तिरछा-सममित मैट्रिक्स

गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, एक तिरछा-सममित (या एंटीसिमेट्रिक या एंटीमेट्रिक)^[1]) मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसका स्थानान्तरण इसके ऋणात्मक के बराबर होता है। यानी यह शर्त को पूरा करता है^[2]^{: p. 38}

$A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad A^{\textsf {T}}=-A.$

मैट्रिक्स की प्रविष्टियों के संदर्भ में, यदि ${\textstyle a_{ij}}$ में प्रवेश को दर्शाता है ${\textstyle i}$ -वीं पंक्ति और ${\textstyle j}$ -वें स्तंभ, तो तिरछा-सममित स्थिति के बराबर है

$A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad a_{ji}=-a_{ij}.$

उदाहरण

साँचा

A={\begin{bmatrix}0&2&-45\\-2&0&-4\\45&4&0\end{bmatrix}}

तिरछा सममित है क्योंकि

-A={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&0&4\\-45&-4&0\end{bmatrix}}=A^{\textsf {T}}.

गुण

पूरे समय में, हम मानते हैं कि सभी मैट्रिक्स प्रविष्टियाँ एक क्षेत्र (गणित) से संबंधित हैं ${\textstyle \mathbb {F} }$ जिसकी विशेषता (बीजगणित) 2 के बराबर नहीं है। यानी हम मानते हैं कि 1 + 1 ≠ 0, जहां 1 गुणक पहचान को दर्शाता है और 0 दिए गए क्षेत्र की योगात्मक पहचान को दर्शाता है। यदि क्षेत्र की विशेषता 2 है, तो एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स एक सममित मैट्रिक्स के समान है।

दो तिरछी सममित आव्यूहों का योग तिरछा सममित होता है।
एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स का एक अदिश गुणज तिरछा-सममित होता है।
एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स के विकर्ण पर तत्व शून्य हैं, और इसलिए इसका ट्रेस (रैखिक बीजगणित) शून्य के बराबर है।
यदि ${\textstyle A}$ एक वास्तविक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है और ${\textstyle \lambda }$ एक वास्तविक eigenvalue है, तो ${\textstyle \lambda =0}$ , यानी एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स के गैर-शून्य eigenvalues असत्य हैं।
यदि ${\textstyle A}$ एक वास्तविक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है, तो ${\textstyle I+A}$ उलटा मैट्रिक्स है, जहां ${\textstyle I}$ पहचान मैट्रिक्स है।
यदि ${\textstyle A}$ एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है तो ${\textstyle A^{2}}$ एक मैट्रिक्स की एक सममित निश्चितता है | नकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स।

वेक्टर अंतरिक्ष संरचना

उपरोक्त पहले दो गुणों के परिणामस्वरूप, एक निश्चित आकार के सभी तिरछा-सममित मैट्रिक्स का सेट एक सदिश स्थल बनाता है। की जगह ${\textstyle n\times n}$ तिरछा-सममित मैट्रिक्स में एक सदिश स्थान का आयाम होता है ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$ होने देना ${\mbox{Mat}}_{n}$ के स्थान को निरूपित करें ${\textstyle n\times n}$ मैट्रिक्स एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स द्वारा निर्धारित किया जाता है ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$ अदिश (मुख्य विकर्ण के ऊपर प्रविष्टियों की संख्या); एक सममित मैट्रिक्स द्वारा निर्धारित किया जाता है ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ अदिश (मुख्य विकर्ण पर या ऊपर प्रविष्टियों की संख्या)। होने देना ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ के स्थान को निरूपित करें ${\textstyle n\times n}$ तिरछा-सममित मैट्रिक्स और ${\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ के स्थान को निरूपित करें ${\textstyle n\times n}$ सममित मैट्रिक्स। यदि ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ फिर

A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).

