सामान्य मैट्रिक्स

गणित में, एक जटिल संख्या वर्ग मैट्रिक्स $A$ अगर यह अपने संयुग्मन संक्रमण के साथ कम्यूट (गणित) है तो सामान्य है $A *$ :

$A{\text{ normal}}\quad \iff \quad A^{*}A=AA^{*}$

सामान्य मैट्रिसेस की अवधारणा को अनंत आयामी मानदंड रिक्त स्थान पर सामान्य ऑपरेटरों और सी*-लगेब्रस में सामान्य तत्वों तक बढ़ाया जा सकता है।जैसा समान मैट्रिक्स मामले में, सामान्यता का अर्थ है कि कम्यूटेटिविटी को संरक्षित किया जाता है, संभव हद तक, गैर -संकलन सेटिंग में।यह सामान्य ऑपरेटरों, और C*-Algebras के सामान्य तत्वों को विश्लेषण के लिए अधिक उत्तरदायी बनाता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय में कहा गया है कि एक मैट्रिक्स सामान्य है यदि और केवल अगर यह एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान है, और इसलिए कोई भी मैट्रिक्स $A$ समीकरण को संतुष्ट करना $A * A = AA *$ विकर्ण मैट्रिक्स है।कॉन्ट्रैक्ट नहीं होता है क्योंकि विकर्ण मैट्रिसेस में गैर-ऑर्थोगोनल ईगेंसपेस हो सकते हैं।

एक सामान्य मैट्रिक्स के एकवचन मूल्य अपघटन में बाएं और दाएं विलक्षण वैक्टर $\mathbf {A} =\mathbf {U} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {V} ^{*}$ केवल एक दूसरे से और संबंधित eigenvectors से जटिल चरण में भिन्न होते हैं, क्योंकि चरण को एकवचन मूल्यों को बनाने के लिए eigenvalues से बाहर रखा जाना चाहिए।

विशेष मामले

जटिल मैट्रिसेस के बीच, सभी एकात्मक मैट्रिक्स, हरमिटियन मैट्रिक्स, और स्केव-हर्मिटियन मैट्रिक्स | स्केव-हर्मिटियन मैट्रिस सामान्य हैं, सभी ईजेनवैल्यूज क्रमशः यूनिट मापांक, वास्तविक और काल्पनिक हैं।इसी तरह, वास्तविक मैट्रिसेस के बीच, सभी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, सममित मैट्रिक्स, और तिरछी-सममितीय मैट्रिक्स | स्केव-सममित मैट्रिस सामान्य हैं, सभी ईजेनवेल्स क्रमशः यूनिट सर्कल, वास्तविक और काल्पनिक पर जटिल संयुग्म जोड़े हैं।हालांकि, यह मामला नहीं है कि सभी सामान्य मैट्रिस या तो एकात्मक हैं या (स्केव-) हर्मिटियन, क्योंकि उनके eigenvalues सामान्य रूप से किसी भी जटिल संख्या हो सकते हैं।उदाहरण के लिए,

A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}

न तो एकात्मक, हर्मिटियन, और न ही स्केव-हरमिटियन है, क्योंकि इसके eigenvalues हैं

2,(1\pm i{\sqrt {3}})/2

;फिर भी यह सामान्य है क्योंकि

 $AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.$

परिणाम

Proposition — A normal triangular matrix is diagonal.

Proof

Let $A$ be any normal upper triangular matrix. Since

(A^{*}A)_{ii}=(AA^{*})_{ii},

using subscript notation, one can write the equivalent expression using instead the

i

th unit vector (

{\hat {\mathbf {e} }}_{i}

) to select the

i

th row and

i

th column:

{\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(A^{*}A\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(AA^{*}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}.

The expression

\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)=\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)

is equivalent, and so is

\left\|A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2}=\left\|A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2},

which shows that the

i

th row must have the same norm as the

i

th column.

Consider $i = 1$ . The first entry of row 1 and column 1 are the same, and the rest of column 1 is zero (because of triangularity). This implies the first row must be zero for entries 2 through $n$ . Continuing this argument for row–column pairs 2 through $n$ shows $A$ is diagonal. Q.E.D.

