ऑपरेटर सिद्धांत

गणित में, ऑपरेटर सिद्धांत फ़ंक्शन रिक्त स्थान पर रैखिक ऑपरेटरों का अध्ययन है, जो अंतर ऑपरेटरों और अभिन्न ऑपरेटरों से शुरू होता है। ऑपरेटरों को उनकी विशेषताओं, जैसे बाध्य रैखिक ऑपरेटरों या बंद ऑपरेटरों द्वारा संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है, और गैर-रैखिक ऑपरेटरों को विचार दिया जा सकता है। अध्ययन, जो कार्य स्थान की टोपोलॉजी पर बहुत अधिक निर्भर करता है, कार्यात्मक विश्लेषण की एक शाखा है।

यदि संकारकों का संग्रह किसी क्षेत्र पर बीजगणित बनाता है, तो यह संकारक बीजगणित है। ऑपरेटर बीजगणित का विवरण ऑपरेटर सिद्धांत का हिस्सा है।

एकल ऑपरेटर सिद्धांत

एकल ऑपरेटर सिद्धांत ऑपरेटरों के गुणों और वर्गीकरण से संबंधित है, जिन्हें एक समय में एक माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम के मामले में सामान्य ऑपरेटरों का वर्गीकरण इस श्रेणी में आता है।

ऑपरेटरों का स्पेक्ट्रम

स्पेक्ट्रल प्रमेय रैखिक ऑपरेटरों या मैट्रिक्स (गणित) के बारे में कई परिणामों में से एक है।^[1] व्यापक शब्दों में वर्णक्रमीय प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके तहत एक ऑपरेटर (गणित) या एक मैट्रिक्स [[विकर्ण मैट्रिक्स]] हो सकता है (अर्थात, किसी आधार पर विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया गया है)। परिमित-आयामी रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के लिए विकर्णकरण की यह अवधारणा अपेक्षाकृत सरल है, लेकिन अनंत-आयामी रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के लिए कुछ संशोधन की आवश्यकता है। सामान्य तौर पर, वर्णक्रमीय सिद्धांत रैखिक ऑपरेटरों के एक वर्ग की पहचान करता है जिसे गुणन ऑपरेटरों द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, जो उतना ही सरल है जितना कोई खोजने की उम्मीद कर सकता है। अधिक अमूर्त भाषा में, वर्णक्रमीय प्रमेय क्रमविनिमेय C*-algebras के बारे में एक कथन है। ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य के लिए स्पेक्ट्रल सिद्धांत भी देखें।

ऑपरेटरों के उदाहरण जिनके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय लागू होता है वे स्व-संबद्ध ऑपरेटर या हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर अधिक सामान्यतः सामान्य ऑपरेटर होते हैं।

वर्णक्रमीय प्रमेय भी एक विहित रूप अपघटन प्रदान करता है, जिसे वर्णक्रमीय अपघटन, ईजेनवैल्यू अपघटन, या एक मैट्रिक्स का ईजेन्डेकम्पोजीशन कहा जाता है, अंतर्निहित सदिश स्थान जिस पर ऑपरेटर कार्य करता है।

सामान्य ऑपरेटर

एक जटिल हिल्बर्ट स्पेस एच पर एक सामान्य ऑपरेटर एक निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक ऑपरेटर एन : एच → एच है जो कम्यूटेटर अपने हर्मिटियन के साथ एन*' ', यानी: एनएन* = एन*एन।^[2] सामान्य संकारक महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वर्णक्रमीय प्रमेय उनके लिए मान्य है। आज सामान्य संचालकों की क्लास अच्छी तरह समझ में आ रही है। सामान्य ऑपरेटरों के उदाहरण हैं

एकात्मक संचालक: एन * = एन^-1
हर्मिटियन ऑपरेटर्स (अर्थात, सेल्फ़एडज्वाइंट ऑपरेटर्स: N* = N; साथ ही, एंटी-सेल्फ़एडजॉइंट ऑपरेटर्स: N* = -N)
सकारात्मक संकारक: N = MM*
सामान्य मैट्रिक्स को सामान्य ऑपरेटर के रूप में देखा जा सकता है यदि कोई हिल्बर्ट स्थान को सी लेता है^एन.

