ट्रेस (रैखिक बीजगणित)

रैखिक बीजगणित में, एक वर्ग मैट्रिक्स का निशान A, निरूपित tr(A), को . के मुख्य विकर्ण (ऊपरी बाएं से निचले दाएं) पर तत्वों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है A. ट्रेस केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए परिभाषित किया गया है (n × n)

यह साबित किया जा सकता है कि एक मैट्रिक्स का ट्रेस उसके (जटिल) eigenvalue s ​​​​(गुणों के साथ गिना जाता है) का योग है। यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि tr(AB) = tr(BA) किन्हीं दो आव्यूहों के लिए A तथा B. इसका तात्पर्य है कि मैट्रिक्स समानता का एक ही निशान है। एक परिणाम के रूप में कोई एक रैखिक ऑपरेटर के ट्रेस को परिभाषित कर सकता है जो एक परिमित-आयामी सदिश स्थल को अपने आप में मैप करता है, क्योंकि आधार के संबंध में ऐसे ऑपरेटर का वर्णन करने वाले सभी मैट्रिक्स समान होते हैं।

ट्रेस निर्धारक के व्युत्पन्न से संबंधित है (जैकोबी का सूत्र देखें)।

परिभाषा

an . का निशान n × n वर्ग मैट्रिक्स A की तरह परिभाषित किया गया है

$$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$$

कहाँ पे a_ii पर प्रविष्टि को दर्शाता है iवें पंक्ति और iका वां स्तंभ A. की प्रविष्टियां A वास्तविक संख्या एँ या (अधिक सामान्यतः) सम्मिश्र संख्याएँ हो सकती हैं। गैर-वर्ग मैट्रिक्स के लिए ट्रेस परिभाषित नहीं है।

भाव जैसे tr(exp(A)), कहाँ पे A एक वर्ग मैट्रिक्स है, जो कुछ क्षेत्रों में इतनी बार होता है (जैसे बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय सिद्धांत), कि एक आशुलिपि संकेतन सामान्य हो गया है:

$$\operatorname {tre} (A):=\operatorname {tr} (\exp(A)).$$

tre कभी-कभी घातीय ट्रेस फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है; इसका उपयोग गोल्डन-थॉम्पसन असमानता में किया जाता है।

उदाहरण

होने देना A एक मैट्रिक्स बनें, के साथ

$$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}$$

फिर

$$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1$$

गुण

मूल गुण

ट्रेस एक रैखिक ऑपरेटर है। वह है,

$${\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}$$

सभी वर्ग मैट्रिक्स के लिए A तथा B, और सभी अदिश (गणित) c. एक मैट्रिक्स और उसके स्थानान्तरण का एक ही निशान है:

$$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).$$

यह इस तथ्य से तुरंत अनुसरण करता है कि एक वर्ग मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने से मुख्य विकर्ण के साथ तत्व प्रभावित नहीं होते हैं।

किसी उत्पाद का पता लगाना

एक वर्ग मैट्रिक्स का निशान जो दो वास्तविक मैट्रिक्स का उत्पाद है, उनके तत्वों के प्रवेश-वार उत्पादों के योग के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, यानी उनके हैडमर्ड उत्पाद (मैट्रिस) के सभी तत्वों के योग के रूप में। सीधे वाक्यांशित, यदि A तथा B दो हैं m × n वास्तविक मैट्रिक्स, फिर:

$$\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.$$

अगर कोई देखता है m × n लंबाई के वेक्टर के रूप में वास्तविक मैट्रिक्स mn (एक ऑपरेशन जिसे वेक्टराइज़ेशन (गणित) कहा जाता है) तो उपरोक्त ऑपरेशन पर A तथा B मानक डॉट उत्पाद के साथ मेल खाता है। उपरोक्त अभिव्यक्ति के अनुसार, tr(A^⊤A) वर्गों का योग है और इसलिए गैर-ऋणात्मक है, शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि A शून्य है। इसके अलावा, जैसा कि उपरोक्त सूत्र में बताया गया है, tr(A^⊤B) = tr(B^⊤A). ये एक आंतरिक उत्पाद के लिए आवश्यक सकारात्मक-निश्चितता और समरूपता को प्रदर्शित करते हैं; कॉल करना आम बात है tr(A^⊤B) फ्रोबेनियस का आंतरिक उत्पाद A तथा B. यह निश्चित आयामों के सभी वास्तविक मैट्रिक्स के वेक्टर स्पेस पर एक प्राकृतिक आंतरिक उत्पाद है। इस आंतरिक उत्पाद से प्राप्त मानदंड (गणित) को फ्रोबेनियस मानदंड कहा जाता है, और यह एक उपगुणात्मक संपत्ति को संतुष्ट करता है, जैसा कि कॉची-श्वार्ज़ असमानता से सिद्ध किया जा सकता है:

$$0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}\ .$$

यदि A तथा B वास्तविक धनात्मक निश्चित आव्यूह हैं|समान आकार के धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह। फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद और मानदंड मैट्रिक्स कैलकुलस और आंकड़ों में अक्सर उत्पन्न होते हैं।

फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद को एक निश्चित आकार के सभी जटिल मैट्रिसेस के जटिल वेक्टर स्पेस पर एक हर्मिटियन आंतरिक उत्पाद तक बढ़ाया जा सकता है, इसे बदलकर B इसके जटिल संयुग्म द्वारा।

फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद की समरूपता को और अधिक सीधे रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: किसी उत्पाद के ट्रेस में मैट्रिक्स को परिणाम को बदले बिना स्विच किया जा सकता है। यदि A तथा B हैं m × n तथा n × m वास्तविक या जटिल आव्यूह, क्रमशः, तब

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )$

यह दोनों इस तथ्य के लिए उल्लेखनीय है कि AB आमतौर पर बराबर नहीं होता BA, और चूंकि या तो का निशान आमतौर पर बराबर नहीं होता है tr(A)tr(B). समानता इनवेरियन tr(A) = tr(P⁻¹AP) किसी भी वर्ग मैट्रिक्स के लिए A और कोई उलटा मैट्रिक्स P एक ही आयाम का, एक मौलिक परिणाम है। यह साबित होता है

$$\operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$$

नीचे दिए गए रेखीय परिवर्तनों के निशान पर चर्चा करने के लिए समानता इनवेरिएंस ट्रेस की महत्वपूर्ण संपत्ति है।

इसके अतिरिक्त, वास्तविक कॉलम वैक्टर के लिए $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ तथा $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$, बाहरी उत्पाद का ट्रेस आंतरिक उत्पाद के बराबर है:

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {a} ^{\textsf {T}}\mathbf {b}$

चक्रीय संपत्ति

अधिक सामान्यतः, चक्रीय क्रमपरिवर्तन के तहत ट्रेस अपरिवर्तनीय है, अर्थात,

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} ).$

इसे चक्रीय संपत्ति के रूप में जाना जाता है।

मनमाना क्रमपरिवर्तन की अनुमति नहीं है: सामान्य तौर पर,

$$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).$$

हालांकि, अगर तीन सममित मैट्रिक्स मैट्रिक्स के उत्पादों पर विचार किया जाता है, तो किसी भी क्रमपरिवर्तन की अनुमति है, क्योंकि:

$$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),$$

जहां पहली समानता इसलिए है क्योंकि मैट्रिक्स के निशान और उसके स्थानान्तरण बराबर हैं। ध्यान दें कि यह सामान्य रूप से तीन से अधिक कारकों के लिए सही नहीं है।

