वर्णक्रमीय त्रिज्या

गणित में, एक मैट्रिक्स (गणित) का वर्णक्रमीय त्रिज्या उसके eigenvalues ​​​​के पूर्ण मूल्यों का अधिकतम है। अधिक सामान्यतः, एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर की वर्णक्रमीय त्रिज्या उसके स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) के तत्वों के निरपेक्ष मूल्यों का सर्वोच्च है। वर्णक्रमीय त्रिज्या को अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है ρ(·).

परिभाषा

मैट्रिसेस

होने देना λ₁, ..., λ_n एक मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​हो A ∈ C^n×n. की वर्णक्रमीय त्रिज्या A परिभाषित किया जाता है

$\rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.$

वर्णक्रमीय त्रिज्या को मैट्रिक्स के सभी मानदंडों का न्यूनतम मान माना जा सकता है। दरअसल, एक तरफ, $\rho (A)\leqslant \|A\|$ प्रत्येक मैट्रिक्स मानदंड के लिए#वेक्टर मानदंडों से प्रेरित मैट्रिक्स मानदंड $\|\cdot \|$; और दूसरी ओर, गेलफैंड का सूत्र यह बताता है $\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}$. ये दोनों परिणाम नीचे दिखाए गए हैं।

हालाँकि, वर्णक्रमीय त्रिज्या आवश्यक रूप से संतुष्ट नहीं करती है $\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$ मनमाना वैक्टर के लिए $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$. यह देखने के लिए कि क्यों, आइए $r>1$ मनमाना बनें और मैट्रिक्स पर विचार करें

$C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}$.

की विशेषता बहुपद $C_{r}$ है $\lambda ^{2}-1$, तो इसके eigenvalues ​​​​हैं $\{-1,1\}$ और इस तरह $\rho (C_{r})=1$. तथापि, $C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}$. नतीजतन,

$\|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.$ गेलफैंड के सूत्र के उदाहरण के रूप में, उस पर ध्यान दें $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$ जैसा $k\to \infty$, तब से $C_{r}^{k}=I$ अगर $k$ सम है और $C_{r}^{k}=C_{r}$ अगर $k$ अजीब है।

जिसमें एक विशेष मामला $\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$ सभी के लिए $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ कब है $A$ एक हर्मिटियन मैट्रिक्स है और $\|\cdot \|$ यूक्लिडियन मानदंड है. ऐसा इसलिए है क्योंकि कोई भी हर्मिटियन मैट्रिक्स एकात्मक मैट्रिक्स द्वारा विकर्णीय मैट्रिक्स है, और एकात्मक मैट्रिक्स वेक्टर लंबाई को संरक्षित करता है। नतीजतन,

$\|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U\mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.$

बाउंडेड लीनियर ऑपरेटर्स

एक परिबद्ध रैखिक संचालिका के संदर्भ में A एक बनच स्थान पर, आइगेनवैल्यू को एक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम के तत्वों के साथ प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता होती है, यानी मान $\lambda$ जिसके लिए $A-\lambda I$ वस्तुपरक नहीं है. हम स्पेक्ट्रम को निरूपित करते हैं

$\sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{is not bijective}}\right\}$ वर्णक्रमीय त्रिज्या को तब स्पेक्ट्रम के तत्वों के परिमाण के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया जाता है:

$\rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |$

गेलफैंड का सूत्र, जिसे वर्णक्रमीय त्रिज्या सूत्र के रूप में भी जाना जाता है, परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों के लिए भी लागू होता है: देना $\|\cdot \|$ ऑपरेटर मानदंड को निरूपित करें, हमारे पास है

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.$

एक परिबद्ध संचालिका (एक जटिल हिल्बर्ट स्थान पर) को स्पेक्ट्रलॉइड संचालिका कहा जाता है यदि इसकी वर्णक्रमीय त्रिज्या इसकी संख्यात्मक त्रिज्या के साथ मेल खाती है। ऐसे ऑपरेटर का एक उदाहरण एक सामान्य ऑपरेटर है।

