विकर्ण मैट्रिक्स

रैखिक बीजगणित में, एक विकर्ण मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) होता है जिसमें मुख्य विकर्ण के बाहर सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं; यह शब्द आमतौर पर वर्ग आव्यूह को संदर्भित करता है। मुख्य विकर्ण के तत्व या तो शून्य या गैर-शून्य हो सकते हैं। 2×2 विकर्ण मैट्रिक्स का एक उदाहरण है $\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$, जबकि 3×3 विकर्ण मैट्रिक्स का एक उदाहरण है$\left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]$. किसी भी आकार या उसके किसी गुणज का एक पहचान मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स होता है जिसे #स्केलर मैट्रिक्स कहा जाता है, उदाहरण के लिए, $\left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]$. ज्यामिति में, एक विकर्ण मैट्रिक्स का उपयोग स्केलिंग मैट्रिक्स के रूप में किया जा सकता है, क्योंकि इसके साथ मैट्रिक्स गुणन के परिणामस्वरूप स्केल (आकार) और संभवतः आकार भी बदलता है; केवल एक अदिश मैट्रिक्स के परिणामस्वरूप पैमाने में एकसमान परिवर्तन होता है।

परिभाषा

जैसा कि ऊपर कहा गया है, एक विकर्ण मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें सभी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियाँ शून्य हैं। यानी मैट्रिक्स D = (d_i,j) n कॉलम और n पंक्तियों के साथ विकर्ण है यदि

$$\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.$$

हालाँकि, मुख्य विकर्ण प्रविष्टियाँ अप्रतिबंधित हैं।

विकर्ण मैट्रिक्स शब्द का अर्थ कभी-कभी 'rectangular diagonal matrix, जो एक m-by-n मैट्रिक्स है जिसमें सभी प्रविष्टियाँ d फॉर्म की नहीं हैं_i,i शून्य होना. उदाहरण के लिए:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$ या ${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}$

हालाँकि, अधिक बार, विकर्ण मैट्रिक्स वर्ग मैट्रिक्स को संदर्भित करता है, जिसे स्पष्ट रूप से 'के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता हैsquare diagonal matrix. एक वर्ग विकर्ण मैट्रिक्स एक सममित मैट्रिक्स है, इसलिए इसे a भी कहा जा सकता हैsymmetric diagonal matrix.

निम्नलिखित मैट्रिक्स वर्ग विकर्ण मैट्रिक्स है:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$$

यदि प्रविष्टियाँ वास्तविक संख्याएँ या जटिल संख्याएँ हैं, तो यह एक सामान्य मैट्रिक्स भी है।

इस लेख के शेष भाग में हम केवल वर्ग विकर्ण आव्यूहों पर विचार करेंगे, और उन्हें केवल विकर्ण आव्यूह के रूप में संदर्भित करेंगे।

वेक्टर-टू-मैट्रिक्स डायग ऑपरेटर

एक विकर्ण मैट्रिक्स $\mathbf {D}$ एक वेक्टर से बनाया जा सकता है $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ का उपयोग $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर:

$$\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$$

इसे और अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )$.

इसी ऑपरेटर का उपयोग ब्लॉक मैट्रिक्स#ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स को दर्शाने के लिए भी किया जाता है $\mathbf {A} =\operatorname {diag} (A_{1},\dots ,A_{n})$ जहां प्रत्येक तर्क $A_{i}$ एक मैट्रिक्स है. $\operatorname {diag}$ h> ऑपरेटर को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I}$$

कहाँ $\circ$ Hadamard उत्पाद (मैट्रिसेस) का प्रतिनिधित्व करता है और $\mathbf {1}$ तत्व 1 के साथ एक स्थिर सदिश है।

मैट्रिक्स-टू-वेक्टर डायग ऑपरेटर

व्युत्क्रम मैट्रिक्स-से-वेक्टर $\operatorname {diag}$ ऑपरेटर को कभी-कभी समान नाम से दर्शाया जाता है $\operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ जहां तर्क अब एक मैट्रिक्स है और परिणाम इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का एक वेक्टर है।

निम्नलिखित संपत्ति रखती है:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {1}$$

