टेंसर उत्पाद

For generalizations of this concept, see Tensor product of modules and Tensor product (disambiguation).

गणित में, टेंसर उत्पाद $V\otimes W$ दो वेक्टर रिक्त स्थान की V और W (उसी क्षेत्र (गणित) पर) एक सदिश स्थान है जिससे एक बिलिनियर मानचित्र जुड़ा हुआ है $V\times W\to V\otimes W$ जो एक जोड़ी को मैप करता है $(v,w),\ v\in V,w\in W$ के एक तत्व के लिए $V\otimes W$ लक्षित $v\otimes w.$ रूप का एक तत्व $v\otimes w$ का टेन्सर गुणनफल कहलाता है v और w. का एक तत्व $V\otimes W$ एक टेन्सर है, और दो सदिशों के टेन्सर उत्पाद को कभी-कभी प्राथमिक टेन्सर या डीकंपोज़ेबल टेंसर कहा जाता है। प्राथमिक टेंसर अवधि $V\otimes W$ इस अर्थ में कि प्रत्येक तत्व $V\otimes W$ प्राथमिक टेंसरों का योग है। यदि आधार (रैखिक बीजगणित) के लिए दिया गया है V और W, का एक आधार $V\otimes W$ के आधार तत्व के सभी टेन्सर उत्पादों द्वारा बनता है V और का आधार तत्व है W.

दो सदिश स्थानों का टेन्सर उत्पाद सभी बिलिनियर मानचित्रों के गुणों को इस अर्थ में ग्रहण करता है कि एक बिलिनियर मानचित्र $V\times W$ दूसरे वेक्टर स्पेस में Z एक रेखीय मानचित्र के माध्यम से विशिष्ट रूप से कारक $V\otimes W\to Z$ (सार्वभौमिक संपत्ति देखें)।

भौतिक विज्ञान और इंजीनियरिंग सहित कई अनुप्रयोग क्षेत्रों में टेंसर उत्पादों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, सामान्य सापेक्षता में, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को मीट्रिक टेंसर के माध्यम से वर्णित किया जाता है, जो कि टेंसरों का एक सदिश क्षेत्र है, जो अंतरिक्ष समय विविध के प्रत्येक बिंदु पर एक है, और प्रत्येक टेन्सर उत्पाद से संबंधित है, जो स्वयं के स्पर्शरेखा स्थान में है। बिंदु।

परिभाषाएं और निर्माण

दो सदिश स्थानों का टेंसर उत्पाद एक सदिश स्थान है जिसे एक समरूपता तक परिभाषित किया गया है। इसे परिभाषित करने के कई समतुल्य तरीके हैं। अधिकांश में एक सदिश स्थान को स्पष्ट रूप से परिभाषित करना शामिल है जिसे टेन्सर उत्पाद कहा जाता है, और, आम तौर पर, समतुल्यता प्रमाण वेक्टर रिक्त स्थान के मूल गुणों से लगभग तुरंत परिणाम देता है जो इस प्रकार परिभाषित होते हैं।

टेन्सर उत्पाद को एक सार्वभौमिक संपत्ति के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता है; देखो § Universal property, नीचे। प्रत्येक सार्वभौमिक संपत्ति के लिए, संपत्ति को संतुष्ट करने वाली सभी वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) एक अद्वितीय समरूपता के माध्यम से समरूपता है जो सार्वभौमिक संपत्ति के साथ संगत है। जब इस परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो अन्य परिभाषाओं को सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करने वाली वस्तुओं के निर्माण के रूप में देखा जा सकता है और प्रमाण के रूप में कि ऐसी वस्तुएं हैं जो सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करती हैं, अर्थात टेंसर उत्पाद मौजूद हैं।

आधारों से

होने देना V और W एक क्षेत्र पर दो सदिश स्थान होना (गणित) F, संबंधित आधार के साथ (रैखिक बीजगणित) $B_{V}$ और $B_{W}.$ टेंसर उत्पाद $V\otimes W$ का V और W एक सदिश समष्टि है जिसका आधार सभी का समुच्चय है $v\otimes w$ साथ $v\in B_{V}$ और $w\in B_{W}.$ इस परिभाषा को निम्नलिखित तरीके से औपचारिक रूप दिया जा सकता है (यह औपचारिकता शायद ही कभी अभ्यास में प्रयोग की जाती है, क्योंकि पिछली अनौपचारिक परिभाषा आम तौर पर पर्याप्त होती है): $V\otimes W$ कार्टेशियन उत्पाद से फ़ंक्शन (गणित) का सेट है $B_{V}\times B_{W}$ को F जिनके पास शून्येतर मानों की परिमित संख्या होती है। बिंदुवार संचालन करते हैं $V\otimes W$ एक वेक्टर स्थान। वह कार्य जो मानचित्र करता है $(v,w)\in B_{V}\times B_{W}$ को 1 और के अन्य तत्व $B_{V}\times B_{W}$ को 0 निरूपित किया जाता है $v\otimes w.$ सेट $\{v\otimes w\mid v\in B_{V},w\in B_{W}\}$ का सीधा आधार है $V\otimes W,$ जिसे आधारों का टेंसर उत्पाद कहा जाता है $B_{V}$ और $B_{W}.$ दो सदिशों के टेन्सर गुणनफल को आधारों पर उनके अपघटन से परिभाषित किया जाता है। अधिक सटीक, अगर

$$x=\sum _{b\in B_{V}}x_{b}\,b\in V\quad {\text{and}}\quad y=\sum _{c\in B_{W}}y_{c}\,c\in W$$

सदिश उनके संबंधित आधारों पर विघटित होते हैं, फिर के टेन्सर उत्पाद x और y है

$${\begin{aligned}x\otimes y&=\left(\sum _{b\in B_{V}}x_{b}\,b\right)\otimes \left(\sum _{c\in B_{W}}y_{c}\,c\right)\\&=\sum _{b\in B_{V}}\sum _{c\in B_{W}}x_{b}y_{c}\,b\otimes c.\end{aligned}}$$