नोटिस जो

{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}

तथा

{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.}

यह हर वर्ग मैट्रिक्स के लिए सच है

{\textstyle A}

किसी भी क्षेत्र (गणित) से प्रविष्टियों के साथ जिसकी विशेषता (बीजगणित) 2 से भिन्न है। तब, चूंकि

{\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}}

तथा

{\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=0,}

{\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},

कहाँ पे

\oplus

मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है।

द्वारा निरूपित करें ${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ मानक आंतरिक उत्पाद पर $\mathbb {R} ^{n}.$ असली $n\times n$ आव्यूह ${\textstyle A}$ तिरछा-सममित है यदि और केवल यदि

\langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} ^{n}.

यह भी बराबर है

{\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}

सभी के लिए

x\in \mathbb {R} ^{n}

(एक निहितार्थ स्पष्ट है, दूसरा एक सादा परिणाम है

{\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0}

सभी के लिए

x

तथा

y

)

चूंकि यह परिभाषा आधार (रैखिक बीजगणित) की पसंद से स्वतंत्र है, तिरछा-समरूपता एक संपत्ति है जो केवल रैखिक ऑपरेटर पर निर्भर करती है $A$ और आंतरिक उत्पाद का विकल्प।

$3\times 3$ मैट्रिक्स गुणन के रूप में क्रॉस उत्पाद का प्रतिनिधित्व करने के लिए तिरछा सममित मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है।

सारणिक

होने देना $A$ एक हो $n\times n$ तिरछा-सममित मैट्रिक्स। का निर्धारक $A$ संतुष्ट

\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).

विशेष रूप से, यदि $n$ विषम है, और चूंकि अंतर्निहित क्षेत्र विशेषता 2 का नहीं है, निर्धारक गायब हो जाता है। इसलिए, सभी विषम आयाम तिरछा सममित मैट्रिक्स एकवचन हैं क्योंकि उनके निर्धारक हमेशा शून्य होते हैं। कार्ल गुस्ताव जैकोबिक (ईव्स, 1980) के बाद इस परिणाम को जैकोबी का प्रमेय कहा जाता है।

सम-आयामी मामला अधिक दिलचस्प है। यह पता चला है कि का निर्धारक $A$ के लिये $n$ की प्रविष्टियों में एक बहुपद के वर्ग के रूप में भी लिखा जा सकता है $A$ , जो सबसे पहले केली द्वारा सिद्ध किया गया था:^[3]

\det {(A)}=\operatorname {Pf} (A)^{2}.

इस बहुपद को का Pfaffian कहा जाता है $A$ और निरूपित है $\operatorname {Pf} (A)$ . इस प्रकार एक वास्तविक तिरछा-सममित मैट्रिक्स का सारणिक हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। हालाँकि इस अंतिम तथ्य को प्राथमिक तरीके से इस प्रकार साबित किया जा सकता है: एक वास्तविक तिरछा-सममित मैट्रिक्स के eigenvalues पूरी तरह से काल्पनिक हैं (नीचे देखें) और प्रत्येक eigenvalue के लिए समान बहुलता के साथ संयुग्मित eigenvalue से मेल खाता है; इसलिए, जैसा कि निर्धारक eigenvalues का उत्पाद है, प्रत्येक को अपनी बहुलता के अनुसार दोहराया जाता है, यह एक ही बार में इस प्रकार है कि निर्धारक, यदि यह 0 नहीं है, तो एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है।

विशिष्ट शब्दों की संख्या $s(n)$ क्रम के एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स के निर्धारक के विस्तार में $n$ केली, सिल्वेस्टर और पफैफ द्वारा पहले ही विचार किया जा चुका है। रद्दीकरण के कारण, ऑर्डर के सामान्य मैट्रिक्स की शर्तों की संख्या की तुलना में यह संख्या काफी कम है $n$ , जो है $n!$ . क्रम $s(n)$ (sequence A002370 in the OEIS) है

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0,…

और यह घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन में एन्कोड किया गया है

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).

बाद की उपज स्पर्शोन्मुख (के लिए .) $n$ यहाँ तक की)

s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).

