्लिडियन दूरी मीट्रिक के साथ। इसके विपरीत, अनंत-आयामी मानक सदिश स्थान पूर्ण हो भी सकते हैं और नहीं भी; जो पूर्ण हैं वे बनच स्थान हैं। अंतरिक्ष सी $[a, b]$ एक कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस पर निरंतर कार्यों की संख्या | एक बंद और परिबद्ध अंतराल पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्य एक बैनाच स्थान है, और इसलिए सर्वोच्च मानदंड के संबंध में एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है। हालांकि, सुप्रीमम मानदंड अंतरिक्ष सी पर एक मानक नहीं देता है $(a, b)$ निरंतर कार्यों पर $(a, b)$ , क्योंकि इसमें असीमित कार्य हो सकते हैं। इसके बजाय, कॉम्पैक्ट अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ, सी $(a, b)$ एक फ्रेचेट स्पेस की संरचना दी जा सकती है: स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस जिसका टोपोलॉजी एक पूर्ण अनुवाद-अपरिवर्तनीय मीट्रिक द्वारा प्रेरित किया जा सकता है।

अंतरिक्ष क्यू_p किसी भी अभाज्य संख्या के लिए p-adic संख्या|p-adic संख्या पूर्ण होती है $p.$ यह स्पेस Q को p-adic मेट्रिक से उसी तरह पूरा करता है जैसे R, Q को सामान्य मेट्रिक से पूरा करता है।

यदि $S$ एक मनमाना सेट है, फिर सेट $S N$ सभी अनुक्रमों में $S$ यदि हम अनुक्रमों के बीच की दूरी को परिभाषित करते हैं तो यह एक पूर्ण मीट्रिक स्थान बन जाता है $\left(x_{n}\right)$ और $\left(y_{n}\right)$ होने के लिए ${\tfrac {1}{N}}$ कहां $N$ जिसके लिए सबसे छोटा सूचकांक है $x_{N}$ से भिन्न (गणित) है $y_{N}$ या $0$ अगर ऐसा कोई इंडेक्स नहीं है। यह स्थान असतत स्थान की प्रतियों की एक गणनीय संख्या के उत्पाद टोपोलॉजी के लिए होमोमोर्फिक है $S.$ रीमैनियन मैनिफोल्ड जो पूर्ण हैं उन्हें जियोडेसिक मैनिफोल्ड कहा जाता है; पूर्णता हॉफ-रिनो प्रमेय से आती है।

कुछ प्रमेय

प्रत्येक कॉम्पैक्ट स्पेस मीट्रिक स्पेस पूर्ण है, हालांकि पूर्ण स्पेस को कॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, एक मीट्रिक स्थान कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर यह पूर्ण और पूरी तरह से घिरा हुआ है। यह हेइन-बोरेल प्रमेय का एक सामान्यीकरण है, जिसमें कहा गया है कि कोई भी बंद और परिबद्ध उपस्थान $S$ का $R n$ कॉम्पैक्ट है और इसलिए पूर्ण है।^[1] होने देना $(X,d)$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान बनें। यदि $A\subseteq X$ एक बंद सेट है, फिर $A$ भी पूर्ण है।^[2] होने देना $(X,d)$ एक मीट्रिक स्थान बनें। यदि $A\subseteq X$ तब एक पूर्ण उपसमष्टि है $A$ भी बंद है।^[3] यदि $X$ एक सेट (गणित) है और $M$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है, फिर सेट $B(X,M)$ सभी बंधे हुए कार्यों की $f$ से $X$ को $M$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है। यहां हम दूरी को परिभाषित करते हैं $B(X,M)$ में दूरी के संदर्भ में $M$ सर्वोच्च मानदंड के साथ

d(f,g)\equiv \sup\{d[f(x),g(x)]:x\in X\}

यदि

X

एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और

M

एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है, फिर सेट

C_{b}(X,M)

सभी सतत कार्य (टोपोलॉजी) से जुड़े कार्यों से मिलकर

f:X\to M

की बंद उपसमष्टि है

B(X,M)