यदि एक आयताकार सरणी में व्यवस्थित किया जाता है, तो वेक्टर का समन्वय करें $x\otimes y$ के निर्देशांक सदिशों का बाह्य उत्पाद है x और y. इसलिए, टेंसर उत्पाद बाहरी उत्पाद का एक सामान्यीकरण है।

यह सत्यापित करना आसान है कि map $(x,y)\mapsto x\otimes y$ से द्विरेखीय मानचित्र है $V\times W$ को $V\otimes W.$ टेन्सर उत्पाद की इस परिभाषा की एक सीमा यह है कि, यदि कोई आधार बदलता है, तो एक अलग टेन्सर उत्पाद परिभाषित किया जाता है। हालांकि, दूसरे आधार के तत्वों के एक आधार पर अपघटन वेक्टर रिक्त स्थान के दो टेन्सर उत्पादों के बीच एक विहित समरूपता को परिभाषित करता है, जो उन्हें पहचानने की अनुमति देता है। इसके अलावा, निम्नलिखित दो वैकल्पिक परिभाषाओं के विपरीत, इस परिभाषा को रिंग (गणित) पर मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद की परिभाषा में विस्तारित नहीं किया जा सकता है।

=== भागफल स्थान === के रूप में टेंसर उत्पाद का एक निर्माण जो कि स्वतंत्र आधार है, निम्नलिखित तरीके से प्राप्त किया जा सकता है।

होने देना V और W एक क्षेत्र (गणित) | क्षेत्र पर दो सदिश स्थान हो F.

पहले एक सदिश स्थान पर विचार करता है L जिसमें कार्टेशियन उत्पाद है $V\times W$ एक आधार के रूप में (रैखिक बीजगणित)। अर्थात् के मूल तत्व हैं L आदेशित युग्म हैं $(v,w)$ साथ $v\in V$ और $w\in W.$ ऐसा सदिश स्थान प्राप्त करने के लिए, इसे फलन के सदिश समष्टि के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (गणित) $V\times W\to F$ जिनके पास गैर-शून्य मानों की एक सीमित संख्या है, और पहचान करना $(v,w)$ उस फ़ंक्शन के साथ जो मान लेता है 1 पर $(v,w)$ और 0 अन्यथा।

होने देना R की रैखिक उपसमष्टि हो L यह उन संबंधों द्वारा फैलाया जाता है जिन्हें टेंसर उत्पाद को संतुष्ट करना चाहिए। ज्यादा ठीक R है रेखीय फैलाव रूपों में से एक के तत्व

${\begin{aligned}(v_{1}+v_{2},w)&-(v_{1},w)-(v_{2},w),\\(v,w_{1}+w_{2})&-(v,w_{1})-(v,w_{2}),\\(sv,w)&-s(v,w),\\(v,sw)&-s(v,w),\end{aligned}}$

कहां $v,v_{1},v_{2}\in V,$ $w,w_{1},w_{2}\in W$ और $s\in F.$ फिर, टेंसर उत्पाद को भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया गया है

$V\otimes W=L/R,$

और की छवि $(v,w)$ इस भागफल में दर्शाया गया है $v\otimes w.$ यह सिद्ध करना सीधा है कि इस निर्माण का परिणाम नीचे दी गई सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है। (मॉड्यूल के टेन्सर उत्पाद को परिभाषित करने के लिए एक बहुत ही समान निर्माण का उपयोग किया जा सकता है।)

सार्वभौमिक संपत्ति

टेंसर उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति: यदि h द्विरेखीय है, एक अद्वितीय रेखीय नक्शा है ${\tilde {h}}$ जो आरेख को क्रमविनिमेय आरेख बनाता है (अर्थात, $h={\tilde {h}}\circ \varphi$).

इस खंड में, टेंसर उत्पाद द्वारा संतुष्ट सार्वभौमिक संपत्ति का वर्णन किया गया है। प्रत्येक सार्वभौमिक संपत्ति के लिए, संपत्ति को संतुष्ट करने वाली दो वस्तुएं एक अद्वितीय समरूपता से संबंधित होती हैं। यह इस प्रकार है कि यह दो वेक्टर रिक्त स्थान के टेन्सर उत्पाद को परिभाषित करने का एक (गैर-रचनात्मक) तरीका है। इस संदर्भ में, टेंसर उत्पादों के पूर्ववर्ती निर्माणों को परिभाषित टेंसर उत्पाद के अस्तित्व के प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है।

इस दृष्टिकोण का एक परिणाम यह है कि टेन्सर उत्पाद की प्रत्येक संपत्ति को सार्वभौमिक संपत्ति से घटाया जा सकता है, और व्यवहार में, कोई उस विधि को भूल सकता है जिसका उपयोग उसके अस्तित्व को साबित करने के लिए किया गया है।

दो वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद की सार्वभौमिक-संपत्ति परिभाषा निम्नलिखित है (याद रखें कि एक बिलिनियर मानचित्र एक फ़ंक्शन है जो इसके प्रत्येक तर्कों में अलग-अलग रैखिक मानचित्र है):

दो वेक्टर रिक्त स्थान का टेन्सर उत्पाद V और W एक सदिश स्थान है जिसे निरूपित किया जाता है $V\otimes W,$ एक साथ एक बिलिनियर मानचित्र के साथ ${\otimes }\colon (v,w)\mapsto v\otimes w$ से $V\times W$ को $V\otimes W,$ ऐसा है कि, हर द्विरेखीय मानचित्र के लिए $h\colon V\times W\to Z,$ एक अद्वितीय रैखिक नक्शा है ${\tilde {h}}\colon V\otimes W\to Z,$ ऐसा है कि $h={\tilde {h}}\circ {\otimes }$ (वह है, $h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)$ हरएक के लिए $v\in V$ और $w\in W$).