सामान्यता की अवधारणा महत्वपूर्ण है क्योंकि सामान्य मैट्रिस ठीक वे हैं जिन पर वर्णक्रमीय प्रमेय लागू होता है:

Proposition — A matrix $A$ is normal if and only if there exists a diagonal matrix $Λ$ and a unitary matrix $U$ such that $A = U Λ U *$ .

की विकर्ण प्रविष्टियाँ $Λ$ के eigenvalues हैं $A$ , और के स्तंभ $U$ के eigenvectors हैं $A$ ।मैचिंग ईजेनवेल्यूज इन $Λ$ उसी क्रम में आएं जैसे कि eigenvectors के कॉलम के रूप में आदेश दिया जाता है $U$ ।

वर्णक्रमीय प्रमेय को बताने का एक और तरीका यह है कि सामान्य मैट्रिसेस ठीक से वे मैट्रिस हैं जिन्हें एक विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। $C n$ ।अलग -अलग रूप $C n$ और के मानक आंतरिक उत्पाद के संबंध में जोड़ीदार ओर्थोगोनल हैं $C n$ ।

सामान्य मैट्रिसेस के लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय अधिक सामान्य शूर अपघटन का एक विशेष मामला है जो सभी वर्ग मैट्रिस के लिए रखता है।होने देना $A$ एक वर्ग मैट्रिक्स हो।फिर शूर अपघटन द्वारा यह एक ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के समान एकात्मक है, कहते हैं, $B$ ।अगर $A$ सामान्य है, तो है $B$ ।परन्तु फिर $B$ जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, के लिए विकर्ण होना चाहिए, एक सामान्य ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स विकर्ण है।

स्पेक्ट्रल प्रमेय उदाहरण के लिए, उनके स्पेक्ट्रा के संदर्भ में सामान्य मैट्रिस के वर्गीकरण की अनुमति देता है:

Proposition — A normal matrix is unitary if and only if all of its eigenvalues (its spectrum) lie on the unit circle of the complex plane.

Proposition — A normal matrix is self-adjoint if and only if its spectrum is contained in $\mathbb {R}$ . In other words: A normal matrix is Hermitian if and only if all its eigenvalues are real.

सामान्य तौर पर, दो सामान्य मैट्रिस के योग या उत्पाद को सामान्य नहीं होना चाहिए।हालाँकि, निम्नलिखित हैं:

Proposition — If $A$ and $B$ are normal with $AB = BA$ , then both $AB$ and $A + B$ are also normal. Furthermore there exists a unitary matrix $U$ such that $UAU *$ and $UBU *$ are diagonal matrices. In other words $A$ and $B$ are simultaneously diagonalizable.

इस विशेष मामले में, स्तंभ $U *$ दोनों के eigenvectors हैं $A$ और $B$ और में एक orthonormal आधार बनाते हैं $C n$ ।यह प्रमेयों को मिलाकर, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, मैट्रिसेस को एक साथ त्रिकोणीय रूप से त्रिकोणीय रूप से जोड़ने के लिए है और एक सामान्य मैट्रिक्स विकर्ण है - जोड़ा गया परिणाम यह है कि ये दोनों एक साथ किया जा सकता है।

समकक्ष परिभाषाएँ

एक सामान्य मैट्रिक्स की समकक्ष परिभाषाओं की काफी लंबी सूची देना संभव है।होने देना $A$ हो सकता है $n \times n$ जटिल मैट्रिक्स।उसके बाद निम्न बराबर हैं:

$A$ यह सामान्य है।
$A$ एकात्मक मैट्रिक्स द्वारा विकर्ण मैट्रिक्स है।
वहाँ eigenvectors का एक सेट मौजूद है $A$ जो एक orthonormal आधार बनाता है $C n$ ।
$\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ हरएक के लिए $x$ ।
फ्रोबेनियस मानदंड $A$ के eigenvalues द्वारा गणना की जा सकती है $A$ : ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ ।
हर्मिटियन मैट्रिक्स पार्ट $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2(A + A*)$ और स्केव-हर्मिटियन मैट्रिक्स | स्केव-हरमिटियन पार्ट $1 / 2 (A - A *)$ का $A$ आना-जाना।
$A *$ एक बहुपद (डिग्री का) $\leq n - 1$ ) में $A$ .^{[lower-alpha 1]}
$A * = AU$ कुछ एकात्मक मैट्रिक्स के लिए $U$ .^[1]
$U$ और $P$ कम्यूट, जहां हमारे पास ध्रुवीय अपघटन है $A = UP$ एकात्मक मैट्रिक्स के साथ $U$ और कुछ सकारात्मक-परिभाषा मैट्रिक्स $P$ ।
$A$ कुछ सामान्य मैट्रिक्स के साथ आवागमन $N$ अलग eigenvalues के साथ।
$σ i = | λ i |$ सभी के लिए $1 \leq i \leq n$ कहाँ $A$ एकवचन मूल्य हैं $σ 1 \geq \dots \geq σ n$ और eigenvalues $| λ 1 | \geq \dots \geq | λ n |$ ।^[2]

