View source for सकारात्मक ऑपरेटर (हिल्बर्ट स्पेस)

गणित में (विशेष रूप से रैखिक बीजगणित, [[ऑपरेटर सिद्धांत]] और [[कार्यात्मक विश्लेषण]]) और साथ ही भौतिकी में, एक [[रैखिक ऑपरेटर]] <math>A</math> एक [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] पर कार्य करना सकारात्मक-अर्ध-परिमित (या ''गैर-नकारात्मक'') कहा जाता है, यदि प्रत्येक के लिए <math>x \in \mathop{\text{Dom}}(A)</math>, <math>\langle Ax, x\rangle \in \mathbb{R}</math> और <math>\langle Ax, x\rangle \geq 0</math>, कहाँ <math>\mathop{\text{Dom}}(A)</math> के एक कार्य का डोमेन है <math>A</math>. धनात्मक-अर्ध-परिमित संचालकों को इस रूप में निरूपित किया जाता है <math>A\ge 0</math>. ऑपरेटर को सकारात्मक-निश्चित और लिखित कहा जाता है <math>A>0</math>, अगर <math>\langle Ax,x\rangle>0,</math> सभी के लिए <math>x\in\mathop{\mathrm{Dom}}(A) \setminus \{0\}</math>.<ref>{{harvnb|Roman|2008|loc=p. 250 §10}}</ref>
भौतिकी में (विशेष रूप से [[क्वांटम यांत्रिकी]]), ऐसे ऑपरेटर [[घनत्व मैट्रिक्स]] औपचारिकता के माध्यम से क्वांटम राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

== कॉची-श्वार्ज़ असमानता ==
{{Main|Cauchy–Schwarz inequality}}
अगर <math>A \geq 0,</math> तब

:<math>\left|\langle Ax,y\rangle \right|^2 \leq \langle Ax,x\rangle \langle Ay,y\rangle.</math>
वास्तव में, चलो <math>\varepsilon > 0.</math> कॉची-श्वार्ज असमानता को आंतरिक उत्पाद पर लागू करना

:<math>
(x,y)_\varepsilon \stackrel{\text{def}}{=}\ \langle (A+\varepsilon\cdot \mathbf{1})x,y\rangle
</math>
जैसा <math>\varepsilon \downarrow 0</math> दावा साबित करता है।

यह इस प्रकार है कि <math>\mathop{\text{Im}}A \perp \mathop{\text{Ker}}A.</math> अगर <math>A</math> हर जगह परिभाषित किया गया है, और <math>\langle Ax,x\rangle = 0,</math> तब <math>Ax = 0.</math>


== एच पर{{sub|''C''}}, यदि A ≥ 0 तो A सममित == है
सामान्यता के नुकसान के बिना, आंतरिक उत्पाद दें <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> [[एंटीलाइनर नक्शा]] | पहले तर्क पर एंटी-लीनियर और दूसरे पर रैखिक। (यदि विपरीत सत्य है, तो हम साथ काम करते हैं <math>\langle x,y\rangle_\text{op} \stackrel{\text{def}}{=} \ \langle y,x\rangle</math> बजाय)। के लिए <math>x,y \in \mathop{\text{Dom}}A,</math> [[ध्रुवीकरण पहचान]]
:<math>
\begin{align}
\langle Ax,y\rangle = \frac{1}{4}({} & \langle A(x+y),x+y\rangle - \langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm]
& {} - i\langle A(x+iy),x+iy\rangle + i\langle A(x-iy),x-iy\rangle)
\end{align}
</math>
और तथ्य यह है कि <math>\langle Ax,x\rangle = \langle x,Ax\rangle,</math> सकारात्मक ऑपरेटरों के लिए, इसे दिखाएं <math>\langle Ax,y\rangle = \langle x,Ay\rangle,</math> इसलिए <math>A</math> सममित है।

जटिल मामले के विपरीत, एक वास्तविक हिल्बर्ट स्थान पर एक सकारात्मक-अर्ध-परिमित ऑपरेटर <math>H_\mathbb{R}</math> सममित नहीं हो सकता। एक प्रति उदाहरण के रूप में, परिभाषित करें <math>A : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> एक [[तीव्र कोण]] द्वारा घूर्णन का संचालक होना <math>\varphi \in ( -\pi/2,\pi/2).</math> तब <math>\langle Ax,x \rangle = \|Ax\|\|x\|\cos\varphi > 0, </math> लेकिन <math>A^* = A^{-1} \neq A,</math> इसलिए <math>A</math> सममित नहीं है।