रैखिक रूप से असंयुक्त

ऊपर दी गई सार्वभौमिक संपत्ति की तरह, निम्नलिखित लक्षण वर्णन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए भी किया जा सकता है कि दिए गए सदिश स्थान और दिए गए द्विरेखीय मानचित्र एक टेन्सर उत्पाद हैं या नहीं।

Theorem — Let $X,Y,$ and $Z$ be complex vector spaces and let $T:X\times Y\to Z$ be a bilinear map. Then $(Z,T)$ is a tensor product of $X$ and $Y$ if and only if the image of $T$ spans all of $Z$ (that is, $\operatorname {span} \;T(X\times Y)=Z$), and also $X$ and $Y$ are $T$-linearly disjoint, which by definition means that for all positive integers $n$ and all elements $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ and $y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y$ such that $\sum _{i=1}^{n}T\left(x_{i},y_{i}\right)=0,$

1. if all $x_{1},\ldots ,x_{n}$ are linearly independent then all $y_{i}$ are $0,$ and
2. if all $y_{1},\ldots ,y_{n}$ are linearly independent then all $x_{i}$ are $0.$

Equivalently, $X$ and $Y$ are $T$-linearly disjoint if and only if for all linearly independent sequences $x_{1},\ldots ,x_{m}$ in $X$ and all linearly independent sequences $y_{1},\ldots ,y_{n}$ in $Y,$ the vectors $\left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}$ are linearly independent.

उदाहरण के लिए, यह तुरंत अनुसरण करता है कि यदि $m$ और $n$ तब सकारात्मक पूर्णांक हैं $Z:=\mathbb {C} ^{mn}$ और द्विरेखीय नक्शा $T:\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{mn}$ भेजकर परिभाषित किया गया है $(x,y)=\left(\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right)$ को $\left(x_{i}y_{j}\right)_{\stackrel {i=1,\ldots ,m}{j=1,\ldots ,n}}$ का टेंसर उत्पाद बनाते हैं $X:=\mathbb {C} ^{m}$ और $Y:=\mathbb {C} ^{n}.$ अक्सर यह नक्शा $T$ द्वारा दर्शाया जाएगा $\,\otimes \,$ ताकि $x\otimes y\;:=\;T(x,y)$ पर इस द्विरेखीय मानचित्र के मान को दर्शाता है $(x,y)\in X\times Y.$ एक अन्य उदाहरण के रूप में, मान लीजिए $\mathbb {C} ^{S}$ एक सेट पर सभी जटिल-मूल्यवान कार्यों का वेक्टर स्थान है $S$ जोड़ और अदिश गुणन के साथ बिंदुवार परिभाषित किया गया है (अर्थात् $f+g$ नक्शा है $s\mapsto f(s)+g(s)$ और $cf$ नक्शा है $s\mapsto cf(s)$). होने देना $S$ और $T$ कोई भी सेट हो और किसी के लिए भी हो $f\in \mathbb {C} ^{S}$ और $g\in \mathbb {C} ^{T},$ होने देना $f\otimes g\in \mathbb {C} ^{S\times T}$ द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन को निरूपित करें $(s,t)\mapsto f(s)g(t).$ यदि $X\subseteq \mathbb {C} ^{S}$ और $Y\subseteq \mathbb {C} ^{T}$ सदिश उपसमष्टि हैं फिर सदिश उपसमष्टि $Z:=\operatorname {span} \left\{f\otimes g:f\in X,g\in Y\right\}$ का $\mathbb {C} ^{S\times T}$ बिलिनियर मानचित्र के साथ

$${\begin{alignedat}{4}\;&&X\times Y&&\;\to \;&Z\\[0.3ex]&&(f,g)&&\;\mapsto \;&f\otimes g\\\end{alignedat}}$$

का टेंसर उत्पाद बनाते हैं $X$ और $Y.$

गुण

आयाम

यदि V और W परिमित आयामी (रैखिक बीजगणित) के वेक्टर स्थान हैं, फिर $V\otimes W$ परिमित-आयामी है, और इसका आयाम के आयामों का उत्पाद है V और W.

यह इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि एक आधार $V\otimes W$ के आधार तत्व के सभी टेंसर उत्पादों को लेकर बनता है V और का आधार तत्व है W.

साहचर्य

टेन्सर गुणनफल इस अर्थ में साहचर्य है कि तीन सदिश स्थान दिए गए हैं $U,V,W,$ एक विहित समरूपता है

$(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W),$

वह मानचित्र $(u\otimes v)\otimes w$ को $u\otimes (v\otimes w).$ यह दो से अधिक वेक्टर रिक्त स्थान या वैक्टर के टेन्सर उत्पाद में कोष्ठकों को छोड़ने की अनुमति देता है।

=== वेक्टर स्पेस ऑपरेशन === के रूप में कम्यूटेटिविटी

दो सदिश स्थानों का टेन्सर गुणनफल $V$ और $W$ क्रमविनिमेय इस अर्थ में है कि एक विहित समरूपता है

$V\otimes W\cong W\otimes V,$

वह मानचित्र $v\otimes w$ को $w\otimes v.$ दूसरी ओर, जब भी $V=W,$ सदिशों का टेन्सर उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है; वह है $v\otimes w\neq w\otimes v,$ सामान्य रूप में।

वो नक्शा $x\otimes y\mapsto y\otimes x$ से $V\otimes V$ स्वयं के लिए एक रेखीय automorphism को प्रेरित करता है जिसे a कहा जाता हैbraiding map. अधिक आम तौर पर और हमेशा की तरह (टेन्सर बीजगणित देखें), निरूपित करते हैं $V^{\otimes n}$ का टेंसर उत्पाद n वेक्टर अंतरिक्ष की प्रतियां V. हर क्रमपरिवर्तन के लिए s पहले का n सकारात्मक पूर्णांक, मानचित्र

$x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\mapsto x_{s(1)}\otimes \cdots \otimes x_{s(n)}$

के एक रेखीय automorphism को प्रेरित करता है $V^{\otimes n}\to V^{\otimes n},$ जिसे ब्रेडिंग मैप कहा जाता है।