क्रोनकर उत्पाद का पता लगाना

दो मैट्रिक्स के क्रोनकर उत्पाद का ट्रेस उनके निशान का उत्पाद है:

$$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).$$

ट्रेस की विशेषता

निम्नलिखित तीन गुण:

$${\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}$$

निम्नलिखित अर्थों में एक अदिश गुणज तक ट्रेस को चिह्नित करें: यदि $f$ वर्ग मैट्रिक्स के स्थान पर एक रैखिक कार्यात्मक है जो संतुष्ट करता है $f(xy)=f(yx),$ फिर $f$ तथा $\operatorname {tr}$ आनुपातिक हैं। के लिये $n\times n$ मैट्रिसेस, सामान्यीकरण को लागू करना $f(\mathbf {I} )=n$ बनाता है $f$ ट्रेस के बराबर।

eigenvalues ​​के योग के रूप में ट्रेस करें

दिया गया कोई भी n × n वास्तविक या जटिल मैट्रिक्स A, वहाँ है

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$

कहाँ पे λ₁, ..., λ_n के eigenvalues ​​हैं A बहुलता से गिना जाता है। यह सच है भले ही A एक वास्तविक मैट्रिक्स है और कुछ (या सभी) eigenvalues ​​जटिल संख्याएं हैं। इसे जॉर्डन विहित रूप के अस्तित्व के परिणाम के रूप में माना जा सकता है, साथ ही ऊपर चर्चा की गई ट्रेस की समानता-अपरिवर्तनीयता के साथ।

कम्यूटेटर का ट्रेस

कब दोनों A तथा B हैं n × n मैट्रिसेस, (रिंग-सैद्धांतिक) के कम्यूटेटर का निशान A तथा B गायब हो जाता है: tr([A, B]) = 0, इसलिये tr(AB) = tr(BA) तथा tr रैखिक है। कोई इसे बता सकता है क्योंकि ट्रेस लाइ अलजेब्रा का नक्शा है gl_n → k ऑपरेटरों से स्केलर्स तक, क्योंकि स्केलर्स का कम्यूटेटर तुच्छ है (यह एक एबेलियन लाइ बीजगणित है)। विशेष रूप से, समानता इनवेरियन का उपयोग करते हुए, यह इस प्रकार है कि पहचान मैट्रिक्स कभी भी किसी भी जोड़ी मैट्रिक्स के कम्यूटेटर के समान नहीं होता है।

इसके विपरीत, शून्य ट्रेस वाला कोई भी वर्ग मैट्रिक्स मैट्रिक्स के जोड़े के कम्यूटेटर का एक रैखिक संयोजन है। इसके अलावा, शून्य ट्रेस वाला कोई भी वर्ग मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए बाध्य ऑपरेटर है जिसमें सभी शून्य शामिल हैं।

विशेष प्रकार के आव्यूहों के निशान

• का निशान n × n पहचान मैट्रिक्स अंतरिक्ष का आयाम है, अर्थात् n.

$$\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n$$

इससे डाइमेंशन (वेक्टर स्पेस)#ट्रेस होता है।

• एक हर्मिटियन मैट्रिक्स का निशान वास्तविक है, क्योंकि विकर्ण पर तत्व वास्तविक हैं।
• क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स का निशान संबंधित क्रमपरिवर्तन से निश्चित बिंदु (गणित) की संख्या है, क्योंकि विकर्ण शब्द a_ii 1 है अगर iवां बिंदु निश्चित है और 0 अन्यथा।
• प्रक्षेपण मैट्रिक्स का ट्रेस लक्ष्य स्थान का आयाम है।

$${\begin{aligned}\mathbf {P} _{\mathbf {X} }&=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\right)&=\operatorname {rank} (\mathbf {X} ).\end{aligned}}$$

साँचा P_X नपुंसक है।

• अधिक आम तौर पर, किसी भी idempotent मैट्रिक्स का निशान, यानी एक के साथ A² = A, अपने स्वयं के रैंक (रैखिक बीजगणित) के बराबर होता है।
• एक निलपोटेंट मैट्रिक्स का निशान शून्य है।

जब आधार क्षेत्र की विशेषता शून्य होती है, तो विलोम भी धारण करता है: if tr(A^k) = 0 सभी के लिए k, फिर A निर्बल है।