सकारात्मक और नकारात्मक शब्दों की संख्या कुल का लगभग आधा है, हालांकि उनका अंतर बड़ा और बड़ा सकारात्मक और नकारात्मक मान लेता है $n$ बढ़ती है (sequence A167029 in the OEIS).

क्रॉस उत्पाद

मैट्रिक्स गुणन के रूप में क्रॉस उत्पादों का प्रतिनिधित्व करने के लिए तीन-बाई-तीन तिरछा-सममित मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है। वेक्टर (गणित और भौतिकी) पर विचार करें ${\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}}$ तथा ${\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}.}$ फिर, मैट्रिक्स को परिभाषित करना

[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},

क्रॉस उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} .

इसे पिछले समीकरण के दोनों पक्षों की गणना करके और परिणामों के प्रत्येक संगत तत्व की तुलना करके तुरंत सत्यापित किया जा सकता है।

एक वास्तव में है

[\mathbf {a\times b} ]_{\times }=[\mathbf {a} ]_{\times }[\mathbf {b} ]_{\times }-[\mathbf {b} ]_{\times }[\mathbf {a} ]_{\times };

यानी, तिरछा-सममित थ्री-बाय-थ्री मैट्रिसेस के कम्यूटेटर को थ्री-वेक्टर के क्रॉस-प्रोडक्ट के साथ पहचाना जा सकता है। चूँकि तिरछा-सममित थ्री-बाय-थ्री मैट्रिसेस रोटेशन ग्रुप के लेट बीजगणित हैं ${\textstyle SO(3)}$ यह तीन-स्थान के बीच संबंध को स्पष्ट करता है ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ , क्रॉस उत्पाद और त्रि-आयामी घुमाव। इनफिनिटसिमल घुमावों के बारे में अधिक जानकारी नीचे पाई जा सकती है।

वर्णक्रमीय सिद्धांत

चूंकि एक मैट्रिक्स अपने स्वयं के स्थानान्तरण के लिए मैट्रिक्स समानता है, इसलिए उनके पास समान आइजनवेल्यू होना चाहिए। यह इस प्रकार है कि एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स के eigenvalues हमेशा जोड़े में आते हैं ±λ (विषम-आयामी मामले को छोड़कर जहां एक अतिरिक्त unpaired 0 eigenvalue है)। वर्णक्रमीय प्रमेय से, एक वास्तविक तिरछा-सममित मैट्रिक्स के लिए गैर-शून्य eigenvalues सभी शुद्ध काल्पनिक संख्या हैं और इस प्रकार रूप के हैं $\lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots$ जहां प्रत्येक $\lambda _{k}$ असली हैं।

वास्तविक तिरछा-सममित मैट्रिक्स सामान्य मैट्रिक्स हैं (वे अपने आसन्न मैट्रिक्स के साथ यात्रा करते हैं) और इस प्रकार वर्णक्रमीय प्रमेय के अधीन हैं, जिसमें कहा गया है कि किसी भी वास्तविक तिरछा-सममित मैट्रिक्स को एकात्मक मैट्रिक्स द्वारा विकर्ण किया जा सकता है। चूंकि एक वास्तविक तिरछा-सममित मैट्रिक्स के eigenvalues काल्पनिक हैं, इसलिए वास्तविक मैट्रिक्स द्वारा किसी एक को विकर्ण करना संभव नहीं है। हालांकि, प्रत्येक तिरछा-सममित मैट्रिक्स को एक विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा ब्लॉक मैट्रिक्स रूप में लाना संभव है।^[4]^[5] विशेष रूप से, प्रत्येक $2n\times 2n$ वास्तविक तिरछा-सममित मैट्रिक्स को फॉर्म में लिखा जा सकता है $A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}$ कहाँ पे $Q$ ओर्थोगोनल है और

\Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}

वास्तविक सकारात्मक-निश्चित के लिए $\lambda _{k}$ . इस मैट्रिक्स के गैर-शून्य eigenvalues ±λ . हैं_k मैं। विषम-आयामी स्थिति में Σ में हमेशा कम से कम एक पंक्ति और शून्य का स्तंभ होता है।