रैखिक मानचित्रों का टेंसर उत्पाद

एक रेखीय नक्शा दिया $f\colon U\to V,$ और एक वेक्टर स्थान W, टेंसर उत्पाद

$f\otimes W\colon U\otimes W\to V\otimes W$

अद्वितीय रेखीय मानचित्र ऐसा है

$(f\otimes W)(u\otimes w)=f(u)\otimes w.$

टेंसर उत्पाद $W\otimes f$ इसी तरह परिभाषित किया गया है।

दो रेखीय मानचित्र दिए गए हैं $f\colon U\to V$ और $g\colon W\to Z,$ उनका टेंसर उत्पाद

$f\otimes g\colon U\otimes W\to V\otimes Z$ अद्वितीय रेखीय मानचित्र है जो संतुष्ट करता है

$(f\otimes g)(u\otimes w)=f(u)\otimes g(w).$

किसी के पास

$f\otimes g=(f\otimes Z)\circ (U\otimes g)=(V\otimes g)\circ (f\otimes W).$

श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में, इसका मतलब है कि टेंसर उत्पाद वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी (गणित) से स्वयं में एक द्विभाजक है। यदि f और g दोनों इंजेक्शन या विशेषण हैं, तो उपरोक्त सभी परिभाषित रैखिक मानचित्रों के लिए भी यही सच है। विशेष रूप से, सदिश स्थान वाला टेन्सर उत्पाद एक सटीक फ़ंक्टर है; इसका मतलब यह है कि प्रत्येक सटीक अनुक्रम को सटीक अनुक्रम में मैप किया जाता है (मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद इंजेक्शन में इंजेक्शन में नहीं बदलते हैं, लेकिन वे सही सटीक फ़ैक्टर हैं)।

शामिल सभी वेक्टर रिक्त स्थान के आधार चुनकर, रैखिक मानचित्र S और T मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। फिर, कैसे टेंसर पर निर्भर करता है $v\otimes w$ वेक्टरकृत है, मैट्रिक्स टेन्सर उत्पाद का वर्णन करता है $S\otimes T$ दो आव्यूहों का क्रोनेकर गुणनफल है। उदाहरण के लिए, अगर V, X, W, और Y उपरोक्त सभी द्वि-आयामी हैं और उन सभी के लिए आधार तय किए गए हैं, और S और T मेट्रिसेस द्वारा दिया जाता है

$$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},$$

क्रमशः, तो इन दो मेट्रिसेस का टेंसर उत्पाद है

$${\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\[3pt]a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.$$

परिणामी रैंक अधिकतम 4 है, और इस प्रकार परिणामी आयाम 4 है। ध्यान दें rank यहां टेंसर रैंक यानी आवश्यक सूचकांकों की संख्या को दर्शाता है (जबकि मैट्रिक्स रैंक परिणामी सरणी में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या की गणना करता है)। टिप्पणी $\operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B.$ एक डायाडिक उत्पाद एक ही आयाम के दो वैक्टरों के बीच टेंसर उत्पाद का विशेष मामला है।

सामान्य टेंसर

See also: Tensor

गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए r और s प्रकार $(r,s)$ सदिश स्थान पर टेंसर V का एक तत्व है

$$T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes \left(V^{*}\right)^{\otimes s}.$$

यहां $V^{*}$ दोहरी वेक्टर स्पेस है (जिसमें सभी रैखिक मानचित्र शामिल हैं f से V जमीन के मैदान में K).

एक उत्पाद मानचित्र है, जिसे कहा जाता है (tensor) product of tensors

$$T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V).$$

यह सभी होने वाले कारकों को समूहीकृत करके परिभाषित किया गया है V एक साथ: लेखन $v_{i}$ के एक तत्व के लिए V और $f_{i}$ दोहरी जगह के एक तत्व के लिए,

$$(v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.$$

का आधार चुनना V और इसी के दोहरे आधार $V^{*}$ के लिए स्वाभाविक रूप से आधार प्रदान करता है $T_{s}^{r}(V)$ (यह आधार क्रोनेकर उत्पाद#सार गुणों में वर्णित है)। इन आधारों के संदर्भ में, दो (या अधिक) टेंसरों के एक (टेंसर) गुणनफल के निर्देशांक सदिश की गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि F और G आदेशों के सदिश टेंसरों के दो सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण हैं m और n क्रमशः (अर्थात् $F\in T_{m}^{0}$ और $G\in T_{n}^{0}$), तो उनके टेंसर उत्पाद के घटक द्वारा दिए गए हैं

$$(F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}\cdots i_{m+n}}.$$

इस प्रकार, दो टेंसरों के टेंसर उत्पाद के घटक प्रत्येक टेंसर के घटकों के सामान्य उत्पाद होते हैं। एक और उदाहरण: चलो U प्रकार का टेंसर हो (1, 1) घटकों के साथ $U_{\beta }^{\alpha },$ और जाने V प्रकार का टेंसर हो $(1,0)$ घटकों के साथ $V^{\gamma }.$ फिर

$$\left(U\otimes V\right)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }=U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }$$

और

$$(V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }=V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }.$$

टेन्सर अपने उत्पाद संचालन से लैस एक क्षेत्र पर एक बीजगणित बनाते हैं, जिसे टेन्सर बीजगणित कहा जाता है।

मूल्यांकन मानचित्र और टेंसर संकुचन

टेंसर प्रकार के लिए (1, 1) एक विहित मूल्यांकन मानचित्र है

$$V\otimes V^{*}\to K$$

शुद्ध टेंसरों पर इसकी क्रिया द्वारा परिभाषित:

$$v\otimes f\mapsto f(v).$$

अधिक आम तौर पर, प्रकार के दसियों के लिए $(r,s),$ साथ r, s > 0, एक नक्शा है, जिसे टेन्सर संकुचन कहा जाता है,

$$T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).$$

(की प्रतियां $V$ और $V^{*}$ जिस पर यह नक्शा लागू किया जाना है उसे निर्दिष्ट किया जाना चाहिए।)