जब विशेषता n > 0 सकारात्मक है, में पहचान n आयाम एक प्रतिउदाहरण है, जैसे $\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0$, लेकिन पहचान शून्य नहीं है।

eigenvalues ​​​​से संबंध

यदि A वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या प्रविष्टियों के साथ एक वर्ग मैट्रिक्स द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाने वाला एक रैखिक संकारक है और यदि λ₁, ..., λ_n के eigenvalues ​​हैं A (उनके बीजगणितीय बहुलता के अनुसार सूचीबद्ध), तब

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}$

यह इस तथ्य से होता है कि A हमेशा अपने जॉर्डन फॉर्म के समान मैट्रिक्स होता है, एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स होता है λ₁, ..., λ_n मुख्य विकर्ण पर। इसके विपरीत, का निर्धारक A इसके eigenvalues ​​​​का उत्पाद है; वह है,

$$\det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.$$

व्युत्पन्न संबंध

यदि ΔA छोटी प्रविष्टियों के साथ एक वर्ग मैट्रिक्स है और I पहचान मैट्रिक्स को दर्शाता है, तो हमारे पास लगभग

$$\det(\mathbf {I} +\mathbf {\Delta A} )\approx 1+\operatorname {tr} (\mathbf {\Delta A} ).$$

इसका सटीक अर्थ यह है कि ट्रेस पहचान मैट्रिक्स पर निर्धारक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। जैकोबी का सूत्र ट्रेस के संदर्भ में, एक मनमाना मैट्रिक्स पर निर्धारक के व्युत्पन्न का वर्णन करता है।

इससे (या ट्रेस और eigenvalues ​​​​के बीच संबंध से), कोई ट्रेस फ़ंक्शन, मैट्रिक्स घातीय फ़ंक्शन और निर्धारक के बीच संबंध प्राप्त कर सकता है:

$$\det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).$$

उदाहरण के लिए, कोण के माध्यम से घूर्णन द्वारा दिए गए रैखिक परिवर्तनों के एक-पैरामीटर परिवार पर विचार करें θ,

$$\mathbf {R} _{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.$$

इन परिवर्तनों में सभी निर्धारक 1 हैं, इसलिए वे क्षेत्र को संरक्षित करते हैं। इस परिवार का व्युत्पन्न at θ = 0, पहचान रोटेशन, एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स है

$$A={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$$

जिसमें स्पष्ट रूप से शून्य का निशान है, यह दर्शाता है कि यह मैट्रिक्स एक असीम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है जो क्षेत्र को संरक्षित करता है।

ट्रेस का एक संबंधित लक्षण वर्णन रैखिक वेक्टर क्षेत्र पर लागू होता है। एक मैट्रिक्स दिया गया A, एक सदिश क्षेत्र को परिभाषित करें F पर Rⁿ द्वारा F(x) = Ax. इस सदिश क्षेत्र के घटक रैखिक फलन हैं ( . की पंक्तियों द्वारा दिए गए हैं) A) इसका विचलन div F एक स्थिर फलन है, जिसका मान के बराबर है tr(A).

विचलन प्रमेय द्वारा, प्रवाह के संदर्भ में इसकी व्याख्या की जा सकती है: if F(x) स्थान पर एक द्रव के वेग का प्रतिनिधित्व करता है x तथा U में एक क्षेत्र है Rⁿ, द्रव का प्रवाह नेटवर्क से बाहर U द्वारा दिया गया है tr(A) · vol(U), कहाँ पे vol(U) की मात्रा है U.

ट्रेस एक रैखिक ऑपरेटर है, इसलिए यह व्युत्पन्न के साथ चलता है:

$$d\operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (d\mathbf {X} ).$$

एक रैखिक ऑपरेटर का निशान

सामान्य तौर पर, कुछ रैखिक नक्शा दिया गया है f : V → V (कहाँ पे V एक परिमित-आयाम (रैखिक बीजगणित) सदिश स्थान है), हम एक प्रतिनिधित्व सिद्धांत के निशान पर विचार करके इस मानचित्र के निशान को परिभाषित कर सकते हैं f, अर्थात्, के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) चुनना V और वर्णन f इस आधार के सापेक्ष एक मैट्रिक्स के रूप में, और इस वर्ग मैट्रिक्स का पता लगाना। परिणाम चुने गए आधार पर निर्भर नहीं होगा, क्योंकि विभिन्न आधार मैट्रिक्स समानता को जन्म देंगे, जिससे रैखिक मानचित्र के ट्रेस के लिए आधार-स्वतंत्र परिभाषा की संभावना की अनुमति मिलती है।

