मैट्रिक्स समानता

For other uses, see Similarity (geometry) and Similarity transformation (disambiguation).

Not to be confused with similarity matrix.

रैखिक बीजगणित में, दो एन-बाय-एन मैट्रिक्स (गणित) A और B यदि एक उल्टा मैट्रिक्स n -द्वारा- n मैट्रिक्स मौजूद है, तो इसे समान कहा जाता है P ऐसा है कि

$$B=P^{-1}AP.$$

इसी तरह के मैट्रिस दो (संभवतः) अलग -अलग आधार (रैखिक बीजगणित) के तहत एक ही रैखिक मानचित्र का प्रतिनिधित्व करते हैं, P आधार मैट्रिक्स का परिवर्तन होने के नाते। एक परिवर्तन A ↦ P⁻¹AP मैट्रिक्स का समानता परिवर्तन या संयुग्मन कहा जाता है A।सामान्य रैखिक समूह में, समानता इसलिए संयुग्मक वर्ग के समान है, और इसी तरह के मैट्रिस को संयुग्म भी कहा जाता है;हालांकि, किसी दिए गए उपसमूह में H सामान्य रैखिक समूह में, संयुग्मन की धारणा समानता से अधिक प्रतिबंधात्मक हो सकती है, क्योंकि इसके लिए आवश्यक है P झूठ बोलने के लिए चुना जाना H।

प्रेरक उदाहरण

एक रैखिक परिवर्तन को परिभाषित करते समय, यह मामला हो सकता है कि आधार के परिवर्तन के परिणामस्वरूप एक ही परिवर्तन का एक सरल रूप हो सकता है।उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स में एक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है R³ जब अक्ष -कोण प्रतिनिधित्व को समन्वित अक्ष के साथ संरेखित नहीं किया जाता है, तो गणना करने के लिए जटिल हो सकता है।यदि रोटेशन की धुरी को सकारात्मक के साथ संरेखित किया गया था z-एक्सिस, तो यह बस होगा

$$S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},$$

कहाँ $\theta$ रोटेशन का कोण है।नए समन्वय प्रणाली में, परिवर्तन के रूप में लिखा जाएगा

$$y'=Sx',$$

कहाँ x' और y' क्रमशः एक नए आधार में मूल और रूपांतरित वैक्टर हैं, जिसमें रोटेशन के अक्ष के समानांतर एक वेक्टर होता है।मूल आधार में, परिवर्तन के रूप में लिखा जाएगा

$$y=Tx,$$

जहां वैक्टर x और y और अज्ञात रूपांतरण मैट्रिक्स T मूल आधार में हैं।लिखना T सरल मैट्रिक्स के संदर्भ में, हम चेंज-ऑफ-बेस मैट्रिक्स का उपयोग करते हैं P वह बदल जाता है x और y जैसा $x'=Px$ और $y'=Py$:

$${\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\&\Rightarrow &Py&=SPx\\&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}$$

इस प्रकार, मूल आधार में मैट्रिक्स, $T$, द्वारा दिया गया है $T=P^{-1}SP$।मूल आधार में रूपांतरण तीन आसान-से-व्युत्पन्न मैट्रिसेस का उत्पाद पाया जाता है।वास्तव में, समानता परिवर्तन तीन चरणों में संचालित होता है: एक नए आधार में परिवर्तन (P), सरल परिवर्तन करें (S), और पुराने आधार पर वापस बदलें (P⁻¹)।

गुण

समानता वर्ग मैट्रिस के स्थान पर एक समानता संबंध है।

क्योंकि मैट्रिस समान हैं यदि और केवल अगर वे एक ही रैखिक ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करते हैं (संभवतः) अलग -अलग आधारों के संबंध में, समान मैट्रिस अपने साझा अंतर्निहित ऑपरेटर के सभी गुणों को साझा करते हैं:

• रैंक (रैखिक बीजगणित)
• विशेषता बहुपद, और विशेषताएं जो इससे प्राप्त की जा सकती हैं:
  • निर्धारक
  • ट्रेस (रैखिक बीजगणित)
  • eigenvalues और eigenvectors, और उनके बीजीय गुणक
• Eigenvalues की ज्यामितीय बहुलता (लेकिन eigenspaces नहीं, जो आधार परिवर्तन मैट्रिक्स P के अनुसार परिवर्तित होते हैं)।
• न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)
• फ्रोबेनियस सामान्य रूप
• जॉर्डन सामान्य रूप, जॉर्डन ब्लॉकों के एक क्रमपरिवर्तन तक
• नाइलपोटेंट मैट्रिक्स
• प्राथमिक विभाजक, जो एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर मैट्रिसेस की समानता के लिए इनवेरिएंट्स का एक पूरा सेट बनाते हैं

