अनिवार्य रूप से अद्वितीय

गणित में, अनिवार्य रूप से अद्वितीय शब्द का उपयोग विशिष्टता के एक कमजोर रूप का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जहां संपत्ति को संतुष्ट करने वाली वस्तु केवल इस अर्थ में अद्वितीय होती है कि संपत्ति को संतुष्ट करने वाली सभी वस्तुएं एक दूसरे के बराबर होती हैं। आवश्यक अद्वितीयता की धारणा कुछ प्रकार की समानता को मानती है, जिसे अक्सर समानता संबंध का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया जाता है।

एक संबंधित धारणा एक सार्वभौमिक संपत्ति है, जहां एक वस्तु न केवल अनिवार्य रूप से अद्वितीय है, बल्कि अद्वितीय 'एक अद्वितीय समरूपता तक' है। (जिसका अर्थ है कि इसमें तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म समूह है)। आम तौर पर अनिवार्य रूप से अद्वितीय वस्तु के उदाहरणों के बीच एक से अधिक समरूपता हो सकती है।

उदाहरण

सेट सिद्धांत

सबसे बुनियादी स्तर पर, किसी भी प्रमुखता का एक अनिवार्य रूप से अनूठा सेट है, चाहे कोई तत्वों को लेबल करता हो $\{1,2,3\}$ या $\{a,b,c\}$. इस मामले में, समरूपता की गैर-विशिष्टता (उदाहरण के लिए, 1 से $a$ या 1 से$c$) सममित समूह में परिलक्षित होता है।

दूसरी ओर, किसी भी परिमित कार्डिनैलिटी का एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय आदेशित सेट है: यदि कोई लिखता है $\{1<2<3\}$ और $\{a<b<c\}$, तो एकमात्र क्रम-संरक्षण समरूपता वह है जो 1 से मैप करता है$a$, 2 से$b$, और 3 से$c$.

संख्या सिद्धांत

अंकगणित का मूलभूत प्रमेय यह स्थापित करता है कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक का अभाज्य संख्याओं में गुणनखंड अनिवार्य रूप से अद्वितीय है, अर्थात, प्रमुख कारकों के क्रम में अद्वितीय है।

समूह सिद्धांत

समूह (गणित) के वर्गीकरण के संदर्भ में, एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय समूह होता है जिसमें ठीक 2 तत्व होते हैं।इसी तरह, एक अनिवार्य रूप से अनूठा समूह भी है जिसमें ठीक 3 तत्व होते हैं: क्रम तीन का चक्रीय समूह। वास्तव में, इस बात की परवाह किए बिना कि कोई तीन तत्वों को कैसे लिखता है और समूह संचालन को निरूपित करता है, ऐसे सभी समूहों को एक दूसरे के लिए समरूपी दिखाया जा सकता है, और इसलिए समान हैं।

दूसरी ओर, वास्तव में 4 तत्वों के साथ एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय समूह मौजूद नहीं है, क्योंकि इस मामले में कुल मिलाकर दो गैर-आइसोमोर्फिक समूह हैं: क्रम 4 का चक्रीय समूह और क्लेन चार समूह।

माप सिद्धांत

एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय उपाय है जो अनुवाद (गणित) है - अपरिवर्तनीय माप, सख्ती से सकारात्मक उपाय और वास्तविक रेखा पर स्थानीय रूप से परिमित माप। वास्तव में, इस तरह के किसी भी उपाय को Lebesgue माप का एक निरंतर गुणक होना चाहिए, यह निर्दिष्ट करते हुए कि इकाई अंतराल का माप 1 होना चाहिए - समाधान को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने से पहले।

टोपोलॉजी

एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय द्वि-आयामी, कॉम्पैक्ट जगह है, बस जुड़ा हुआ कई गुना है: 2-क्षेत्र। इस मामले में, यह होमियोमोर्फिज्म तक अद्वितीय है।

टोपोलॉजी के क्षेत्र में गाँठ सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, अंकगणित के मौलिक प्रमेय का एक एनालॉग है: प्रमुख गांठों के योग में एक गाँठ का अपघटन अनिवार्य रूप से अद्वितीय है।

झूठ सिद्धांत

सेमीसिंपल लाइ समूह का एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह अद्वितीय नहीं हो सकता है, लेकिन संयुग्मन तक अद्वितीय है।

श्रेणी सिद्धांत

एक वस्तु जो किसी दिए गए आरेख पर सीमा (श्रेणी सिद्धांत) या कोलिमिट है, अनिवार्य रूप से अद्वितीय है, क्योंकि किसी अन्य सीमित/कोलिमिटिंग ऑब्जेक्ट के लिए एक अद्वितीय समरूपता है।

कोडिंग सिद्धांत

12 अंश्स की जानकारी को इस तरह स्टोर करने के लिए 24-बिट शब्दों का उपयोग करने के कार्य को देखते हुए कि 7-बिट त्रुटियों का पता लगाया जा सकता है और 3-बिट त्रुटियों को ठीक किया जा सकता है, समाधान अनिवार्य रूप से अद्वितीय है: बाइनरी भाषा में कोड।

यह भी देखें

• वर्गीकरण प्रमेय
• मॉड्यूलो (शब्दजाल), वस्तुओं की समानता से संबंधित एक गणितीय शब्द
• सार्वभौमिक संपत्ति
• तक