अंतरिक्ष के बीच प्राकृतिक समरूपता का उपयोग करके ऐसी परिभाषा दी जा सकती है End(V) रेखीय मानचित्रों पर V तथा V ⊗ V*, कहाँ पे V* का दोहरा स्थान है V. होने देना v में होना V और जाने f में होना V*. फिर अविनाशी तत्व का अंश v ⊗ f होने के लिए परिभाषित किया गया है f(v); एक सामान्य तत्व का निशान रैखिकता द्वारा परिभाषित किया जाता है। के लिए एक स्पष्ट आधार का उपयोग करना V और तदनुरूपी दोहरे आधार के लिए V*, कोई यह दिखा सकता है कि यह ट्रेस की वही परिभाषा देता है जो ऊपर दी गई है।

संख्यात्मक एल्गोरिदम

स्टोकेस्टिक अनुमानक

हचिंसन की चाल से निशान का निष्पक्ष रूप से अनुमान लगाया जा सकता है:

किसी भी मैट्रिक्स को देखते हुए $W\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, और कोई यादृच्छिक $u\in \mathbb {R} ^{n}$ साथ $E[uu^{T}]=I$, अपने पास $E[u^{T}Wu]=tr(W)$. (सबूत: सीधे उम्मीद का विस्तार करें।)

आमतौर पर, यादृच्छिक वेक्टर का नमूना लिया जाता है $N(0,I)$ (सामान्य वितरण) या $\{\pm n^{-1/2}\}^{n}$ (रेडमेकर वितरण)।

ट्रेस के अधिक परिष्कृत स्टोकेस्टिक अनुमानक विकसित किए गए हैं।

अनुप्रयोग

2 × 2 जटिल मैट्रिक्स के ट्रेस का उपयोग मोबियस परिवर्तनों को वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है। सबसे पहले, मैट्रिक्स को इसके सारणिक को एक के बराबर बनाने के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। फिर, यदि ट्रेस का वर्ग 4 है, तो संबंधित परिवर्तन परवलयिक है। यदि वर्ग अंतराल में है [0,4), यह अण्डाकार है। अंत में, यदि वर्ग 4 से बड़ा है, तो परिवर्तन लोक्सोड्रोमिक है। मोबियस ट्रांसफ़ॉर्मेशन#वर्गीकरण|मोबियस ट्रांसफ़ॉर्मेशन का वर्गीकरण देखें।

ट्रेस का उपयोग समूह अभ्यावेदन के चरित्र (गणित) को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। दो प्रतिनिधित्व A, B : G → GL(V) एक समूह का G समतुल्य हैं (आधार परिवर्तन तक V) यदि tr(A(g)) = tr(B(g)) सभी के लिए g ∈ G.

ट्रेस द्विघात रूप (सांख्यिकी) के वितरण में भी एक केंद्रीय भूमिका निभाता है।

लेट बीजगणित

ट्रेस झूठ बीजगणित का एक नक्शा है $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ झूठ बीजगणित से ${\mathfrak {gl}}_{n}$ पर रैखिक ऑपरेटरों की n-आयामी अंतरिक्ष (n × n प्रविष्टियों के साथ मेट्रिसेस $K$) झूठ बीजगणित के लिए K अदिश का; जैसा K एबेलियन है (लेट ब्रैकेट गायब हो जाता है), तथ्य यह है कि यह लाई अल्जेब्रा का नक्शा है, ठीक यही कथन है कि एक ब्रैकेट का निशान गायब हो जाता है:

$$\operatorname {tr} ([\mathbf {A} ,\mathbf {B} ])=0{\text{ for each }}\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.$$