वहीं दूसरी ओर अगर $V$ है finite-dimensional, दूसरी दिशा में एक विहित मानचित्र है (जिसे सह-मूल्यांकन मानचित्र कहा जाता है)

$${\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}$$

कहां $v_{1},\ldots ,v_{n}$ का कोई आधार है $V,$ और $v_{i}^{*}$ इसका दोहरा आधार है। यह नक्शा आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। मूल्यांकन और सह-मूल्यांकन की परस्पर क्रिया का उपयोग परिमित-आयामी सदिश स्थानों की विशेषता के लिए बिना आधारों का उल्लेख किए किया जा सकता है।

संलग्न प्रतिनिधित्व

टेंसर उत्पाद $T_{s}^{r}(V)$ स्वाभाविक रूप से झूठ बीजगणित के लिए एक मॉड्यूल के रूप में देखा जा सकता है $\mathrm {End} (V)$ विकर्ण क्रिया के माध्यम से: सरलता के लिए हम मान लेते हैं $r=s=1,$ फिर, प्रत्येक के लिए $u\in \mathrm {End} (V),$

$$u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),$$

कहां $u^{*}\in \mathrm {End} \left(V^{*}\right)$ का स्थानान्तरण है u, अर्थात्, स्पष्ट युग्मन के संदर्भ में $V\otimes V^{*},$

$$\langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .$$

एक विहित समरूपता है $T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)$ के द्वारा दिया गया

$$(a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.$$

इस समरूपता के तहत, हर u में $\mathrm {End} (V)$ के एंडोमोर्फिज्म के रूप में देखा जा सकता है $T_{1}^{1}(V)$ और फिर एक एंडोमोर्फिज्म के रूप में देखा गया $\mathrm {End} (V).$ वास्तव में यह झूठ बीजगणित का संलग्न प्रतिनिधित्व है ad(u) का $\mathrm {End} (V).$

रेखीय नक्शे टेंसर के रूप में

दो परिमित आयामी वेक्टर रिक्त स्थान दिए गए हैं U, V उसी मैदान के ऊपर K, के दोहरे स्थान को निरूपित करें U जैसा U*, और यह Kसभी रैखिक मानचित्रों का -वेक्टर स्थान U को V जैसा Hom(U,V). एक समरूपता है,

$$U^{*}\otimes V\cong \mathrm {Hom} (U,V),$$

शुद्ध टेन्सर की एक क्रिया द्वारा परिभाषित $f\otimes v\in U^{*}\otimes V$ के एक तत्व पर $U,$

$$(f\otimes v)(u)=f(u)v.$$

इसके व्युत्क्रम को एक आधार का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है $\{u_{i}\}$ और इसका दोहरा आधार $\{u_{i}^{*}\}$ जैसा कि ऊपर टेन्सर उत्पाद#मूल्यांकन मानचित्र और टेन्सर संकुचन अनुभाग में है:

$${\begin{cases}\mathrm {Hom} (U,V)\to U^{*}\otimes V\\F\mapsto \sum _{i}u_{i}^{*}\otimes F(u_{i}).\end{cases}}$$

यह परिणाम बताता है

$$\dim(U\otimes V)=\dim(U)\dim(V),$$

जो स्वचालित रूप से महत्वपूर्ण तथ्य देता है $\{u_{i}\otimes v_{j}\}$ का आधार बनता है $U\otimes V$ कहां $\{u_{i}\},\{v_{j}\}$ के आधार हैं U और V.

इसके अलावा, तीन सदिश स्थान दिए गए हैं U, V, W टेंसर उत्पाद सभी रैखिक मानचित्रों के वेक्टर स्थान से जुड़ा हुआ है, इस प्रकार है:

$$\mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathrm {Hom} (V,W)).$$

यह आसन्न फ़ैक्टरों का एक उदाहरण है: टेंसर उत्पाद को होम से जुड़ा हुआ छोड़ दिया गया है।

एक अंगूठी पर मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद

Main article: Tensor product of modules

दो मॉड्यूल (गणित) का टेंसर उत्पाद A और B क्रमविनिमेय वलय वलय के ऊपर (गणित) R ठीक उसी तरह से परिभाषित किया जाता है जैसे किसी क्षेत्र में सदिश स्थानों के टेन्सर गुणनफल के रूप में:

$$A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G$$

कहाँ हैं $F(A\times B)$ मुफ़्त मॉड्यूल है | मुफ़्त R-कार्टेशियन उत्पाद द्वारा उत्पन्न मॉड्यूल और G है R-टेंसर उत्पाद द्वारा उत्पन्न मॉड्यूल # सभी निर्माण को एक साथ रखना।

अधिक आम तौर पर, टेंसर उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है, भले ही रिंग नॉनकम्यूटेटिव रिंग |नॉन-कम्यूटेटिव हो। इस मामले में A अधिकार होना चाहिए-R-मॉड्यूल और B एक बायां है-R-मॉड्यूल, और उपरोक्त पिछले दो संबंधों के बजाय संबंध

$$(ar,b)\sim (a,rb)$$

लगाया जाता है। यदि R गैर-विनिमेय है, यह अब नहीं है R-मॉड्यूल, लेकिन सिर्फ एक एबेलियन समूह ।

सार्वभौमिक संपत्ति भी चलती है, थोड़ा संशोधित: नक्शा $\varphi :A\times B\to A\otimes _{R}B$ द्वारा परिभाषित $(a,b)\mapsto a\otimes b$ मॉड्यूल का एक टेन्सर उत्पाद है # संतुलित उत्पाद (कैनोनिकल मिडिल लीनियर मैप के रूप में जाना जाता है।); अर्थात्, यह संतुष्ट करता है:

$${\begin{aligned}\phi (a+a',b)&=\phi (a,b)+\phi (a',b)\\\phi (a,b+b')&=\phi (a,b)+\phi (a,b')\\\phi (ar,b)&=\phi (a,rb)\end{aligned}}$$