अधिक सामान्यतः, प्रत्येक जटिल तिरछा-सममित मैट्रिक्स को फॉर्म में लिखा जा सकता है $A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }$ कहाँ पे $U$ एकात्मक है और $\Sigma$ के साथ ऊपर दिया गया ब्लॉक-विकर्ण रूप है $\lambda _{k}$ अभी भी वास्तविक सकारात्मक-निश्चित। यह एक जटिल वर्ग मैट्रिक्स के Youla अपघटन का एक उदाहरण है।^[6]

तिरछा-सममित और वैकल्पिक रूप

एक तिरछा-सममित रूप $\varphi$ एक वेक्टर अंतरिक्ष पर $V$ एक क्षेत्र के ऊपर (गणित) $K$ मनमानी विशेषता के एक द्विरेखीय रूप के रूप में परिभाषित किया गया है

\varphi :V\times V\mapsto K

ऐसा कि सभी के लिए $v,w$ में $V,$

\varphi (v,w)=-\varphi (w,v).

यह विशेषता के क्षेत्रों में वेक्टर रिक्त स्थान के लिए वांछनीय गुणों के साथ एक रूप को परिभाषित करता है जो 2 के बराबर नहीं है, लेकिन विशेषता 2 के क्षेत्र में एक वेक्टर अंतरिक्ष में, परिभाषा एक सममित रूप के बराबर है, क्योंकि प्रत्येक तत्व अपना स्वयं का योज्य प्रतिलोम है .

जहाँ सदिश स्थान $V$ विशेषता 2 सहित मनमानी विशेषता (बीजगणित) के क्षेत्र से अधिक है, हम एक वैकल्पिक रूप को एक द्विरेखीय रूप के रूप में परिभाषित कर सकते हैं $\phi$ ऐसा है कि सभी वैक्टर के लिए $v$ में $V$

\varphi (v,v)=0.

यह एक तिरछा-सममित रूप के बराबर है जब फ़ील्ड विशेषता 2 का नहीं है, जैसा कि से देखा गया है

0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\varphi (v,w)+\varphi (w,v),

जहां से

\varphi (v,w)=-\varphi (w,v).

एक द्विरेखीय रूप $\varphi$ एक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाएगा $A$ ऐसा है कि $\varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw$ , एक बार का आधार (रैखिक बीजगणित) $V$ चुना जाता है, और इसके विपरीत a $n\times n$ आव्यूह $A$ पर $K^{n}$ एक फॉर्म भेजने को जन्म देता है $(v,w)$ प्रति $v^{\textsf {T}}Aw.$ सममित, तिरछा-सममित और प्रत्यावर्ती रूपों में से प्रत्येक के लिए, प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स क्रमशः सममित, तिरछा-सममित और बारी-बारी से होते हैं।

अनंत घूर्णन

वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में तिरछा-सममित मैट्रिक्स वास्तविक ऑर्थोगोनल समूह के लिए स्पर्शरेखा स्थान बनाते हैं $O(n)$ पहचान मैट्रिक्स पर; औपचारिक रूप से, विशेष ओर्थोगोनल लाई बीजगणित। इस अर्थ में, तिरछा-सममित मैट्रिक्स को इनफिनिटिमल रोटेशन के रूप में माना जा सकता है।

यह कहने का एक और तरीका यह है कि तिरछा-सममित मैट्रिक्स का स्थान झूठ बीजगणित बनाता है $o(n)$ झूठ समूह के $O(n).$ इस स्थान पर लेट ब्रैकेट कम्यूटेटर द्वारा दिया गया है:

[A,B]=AB-BA.\,

यह जांचना आसान है कि दो तिरछा-सममित मैट्रिक्स का कम्यूटेटर फिर से तिरछा-सममित है:

{\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}

एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स का मैट्रिक्स घातांक $A$ तब एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है $R$ :

R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.

