तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स

रेखीय बीजगणित में, जटिल संख्या प्रविष्टियों के साथ एक स्क्वायर मैट्रिक्स को तिरछा-हर्मिटियन या एंटी-हर्मिटियन कहा जाता है यदि इसका संयुग्मित स्थानांतरण मूल मैट्रिक्स का ऋणात्मक है। यानी मैट्रिक्स $A$ तिरछा-हर्मिटियन है अगर यह संबंध को संतुष्ट करता है

$A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad A^{\mathsf {H}}=-A$

कहाँ $A^{\textsf {H}}$ मैट्रिक्स के संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है $A$. घटक रूप में, इसका अर्थ है कि

$A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$

सभी सूचकांकों के लिए $i$ और $j$, कहाँ $a_{ij}$ में तत्व है $i$-वीं पंक्ति और $j$-वाँ स्तंभ $A$, और ओवरलाइन जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

Skew-Hermitian matrices को वास्तविक Skew- सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित मैट्रिक्स के जटिल संस्करणों के रूप में या विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याओं के मैट्रिक्स एनालॉग के रूप में समझा जा सकता है। सभी तिरछा-हर्मिटियन का सेट $n\times n$ मेट्रिसेस बनाता है $u(n)$ लाई बीजगणित, जो लाई समूह एकात्मक समूह|यू(n) से संबंधित है। अवधारणा को किसी भी जटिल संख्या सदिश स्थान के रैखिक परिवर्तनों को शामिल करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें एक squilinear नॉर्म (गणित) होता है।

ध्यान दें कि एक ऑपरेटर का आसन्न ऑपरेटर पर विचार किए गए स्केलर उत्पाद पर निर्भर करता है $n$ आयामी जटिल या वास्तविक स्थान $K^{n}$. अगर $(\cdot \mid \cdot )$ स्केलर उत्पाद को दर्शाता है $K^{n}$, फिर कह रहा है $A$ is तिरछा-अडज्वाइंट का अर्थ है कि सभी के लिए $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{n}$ किसी के पास $(A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )$.

काल्पनिक संख्याओं को तिरछा-आसन्न माना जा सकता है (चूंकि वे समान हैं $1\times 1$ मेट्रिसेस), जबकि वास्तविक संख्या स्वयं-आसन्न ऑपरेटरों के अनुरूप होती है।