विशेषता बहुपद

This article is about the characteristic polynomial of a matrix or of an endomorphism of vector spaces. For the characteristic polynomial of a matroid, see Matroid. For that of a graded poset, see Graded poset.

रेखीय बीजगणित में, एक वर्ग मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद एक बहुपद है जो मैट्रिक्स समानता के तहत अपरिवर्तनीय है और एक बहुपद की जड़ के रूप में eigenvalues ​​​​हैं। इसके गुणांकों में मैट्रिक्स का निर्धारक और ट्रेस (रैखिक बीजगणित) होता है। एक परिमित-आयामी सदिश स्थान के एक एंडोमोर्फिज्म की विशेषता बहुपद किसी भी आधार पर उस एंडोमोर्फिज़्म स्क्वायर मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद है (अर्थात, विशेषता बहुपद एक आधार (रैखिक बीजगणित) की पसंद पर निर्भर नहीं करता है)। विशेषता समीकरण, जिसे निर्धारक समीकरण भी कहा जाता है, अभिलाक्षणिक बहुपद को शून्य के बराबर करने पर प्राप्त समीकरण है।

वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत में, एक ग्राफ (असतत गणित) की विशेषता बहुपद उसके आसन्न मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद है।

प्रेरणा

रैखिक बीजगणित में, eigenvalues ​​​​और eigenvectors एक मौलिक भूमिका निभाते हैं, क्योंकि एक रैखिक परिवर्तन दिया गया है, एक eigenvector एक वेक्टर है जिसकी दिशा परिवर्तन द्वारा नहीं बदली जाती है, और संबंधित eigenvalue वेक्टर के परिमाण के परिणामी परिवर्तन का माप है।

अधिक सटीक रूप से, यदि परिवर्तन एक वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है $A,$ एक ईजेनवेक्टर $\mathbf {v} ,$ और संबंधित eigenvalue $\lambda$ समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

$$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$$

या, समकक्ष,

$$(\lambda I-A)\mathbf {v} =0$$

कहां $I$ पहचान मैट्रिक्स है, और $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ (यद्यपि शून्य सदिश प्रत्येक के लिए इस समीकरण को संतुष्ट करता है $\lambda ,$ इसे आइजनवेक्टर नहीं माना जाता है)।

यह इस प्रकार है कि मैट्रिक्स $(\lambda I-A)$ एकवचन मैट्रिक्स और इसका निर्धारक होना चाहिए

$$\det(\lambda I-A)=0$$

शून्य होना चाहिए।

दूसरे शब्दों में, के eigenvalues A के एक समारोह के शून्य हैं

$$\det(xI-A),$$

जो एक मोनिक बहुपद है x डिग्री का n यदि A एक है n×n आव्यूह। यह बहुपद की विशेषता बहुपद है A.

औपचारिक परिभाषा

एक पर विचार करें $n\times n$ आव्यूह $A.$ की विशेषता बहुपद $A,$ द्वारा चिह्नित $p_{A}(t),$ द्वारा परिभाषित बहुपद है

$$p_{A}(t)=\det(tI-A)$$

कहां $I$ दर्शाता है $n\times n$ शिनाख्त सांचा।

कुछ लेखक विशेषता बहुपद को परिभाषित करते हैं $\det(A-tI).$ वह बहुपद उस बहुपद से भिन्न है जिसे यहाँ एक चिह्न द्वारा परिभाषित किया गया है $(-1)^{n},$ इसलिए यह गुणों के लिए कोई फर्क नहीं पड़ता है जैसे मूल के ईजेनवेल्यूज हैं $A$; हालाँकि ऊपर दी गई परिभाषा हमेशा एक मोनिक बहुपद देती है, जबकि वैकल्पिक परिभाषा केवल मोनिक होती है $n$ सम है।

