वेक्टर (गणित और भौतिकी)

गणित और भौतिकी में, वेक्टर एक ऐसा शब्द है जो बोलचाल की भाषा में कुछ भौतिक मात्रा को संदर्भित करता है जिसे एक संख्या (एक स्केलर (भौतिकी)) या कुछ वेक्टर रिक्त स्थान के तत्वों द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से, वैक्टर को ज्यामिति और भौतिकी (आमतौर पर यांत्रिकी में) में उन मात्राओं के लिए पेश किया गया था जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, जैसे विस्थापन (ज्यामिति), बल और वेग। ऐसी राशियों को ज्यामितीय सदिशों द्वारा उसी तरह दर्शाया जाता है जैसे दूरियों, द्रव्यमानों और समय को वास्तविक संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है।

शब्द 'वेक्टर' का प्रयोग कुछ संदर्भों में टुपल्स के लिए भी किया जाता है, जो एक निश्चित लंबाई की संख्याओं के परिमित अनुक्रम होते हैं।

ज्यामितीय वैक्टर और टुपल्स दोनों को जोड़ा और स्केल किया जा सकता है, और इन वेक्टर ऑपरेशंस ने वेक्टर स्पेस की अवधारणा को जन्म दिया, जो एक सेट (गणित) है जो एक वेक्टर जोड़ और एक स्केलर गुणा से लैस है जो संचालन के मुख्य गुणों को सामान्यीकृत करने वाले कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। उपरोक्त प्रकार के वैक्टर पर। ज्यामितीय सदिशों द्वारा गठित एक सदिश स्थान को यूक्लिडियन सदिश स्थान कहा जाता है, और टुपल्स द्वारा निर्मित एक सदिश स्थान को एक समन्वय सदिश स्थान कहा जाता है।

गणित में कई सदिश स्थानों पर विचार किया जाता है, जैसे विस्तार क्षेत्र, बहुपद वलय, बीजगणित और कार्य स्थान। 'वेक्टर' शब्द का प्रयोग आम तौर पर इन वेक्टर रिक्त स्थान के तत्वों के लिए नहीं किया जाता है, और आम तौर पर ज्यामितीय वैक्टर, टुपल्स और अनिर्दिष्ट वेक्टर रिक्त स्थान के तत्वों के लिए आरक्षित होता है (उदाहरण के लिए, वेक्टर रिक्त स्थान के सामान्य गुणों पर चर्चा करते समय)।

यूक्लिडियन ज्यामिति में वैक्टर

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वेक्टर रिक्त स्थान

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बीजगणित में वेक्टर

एक क्षेत्र पर प्रत्येक बीजगणित एक सदिश स्थान है, लेकिन एक बीजगणित के तत्वों को आमतौर पर सदिश नहीं कहा जाता है। हालांकि, कुछ मामलों में, मुख्य रूप से ऐतिहासिक कारणों से, उन्हें वेक्टर कहा जाता है।

वेक्टर चतुर्धातुक, शून्य वास्तविक भाग वाला एक चतुर्भुज
मल्टीवेक्टर या पी-वेक्टर | $p$ -वेक्टर, सदिश स्थान के बाहरी बीजगणित का एक तत्व।
स्पिनर्स, जिन्हें स्पिन वैक्टर भी कहा जाता है, को रोटेशन वेक्टर की धारणा को विस्तारित करने के लिए पेश किया गया है। वास्तव में, रोटेशन वैक्टर स्थानीय स्तर पर अच्छी तरह से रोटेशन का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन विश्व स्तर पर नहीं, क्योंकि रोटेशन वैक्टर के स्थान में एक बंद वक्र घुमाव के स्थान में वक्र को प्रेरित कर सकता है जो कि लूप नहीं है। इसके अलावा, रोटेशन वैक्टर का मैनिफोल्ड ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड है, जबकि रोटेशन का मैनिफोल्ड नहीं है। स्पिनर कुछ क्लिफोर्ड बीजगणित के वेक्टर उप-स्थान के तत्व हैं।
विट वेक्टर, एक कम्यूटेटिव रिंग के तत्वों का एक अनंत अनुक्रम, जो एक रिंग के ऊपर बीजगणित से संबंधित है, और पी-एडिक नंबरों पर संचालन में कैरी (अंकगणितीय) प्रसार को संभालने के लिए पेश किया गया है।