पहले दो गुण बनाते हैं φ एबेलियन समूह का द्विरेखीय मानचित्र $A\times B.$ किसी भी मध्य रेखीय मानचित्र के लिए $\psi$ का $A\times B,$ एक अद्वितीय समूह समरूपता f का $A\otimes _{R}B$ संतुष्ट $\psi =f\circ \varphi ,$ और यह संपत्ति निर्धारित करती है $\phi$ समूह समरूपता के भीतर। विवरण के लिए मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद देखें।

=== एक गैर-कम्यूटेटिव रिंग === पर मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद

मान लीजिए A एक दायाँ R-मॉड्यूल है और B एक बायाँ R-मॉड्यूल है। तब A और B का टेंसर उत्पाद एक एबेलियन समूह द्वारा परिभाषित किया गया है

$$A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G$$

कहां $F(A\times B)$ एक मुक्त एबेलियन समूह ओवर है $A\times B$ और G का उपसमूह है $F(A\times B)$ संबंधों से उत्पन्न

$${\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,{\text{ for all }}r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}$$

सार्वभौमिक संपत्ति को निम्नानुसार कहा जा सकता है। मान लीजिए G मानचित्र के साथ एक एबेलियन समूह है $q:A\times B\to G$ वह द्विरेखीय है, इस अर्थ में कि

$${\begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb).\end{aligned}}$$

फिर एक अनोखा नक्शा है ${\overline {q}}:A\otimes B\to G$ ऐसा है कि ${\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)$ सबके लिए $a\in A$ और $b\in B.$ इसके अलावा, हम दे सकते हैं $A\otimes _{R}B$ कुछ अतिरिक्त शर्तों के तहत एक मॉड्यूल संरचना:

1. यदि A एक (S,R)-बिमॉड्यूल है, तो $A\otimes _{R}B$ एक बायां एस-मॉड्यूल है जहां $s(a\otimes b):=(sa)\otimes b.$
2. यदि बी एक (आर, एस) -बिमॉड्यूल है, तो $A\otimes _{R}B$ एक सही एस-मॉड्यूल है जहां $(a\otimes b)s:=a\otimes (bs).$
3. यदि A एक (S,R)-बिमॉड्यूल है और B एक (R,T)-बिमॉड्यूल है, तो $A\otimes _{R}B$ एक (S, T)-बिमॉड्यूल है, जहां बाएँ और दाएँ क्रियाओं को पिछले दो उदाहरणों की तरह ही परिभाषित किया गया है।
4. यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है, तो A और B (R,R)-बिमॉड्यूल हैं जहाँ $ra:=ar$ और $br:=rb.$ 3 तक), हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं $A\otimes _{R}B$ एक (आर, आर)-बिमॉड्यूल है।

टेंसर उत्पाद की गणना

वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, टेंसर उत्पाद $V\otimes W$ के आधारों के बाद से जल्दी से गणना की जाती है V का W का आधार तत्काल निर्धारित करें $V\otimes W,$ जैसा कि ऊपर बताया गया था। एक सामान्य (कम्यूटेटिव) रिंग पर मॉड्यूल के लिए, हर मॉड्यूल मुफ्त नहीं है। उदाहरण के लिए, Z/nZ एक मुक्त आबेली समूह नहीं है (Z-मापांक)। के साथ टेंसर उत्पाद Z/nZ द्वारा दिया गया है

$$M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.$$

अधिक सामान्यतः, कुछ के एक मॉड्यूल की प्रस्तुति दी गई R-मापांक M, यानी कई जनरेटर $m_{i}\in M,i\in I$ संबंधों के साथ

$$\sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,$$

टेंसर उत्पाद की गणना निम्नलिखित cokernel के रूप में की जा सकती है:

$$M\otimes _{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)$$

यहां $N^{J}=\oplus _{j\in J}N,$ और नक्शा $N^{J}\to N^{I}$ कुछ भेजकर तय किया जाता है $n\in N$ में jवें प्रति $N^{J}$ को $a_{ij}n$ (में $N^{I}$). बोलचाल की भाषा में, यह कहकर इसे फिर से परिभाषित किया जा सकता है कि की एक प्रस्तुति M की प्रस्तुति को जन्म देता है $M\otimes _{R}N.$ इसे यह कहते हुए संदर्भित किया जाता है कि टेन्सर उत्पाद एक सही सटीक फ़ंक्टर है। यह सामान्य रूप से सटीक नहीं है, अर्थात, का एक इंजेक्शन नक्शा दिया गया है R-मॉड्यूल $M_{1}\to M_{2},$ टेंसर उत्पाद

$$M_{1}\otimes _{R}N\to M_{2}\otimes _{R}N$$

आमतौर पर इंजेक्शन नहीं होता है। उदाहरण के लिए, गुणा द्वारा दिए गए (इंजेक्शन) मानचित्र को टेंसर करना n, n : Z → Z साथ Z/nZ शून्य नक्शा देता है 0 : Z/nZ → Z/nZ, जो इंजेक्शन नहीं है। हायर टोर काम करता है टेंसर उत्‍पाद की खराबी को सटीक नहीं छोड़े जाने को मापते हैं। व्युत्पन्न टेंसर उत्पाद में सभी उच्च टोर फ़ैक्टर इकट्ठे होते हैं।

बीजगणित का टेंसर उत्पाद

Main article: Tensor product of algebras

होने देना R एक क्रमविनिमेय अंगूठी हो। का टेंसर उत्पाद R-मॉड्यूल लागू होता है, विशेष रूप से, यदि A और B बीजगणित (रिंग थ्योरी) हैं |R-बीजगणित। इस मामले में, टेंसर उत्पाद $A\otimes _{R}B$ एक R-बीजगणित स्वयं डालकर

$$(a_{1}\otimes b_{1})\cdot (a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2})\otimes (b_{1}\cdot b_{2}).$$