उदाहरण

मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद की गणना करने के लिए

$$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$$

निम्नलिखित के निर्धारक की गणना की जाती है:

$$tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}$$

और पाया गया $(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,$ की विशेषता बहुपद $A.$ एक अन्य उदाहरण अतिशयोक्तिपूर्ण कोण φ के अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह का उपयोग करता है। मैट्रिक्स के लिए

$$A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.$$

इसकी विशेषता बहुपद है

$$\det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).$$

गुण

विशेषता बहुपद $p_{A}(t)$ एक का $n\times n$ मैट्रिक्स मोनिक है (इसका प्रमुख गुणांक है $1$) और इसकी डिग्री है $n.$ विशेषता बहुपद के बारे में सबसे महत्वपूर्ण तथ्य पहले से ही प्रेरक पैराग्राफ में उल्लेख किया गया था: के eigenvalues $A$ के कार्यों के ठीक मूल हैं $p_{A}(t)$ (यह न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) के लिए भी लागू होता है $A,$ लेकिन इसकी डिग्री कम हो सकती है $n$). विशेषता बहुपद के सभी गुणांक मैट्रिक्स की प्रविष्टियों में बहुपद अभिव्यक्ति हैं। विशेष रूप से इसका निरंतर गुणांक $p_{A}(0)$ है $\det(-A)=(-1)^{n}\det(A),$ का गुणांक $t^{n}$ एक है, और का गुणांक $t^{n-1}$ है tr(−A) = −tr(A), कहां tr(A) का ट्रेस (मैट्रिक्स) है $A.$ (यहाँ दिए गए संकेत पिछले भाग में दी गई औपचारिक परिभाषा के अनुरूप हैं; वैकल्पिक परिभाषा के लिए ये इसके बजाय होंगे $\det(A)$ और (−1)^{n – 1} tr(A) क्रमश।)

के लिए $2\times 2$ आव्यूह $A,$ विशेषता बहुपद इस प्रकार द्वारा दिया जाता है

$$t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).$$

बाहरी बीजगणित की भाषा का प्रयोग करते हुए, एक की विशेषता बहुपद $n\times n$ आव्यूह $A$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)$$

कहां ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}$ का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है $k$वें बाहरी बीजगणित # की कार्यक्षमता $A,$ जिसका आयाम है ${\textstyle {\binom {n}{k}}.}$ इस ट्रेस की गणना सभी प्रमुख नाबालिग ों के योग के रूप में की जा सकती है $A$ आकार का $k.$ रिकर्सिव फैडीव-लेवेरियर एल्गोरिथम इन गुणांकों की अधिक कुशलता से गणना करता है।

जब क्षेत्र का अभिलाक्षणिक (बीजगणित) गुणांक (गणित) है $0,$ इस तरह के प्रत्येक ट्रेस को वैकल्पिक रूप से एकल निर्धारक के रूप में गणना की जा सकती है $k\times k$ आव्यूह,

$$\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.$$

केली-हैमिल्टन प्रमेय कहता है कि प्रतिस्थापन $t$ द्वारा $A$ विशेषता बहुपद में (मैट्रिक्स शक्तियों के रूप में परिणामी शक्तियों की व्याख्या, और निरंतर शब्द $c$ जैसा $c$ पहचान मैट्रिक्स से गुणा) शून्य मैट्रिक्स देता है। अनौपचारिक रूप से बोलना, प्रत्येक मैट्रिक्स अपने स्वयं के विशिष्ट समीकरण को संतुष्ट करता है। यह कथन यह कहने के बराबर है कि न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)। $A$ की विशेषता बहुपद को विभाजित करता है $A.$ दो समरूप आव्यूहों में समान अभिलाक्षणिक बहुपद होते हैं। हालांकि इसका विलोम व्यापक रूप से सत्य नहीं है: समान अभिलाक्षणिक बहुपद वाले दो आव्यूहों का समान होना आवश्यक नहीं है।

साँचा $A$ और इसके स्थानान्तरण में एक ही विशेषता बहुपद है। $A$ एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के समान है अगर और केवल अगर इसकी विशेषता बहुपद को रैखिक कारकों में पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है $K$ (विशेष बहुपद के बजाय न्यूनतम बहुपद के साथ भी यही सच है)। इस मामले में $A$ जॉर्डन सामान्य रूप में एक मैट्रिक्स के समान है।