अदिश मैट्रिक्स

समान विकर्ण प्रविष्टियों वाला एक विकर्ण मैट्रिक्स एक अदिश मैट्रिक्स है; वह है, पहचान मैट्रिक्स का एक अदिश गुणज λ I. एक वेक्टर (गणित और भौतिकी) पर इसका प्रभाव λ द्वारा अदिश गुणन है। उदाहरण के लिए, एक 3×3 अदिश मैट्रिक्स का रूप इस प्रकार है:

$${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}$$

अदिश आव्यूह आव्यूहों के बीजगणित के बीजगणित का केंद्र होते हैं: अर्थात, वे बिल्कुल वही आव्यूह होते हैं जो समान आकार के अन्य सभी वर्ग आव्यूहों के साथ आवागमन (गणित) करते हैं। इसके विपरीत, एक क्षेत्र (गणित) (वास्तविक संख्याओं की तरह) पर, सभी विकर्ण तत्वों के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स केवल विकर्ण मैट्रिक्स के साथ आवागमन करता है (इसका केंद्रीकरण विकर्ण मैट्रिक्स का सेट है)। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि एक विकर्ण मैट्रिक्स है $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ है $a_{i}\neq a_{j},$ फिर एक मैट्रिक्स दिया गया $\mathbf {M}$ साथ $m_{ij}\neq 0,$ $(i,j)$ उत्पादों की अवधि हैं: $(\mathbf {D} \mathbf {M} )_{ij}=a_{i}m_{ij}$ और $(\mathbf {M} \mathbf {D} )_{ij}=m_{ij}a_{j},$ और $a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}$ (चूँकि कोई भी विभाजित कर सकता है $m_{ij}$), इसलिए वे तब तक आवागमन नहीं करते जब तक कि ऑफ-विकर्ण पद शून्य न हों। विकर्ण मैट्रिक्स जहां सभी विकर्ण प्रविष्टियां समान नहीं होती हैं या सभी अलग-अलग होती हैं, वहां पूरे स्थान और केवल विकर्ण मैट्रिक्स के बीच केंद्रीय केंद्र होते हैं। एक अमूर्त सदिश समष्टि V के लिए (ठोस सदिश समष्टि के बजाय $K^{n}$), अदिश मैट्रिक्स के एनालॉग अदिश परिवर्तन हैं। यह आम तौर पर एक मॉड्यूल (रिंग सिद्धांत) एम के लिए एक रिंग (बीजगणित) आर के ऊपर सच है, एंडोमोर्फिज्म बीजगणित अंत (एम) ('एम' पर रैखिक ऑपरेटरों के बीजगणित) के साथ ) आव्यूहों के बीजगणित को प्रतिस्थापित करना। औपचारिक रूप से, अदिश गुणन एक रेखीय मानचित्र है, जो एक मानचित्र को प्रेरित करता है $R\to \operatorname {End} (M),$ (एक अदिश λ से उसके संगत अदिश परिवर्तन तक, λ से गुणा) अंत (एम) को आर-बीजगणित (रिंग सिद्धांत) के रूप में प्रदर्शित करता है। सदिश स्थानों के लिए, अदिश परिवर्तन वास्तव में एंडोमोर्फिज्म बीजगणित की एक अंगूठी का केंद्र होते हैं, और, इसी तरह, अदिश उलटा परिवर्तन सामान्य रैखिक समूह जीएल (वी) का केंद्र होते हैं। पूर्व अधिक आम तौर पर सच मुक्त मॉड्यूल है $M\cong R^{n}$, जिसके लिए एंडोमोर्फिज्म बीजगणित एक मैट्रिक्स बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है।

वेक्टर संचालन

एक वेक्टर को एक विकर्ण मैट्रिक्स से गुणा करने पर प्रत्येक पद को संबंधित विकर्ण प्रविष्टि से गुणा किया जाता है। एक विकर्ण मैट्रिक्स दिया गया है $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ और एक वेक्टर $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, उत्पाद है:

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

इसे विकर्ण मैट्रिक्स के बजाय वेक्टर का उपयोग करके अधिक संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है, $\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, और सदिशों (एंट्रीवाइज उत्पाद) के हैडामर्ड उत्पाद (मैट्रिसेस) को लेते हुए, निरूपित किया जाता है $\mathbf {d} \circ \mathbf {v}$:

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

यह गणितीय रूप से समतुल्य है, लेकिन इस विरल मैट्रिक्स के सभी शून्य शब्दों को संग्रहीत करने से बचाता है। इस उत्पाद का उपयोग यंत्र अधिगम में किया जाता है, जैसे कि पश्चप्रचार में डेरिवेटिव के उत्पादों की गणना करना या TF-आईडीएफ में आईडीएफ भार को गुणा करना, चूंकि कुछ बीएलएएस फ्रेमवर्क, जो मैट्रिक्स को कुशलतापूर्वक गुणा करते हैं, सीधे तौर पर हैडामर्ड उत्पाद क्षमता को शामिल नहीं करते हैं।

मैट्रिक्स संचालन

मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स गुणन की संक्रियाएं विकर्ण मैट्रिक्स के लिए विशेष रूप से सरल हैं। लिखना diag(a₁, ..., a_n) एक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ ऊपरी बाएँ कोने से शुरू होती हैं₁, ..., ए_n. फिर, जोड़ने के लिए, हमारे पास है

diag(a₁, ..., a_n) + diag(b₁, ..., b_n) = diag(a₁ + b₁, ..., a_n + b_n)

और मैट्रिक्स गुणन के लिए,

diag(a₁, ..., a_n) diag(b₁, ..., b_n) = diag(a₁b₁, ..., a_nb_n).

विकर्ण मैट्रिक्स diag(a₁, ..., a_n) व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है यदि और केवल यदि प्रविष्टियाँ ए₁, ..., ए_n सभी शून्येतर हैं. इस मामले में, हमारे पास है

diag(a₁, ..., a_n)⁻¹ = diag(a₁⁻¹, ..., a_n⁻¹).

विशेष रूप से, विकर्ण आव्यूह सभी n-by-n आव्यूहों के वलय का एक उप-वलय बनाते हैं।

n-by-n मैट्रिक्स को गुणा करना A बायीं ओर से diag(a₁, ..., a_n) को गुणा करने के बराबर है i-की पंक्ति A द्वारा a_i सभी के लिए i; मैट्रिक्स को गुणा करना A दाईं ओर से diag(a₁, ..., a_n) को गुणा करने के बराबर है i-वें कॉलम का A द्वारा a_i सभी के लिए i.

ईजेनबैसिस में ऑपरेटर मैट्रिक्स

Main articles: Transformation matrix § Finding the matrix of a transformation, and Eigenvalues and eigenvectors

जैसा कि परिवर्तन मैट्रिक्स#परिवर्तन के मैट्रिक्स को खोजने में बताया गया है, एक विशेष आधार है, e₁, ..., e_n, जिसके लिए मैट्रिक्स $\mathbf {A}$ विकर्ण रूप धारण कर लेता है। इसलिए, परिभाषित समीकरण में ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {e} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$, सभी गुणांक $a_{i,j}$ साथ i ≠ j शून्य हैं, प्रति योग केवल एक पद शेष है। बचे हुए विकर्ण तत्व, $a_{i,i}$, eigenvalues ​​​​के रूप में जाना जाता है और इसके साथ नामित किया जाता है $\lambda _{i}$ समीकरण में, जो कम हो जाता है $\mathbf {A} \mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$. परिणामी समीकरण को eigenvalue समीकरण के रूप में जाना जाता है और विशेषता बहुपद और, आगे, eigenvalues ​​​​और eigenvectors प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।

दूसरे शब्दों में, के eigenvalues diag(λ₁, ..., λ_n) हैं λ₁, ..., λ_n के संबद्ध eigenvectors के साथ e₁, ..., e_n.

