सकारात्मक ऑपरेटर (हिल्बर्ट स्पेस)

गणित में (विशेष रूप से रैखिक बीजगणित, ऑपरेटर सिद्धांत और कार्यात्मक विश्लेषण) और साथ ही भौतिकी में, एक रैखिक ऑपरेटर $A$ एक आंतरिक उत्पाद स्थान पर कार्य करना सकारात्मक-अर्ध-परिमित (या गैर-नकारात्मक) कहा जाता है, यदि प्रत्येक के लिए $x\in \mathop {\text{Dom}} (A)$, $\langle Ax,x\rangle \in \mathbb {R}$ और $\langle Ax,x\rangle \geq 0$, कहाँ $\mathop {\text{Dom}} (A)$ के एक कार्य का डोमेन है $A$. धनात्मक-अर्ध-परिमित संचालकों को इस रूप में निरूपित किया जाता है $A\geq 0$. ऑपरेटर को सकारात्मक-निश्चित और लिखित कहा जाता है $A>0$, अगर $\langle Ax,x\rangle >0,$ सभी के लिए $x\in \mathop {\mathrm {Dom} } (A)\setminus \{0\}$. भौतिकी में (विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी), ऐसे ऑपरेटर घनत्व मैट्रिक्स औपचारिकता के माध्यम से क्वांटम राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

कॉची-श्वार्ज़ असमानता

Main article: Cauchy–Schwarz inequality

अगर $A\geq 0,$ तब

$\left|\langle Ax,y\rangle \right|^{2}\leq \langle Ax,x\rangle \langle Ay,y\rangle .$

वास्तव में, चलो $\varepsilon >0.$ कॉची-श्वार्ज असमानता को आंतरिक उत्पाद पर लागू करना

$(x,y)_{\varepsilon }{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle (A+\varepsilon \cdot \mathbf {1} )x,y\rangle$

जैसा $\varepsilon \downarrow 0$ दावा साबित करता है।

यह इस प्रकार है कि $\mathop {\text{Im}} A\perp \mathop {\text{Ker}} A.$ अगर $A$ हर जगह परिभाषित किया गया है, और $\langle Ax,x\rangle =0,$ तब $Ax=0.$

== एच पर_C, यदि A ≥ 0 तो A सममित == है सामान्यता के नुकसान के बिना, आंतरिक उत्पाद दें $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ एंटीलाइनर नक्शा | पहले तर्क पर एंटी-लीनियर और दूसरे पर रैखिक। (यदि विपरीत सत्य है, तो हम साथ काम करते हैं $\langle x,y\rangle _{\text{op}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle y,x\rangle$ बजाय)। के लिए $x,y\in \mathop {\text{Dom}} A,$ ध्रुवीकरण पहचान

${\begin{aligned}\langle Ax,y\rangle ={\frac {1}{4}}({}&\langle A(x+y),x+y\rangle -\langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm]&{}-i\langle A(x+iy),x+iy\rangle +i\langle A(x-iy),x-iy\rangle )\end{aligned}}$

और तथ्य यह है कि $\langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle ,$ सकारात्मक ऑपरेटरों के लिए, इसे दिखाएं $\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,$ इसलिए $A$ सममित है।

जटिल मामले के विपरीत, एक वास्तविक हिल्बर्ट स्थान पर एक सकारात्मक-अर्ध-परिमित ऑपरेटर $H_{\mathbb {R} }$ सममित नहीं हो सकता। एक प्रति उदाहरण के रूप में, परिभाषित करें $A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ एक तीव्र कोण द्वारा घूर्णन का संचालक होना $\varphi \in (-\pi /2,\pi /2).$ तब $\langle Ax,x\rangle =\|Ax\|\|x\|\cos \varphi >0,$ लेकिन $A^{*}=A^{-1}\neq A,$ इसलिए $A$ सममित नहीं है।

== यदि ए ≥ 0 और डोम ए = एच_C, तो A स्व-आसन्न और परिबद्ध संकारक == है की समरूपता $A$ स्वयं संलग्न संचालिका कि $\mathop {\text{Dom}} A\subseteq \mathop {\text{Dom}} A^{*}$ और $A=A^{*}|_{\mathop {\text{Dom}} (A)}.$ के लिए $A$ आत्मसंबद्ध होने के लिए, यह आवश्यक है कि $\mathop {\text{Dom}} A=\mathop {\text{Dom}} A^{*}.$ हमारे मामले में, डोमेन (गणित) की समानता है क्योंकि $H_{\mathbb {C} }=\mathop {\text{Dom}} A\subseteq \mathop {\text{Dom}} A^{*},$ इसलिए $A$ वास्तव में स्वसंबद्ध है। यह तथ्य कि $A$ अब बाउंड है हेलिंगर-टोप्लेट्ज़ प्रमेय से।

यह संपत्ति धारण नहीं करती है $H_{\mathbb {R} }.$

एच पर स्व-आसन्न ऑपरेटरों में आदेश_C

सकारात्मक संकारकों की परिभाषा से स्व-संलग्न संचालकों का एक स्वाभाविक क्रम उत्पन्न होता है। परिभाषित करना $B\geq A$ यदि निम्नलिखित होल्ड करें:

1. $A$ और $B$ स्वयं संलग्न हैं
2. $B-A\geq 0$

यह देखा जा सकता है कि मोनोटोन अभिसरण प्रमेय के समान परिणाम हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर बढ़ते हुए, बंधे हुए, स्व-संबद्ध ऑपरेटरों के लिए होता है।

भौतिकी के लिए आवेदन: क्वांटम स्टेट्स

Main articles: Quantum state and Density operator

क्वांटम प्रणाली की परिभाषा में एक जटिल वियोज्य हिल्बर्ट स्पेस शामिल है $H_{\mathbb {C} }$ और एक सेट ${\cal {S}}$ सकारात्मक ट्रेस वर्ग घनत्व ऑपरेटर का $\rho$ पर $H_{\mathbb {C} }$ जिसके लिए $\mathop {\text{Trace}} \rho =1.$ सेट (गणित) ${\cal {S}}$ राज्यों का समुच्चय है। प्रत्येक $\rho \in {\cal {S}}$ एक राज्य या एक घनत्व ऑपरेटर कहा जाता है। के लिए $\psi \in H_{\mathbb {C} },$ कहाँ $\|\psi \|=1,$ परिचालक $P_{\psi }$ की रैखिक अवधि पर प्रक्षेपण की $\psi$ शुद्ध अवस्था कहलाती है। (चूंकि प्रत्येक शुद्ध अवस्था एक इकाई वेक्टर के साथ पहचानी जा सकती है $\psi \in H_{\mathbb {C} },$ कुछ स्रोत शुद्ध अवस्थाओं को इकाई तत्वों से परिभाषित करते हैं $H_{\mathbb {C} }).$ जो अवस्थाएँ शुद्ध नहीं होती उन्हें मिश्रित अवस्था (भौतिकी) कहते हैं।

संदर्भ

• Conway, John (1990), Functional Analysis: An Introduction, Springer Verlag, ISBN 0-387-97245-5

• Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Third ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5