ग्राफ़

एक परिमित ग्राफ़ (असतत गणित) की वर्णक्रमीय त्रिज्या को उसके आसन्न मैट्रिक्स की वर्णक्रमीय त्रिज्या के रूप में परिभाषित किया गया है।

यह परिभाषा शीर्षों की सीमाबद्ध डिग्री वाले अनंत ग्राफ़ के मामले तक फैली हुई है (यानी कुछ वास्तविक संख्या मौजूद है) C ऐसा कि ग्राफ़ के प्रत्येक शीर्ष की डिग्री इससे छोटी हो C). इस मामले में, ग्राफ़ के लिए G परिभाषित करना:

$\ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.$

होने देना γ का आसन्न संचालक बनें G:

${\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}$

की वर्णक्रमीय त्रिज्या G को परिबद्ध रैखिक संचालिका की वर्णक्रमीय त्रिज्या के रूप में परिभाषित किया गया है γ.

ऊपरी सीमा

मैट्रिक्स की वर्णक्रमीय त्रिज्या पर ऊपरी सीमा

निम्नलिखित प्रस्ताव मैट्रिक्स के वर्णक्रमीय त्रिज्या पर सरल लेकिन उपयोगी ऊपरी सीमाएं देता है।

प्रस्ताव. होने देना A ∈ C^n×n वर्णक्रमीय त्रिज्या के साथ ρ(A) और एक मैट्रिक्स मानदंड#संगत मानदंड ||⋅||. फिर प्रत्येक पूर्णांक के लिए $k\geqslant 1$:

$\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.$

सबूत

होने देना (v, λ) मैट्रिक्स A के लिए एक eigenvector-eigenvalue जोड़ी बनें। मैट्रिक्स मानदंड की उप-गुणात्मकता से, हमें मिलता है:

$|\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.$

तब से v ≠ 0, हमारे पास है

$|\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|$

और इसलिए

$\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.$

प्रमाण का समापन.

ग्राफ़ की वर्णक्रमीय त्रिज्या के लिए ऊपरी सीमा

किसी ग्राफ़ की वर्णक्रमीय त्रिज्या के लिए उसके शीर्षों की संख्या n और किनारों की संख्या m के संदर्भ में कई ऊपरी सीमाएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि

${\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}$

कहाँ $3\leq k\leq n$ तो, एक पूर्णांक है

$\rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}$

शक्ति अनुक्रम

वर्णक्रमीय त्रिज्या मैट्रिक्स के शक्ति अनुक्रम के अभिसरण के व्यवहार से निकटता से संबंधित है; अर्थात् जैसा कि निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिखाया गया है।

प्रमेय. होने देना A ∈ C^n×n वर्णक्रमीय त्रिज्या के साथ ρ(A). तब ρ(A) < 1 अगर और केवल अगर

$\lim _{k\to \infty }A^{k}=0.$

दूसरी ओर, यदि ρ(A) > 1, $\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty$. यह कथन मैट्रिक्स मानदंड के किसी भी विकल्प पर लागू होता है C^n×n.

सबूत

ये मान लीजिए $A^{k}$ के रूप में शून्य हो जाता है $k$ अनंत तक जाता है. हम वो दिखाएंगे ρ(A) < 1. होने देना (v, λ) A के लिए एक eigenvector-eigenvalue जोड़ी बनें A^kv = λ^kv, हमारे पास है

${\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}$

तब से v ≠ 0 परिकल्पना के अनुसार, हमारे पास होना चाहिए

$\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0,$

जिसका तात्पर्य है |λ| < 1. चूँकि यह किसी भी eigenvalue λ के लिए सत्य होना चाहिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं ρ(A) < 1.