गुण

• का निर्धारक diag(a₁, ..., a_n) उत्पाद है a₁⋯a_n.
• एक विकर्ण मैट्रिक्स का adjugate फिर से विकर्ण है।
• जहाँ सभी आव्यूह वर्गाकार हैं,
  • एक मैट्रिक्स विकर्ण है यदि और केवल यदि यह त्रिकोणीय और सामान्य मैट्रिक्स है।
  • एक मैट्रिक्स विकर्ण है यदि और केवल यदि यह त्रिकोणीय मैट्रिक्स | ऊपरी- और त्रिकोणीय मैट्रिक्स | निचला-त्रिकोणीय दोनों है।
  • एक विकर्ण मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स है।
• पहचान मैट्रिक्स I_n और शून्य मैट्रिक्स विकर्ण हैं।
• 1×1 मैट्रिक्स हमेशा विकर्ण होता है।
• शून्य ट्रेस (रैखिक बीजगणित) वाले 2×2 मैट्रिक्स का वर्ग हमेशा विकर्ण होता है।

अनुप्रयोग

विकर्ण मैट्रिक्स रैखिक बीजगणित के कई क्षेत्रों में होते हैं। ऊपर दिए गए मैट्रिक्स ऑपरेशन और eigenvalues/eigenvectors के सरल विवरण के कारण, आमतौर पर किसी दिए गए मैट्रिक्स या रैखिक ऑपरेटर को एक विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा प्रस्तुत करना वांछनीय है।

वास्तव में, एक दिया गया n-by-n मैट्रिक्स A एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान मैट्रिक्स है (जिसका अर्थ है कि एक मैट्रिक्स है X ऐसा है कि X⁻¹AX विकर्ण है) यदि और केवल यदि यह है n रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors। ऐसे आव्यूहों को विकर्णीय आव्यूह कहा जाता है।

वास्तविक संख्या या जटिल संख्या संख्याओं के क्षेत्र (गणित) पर, अधिक सत्य है। वर्णक्रमीय प्रमेय कहता है कि प्रत्येक सामान्य मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान मैट्रिक्स है (यदि AA^∗ = A^∗A तो वहां एक एकात्मक मैट्रिक्स मौजूद है U ऐसा है कि UAU^∗ विकर्ण है)। इसके अलावा, एकवचन मूल्य अपघटन का तात्पर्य किसी भी मैट्रिक्स के लिए है A, एकात्मक मैट्रिक्स मौजूद हैं U और V ऐसा है कि U^∗AV सकारात्मक प्रविष्टियों के साथ विकर्ण है।

संचालिका सिद्धांत

ऑपरेटर सिद्धांत में, विशेष रूप से पीडीई के अध्ययन में, ऑपरेटरों को समझना विशेष रूप से आसान होता है और पीडीई को हल करना आसान होता है यदि ऑपरेटर उस आधार के संबंध में विकर्ण है जिसके साथ कोई काम कर रहा है; यह एक वियोज्य आंशिक अंतर समीकरण से मेल खाता है। इसलिए, ऑपरेटरों को समझने की एक प्रमुख तकनीक निर्देशांक का परिवर्तन है - ऑपरेटरों की भाषा में, एक अभिन्न परिवर्तन - जो आधार को eigenfunction के ईजेनबेस में बदल देता है: जो समीकरण को अलग करने योग्य बनाता है। इसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण फूरियर रूपांतरण है, जो निरंतर गुणांक विभेदन ऑपरेटरों (या अधिक सामान्यतः अनुवाद अपरिवर्तनीय ऑपरेटरों) को विकर्ण करता है, जैसे कि लाप्लासियन ऑपरेटर, गर्मी समीकरण में कहते हैं।

गुणन ऑपरेटर विशेष रूप से आसान होते हैं, जिन्हें एक निश्चित फ़ंक्शन द्वारा गुणन के रूप में परिभाषित किया जाता है - प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन के मान मैट्रिक्स की विकर्ण प्रविष्टियों के अनुरूप होते हैं।

यह भी देखें

• एंटी-विकर्ण मैट्रिक्स
• बैंडेड मैट्रिक्स
• द्विविकर्ण मैट्रिक्स
• विकर्ण रूप से प्रभावशाली मैट्रिक्स
• विकर्णीय मैट्रिक्स
• जॉर्डन सामान्य रूप
• गुणन संचालिका
• त्रिविकर्णीय मैट्रिक्स
• टोएप्लिट्ज़ मैट्रिक्स
• तोरल लाई बीजगणित
• सर्कुलेट मैट्रिक्स

स्रोत

• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6

श्रेणी:मैट्रिक्स सामान्य रूप श्रेणी:विरल मैट्रिक्स