और इसलिए पूर्ण भी।

बायर श्रेणी प्रमेय कहता है कि प्रत्येक पूर्ण मीट्रिक स्थान एक बेयर स्थान है। अर्थात्, काउंटेबल सेट का संघ (सेट सिद्धांत) अंतरिक्ष के घने उपसमुच्चय में खाली आंतरिक (टोपोलॉजी) है।

बानाच निश्चित-बिंदु प्रमेय कहता है कि एक पूर्ण मीट्रिक स्थान पर एक संकुचन मानचित्रण एक निश्चित बिंदु को स्वीकार करता है। फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय का प्रयोग अक्सर पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान जैसे बनच रिक्त स्थान पर उलटा कार्य प्रमेय साबित करने के लिए किया जाता है।

Theorem^[4] (C. Ursescu) — Let $X$ be a complete metric space and let $S_{1},S_{2},\ldots$ be a sequence of subsets of $X.$

If each $S_{i}$ is closed in $X$ then ${\textstyle \operatorname {cl} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} S_{i}\right)=\operatorname {cl} \operatorname {int} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$
If each $S_{i}$ is open in $X$ then ${\textstyle \operatorname {int} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} S_{i}\right)=\operatorname {int} \operatorname {cl} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$

समापन

किसी भी मीट्रिक स्थान M के लिए, एक पूर्ण मीट्रिक स्थान M′ का निर्माण करना संभव है (जिसे इस रूप में भी निरूपित किया जाता है ${\overline {M}}$ ), जिसमें एम घने उप-स्थान के रूप में होता है। इसकी निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति है: यदि N कोई पूर्ण मीट्रिक स्थान है और f, M से N तक कोई समान रूप से निरंतर कार्य है, तो एक अद्वितीय (गणित) समान रूप से निरंतर कार्य f′ से M′ से N तक मौजूद है जो f का विस्तार करता है। अंतरिक्ष एम 'इस संपत्ति द्वारा आइसोमेट्री तक निर्धारित किया जाता है (सममितीय रूप से एम युक्त सभी पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच), और इसे एम का पूरा होना कहा जाता है।

एम के समापन को एम में कॉची अनुक्रमों के समकक्ष वर्गों के सेट के रूप में बनाया जा सकता है। किसी भी दो कॉची अनुक्रमों के लिए $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)$ और $y_{\bullet }=\left(y_{n}\right)$ एम में, हम उनकी दूरी को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं

d\left(x_{\bullet },y_{\bullet }\right)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)

(यह सीमा मौजूद है क्योंकि वास्तविक संख्याएँ पूर्ण हैं।) यह केवल एक छद्ममितीय स्थान है, अभी तक एक मीट्रिक नहीं है, क्योंकि दो अलग-अलग कॉची अनुक्रमों की दूरी 0 हो सकती है। लेकिन दूरी 0 होना सभी कॉची अनुक्रमों के सेट पर एक तुल्यता संबंध है। , और तुल्यता वर्गों का समुच्चय एक मीट्रिक स्थान है, M का पूरा होना। मूल स्थान इस स्थान में M के एक तत्व x की पहचान के माध्यम से सन्निहित है, जिसमें M में अनुक्रमों का तुल्यता वर्ग x में अभिसरण करता है (अर्थात, तुल्यता वर्ग जिसमें निरंतर मान x के साथ अनुक्रम होता है)। यह एक आइसोमेट्री को आवश्यकतानुसार एक घने उप-स्थान पर परिभाषित करता है। हालाँकि, ध्यान दें कि यह निर्माण वास्तविक संख्याओं की पूर्णता का स्पष्ट उपयोग करता है, इसलिए परिमेय संख्याओं को पूरा करने के लिए थोड़ा अलग उपचार की आवश्यकता होती है।