उदाहरण के लिए,

$$R[x]\otimes _{R}R[y]\cong R[x,y].$$

एक विशेष उदाहरण है जब A और B एक सामान्य उपक्षेत्र वाले क्षेत्र हैं R. क्षेत्रों का टेन्सर उत्पाद गैलोज़ सिद्धांत से निकटता से संबंधित है: यदि, कहते हैं, A = R[x] / f(x), कहां f में गुणांक के साथ कुछ अलघुकरणीय बहुपद है R, टेंसर उत्पाद की गणना इस प्रकार की जा सकती है

$$A\otimes _{R}B\cong B[x]/f(x)$$

कहाँ हैं f समान बहुपद के रूप में व्याख्या की जाती है, लेकिन इसके गुणांकों को के तत्वों के रूप में माना जाता है B. बड़े मैदान में B, बहुपद कम हो सकता है, जो गैलोज़ सिद्धांत लाता है। उदाहरण के लिए, यदि A = B का गाल्वा विस्तार है R, तब

$$A\otimes _{R}A\cong A[x]/f(x)$$

आइसोमोर्फिक है (एक के रूप में A-बीजगणित) से $A^{\operatorname {deg} (f)}.$

टेंसर्स का ईजेनकॉन्फ़िगरेशन

स्क्वायर मैट्रिक्स (गणित) $A$ एक क्षेत्र में प्रविष्टियों के साथ (गणित) $K$ वेक्टर रिक्त स्थान के रैखिक मानचित्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं, कहते हैं $K^{n}\to K^{n},$ और इस प्रकार रैखिक नक्शे $\psi :\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}$ प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान ओवर $K.$ यदि $A$ उलटा मैट्रिक्स है तो $\psi$ हर जगह अच्छी तरह से परिभाषित है, और के आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर $A$ के निश्चित बिंदुओं के अनुरूप है $\psi .$ का आइगेन कॉन्फिगरेशन $A$ के होते हैं $n$ में इंगित करता है $\mathbb {P} ^{n-1},$ बशर्ते $A$ सामान्य है और $K$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। नॉनलाइनियर मैप्स के निश्चित बिंदु टेंसर के आइजनवेक्टर हैं। होने देना $A=(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})$ एक हो $d$स्वरूप का आयामी टेन्सर $n\times n\times \cdots \times n$ प्रविष्टियों के साथ $(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में पड़ा हुआ $K$ विशेषता (बीजगणित) शून्य। ऐसा टेंसर $A\in (K^{n})^{\otimes d}$ बीजगणितीय किस्मों के रूपवाद को परिभाषित करता है $K^{n}\to K^{n}$ और $\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}$ निर्देशांक के साथ

$$\psi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{2}=1}^{n}\sum _{j_{3}=1}^{n}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n}a_{ij_{2}j_{3}\cdots j_{d}}x_{j_{2}}x_{j_{3}}\cdots x_{j_{d}}\;\;{\mbox{for }}i=1,\ldots ,n$$

इस प्रकार प्रत्येक $n$ के निर्देशांक $\psi$ एक सजातीय बहुपद है $\psi _{i}$ डिग्री का $d-1$ में $\mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).$ के ईजेनवेक्टर $A$ विवशता के उपाय हैं

$${\mbox{rank}}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\\psi _{1}(\mathbf {x} )&\psi _{2}(\mathbf {x} )&\cdots &\psi _{n}(\mathbf {x} )\end{pmatrix}}\leq 1$$

और eigenconfiguration की बीजगणितीय विविधता द्वारा दिया जाता है $2\times 2$ इस मैट्रिक्स का लघु (रैखिक बीजगणित)।

टेन्सर उत्पादों के अन्य उदाहरण

हिल्बर्ट स्पेस का टेंसर उत्पाद

Main article: Tensor product of Hilbert spaces

हिल्बर्ट रिक्त स्थान परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान को गणनीय | गणनीय-अनंत आयामों के लिए सामान्यीकृत करते हैं। टेंसर उत्पाद अभी भी परिभाषित है; यह हिल्बर्ट अंतरिक्ष का टेन्सर उत्पाद है।

सामयिक टेंसर उत्पाद

Main article: Topological tensor product

जब सदिश समष्टि का आधार गणनीय नहीं रह जाता है, तब सदिश समष्टि के लिए उपयुक्त स्वयंसिद्ध औपचारिकता एक सांस्थितिक सदिश समष्टि है। टेंसर उत्पाद अभी भी परिभाषित है, यह टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद है।

ग्रेडेड वेक्टर स्पेस का टेंसर उत्पाद

Main article: Graded vector space § Operations on graded vector spaces

कुछ सदिश समष्टियों को उपसमष्टियों के प्रत्यक्ष योग में विघटित किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, दो स्थानों के टेन्सर उत्पाद को उप-स्थानों के उत्पादों के योग में विघटित किया जा सकता है (जिस तरह से गुणन जोड़ पर वितरित होता है)।

अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद

Main article: Tensor product of representations

एक अतिरिक्त गुणात्मक संरचना के साथ संपन्न सदिश रिक्त स्थान एक क्षेत्र पर बीजगणित कहलाते हैं। ऐसे बीजगणित के टेंसर उत्पाद का वर्णन लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम द्वारा किया गया है।

द्विघात रूपों का टेंसर उत्पाद

Main article: Tensor product of quadratic forms

बहुरेखीय रूप ों का टेंसर उत्पाद

दो बहुरेखीय रूप दिए गए हैं $f(x_{1},\dots ,x_{k})$ और $g(x_{1},\dots ,x_{m})$ एक वेक्टर स्थान पर $V$ मैदान के ऊपर $K$ उनका टेन्सर उत्पाद बहुरेखीय रूप है

$$(f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).$$

यह टेन्सर उत्पाद # टेंसर्स के उत्पाद का एक विशेष मामला है यदि उन्हें मल्टीलाइनर मैप्स के रूप में देखा जाता है (टेन्सर # मल्टीलाइन मैप्स के रूप में भी देखें)। इस प्रकार बहुरेखीय रूपों के टेंसर उत्पाद के घटकों की गणना क्रोनकर उत्पाद द्वारा की जा सकती है।