वर्णक्रमीय प्रमेय मैट्रिसेस के अधिक सामान्य वर्ग तक फैला हुआ है। A को परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान पर एक ऑपरेटर होने दें। A को सामान्य मैट्रिक्स कहा जाता है यदि A^* ए = ए ए^{*</सुप>. कोई दिखा सकता है कि ए सामान्य है अगर और केवल अगर यह एकात्मक रूप से विकर्ण है: शूर अपघटन द्वारा, हमारे पास ए = यू टी यू है^*, जहां U एकात्मक है और T ऊपरी-त्रिकोणीय है।
चूँकि A सामान्य है, T T^{*</सुप> = टी^* टी। इसलिए, टी को विकर्ण होना चाहिए क्योंकि सामान्य ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह विकर्ण होते हैं। उलटा स्पष्ट है।}}

दूसरे शब्दों में, ए सामान्य है अगर और केवल अगर एक एकात्मक मैट्रिक्स यू मौजूद है जैसे कि

A=UDU^{*}

जहां डी एक विकर्ण मैट्रिक्स है। फिर, डी के विकर्ण की प्रविष्टियाँ ए के eigenvalue हैं। यू के कॉलम वैक्टर ए के ईजेनवेक्टर हैं और वे ऑर्थोनॉर्मल हैं। हर्मिटियन मामले के विपरीत, D की प्रविष्टियाँ वास्तविक होने की आवश्यकता नहीं है।

ध्रुवीय अपघटन

जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच किसी भी बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर ए का ध्रुवीय अपघटन एक आंशिक आइसोमेट्री और एक गैर-नकारात्मक ऑपरेटर के उत्पाद के रूप में एक विहित गुणनखंड है।^[3] मेट्रिसेस के लिए ध्रुवीय अपघटन निम्नानुसार सामान्य करता है: यदि A एक परिबद्ध रैखिक संकारक है तो उत्पाद A = UP के रूप में A का एक अद्वितीय गुणनखंडन होता है, जहां U एक आंशिक आइसोमेट्री है, P एक गैर-नकारात्मक स्व-आसन्न संकारक है और प्रारंभिक U का स्थान P की सीमा का समापन है।

ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व डगलस लेम्मा का परिणाम है:

Lemma — If A, B are bounded operators on a Hilbert space H, and A*A ≤ B*B, then there exists a contraction C such that A = CB. Furthermore, C is unique if Ker(B*) ⊂ Ker(C).

ऑपरेटर सी द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $C (Bh) = Ah$ , रैन (बी) के बंद होने तक निरंतरता द्वारा विस्तारित, और ऑर्थोगोनल पूरक पर शून्य द्वारा $Ran(B)$ . ऑपरेटर सी तब से अच्छी तरह से परिभाषित है $A*A \leq B*B$ तात्पर्य $Ker(B) \subset Ker(A)$ . लेम्मा इसके बाद आता है।

विशेष रूप से, अगर $A*A = B*B$ , तो C एक आंशिक आइसोमेट्री है, जो अद्वितीय है यदि $Ker(B*) \subset Ker(C).$ सामान्य तौर पर, किसी भी बाध्य ऑपरेटर ए के लिए,

A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},

कहाँ (ए * ए)^1/2 सामान्य क्रियात्मक कलन द्वारा दिया गया A*A का अद्वितीय धनात्मक वर्गमूल है। तो लेम्मा द्वारा, हमारे पास है

A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}

कुछ आंशिक आइसोमेट्री U के लिए, जो अद्वितीय है यदि Ker(A) ⊂ Ker(U). (टिप्पणी

Ker(A) = Ker(A*A) = Ker(B) = Ker(B*)

, कहाँ

B = B* = (A*A) 1/2

.) P को (A*A) मान लीजिए^1/2 और एक ध्रुवीय अपघटन A = UP प्राप्त करता है। ध्यान दें कि एक समरूप तर्क का उपयोग A = P'U' दिखाने के लिए किया जा सकता है, जहाँ P' धनात्मक है और U' एक आंशिक सममिति है।

जब एच परिमित आयामी है, तो यू को एकात्मक ऑपरेटर तक बढ़ाया जा सकता है; यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है (उपरोक्त उदाहरण देखें)। वैकल्पिक रूप से, ध्रुवीय अपघटन हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर एकवचन मूल्य अपघटन # बाउंडेड ऑपरेटरों के ऑपरेटर संस्करण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

