एकात्मक मैट्रिक्स

For matrices with orthogonality over the real number field, see orthogonal matrix. For the restriction on the allowed evolution of quantum systems that ensures the sum of probabilities of all possible outcomes of any event always equals 1, see unitarity.

रैखिक बीजगणित में, एक जटिल संख्या मैट्रिक्स (गणित) U एकात्मक है अगर इसका संयुग्मी स्थानान्तरण है U^* इसका उलटा मैट्रिक्स भी है, यानी अगर

$$U^{*}U=UU^{*}=UU^{-1}=I,$$

कहां I पहचान मैट्रिक्स है।

भौतिकी में, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी में, संयुग्मी पारगमन को एक मैट्रिक्स के हर्मिटियन आसन्न के रूप में संदर्भित किया जाता है और इसे डैगर (चिह्न) (†) द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए उपरोक्त समीकरण लिखा गया है

$$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.$$

एकात्मक मैट्रिक्स का वास्तविक एनालॉग एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। क्वांटम यांत्रिकी में एकात्मक मैट्रिसेस का महत्वपूर्ण महत्व है क्योंकि वे नॉर्म (गणित) को संरक्षित करते हैं, और इस प्रकार, संभाव्यता आयाम ।

गुण

किसी भी एकात्मक मैट्रिक्स के लिए U परिमित आकार का, निम्नलिखित पकड़:

• दो जटिल वैक्टर दिए गए हैं x और y, गुणा करके U उनके आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है; वह है, ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩.
• U सामान्य मैट्रिक्स है ($U^{*}U=UU^{*}$).
• U विकर्ण मैट्रिक्स है; वह है, U वर्णक्रमीय प्रमेय के परिणामस्वरूप, एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान मैट्रिक्स है। इस प्रकार, U रूप का अपघटन है $U=VDV^{*},$ कहां V एकात्मक है, और D विकर्ण और एकात्मक है।
• $\left|\det(U)\right|=1$.
• इसका ईजेनवेक्टर # मैट्रिक्स के ईजेनस्पेस ऑर्थोगोनल हैं।
• U रूप में लिखा जा सकता है U = e^iH, कहां e मैट्रिक्स घातीय इंगित करता है, i काल्पनिक इकाई है, और H एक हर्मिटियन मैट्रिक्स है।

किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए n, सभी का सेट n × n मैट्रिक्स गुणन के साथ एकात्मक मैट्रिक्स एक समूह (गणित) बनाता है, जिसे एकात्मक समूह कहा जाता है U(n).

यूनिट यूक्लिडियन मानदंड वाला कोई वर्ग मैट्रिक्स दो एकात्मक आव्यूहों का औसत होता है।

समतुल्य शर्तें

यदि यू एक वर्ग, जटिल मैट्रिक्स है, तो निम्नलिखित स्थितियां समतुल्य हैं:

1. $U$ एकात्मक है।
2. $U^{*}$ एकात्मक है।
3. $U$ के साथ उलटा है $U^{-1}=U^{*}$.
4. के कॉलम $U$ का असामान्य आधार बनाते हैं $\mathbb {C} ^{n}$ सामान्य आंतरिक उत्पाद के संबंध में। दूसरे शब्दों में, $U^{*}U=I$.
5. की पंक्तियाँ $U$ का असामान्य आधार बनाते हैं $\mathbb {C} ^{n}$ सामान्य आंतरिक उत्पाद के संबंध में। दूसरे शब्दों में, $UU^{*}=I$.
6. $U$ सामान्य मानदंड के संबंध में एक आइसोमेट्री है। वह है, $\|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}$ सबके लिए $x\in \mathbb {C} ^{n}$, कहां ${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$.
7. $U$ एक सामान्य मैट्रिक्स है (समतुल्य रूप से, के eigenvectors द्वारा गठित एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है $U$) यूनिट सर्कल पर पड़े eigenvalues के साथ।

प्राथमिक निर्माण

2 × 2 एकात्मक मैट्रिक्स

ए की सामान्य अभिव्यक्ति 2 × 2 एकात्मक मैट्रिक्स है

$$U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1,$$

जो 4 वास्तविक मापदंडों पर निर्भर करता है (का चरण a, का चरण b, के बीच सापेक्ष परिमाण a और b, और कोण φ). ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक है

$$\det(U)=e^{i\varphi }.$$

उन तत्वों का उपसमूह $U$ साथ $\det(U)=1$ विशेष एकात्मक समूह #n = 2 SU(2) कहा जाता है।

साँचा U इस वैकल्पिक रूप में भी लिखा जा सकता है:

$$U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}\cos \theta &e^{i\varphi _{2}}\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \\\end{bmatrix}},$$

जिसका परिचय देकर φ₁ = ψ + Δ और φ₂ = ψ − Δ, निम्नलिखित गुणनखंड लेता है:

$$U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i\Delta }\end{bmatrix}}.$$

यह अभिव्यक्ति बीच के संबंध पर प्रकाश डालती है 2 × 2 एकात्मक मैट्रिसेस और 2 × 2 कोण का ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स θ.

एक और गुणनखंड है

$$U={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &\sin \beta \\-\sin \beta &\cos \beta \\\end{bmatrix}}.$$

मूल आव्यूहों में एकात्मक आव्यूह के कई अन्य गुणनखंड संभव हैं।

यह भी देखें

• हर्मिटियन मैट्रिक्स और तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स
• मैट्रिक्स अपघटन
• ओर्थोगोनल ग्रुप|ऑर्थोगोनल ग्रुप ओ(एन)
• ओर्थोगोनल समूह|विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n)
• ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स
• क्वांटम लॉजिक गेट
• विशेष एकात्मक समूह | विशेष एकात्मक समूह SU(n)
• सहानुभूतिपूर्ण मैट्रिक्स
• एकात्मक समूह | एकात्मक समूह यू (एन)
• एकात्मक संचालक

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बाहरी कड़ियाँ

• Weisstein, Eric W. "Unitary Matrix". MathWorld. Todd Rowland.
• Ivanova, O. A. (2001) [1994], "Unitary matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• "Show that the eigenvalues of a unitary matrix have modulus 1". Stack Exchange. March 28, 2016.