मॉड्यूल के शीशों का टेंसर उत्पाद

Main article: Sheaf of modules

लाइन बंडलों का टेंसर उत्पाद

Main article: Vector bundle § Operations on vector bundles

See also: tensor product bundle

खेतों का टेंसर उत्पाद

Main article: Tensor product of fields

रेखांकन का टेंसर उत्पाद

Main article: Tensor product of graphs

यह उल्लेख किया जाना चाहिए कि, हालांकि टेन्सर उत्पाद कहा जाता है, यह उपरोक्त अर्थों में ग्राफ़ का टेन्सर उत्पाद नहीं है; वास्तव में यह ग्राफ़ और ग्राफ़ समरूपता की श्रेणी में उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) | श्रेणी-सैद्धांतिक उत्पाद है। हालाँकि यह वास्तव में ग्राफ़ के आसन्न मैट्रिक्स का क्रोनकर उत्पाद है। ऊपर दिए गए रेखीय नक्शों के सेक्शन टेंसर उत्पाद#टेन्सर उत्पाद की भी तुलना करें।

मोनोइडल श्रेणियां

टेंसर उत्पाद के लिए सबसे सामान्य सेटिंग मोनोइडल श्रेणी है। यह टेंसरिंग के बीजगणितीय सार को कैप्चर करता है, बिना किसी विशेष संदर्भ के कि क्या टेंसर किया जा रहा है। इस प्रकार, सभी टेन्सर उत्पादों को कुछ विशेष सेटिंग के लिए मोनोइडल श्रेणी के अनुप्रयोग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो कुछ विशेष वस्तुओं पर कार्य करता है।

भागफल बीजगणित

टेन्सर बीजगणित के कई महत्वपूर्ण उप-स्थान भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) के रूप में निर्मित किए जा सकते हैं: इनमें बाहरी बीजगणित , सममित बीजगणित , क्लिफोर्ड बीजगणित, वेइल बीजगणित और सामान्य रूप से सार्वभौमिक आवरण बीजगणित शामिल हैं।

बाहरी बीजगणित बाहरी उत्पाद से बना है। एक सदिश स्थान दिया गया है V, बाहरी उत्पाद $V\wedge V$ की तरह परिभाषित किया गया है

$$V\wedge V:=V\otimes V/\{v\otimes v\mid v\in V\}.$$

ध्यान दें कि जब अंतर्निहित क्षेत्र V विशेषता 2 नहीं है, तो यह परिभाषा समतुल्य है

$$V\wedge V:=V\otimes V/\{v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}\}.$$

की छवि $v_{1}\otimes v_{2}$ बाहरी उत्पाद में आमतौर पर निरूपित किया जाता है $v_{1}\wedge v_{2}$ और संतुष्ट करता है, निर्माण द्वारा, $v_{1}\wedge v_{2}=-v_{2}\wedge v_{1}.$ इसी तरह के निर्माण संभव हैं $V\otimes \dots \otimes V$ (n कारक), को जन्म दे रहा है $\Lambda ^{n}V,$ nकी बाहरी शक्ति V. बाद की धारणा अंतर रूप का आधार है | अंतर n-रूप।

सममित बीजगणित का निर्माण एक समान तरीके से किया जाता है, सममित टेन्सर # सममित उत्पाद से

$$V\odot V:=V\otimes V/\{v_{1}\otimes v_{2}-v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}\}.$$

आम तौर पर अधिक

$$\operatorname {Sym} ^{n}V:=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n}/(\dots \otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \dots -\dots \otimes v_{i+1}\otimes v_{i}\otimes \dots )$$

यही है, सममित बीजगणित में दो आसन्न वैक्टर (और इसलिए उन सभी) को आपस में जोड़ा जा सकता है। परिणामी वस्तुओं को सममित टेंसर कहा जाता है।

प्रोग्रामिंग में टेंसर उत्पाद

ऐरे प्रोग्रामिंग भाषाएँ

ऐरे प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में यह पैटर्न बिल्ट इन हो सकता है। उदाहरण के लिए, एपीएल प्रोग्रामिंग भाषा में टेंसर प्रोडक्ट को व्यक्त किया जाता है ○.× (उदाहरण के लिए A ○.× B या A ○.× B ○.× C). जे प्रोग्रामिंग भाषा में टेन्सर प्रोडक्ट किसका डाइएडिक रूप है */ (उदाहरण के लिए a */ b या a */ b */ c).

ध्यान दें कि जे का उपचार भी कुछ टेन्सर क्षेत्रों के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है, जैसे a और b स्थिरांक के बजाय कार्य हो सकते हैं। दो कार्यों का यह उत्पाद व्युत्पन्न कार्य है, और यदि a और b अवकलनीय फलन हैं, तब a */ b अवकलनीय है।

हालाँकि, इस प्रकार के अंकन सरणी भाषाओं में सार्वभौमिक रूप से मौजूद नहीं हैं। अन्य सरणी भाषाओं को सूचकांकों के स्पष्ट उपचार की आवश्यकता हो सकती है (उदाहरण के लिए, MATLAB ), और/या जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक (उदाहरण के लिए, फोरट्रान /एपीएल) जैसे उच्च-क्रम के कार्यों का समर्थन नहीं कर सकती है।

यह भी देखें

• Dyadics
• Extension of scalars
• Monoidal category
• Tensor algebra
• Tensor contraction
• Topological tensor product

संदर्भ

• Bourbaki, Nicolas (1989). Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Gowers, Timothy. "How to lose your fear of tensor products". Archived from the original on 23 July 2021.
• Grillet, Pierre A. (2007). Abstract Algebra. Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0387715674.
• Halmos, Paul (1974). Finite dimensional vector spaces. Springer. ISBN 0-387-90093-4.
• Hungerford, Thomas W. (2003). Algebra. Springer. ISBN 0387905189.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
• Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1999). Algebra. AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2.
• Aguiar, M.; Mahajan, S. (2010). Monoidal functors, species and Hopf algebras. CRM Monograph Series Vol 29. ISBN 978-0-8218-4776-3.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• "Bibliography on the nonabelian tensor product of groups".