डेटा वैक्टर द्वारा दर्शाया गया है

सेट $\mathbb {R} ^{n}$ टुपल्स का $n$ वास्तविक संख्याओं में घटक-वार योग और अदिश गुणन द्वारा परिभाषित सदिश स्थान की एक प्राकृतिक संरचना होती है। इन टुपल्स वैक्टर को कॉल करना आम है, यहां तक कि उन संदर्भों में भी जहां वेक्टर-स्पेस ऑपरेशंस लागू नहीं होते हैं। अधिक आम तौर पर, जब कुछ डेटा को वैक्टर द्वारा स्वाभाविक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है, तो उन्हें अक्सर वैक्टर कहा जाता है, भले ही वैक्टर के जोड़ और स्केलर गुणन इन डेटा पर वैध संचालन न हों।^{[disputed – discuss]} यहाँ कुछ उदाहरण हैं।

घूर्णन सदिश, एक यूक्लिडियन सदिश जिसकी दिशा घूर्णन के अक्ष (ज्यामिति) की है और परिमाण घूर्णन का कोण है।
बर्गर वेक्टर, एक वेक्टर जो एक क्रिस्टल जाली में अव्यवस्था के जाली विरूपण की परिमाण और दिशा का प्रतिनिधित्व करता है
इंटरवल वेक्टर, संगीत सेट सिद्धांत में, एक सरणी जो पिच-क्लास सेट की अंतराल सामग्री को व्यक्त करती है
प्रायिकता वेक्टर, सांख्यिकी में, गैर-नकारात्मक प्रविष्टियों वाला एक वेक्टर जिसका योग एक होता है।
यादृच्छिक सदिश या बहुभिन्नरूपी यादृच्छिक चर, आँकड़ों में, वास्तविक संख्या-मूल्यवान यादृच्छिक चर का एक सेट जो सहसंबद्ध हो सकता है। हालाँकि, एक यादृच्छिक वेक्टर एक यादृच्छिक चर को भी संदर्भित कर सकता है जो एक वेक्टर स्थान में इसके मान लेता है।
लॉजिकल मैट्रिक्स # लॉजिकल वैक्टर, 0s और 1s का वेक्टर (बूलियन डेटा प्रकार)।

यह भी देखें

वेक्टर (बहुविकल्पी)

अधिक संरचना के साथ वेक्टर रिक्त स्थान

ग्रेडेड वेक्टर स्पेस, एक प्रकार का वेक्टर स्पेस जिसमें ग्रेडेशन की अतिरिक्त संरचना शामिल होती है
नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस, एक वेक्टर स्पेस जिस पर एक मानदंड परिभाषित किया गया है
हिल्बर्ट अंतरिक्ष
आदेशित वेक्टर स्थान, आंशिक आदेश से सुसज्जित एक वेक्टर स्थान
सुपर वेक्टर स्पेस, Z के लिए नाम₂-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस
सिम्प्लेक्टिक वेक्टर स्पेस, एक वेक्टर स्पेस V एक गैर-पतित, तिरछा-सममित, बिलिनियर फॉर्म से लैस है
टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस, वेक्टर स्पेस की बीजगणितीय अवधारणा के साथ टोपोलॉजिकल स्ट्रक्चर का मिश्रण

वेक्टर क्षेत्र

एक वेक्टर फ़ील्ड एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन है, जो आम तौर पर, उसी आयाम का एक डोमेन होता है (कई गुना के रूप में) इसके कोडोमेन के रूप में,