== यदि ए ≥ 0 और डोम ए = एच{{sub|''C''}}, तो A स्व-आसन्न और परिबद्ध संकारक == है
की समरूपता <math>A</math> स्वयं संलग्न संचालिका कि <math>\mathop{\text{Dom}}A \subseteq \mathop{\text{Dom}}A^*</math> और <math>A = A^*|_{\mathop{\text{Dom}}(A)}.</math> के लिए <math>A</math> आत्मसंबद्ध होने के लिए, यह आवश्यक है कि <math>\mathop{\text{Dom}}A = \mathop{\text{Dom}}A^*.</math> हमारे मामले में, [[डोमेन (गणित)]] की समानता है क्योंकि <math>H_\mathbb{C} = \mathop{\text{Dom}}A \subseteq \mathop{\text{Dom}}A^*,</math> इसलिए <math>A</math> वास्तव में स्वसंबद्ध है। यह तथ्य कि <math>A</math> अब बाउंड है हेलिंगर-टोप्लेट्ज़ प्रमेय से।

यह संपत्ति धारण नहीं करती है <math>H_\mathbb{R}.</math>


== एच पर स्व-आसन्न ऑपरेटरों में आदेश{{sub|''C''}} ==
सकारात्मक संकारकों की परिभाषा से स्व-संलग्न संचालकों का एक स्वाभाविक क्रम उत्पन्न होता है। परिभाषित करना <math>B \geq A</math> यदि निम्नलिखित होल्ड करें:

# <math>A</math> और <math>B</math> स्वयं संलग्न हैं
# <math>B - A \geq 0</math>
यह देखा जा सकता है कि [[मोनोटोन अभिसरण प्रमेय]] के समान परिणाम हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर बढ़ते हुए, बंधे हुए, स्व-संबद्ध ऑपरेटरों के लिए होता है।<ref>Eidelman, Yuli, Vitali D. Milman, and Antonis Tsolomitis. 2004. Functional analysis: an introduction. Providence (R.I.): American mathematical Society.</ref>


== भौतिकी के लिए आवेदन: क्वांटम स्टेट्स ==
{{Main|Quantum state|Density operator}}
[[ क्वांटम प्रणाली ]] की परिभाषा में एक जटिल वियोज्य हिल्बर्ट स्पेस शामिल है <math>H_\mathbb{C}</math> और एक सेट <math>\cal S</math> सकारात्मक [[ ट्रेस वर्ग ]] [[घनत्व ऑपरेटर]] का <math>\rho</math> पर <math>H_\mathbb{C}</math> जिसके लिए <math>\mathop{\text{Trace}}\rho = 1.</math> [[सेट (गणित)]] <math>\cal S</math> राज्यों का समुच्चय है। प्रत्येक <math>\rho \in {\cal S}</math> एक राज्य या एक घनत्व ऑपरेटर कहा जाता है। के लिए <math>\psi \in H_\mathbb{C},</math> कहाँ <math>\|\psi\| = 1,</math> परिचालक <math>P_\psi</math> की [[रैखिक अवधि]] पर प्रक्षेपण की <math>\psi</math> [[शुद्ध अवस्था]] कहलाती है। (चूंकि प्रत्येक शुद्ध अवस्था एक [[इकाई वेक्टर]] के साथ पहचानी जा सकती है <math>\psi \in H_\mathbb{C},</math> कुछ स्रोत शुद्ध अवस्थाओं को इकाई तत्वों से परिभाषित करते हैं <math>H_\mathbb{C}).</math> जो अवस्थाएँ शुद्ध नहीं होती उन्हें [[मिश्रित अवस्था (भौतिकी)]] कहते हैं।

== संदर्भ ==
{{Reflist}}
* {{Citation | last1=Conway | first1=John | title=Functional Analysis: An Introduction | publisher=[[Springer Verlag]] | isbn=0-387-97245-5 | year=1990}}

*{{citation | last=Roman | first=Stephen
 | title=Advanced Linear Algebra | edition=Third | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | publisher  = Springer | date=2008| pages= | isbn=978-0-387-72828-5 |author-link=Steven Roman}}
[[Category: ऑपरेटर सिद्धांत]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 18/05/2023]]