अब, की त्रिज्या मान लीजिए A मै रुक जाना 1. जॉर्डन सामान्य रूप प्रमेय से, हम यह सब जानते हैं A ∈ C^n×n, वहां है V, J ∈ C^n×n साथ V गैर-एकवचन और J विकर्ण को इस प्रकार ब्लॉक करें कि:

$A=VJV^{-1}$

साथ

$J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

कहाँ

$J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.$

यह देखना आसान है

$A^{k}=VJ^{k}V^{-1}$

और तबसे J ब्लॉक-विकर्ण है,

$J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

अब, पर एक मानक परिणाम k-एक की शक्ति $m_{i}\times m_{i}$ जॉर्डन ब्लॉक बताता है कि, के लिए $k\geq m_{i}-1$:

$J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}$

इस प्रकार, यदि $\rho (A)<1$ फिर सबके लिए i $|\lambda _{i}|<1$. इसलिए सभी के लिए i हमारे पास है:

$\lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0$

जो ये दर्शाता हे

$\lim _{k\to \infty }J^{k}=0.$

इसलिए,

$\lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0$

दूसरी ओर, यदि $\rho (A)>1$, इसमें कम से कम एक तत्व है J वह इस रूप में बंधा हुआ नहीं रहता k बढ़ता है, जिससे कथन का दूसरा भाग सिद्ध होता है।

गेल्फैंड का सूत्र

गेलफैंड का सूत्र, जिसका नाम इज़राइल गेलफैंड के नाम पर रखा गया है, मैट्रिक्स मानदंडों की सीमा के रूप में वर्णक्रमीय त्रिज्या देता है।

प्रमेय

किसी भी मैट्रिक्स मानदंड के लिए ||⋅||, हमारे पास है

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}$.

इसके अलावा, मैट्रिक्स मानदंड मैट्रिक्स मानदंड के मामले में $\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}$ दृष्टिकोण $\rho (A)$ ऊपर से (वास्तव में, उस मामले में $\rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}$ सभी के लिए $k$).

प्रमाण

किसी के लिए ε > 0, आइए हम निम्नलिखित दो आव्यूहों को परिभाषित करें:

$A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.$

इस प्रकार,

$\rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).$

हम शक्ति अनुक्रमों की सीमा पर पिछले प्रमेय को लागू करके प्रारंभ करते हैं A₊:

$\lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.$

इससे अस्तित्व का पता चलता है N₊ ∈ N ऐसा कि, सबके लिए k ≥ N₊,

$\left\|A_{+}^{k}\right\|<1.$

इसलिए,

$\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .$

इसी प्रकार, शक्ति अनुक्रम पर प्रमेय का तात्पर्य यह है $\|A_{-}^{k}\|$ सीमित नहीं है और उसका अस्तित्व है N₋ ∈ N ऐसा कि, सभी k ≥ N के लिए₋,

$\left\|A_{-}^{k}\right\|>1.$

इसलिए,

$\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .$

होने देना N = max{N₊, N₋}. तब,

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,$

वह है,

$\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).$

इससे प्रमाण समाप्त हो जाता है।

परिणाम

गेलफैंड का सूत्र कम्यूटिंग मैट्रिक्स के उत्पाद के वर्णक्रमीय त्रिज्या पर एक सीमा उत्पन्न करता है: यदि $A_{1},\ldots ,A_{n}$ फिर, वे मैट्रिक्स हैं जो सभी आवागमन करते हैं

$\rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).$

संख्यात्मक उदाहरण

मैट्रिक्स पर विचार करें

$A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}$

जिनके eigenvalues ​​हैं 5, 10, 10; परिभाषा से, ρ(A) = 10. निम्नलिखित तालिका में, के मान $\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}$ चार सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले मानदंडों को k के कई बढ़ते मूल्यों के विरुद्ध सूचीबद्ध किया गया है (ध्यान दें, इस मैट्रिक्स के विशेष रूप के कारण,$\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$):

k	$\|\cdot \|_{1}=\|\cdot \|_{\infty }$	$\|\cdot \|_{F}$	$\|\cdot \|_{2}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

ग्रन्थसूची

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc.
• Lax, Peter D. (2002), Functional Analysis, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

यह भी देखें

• वर्णक्रमीय अंतराल
• संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या मैट्रिक्स के सेट के लिए वर्णक्रमीय त्रिज्या का एक सामान्यीकरण है।
• मैट्रिक्स का स्पेक्ट्रम
• वर्णक्रमीय भुज

श्रेणी:वर्णक्रमीय सिद्धांत श्रेणी:साक्ष्य युक्त लेख