एक झूठ बीजगणित के घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) की छवि हमेशा लाई समूह के कनेक्टेड स्पेस में होती है जिसमें पहचान तत्व होता है। झूठ समूह के मामले में $O(n),$ यह जुड़ा घटक विशेष ऑर्थोगोनल समूह है $SO(n),$ निर्धारक के साथ सभी ओर्थोगोनल मैट्रिसेस से मिलकर 1. So $R=\exp(A)$ निर्धारक +1 होगा। इसके अलावा, चूंकि एक कनेक्टेड कॉम्पैक्ट झूठ समूह का घातीय नक्शा हमेशा विशेषण होता है, यह पता चला है कि इकाई निर्धारक के साथ प्रत्येक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को कुछ तिरछा-सममित मैट्रिक्स के घातीय के रूप में लिखा जा सकता है। आयाम के विशेष महत्वपूर्ण मामले में $n=2,$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के लिए घातीय प्रतिनिधित्व प्रसिद्ध जटिल संख्या # यूनिट मॉड्यूलस की एक जटिल संख्या के ध्रुवीय रूप को कम कर देता है। दरअसल, अगर $n=2,$ एक विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का रूप है

{\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},

साथ $a^{2}+b^{2}=1$ . इसलिए, डाल $a=\cos \theta$ तथा $b=\sin \theta ,$ यह लिखा जा सकता है

{\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),

जो बिल्कुल ध्रुवीय रूप से मेल खाती है $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ इकाई मापांक की एक जटिल संख्या का।

ऑर्डर के एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का घातीय प्रतिनिधित्व $n$ इस तथ्य से भी प्राप्त किया जा सकता है कि आयाम में $n$ कोई विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स $R$ के रूप में लिखा जा सकता है $R=QSQ^{\textsf {T}},$ कहाँ पे $Q$ ओर्थोगोनल है और एस एक ब्लॉक मैट्रिक्स है#ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स के साथ ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$ ऑर्डर के ब्लॉक 2, प्लस ऑर्डर 1 में से एक अगर $n$ अजीब है; चूंकि क्रम 2 का प्रत्येक एकल ब्लॉक भी एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है, यह एक घातीय रूप को स्वीकार करता है। इसके अनुरूप, मैट्रिक्स S एक तिरछा-सममित ब्लॉक मैट्रिक्स के घातांक के रूप में लिखता है $\Sigma$ ऊपर दिए गए फॉर्म का, $S=\exp(\Sigma ),$ ताकि $R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),$ तिरछा-सममित मैट्रिक्स का घातांक $Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.$ इसके विपरीत, घातीय मानचित्र की प्रक्षेप्यता, तिरछी-सममित मैट्रिक्स के लिए उपर्युक्त ब्लॉक-विकर्णीकरण के साथ, ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस के लिए ब्लॉक-विकर्णीकरण का अर्थ है।

समन्वय-मुक्त

अधिक आंतरिक रूप से (यानी, निर्देशांक का उपयोग किए बिना), एक वेक्टर अंतरिक्ष पर तिरछा-सममित रैखिक परिवर्तन $V$ एक आंतरिक उत्पाद के साथ अंतरिक्ष पर द्विभाजक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो साधारण द्विभाजक (ब्लेड (ज्यामिति) |2-ब्लेड) के योग हैं ${\textstyle v\wedge w.}$ पत्राचार मानचित्र द्वारा दिया गया है ${\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes w-w^{*}\otimes v,}$ कहाँ पे ${\textstyle v^{*}}$ वेक्टर के लिए कोवेक्टर दोहरी है ${\textstyle v}$ ; ऑर्थोनॉर्मल निर्देशांक में ये बिल्कुल प्राथमिक तिरछा-सममित मैट्रिक्स हैं। इस लक्षण वर्णन का उपयोग एक वेक्टर क्षेत्र (स्वाभाविक रूप से एक 2-वेक्टर) के कर्ल (गणित) को एक अन्तर्निहित रोटेशन या कर्ल के रूप में व्याख्या करने में किया जाता है, इसलिए नाम।