इस मानचित्र का कर्नेल, एक मैट्रिक्स जिसका ट्रेस 0 (संख्या) है, को अक्सर कहा जाता हैtracelessयाtrace free, और ये आव्यूह सरल लेट बीजगणित बनाते हैं ${\mathfrak {sl}}_{n}$, जो सारणिक 1 के साथ आव्यूहों के विशेष रैखिक समूह का लाई बीजगणित है। विशेष रैखिक समूह में ऐसे आव्यूह होते हैं जो आयतन में परिवर्तन नहीं करते हैं, जबकि विशेष रैखिक लाई बीजगणित वे आव्यूह हैं जो इनफिनिटसिमल सेटों के आयतन में परिवर्तन नहीं करते हैं।

वास्तव में, झूठ बीजगणित अपघटन का एक आंतरिक प्रत्यक्ष योग है ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ ट्रेसलेस ऑपरेटरों/मैट्रिस और स्केलर ऑपरेटरों/मैट्रिस में ऑपरेटरों/मैट्रिस का। स्केलर ऑपरेटरों पर प्रोजेक्शन मैप को ट्रेस के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, संक्षेप में:

$$\mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\mathbf {I} .$$

औपचारिक रूप से, कोई इकाई मानचित्र के साथ ट्रेस (काउंट मैप) बना सकता है $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ एक नक्शा प्राप्त करने के लिए अदिश परिवर्तन को शामिल करना ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ अदिश पर मानचित्रण, और गुणा करके n. द्वारा विभाजित करना n यह एक प्रक्षेपण बनाता है, ऊपर दिए गए सूत्र को प्रस्तुत करता है।

संक्षिप्त सटीक अनुक्रम ों के संदर्भ में, एक है

$$0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0$$

जो के समान है

$$1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1$$

(कहाँ पे $K^{*}=K\setminus \{0\}$) झूठ समूहों के लिए। हालांकि, ट्रेस स्वाभाविक रूप से विभाजित होता है (के माध्यम से) $1/n$ टाइम्स स्केलर) तो ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$, लेकिन सारणिक का विभाजन इस प्रकार होगा nवें रूट टाइम्स स्केलर, और यह सामान्य रूप से एक फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं करता है, इसलिए निर्धारक विभाजित नहीं होता है और सामान्य रैखिक समूह विघटित नहीं होता है:

$$\operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.$$

द्विरेखीय रूप

द्विरेखीय रूप (जहाँ X, Y वर्ग मैट्रिक्स हैं)

$$B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))\quad {\text{where }}\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X}$$

हत्या का रूप कहा जाता है, जिसका उपयोग लाई अल्जेब्रा के वर्गीकरण के लिए किया जाता है।

ट्रेस एक द्विरेखीय रूप को परिभाषित करता है:

$$(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} ).$$

रूप सममित, गैर-पतित है और साहचर्य इस अर्थ में कि:

$$\operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).$$

एक जटिल सरल झूठ बीजगणित के लिए (जैसे ${\mathfrak {sl}}$_n), ऐसा प्रत्येक द्विरेखीय रूप एक दूसरे के समानुपाती होता है; विशेष रूप से, हत्या के रूप में.

दो मैट्रिक्स X तथा Y ट्रेस ऑर्थोगोनल कहा जाता है अगर

$$\operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0.$$

एक सामान्य प्रतिनिधित्व के लिए एक सामान्यीकरण है $(\rho ,{\mathfrak {g}},V)$ एक झूठ बीजगणित की ${\mathfrak {g}}$, ऐसा है कि $\rho$ झूठ बीजगणित का एक समरूपता है $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).$ ट्रेस फॉर्म ${\text{tr}}_{V}$ पर ${\text{End}}(V)$ ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है। द्विरेखीय रूप

$$\phi (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )={\text{tr}}_{V}(\rho (\mathbf {X} )\rho (\mathbf {Y} ))$$

चक्रीयता के कारण सममित और अपरिवर्तनीय है।

सामान्यीकरण

मैट्रिक्स के ट्रेस की अवधारणा को हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर ों के ट्रेस वर्ग के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, और फ्रोबेनियस मानदंड के एनालॉग को हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर | हिल्बर्ट-श्मिट मानदंड कहा जाता है।