निरंतर कार्यात्मक कैलकुस की संपत्ति से, |ए| ए द्वारा उत्पन्न सी*-बीजगणित में है। आंशिक आइसोमेट्री के लिए एक समान लेकिन कमजोर बयान लागू होता है: ध्रुवीय भाग यू ए द्वारा उत्पन्न वॉन न्यूमैन बीजगणित में है। यदि ए व्युत्क्रमणीय है, तो यू सी*-बीजगणित में होगा ए द्वारा भी उत्पन्न किया गया है।

जटिल विश्लेषण के साथ संबंध

अध्ययन किए गए कई ऑपरेटर होलोमोर्फिक कार्यों के हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर ऑपरेटर हैं, और अध्ययन ऑपरेटर का कार्य सिद्धांत में प्रश्नों से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, बेर्लिंग का प्रमेय आंतरिक कार्यों के संदर्भ में एकतरफा बदलाव के अपरिवर्तनीय उप-स्थान का वर्णन करता है, जो सर्कल पर लगभग हर जगह यूनिमॉड्यूलर सीमा मानों के साथ यूनिट डिस्क पर होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन से घिरा होता है। बर्लिंग ने एकतरफा बदलाव को हार्डी स्पेस पर स्वतंत्र चर द्वारा गुणन के रूप में व्याख्या की।^[4] गुणन ऑपरेटरों का अध्ययन करने में सफलता, और अधिक आम तौर पर Toeplitz ऑपरेटर (जो गुणन हैं, हार्डी अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण के बाद) ने बर्गमैन अंतरिक्ष जैसे अन्य स्थानों पर इसी तरह के प्रश्नों के अध्ययन को प्रेरित किया है।

ऑपरेटर बीजगणित

ऑपरेटर बीजगणित का सिद्धांत सी * - बीजगणित जैसे ऑपरेटरों के क्षेत्रों में बीजगणित को सामने लाता है।

सी * - बीजगणित

ए सी*-बीजगणित, ए, एक नक्शा (गणित) के साथ जटिल संख्याओं के क्षेत्र में एक बानाच बीजगणित है $* : A \to A$ . A के अवयव x के प्रतिबिम्ब के लिए x* लिखते हैं। मानचित्र * में निम्नलिखित गुण हैं:^[5]

यह ए में प्रत्येक एक्स के लिए, इनवोल्यूशन वाला एक सेमीग्रुप है $x^{**}=(x^{*})^{*}=x$
ए में सभी एक्स, वाई के लिए: $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$
C में प्रत्येक λ और A में प्रत्येक x के लिए: $(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.$
ए में सभी एक्स के लिए: $\|x^{*}x\|=\left\|x\right\|\left\|x^{*}\right\|.$

टिप्पणी। पहली तीन सर्वसमिकाएँ कहती हैं कि A एक *-बीजगणित है। अंतिम पहचान को सी * पहचान कहा जाता है और इसके बराबर है:

\|xx^{*}\|=\|x\|^{2},

सी*-पहचान एक बहुत मजबूत आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, वर्णक्रमीय त्रिज्या के साथ, इसका तात्पर्य है कि सी * -नोर्म विशिष्ट रूप से बीजगणितीय संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है:

\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.

यह भी देखें

अपरिवर्तनीय उप-स्थान
कार्यात्मक गणना
वर्णक्रमीय सिद्धांत
- संकल्प औपचारिकता
कॉम्पैक्ट ऑपरेटर
- अभिन्न समीकरणों का फ्रेडहोम सिद्धांत
  - इंटीग्रल ऑपरेटर
  - फ्रेडहोम ऑपरेटर
स्व-आसन्न ऑपरेटर
असीमित ऑपरेटर
- विभेदक ऑपरेटर
उम्ब्रल कैलकुलस
संकुचन मानचित्रण
हिल्बर्ट स्पेस पर सकारात्मक ऑपरेटर
पेरॉन-फ्रोबेनियस प्रमेय# एक आदेशित सदिश स्थान पर भी देखें

संदर्भ

↑ Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag
↑ Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 312, MR 0276251
↑ Conway, John B. (2000), A Course in Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 0821820656
↑ Nikolski, N. (1986), A treatise on the shift operator, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space.
↑ Arveson, W. (1976), An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.

अग्रिम पठन

Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
Yoshino, Takashi (1993). Introduction to Operator Theory. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-0582237438.

बाहरी संबंध

History of Operator Theory

[1] Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag

[2] Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 312, MR 0276251

[3] Conway, John B. (2000), A Course in Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 0821820656

[4] Nikolski, N. (1986), A treatise on the shift operator, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space.

[5] Arveson, W. (1976), An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.

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