दो आव्यूहों के गुणनफल का अभिलाक्षणिक बहुपद

यदि $A$ और $B$ दो वर्ग हैं $n\times n$ मैट्रिक्स फिर की विशेषता बहुपद $AB$ और $BA$ संयोग:

$$p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,$$

कब $A$ गैर-एकवचन मैट्रिक्स है | गैर-एकवचन यह परिणाम इस तथ्य से अनुसरण करता है कि $AB$ और $BA$ समान मैट्रिसेस हैं:

$$BA=A^{-1}(AB)A.$$

मामले के लिए जहां दोनों $A$ और $B$ एकवचन हैं, वांछित पहचान बहुपदों के बीच एक समानता है $t$ और मेट्रिसेस के गुणांक। इस प्रकार, इस समानता को साबित करने के लिए, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि यह सभी गुणांकों के स्थान के गैर-खाली खुले उपसमुच्चय (सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, या अधिक सामान्यतः, जरिस्की टोपोलॉजी के लिए) पर सत्यापित है। चूंकि गैर-एकवचन मैट्रिक्स सभी मैट्रिक्स के स्थान का एक खुला उपसमुच्चय बनाते हैं, यह परिणाम साबित करता है।

अधिक सामान्यतः, यदि $A$ व्यवस्था का एक मैट्रिक्स है $m\times n$ और $B$ व्यवस्था का एक मैट्रिक्स है $n\times m,$ तब $AB$ है $m\times m$ और $BA$ है $n\times n$ मैट्रिक्स, और एक है

$$p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,$$

यह साबित करने के लिए, कोई मान सकता है $n>m,$ अदला-बदली करके, यदि आवश्यक हो, $A$ और $B.$ फिर, सीमा से $A$ तल पर द्वारा $n-m$ शून्य की पंक्तियाँ, और $B$ दाईं ओर, द्वारा, $n-m$ शून्य के स्तंभ, एक को दो मिलते हैं $n\times n$ मैट्रिक्स $A^{\prime }$ और $B^{\prime }$ ऐसा है कि $B^{\prime }A^{\prime }=BA$ और $A^{\prime }B^{\prime }$ के बराबर है $AB$ द्वारा सीमाबद्ध $n-m$ शून्य की पंक्तियाँ और स्तंभ। परिणाम वर्ग मैट्रिक्स के मामले से होता है, की विशेषता बहुपदों की तुलना करके $A^{\prime }B^{\prime }$ और $AB.$

ए की विशेषता बहुपद^{कश्मीर}

यदि $\lambda$ वर्ग आव्यूह का आइगेनमान है $A$ ईजेनवेक्टर के साथ $\mathbf {v} ,$ तब $\lambda ^{k}$ का आइगेनवैल्यू है $A^{k}$ चूंकि

$$A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.$$

गुणकों को सहमत होने के लिए भी दिखाया जा सकता है, और यह किसी भी बहुपद के स्थान पर सामान्यीकरण करता है $x^{k}$:

Theorem —  Let $A$ be a square $n\times n$ matrix and let $f(t)$ be a polynomial. If the characteristic polynomial of $A$ has a factorization

$$p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})$$

then the characteristic polynomial of the matrix $f(A)$ is given by

$$p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).$$

अर्थात्, की बीजगणितीय बहुलता $\lambda$ में $f(A)$ के बीजगणितीय गुणकों के योग के बराबर है $\lambda '$ में $A$ ऊपर $\lambda '$ ऐसा है कि $f(\lambda ')=\lambda .$ विशेष रूप से, $\operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})$ और $\operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).$ यहाँ एक बहुपद $f(t)=t^{3}+1,$ उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर मूल्यांकन किया जाता है $A$ बस के रूप में $f(A)=A^{3}+1.$ प्रमेय किसी भी क्षेत्र या क्रमविनिमेय वलय पर आव्यूहों और बहुपदों पर लागू होता है। हालांकि, धारणा है कि $p_{A}(t)$ रैखिक कारकों में एक गुणनखंड हमेशा सत्य नहीं होता है, जब तक कि मैट्रिक्स बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड जैसे कि जटिल संख्या पर न हो।

Proof

This proof only applies to matrices and polynomials over complex numbers (or any algebraically closed field). In that case, the characteristic polynomial of any square matrix can be always factorized as

$$p_{A}(t)=\left(t-\lambda _{1}\right)\left(t-\lambda _{2}\right)\cdots \left(t-\lambda _{n}\right)$$

where $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ are the eigenvalues of $A,$ possibly repeated. Moreover, the Jordan decomposition theorem guarantees that any square matrix $A$ can be decomposed as $A=S^{-1}US,$ where $S$ is an invertible matrix and $U$ is upper triangular with $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ on the diagonal (with each eigenvalue repeated according to its algebraic multiplicity). (The Jordan normal form has stronger properties, but these are sufficient; alternatively the Schur decomposition can be used, which is less popular but somewhat easier to prove).