कुछ लेकिन उपरोक्त सभी अनंत-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर सामान्य ऑपरेटरों को सामान्य नहीं करते हैं।उदाहरण के लिए, एक बाउंडेड ऑपरेटर संतोषजनक (9) केवल quasinormal ऑपरेटर है।

सामान्य मैट्रिक्स सादृश्य

यह कभी -कभी उपयोगी होता है (लेकिन कभी -कभी भ्रामक) विशेष प्रकार के सामान्य मैट्रिस के संबंधों के बारे में सोचने के लिए इसी प्रकार की जटिल संख्याओं के संबंधों के अनुरूप है, जिनमें से उनके eigenvalues की रचना की जाती है।इसका कारण यह है कि एक गैर-दोषपूर्ण मैट्रिक्स का कोई भी कार्य सीधे उसके प्रत्येक eigenvalues पर कार्य करता है, और इसके वर्णक्रमीय अपघटन के संयुग्मन ट्रांसपोज़ $VDV^{*}$ है $VD^{*}V^{*}$ , कहाँ $D$ eigenvalues का विकर्ण मैट्रिक्स है।इसी तरह, यदि दो सामान्य मैट्रिसेस कम्यूट करते हैं और इसलिए एक साथ तिरछे होते हैं, तो इन मैट्रिसेस के बीच कोई भी ऑपरेशन भी प्रत्येक संबंधित जोड़ी पर कार्य करता है।

संयुग्म ट्रांसपोज़ जटिल संयुग्म के अनुरूप है।
एकात्मक मैट्रिक्स एकक व्रत पर जटिल संख्याओं के अनुरूप हैं।
हर्मिटियन मैट्रिक्स वास्तविक संख्याओं के अनुरूप हैं।
हर्मिटियन पॉजिटिव-डेफिनाइट मैट्रिक्स सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के अनुरूप हैं।
स्केव-हर्मिटियन मैट्रिक्स विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याओं के अनुरूप हैं।
उलटा मैट्रिक्स गैर-शून्य जटिल संख्याओं के अनुरूप हैं।
एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम में प्रत्येक eigenvalue उल्टा होता है।
एक समान स्केलिंग_ (ज्यामिति) एक निरंतर संख्या के अनुरूप है।
विशेष रूप से, शून्य मैट्रिक्स 0 के अनुरूप है, और
पहचान मैट्रिक्स मैट्रिक्स 1 के अनुरूप है।
एक idempotent मैट्रिक्स प्रत्येक eigenvalue के साथ 0 या 1 के साथ एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है।
एक सामान्य inverutution_matrix में eigenvalues है $\pm 1$ ।

एक विशेष मामले के रूप में, जटिल संख्याओं को मैपिंग द्वारा सामान्य 2 × 2 वास्तविक मैट्रिसेस में एम्बेड किया जा सकता है

 $a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}=a\,{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b\,{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,.$

जो जोड़ और गुणा को संरक्षित करता है।यह जांचना आसान है कि यह एम्बेडिंग उपरोक्त सभी उपमाओं का सम्मान करता है।

यह भी देखें

हर्मिटियन मैट्रिक्स
कम से कम-वर्ग सामान्य मैट्रिक्स

स्रोत

Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6।
Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1991). मैट्रिक्स विश्लेषण में विषय. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7.

श्रेणी: मैट्रिसेस

JA: औपचारिक भूमिका

[1] Proof: When $A$ is normal, use Lagrange's interpolation formula to construct a polynomial $P$ such that ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ , where $\lambda _{j}$ are the eigenvalues of $A$ .

[2] Horn & Johnson (1985), p. 109

[3] Horn & Johnson (1991), p. 157

[lower-alpha 1]

[1]

[2]

v t e Matrix classes
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
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