कंज़र्वेटिव वेक्टर फ़ील्ड, एक वेक्टर फ़ील्ड जो स्केलर संभावित फ़ील्ड का ढाल है
हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड, किसी भी ऊर्जा फ़ंक्शन या हैमिल्टनियन के लिए परिभाषित वेक्टर फ़ील्ड
किलिंग वेक्टर फील्ड, रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर एक वेक्टर फील्ड
सोलनॉइडल वेक्टर फील्ड, शून्य डाइवर्जेंस वाला वेक्टर फील्ड
सदिश क्षमता, एक सदिश क्षेत्र जिसका कर्ल एक दिया हुआ सदिश क्षेत्र है
वेक्टर प्रवाह, वेक्टर क्षेत्र द्वारा निर्धारित प्रवाह की निकट से संबंधित अवधारणाओं का एक सेट

विविध

रिक्की कैलकुलस
वेक्टर विश्लेषण (गिब्स/विल्सन), एडविन बिडवेल विल्सन द्वारा पहली बार 1901 में प्रकाशित वेक्टर कैलकुलस पर एक पाठ्यपुस्तक, जिसने त्रि-आयामी रैखिक बीजगणित और वेक्टर कैलकुलस के संकेतन और शब्दावली को मानकीकृत करने के लिए बहुत कुछ किया
वेक्टर बंडल, एक टोपोलॉजिकल कंस्ट्रक्शन जो किसी अन्य स्पेस द्वारा परिचालित वेक्टर रिक्त स्थान के परिवार के विचार को सटीक बनाता है
वेक्टर कलन, वेक्टर क्षेत्रों के विभेदीकरण और एकीकरण से संबंधित गणित की एक शाखा
वेक्टर डिफरेंशियल, या डेल, एक वेक्टर डिफरेंशियल ऑपरेटर जिसे नाबला प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है $\nabla$
वेक्टर लाप्लासियन, वेक्टर लाप्लास ऑपरेटर, द्वारा निरूपित $\nabla ^{2}$ , एक सदिश क्षेत्र पर परिभाषित एक अवकल संकारक है
वेक्टर संकेतन, वैक्टर के साथ काम करते समय सामान्य संकेतन
वेक्टर ऑपरेटर, वेक्टर कैलकुस में प्रयुक्त अंतर ऑपरेटर का एक प्रकार
वेक्टर उत्पाद, या क्रॉस उत्पाद, त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दो वैक्टरों पर एक ऑपरेशन, एक तीसरा त्रि-आयामी यूक्लिडियन वेक्टर उत्पन्न करता है
सदिश प्रक्षेपण, जिसे सदिश दृढ़ या सदिश घटक के रूप में भी जाना जाता है, एक रेखीय मानचित्रण जो दूसरे सदिश के समानांतर एक सदिश का उत्पादन करता है
वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन, एक फ़ंक्शन (गणित) जिसमें कोडोमेन के रूप में वेक्टर स्पेस होता है
वैश्वीकरण (गणित), एक रेखीय परिवर्तन जो एक मैट्रिक्स को एक कॉलम वेक्टर में परिवर्तित करता है
वेक्टर स्वप्रतिगमन, एक अर्थमितीय मॉडल जिसका उपयोग कई समय श्रृंखलाओं के बीच विकास और अन्योन्याश्रितताओं को पकड़ने के लिए किया जाता है
वेक्टर बोसोन, स्पिन क्वांटम संख्या के साथ एक बोसॉन 1 के बराबर
वेक्टर माप, सेट के परिवार पर परिभाषित एक फ़ंक्शन और कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले वेक्टर मान लेना
वेक्टर मेसन, कुल स्पिन 1 और विषम समता वाला एक मेसन
वेक्टर परिमाणीकरण, सिग्नल प्रोसेसिंग में उपयोग की जाने वाली परिमाणीकरण तकनीक
वेक्टर सॉलिटॉन, एक साथ कई घटकों के साथ एक अकेली लहर जो प्रसार के दौरान अपने आकार को बनाए रखती है
वेक्टर संश्लेषण, एक प्रकार का ऑडियो संश्लेषण

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संदर्भ

Heinbockel, J. H. (2001). Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics. Trafford Publishing. ISBN 1-55369-133-4.
Itô, Kiyosi (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2nd ed.). MIT Press. ISBN 978-0-262-59020-4.
Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Vector", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Pedoe, Daniel (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 0-486-65812-0.