Let ${\textstyle f(t)=\sum _{i}\alpha _{i}t^{i}.}$ Then

$$f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(U)S.$$

For an upper triangular matrix $U$ with diagonal $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},$ the matrix $U^{i}$ is upper triangular with diagonal $\lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}$ in $U^{i},$ and hence $f(U)$ is upper triangular with diagonal $f\left(\lambda _{1}\right),\dots ,f\left(\lambda _{n}\right).$ Therefore, the eigenvalues of $f(U)$ are $f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n}).$ Since $f(A)=S^{-1}f(U)S$ is similar to $f(U),$ it has the same eigenvalues, with the same algebraic multiplicities.

धर्मनिरपेक्ष कार्य और धर्मनिरपेक्ष समीकरण

धर्मनिरपेक्ष कार्य

धर्मनिरपेक्ष कार्य शब्द का उपयोग अब 'विशेषता बहुपद' कहा जाता है (कुछ साहित्य में शब्द धर्मनिरपेक्ष कार्य अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यह शब्द इस तथ्य से आता है कि विशेषता बहुपद का उपयोग ग्रहों की कक्षाओं की धर्मनिरपेक्ष घटना (एक सदी के समय के पैमाने पर, जो वार्षिक गति की तुलना में धीमी है) की गणना करने के लिए किया गया था, जोसेफ लुइस लाग्रेंज के दोलनों के सिद्धांत के अनुसार।

धर्मनिरपेक्ष समीकरण

सेक्युलर समीकरण के कई मायने हो सकते हैं।

• रेखीय बीजगणित में इसे कभी-कभी अभिलाक्षणिक समीकरण के स्थान पर प्रयोग किया जाता है।
• खगोल विज्ञान में यह किसी ग्रह की गति में असमानताओं के परिमाण की बीजगणितीय या संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जो एक छोटी अवधि की असमानताओं के बाद बनी रहती है।
• इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा और उसकी तरंग क्रिया से संबंधित आणविक कक्षीय गणनाओं में भी इसका उपयोग विशेषता समीकरण के बजाय किया जाता है।

सामान्य साहचर्य बीजगणित के लिए

एक मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद की उपरोक्त परिभाषा $A\in M_{n}(F)$ एक क्षेत्र में प्रविष्टियों के साथ $F$ मामले में बिना किसी बदलाव के सामान्यीकरण करता है जब $F$ केवल एक क्रमविनिमेय वलय है। Garibaldi (2004) एक क्षेत्र पर एक मनमाना परिमित-आयामी (सहयोगी बीजगणित, लेकिन जरूरी नहीं कि कम्यूटेटिव) बीजगणित के तत्वों के लिए विशेषता बहुपद को परिभाषित करता है $F$ और इस व्यापकता में अभिलाक्षणिक बहुपद के मानक गुणों को सिद्ध करता है।

यह भी देखें

• विशेषता समीकरण (बहुविकल्पी)
• मोनिक बहुपद (रैखिक बीजगणित)
• टेंसर्स के इनवेरिएंट
• साथी मैट्रिक्स
• फदीव-लेवेरियर एल्गोरिथम
• केली-हैमिल्टन प्रमेय
• सैमुएलसन-बर्कोविट्ज़ एल्गोरिथम

संदर्भ

• T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) Basic Linear Algebra, p 149, Springer ISBN 3-540-76122-5 .
• John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra 2nd edition, p 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8 .
• Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", American Mathematical Monthly, 111 (9): 761–778, arXiv:math/0203276, doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048
• Werner Greub (1974) Linear Algebra 4th edition, pp 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8 .
• Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, p 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1 .
• Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3rd edition, p 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3 .श्रेणी: रेखीय बीजगणितश्रेणी: टेन्सर