यदि K एक ट्रेस-क्लास ऑपरेटर है, तो किसी भी ऑर्थोनॉर्मल आधार के लिए $(e_{n})_{n}$, ट्रेस द्वारा दिया गया है

$$\operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\langle e_{n},Ke_{n}\right\rangle ,$$

और परिमित और ऑर्थोनॉर्मल आधार से स्वतंत्र है। आंशिक ट्रेस ट्रेस का एक और सामान्यीकरण है जो ऑपरेटर-मूल्यवान है। एक रैखिक ऑपरेटर का निशान Z जो उत्पाद स्थान पर रहता है A ⊗ B आंशिक निशान के बराबर है A तथा B:

$$\operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}\left(\operatorname {tr} _{B}(Z)\right)=\operatorname {tr} _{B}\left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).$$

अधिक गुणों और आंशिक ट्रेस के सामान्यीकरण के लिए, ट्रेस किए गए मोनोइडल श्रेणी देखें।

यदि A एक क्षेत्र पर एक सामान्य सहयोगी बीजगणित है k, फिर एक ट्रेस ऑन A अक्सर किसी भी मानचित्र के रूप में परिभाषित किया जाता है tr : A ↦ k जो कम्यूटेटर पर गायब हो जाता है: tr([a,b]) सभी के लिए a, b ∈ A. ऐसा ट्रेस विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है; इसे हमेशा कम से कम एक गैर-शून्य अदिश द्वारा गुणा करके संशोधित किया जा सकता है।

सुपरट्रेस बीजगणित की स्थापना के लिए एक ट्रेस का सामान्यीकरण है।

टेंसर संकुचन का संचालन मनमाने ढंग से टेंसर के लिए ट्रेस को सामान्यीकृत करता है।

टेंसर उत्पादों की भाषा में निशान

एक सदिश स्थान दिया गया है V, एक प्राकृतिक द्विरेखीय मानचित्र है V × V^∗ → F भेजकर दिया गया (v, φ) अदिश को φ(v). टेंसर उत्पाद #टेन्सर उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति V ⊗ V^∗ स्वचालित रूप से यह दर्शाता है कि यह द्विरेखीय नक्शा एक रैखिक कार्यात्मक द्वारा प्रेरित है V ⊗ V^∗. इसी तरह, एक प्राकृतिक द्विरेखीय नक्शा है V × V^∗ → Hom(V, V) भेजकर दिया गया (v, φ) रेखीय मानचित्र के लिए w ↦ φ(w)v. टेंसर उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति, जैसा कि पहले इस्तेमाल किया गया था, कहता है कि यह बिलिनियर नक्शा एक रैखिक मानचित्र से प्रेरित है V ⊗ V^∗ → Hom(V, V). यदि V परिमित-आयामी है, तो यह रैखिक नक्शा एक रैखिक समरूपता है।यह मौलिक तथ्य के (परिमित) आधार के अस्तित्व का एक सीधा परिणाम है V, और यह भी कहा जा सकता है कि कोई भी रैखिक नक्शा V → V रैंक-वन रेखीय मानचित्रों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। ऊपर प्राप्त रैखिक कार्यात्मक के साथ समरूपता के व्युत्क्रम की रचना करना एक रैखिक कार्यात्मक में परिणाम देता है Hom(V, V). यह रैखिक कार्यात्मक बिल्कुल ट्रेस के समान है।

विकर्ण तत्वों के योग के रूप में ट्रेस की परिभाषा का उपयोग करते हुए, मैट्रिक्स सूत्र tr(AB) = tr(BA) साबित करने के लिए सीधा है, और ऊपर दिया गया था। वर्तमान परिप्रेक्ष्य में, कोई रेखीय मानचित्रों पर विचार कर रहा है S तथा T, और उन्हें रैंक-वन मानचित्रों के योग के रूप में देखना, ताकि रैखिक कार्यात्मकताएं हों φ_i तथा ψ_j और शून्येतर वैक्टर v_i तथा w_j ऐसा है कि S(u) = Σφ_i(u)v_i तथा T(u) = Σψ_j(u)w_j किसी के लिए u में V. फिर