जॉर्ज कैंटर की वास्तविक संख्याओं की रचना उपरोक्त रचना के समान है; वास्तविक संख्याएँ दूरियों को मापने के लिए साधारण निरपेक्ष मान का उपयोग करके परिमेय संख्याओं का पूरा होना हैं। इसके साथ संघर्ष करने के लिए अतिरिक्त सूक्ष्मता यह है कि वास्तविक संख्याओं की पूर्णता को अपने स्वयं के निर्माण में उपयोग करने के लिए तार्किक रूप से स्वीकार्य नहीं है। फिर भी, कॉची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों को ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है, और तुल्यता वर्गों के सेट को एक फ़ील्ड (गणित) के रूप में आसानी से दिखाया गया है जिसमें एक उपक्षेत्र के रूप में परिमेय संख्याएँ हैं। यह क्षेत्र पूर्ण है, एक प्राकृतिक कुल क्रम को स्वीकार करता है, और अद्वितीय पूरी तरह से आदेशित पूर्ण क्षेत्र (समरूपता तक) है। इसे वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है (अधिक विवरण के लिए वास्तविक संख्याओं का निर्माण भी देखें)। वास्तविक संख्याओं के साथ इस पहचान की कल्पना करने का एक तरीका यह है कि तर्कसंगत संख्याओं के उन कॉची अनुक्रमों से युक्त तुल्यता वर्ग जिसमें एक वास्तविक वास्तविक सीमा होनी चाहिए, उस वास्तविक संख्या के साथ पहचाना जाता है। दशमलव विस्तार के कटाव संबंधित तुल्यता वर्ग में कौशी अनुक्रम का सिर्फ एक विकल्प देते हैं।

एक प्रधान के लिए $p,$ पी-एडिक नंबर| $p$ -ऐडिक नंबर एक अलग मीट्रिक के संबंध में परिमेय संख्याओं को पूरा करने से उत्पन्न होते हैं।

यदि पहले की पूर्णता प्रक्रिया को एक मानक सदिश स्थान पर लागू किया जाता है, तो परिणाम एक बनच स्थान होता है जिसमें मूल स्थान घने उप-स्थान के रूप में होता है, और यदि इसे आंतरिक उत्पाद स्थान पर लागू किया जाता है, तो परिणाम एक हिल्बर्ट स्थान होता है जिसमें मूल स्थान होता है एक सघन उपक्षेत्र।

स्थलीय रूप से पूर्ण रिक्त स्थान

पूर्णता मीट्रिक की संपत्ति है न कि टोपोलॉजी की, जिसका अर्थ है कि एक पूर्ण मीट्रिक स्थान एक गैर-पूर्ण स्थान के लिए होमियोमॉर्फिक हो सकता है। एक उदाहरण वास्तविक संख्याओं द्वारा दिया गया है, जो पूर्ण हैं लेकिन खुले अंतराल के लिए होमियोमॉर्फिक हैं $(0,1)$ है, जो पूर्ण नहीं है।

टोपोलॉजी में कोई पूरी तरह से मेट्रिजेबल रिक्त स्थान पर विचार करता है, रिक्त स्थान जिसके लिए कम से कम एक पूर्ण मीट्रिक दी गई टोपोलॉजी को प्रेरित करता है। पूरी तरह से मेट्रिजेबल रिक्त स्थान को उन रिक्त स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिन्हें कुछ पूर्ण मीट्रिक स्थान के कई खुले उपसमुच्चय के प्रतिच्छेदन के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि बायर श्रेणी प्रमेय का निष्कर्ष विशुद्ध रूप से सामयिक है, यह इन स्थानों पर भी लागू होता है।

पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल स्पेस को अक्सर टोपोलॉजिकल रूप से पूर्ण कहा जाता है। हालांकि, बाद वाला शब्द कुछ हद तक मनमाना है क्योंकि मीट्रिक एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर सबसे सामान्य संरचना नहीं है जिसके लिए कोई पूर्णता के बारे में बात कर सकता है (अनुभाग #विकल्प और सामान्यीकरण देखें)। वास्तव में, कुछ लेखक टोपोलॉजिकल रूप से पूर्ण शब्द का उपयोग टोपोलॉजिकल स्पेस के एक व्यापक वर्ग के लिए करते हैं, जो पूरी तरह से एकरूप करने योग्य स्थान है।^[5] एक टोपोलॉजिकल स्पेस होमोमॉर्फिक टू सेपरेबल स्पेस कम्प्लीट मेट्रिक स्पेस को पोलिश स्पेस कहा जाता है।