इस वजह से, किसी दिए गए मैट्रिक्स ए के लिए, कोई एक साधारण सामान्य रूप बी खोजने में रुचि रखता है, जो कि ए के समान है - ए तब का अध्ययन सरल मैट्रिक्स बी के अध्ययन को कम करता है। उदाहरण के लिए, ए को विकर्ण मेट्रिक्स कहा जाता है।यह एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान है।सभी मैट्रिसिस विकर्ण नहीं हैं, लेकिन कम से कम जटिल संख्या (या किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र) पर, प्रत्येक मैट्रिक्स जॉर्डन के रूप में एक मैट्रिक्स के समान है।इन रूपों में से कोई भी अद्वितीय नहीं है (विकर्ण प्रविष्टियाँ या जॉर्डन ब्लॉक की अनुमति दी जा सकती है) इसलिए वे वास्तव में विहित रूप नहीं हैं;इसके अलावा उनका दृढ़ संकल्प ए के न्यूनतम या विशेषता बहुपद को कारक करने में सक्षम होने पर निर्भर करता है (इसके समतुल्य रूप से इसके eigenvalues को खोजने के लिए)।तर्कसंगत विहित रूप में ये कमियां नहीं होती हैं: यह किसी भी क्षेत्र में मौजूद है, वास्तव में अद्वितीय है, और इसे क्षेत्र में केवल अंकगणितीय संचालन का उपयोग करके गणना की जा सकती है;ए और बी समान हैं यदि और केवल अगर उनके पास एक ही तर्कसंगत विहित रूप है।तर्कसंगत विहित रूप ए के प्राथमिक विभाजकों द्वारा निर्धारित किया जाता है;इन्हें जॉर्डन के रूप में एक मैट्रिक्स से तुरंत पढ़ा जा सकता है, लेकिन वे किसी भी मैट्रिक्स के लिए सीधे स्मिथ के सामान्य रूप की गणना करके, मैट्रिक्स के पोलिनोमिअल्स की अंगूठी पर भी निर्धारित किए जा सकते हैं (बहुपद प्रविष्टियों के साथ) XI_n − A (वही जिसका निर्धारक विशेषता बहुपद को परिभाषित करता है)।ध्यान दें कि यह स्मिथ सामान्य रूप स्वयं का एक सामान्य रूप नहीं है;इसके अलावा यह समान नहीं है XI_n − A या तो, लेकिन अलग -अलग इनवर्टिबल मैट्रिसेस (बहुपद प्रविष्टियों के साथ) द्वारा बाएं और दाएं गुणन से उत्तरार्द्ध से प्राप्त किया गया।

मैट्रिसेस की समानता आधार फ़ील्ड पर निर्भर नहीं करती है: यदि एल एक क्षेत्र विस्तार के रूप में k युक्त एक क्षेत्र है, और A और B K पर दो मैट्रिसेस हैं, तो A और B K के समान हैं, यदि वे समान हैं और केवल अगर वे समान हैं।जैसा कि एल पर मैट्रिसेस है। ऐसा इसलिए है क्योंकि K के ऊपर तर्कसंगत विहित रूप भी L पर तर्कसंगत विहित रूप है। इसका मतलब है कि कोई जॉर्डन रूपों का उपयोग कर सकता है जो केवल एक बड़े क्षेत्र में मौजूद है, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या दिया गया मैट्रिस समान हैं।

समानता की परिभाषा में, यदि मैट्रिक्स पी को एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के रूप में चुना जा सकता है, तो ए और बी 'क्रमपरिवर्तन-सिमिलर;'यदि P को एकात्मक मैट्रिक्स के रूप में चुना जा सकता है तो A और B 'यूनिट रूप से समकक्ष हैं।'वर्णक्रमीय प्रमेय का कहना है कि प्रत्येक सामान्य मैट्रिक्स कुछ विकर्ण मैट्रिक्स के बराबर है।स्पेकट के प्रमेय में कहा गया है कि दो मैट्रिस यूनिट के बराबर हैं यदि और केवल अगर वे कुछ ट्रेस समानता को संतुष्ट करते हैं।

यह भी देखें

• कैनोनिकल फॉर्म#रैखिक बीजगणित
• मैट्रिक्स बधाई
• मैट्रिक्स तुल्यता

संदर्भ

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Similarity is discussed many places, starting at page 44.)