$(S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}(u)w_{j}\right)v_{i}=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(u)\varphi _{i}(w_{j})v_{i}$

किसी के लिए u में V. रैंक-एक रैखिक नक्शा u ↦ ψ_j(u)φ_i(w_j)v_i ट्रेस है ψ_j(v_i)φ_i(w_j) इसलिए

$\operatorname {tr} (S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{j}\sum _{i}\varphi _{i}(w_{j})\psi _{j}(v_{i}).$

के साथ एक ही प्रक्रिया के बाद S तथा T उलटा, एक बिल्कुल वही सूत्र पाता है, जो साबित करता है कि tr(S ∘ T) बराबरी tr(T ∘ S). उपरोक्त प्रमाण को टेंसर उत्पादों पर आधारित माना जा सकता है, यह देखते हुए कि की मौलिक पहचान End(V) साथ V ⊗ V^∗ रैंक-एक रैखिक मानचित्रों के योग के रूप में किसी भी रैखिक मानचित्र की अभिव्यक्ति के बराबर है। जैसे, प्रमाण को टेंसर उत्पादों के अंकन में लिखा जा सकता है। तब कोई बहुरेखीय मानचित्र पर विचार कर सकता है V × V^∗ × V × V^∗ → V ⊗ V^∗ भेजकर दिया गया (v, φ, w, ψ) प्रति φ(w)v ⊗ ψ. ट्रेस मैप के साथ आगे की रचना का परिणाम है φ(w)ψ(v), और यह अपरिवर्तित है यदि किसी को से शुरू करना होता (w, ψ, v, φ) बजाय। कोई भी द्विरेखीय मानचित्र पर विचार कर सकता है End(V) × End(V) → End(V) भेजकर दिया गया (f, g) रचना के लिए f ∘ g, जो तब एक रेखीय मानचित्र द्वारा प्रेरित होता है End(V) ⊗ End(V) → End(V). यह देखा जा सकता है कि यह रैखिक मानचित्र के साथ मेल खाता है V ⊗ V^∗ ⊗ V ⊗ V^∗ → V ⊗ V^∗. ट्रेस मैप के साथ रचना पर स्थापित समरूपता तब दो निशानों की समानता स्थापित करती है।

किसी भी परिमित विमीय सदिश समष्टि के लिए V, एक प्राकृतिक रैखिक नक्शा है F → V ⊗ V'; रैखिक मानचित्रों की भाषा में, यह एक अदिश राशि को निर्दिष्ट करता है c रैखिक नक्शा c⋅id_V. कभी-कभी इसे सह-मूल्यांकन मानचित्र कहा जाता है, और ट्रेस V ⊗ V' → F मूल्यांकन मानचित्र कहलाता है।श्रेणी सिद्धांत की अमूर्त सेटिंग में श्रेणीबद्ध निशान को परिभाषित करने के लिए इन संरचनाओं को स्वयंसिद्ध किया जा सकता है।

यह भी देखें

• अदिश वक्रता#परिभाषा
• विशेषता कार्य (संभाव्यता सिद्धांत)#मैट्रिक्स-मूल्यवान यादृच्छिक चर
• फील्ड ट्रेस
• गोल्डन-थॉम्पसन असमानता
• एकवचन ट्रेस
• स्पीच का प्रमेय
• ट्रेस क्लास
• ट्रेस पहचान
• ट्रेस असमानता
• वॉन न्यूमैन की ट्रेस असमानता

संदर्भ

• Gantmacher, F. R. (1959). The theory of matrices. Vols. 1, 2. Translated by K. A. Hirsch. New York: Chelsea Publishing Company. MR 0107649.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix analysis (Second edition of 1985 original ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6. MR 2978290.
• Strang, Gilbert (2004). Linear algebra and its applications (Fourth edition of 1976 original ed.). Cengage Learning. ISBN 978-0030105678.

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बाहरी संबंध

• "Trace of a square matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]