विकल्प और सामान्यीकरण

चूंकि कॉची अनुक्रमों को सामान्य टोपोलॉजिकल समूहों में भी परिभाषित किया जा सकता है, पूर्णता को परिभाषित करने और अंतरिक्ष को पूरा करने के निर्माण के लिए एक मीट्रिक संरचना पर भरोसा करने का एक विकल्प समूह संरचना का उपयोग करना है। यह अक्सर टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के संदर्भ में देखा जाता है, लेकिन केवल निरंतर घटाव ऑपरेशन के अस्तित्व की आवश्यकता होती है। इस सेटिंग में, दो बिंदुओं के बीच की दूरी $x$ और $y$ वास्तविक संख्या से नहीं आंका जाता है $\varepsilon$ मीट्रिक के माध्यम से $d$ तुलना में $d(x,y)<\varepsilon ,$ लेकिन एक खुले पड़ोस से $N$ का $0$ तुलना में घटाव के माध्यम से $x-y\in N.$ इन परिभाषाओं का एक सामान्य सामान्यीकरण एक समान स्थान के संदर्भ में पाया जा सकता है, जहां एक समान स्थान#प्रतिवेश परिभाषा बिंदुओं के सभी जोड़े का एक सेट है जो एक दूसरे से एक विशेष दूरी से अधिक नहीं हैं।

कॉची नेट (गणित) या फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)#फ़िल्टर द्वारा पूर्णता की परिभाषा में कॉची अनुक्रमों को प्रतिस्थापित करना भी संभव है। यदि प्रत्येक कॉची नेट (या समतुल्य रूप से प्रत्येक कॉची फ़िल्टर) की एक सीमा है $X,$ तब $X$ पूर्ण कहा जाता है। इसके अलावा मीट्रिक रिक्त स्थान के पूरा होने के समान एक मनमाना समान स्थान के लिए पूर्णता का निर्माण कर सकते हैं। सबसे सामान्य स्थिति जिसमें कॉची जाल लागू होते हैं, कॉची स्पेस है; इनमें भी समान स्थानों की तरह पूर्णता और पूर्णता की धारणा है।

यह भी देखें

↑ Sutherland, Wilson A. (1975). मीट्रिक और टोपोलॉजिकल स्पेस का परिचय. ISBN 978-0-19-853161-6.
↑ "प्लैनेटमैथ: एक पूर्ण मीट्रिक स्थान का एक बंद उपसमुच्चय पूर्ण है". Archived from the original on 2007-06-30. Retrieved 2007-01-14.
↑ "प्लैनेटमैथ: एक मीट्रिक स्पेस का एक पूरा सबस्पेस बंद है". Archived from the original on 2007-06-30. Retrieved 2007-01-14.
↑ Zalinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific. p. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.
↑ Kelley, Problem 6.L, p. 208

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संदर्भ

Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer. ISBN 0-387-90125-6.
Kreyszig, Erwin, Introductory functional analysis with applications (Wiley, New York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
Lang, Serge, "Real and Functional Analysis" ISBN 0-387-94001-4
Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introduction to functional analysis. Ramanujan, M.S. (trans.). Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9.

श्रेणी:मीट्रिक ज्यामिति श्रेणी: टोपोलॉजी श्रेणी: वर्दी रिक्त स्थान

[1] Sutherland, Wilson A. (1975). मीट्रिक और टोपोलॉजिकल स्पेस का परिचय. ISBN 978-0-19-853161-6.

[2] "प्लैनेटमैथ: एक पूर्ण मीट्रिक स्थान का एक बंद उपसमुच्चय पूर्ण है". Archived from the original on 2007-06-30. Retrieved 2007-01-14.

[3] "प्लैनेटमैथ: एक मीट्रिक स्पेस का एक पूरा सबस्पेस बंद है". Archived from the original on 2007-06-30. Retrieved 2007-01-14.

[Zalinescu_2002_p._33-4] Zalinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific. p. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.

[5] Kelley, Problem 6.L, p. 208

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