विभेदक रूप

गणित में, विभेदक रूप वक्रों, सतहों, ठोसों और उच्च-आयामी विविध पर एकीकृत ताओं को परिभाषित करने के लिए एक एकीकृत दृष्टिकोण प्रदान करते हैं। विभेदक रूपों की आधुनिक धारणा का नेतृत्व एली कार्टन ने किया था। इसके कई अनुप्रयोग हैं, विशेष रूप से ज्यामिति, टोपोलॉजी और भौतिकी में।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति $f (x) dx$ 1-रूप का एक उदाहरण है| $1$ -फॉर्म, और एक अंतराल पर अभिन्न हो सकता है $[a, b]$ के डोमेन में निहित है $f$ :

\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

इसी तरह, अभिव्यक्ति $f (x, y, z) dx \land dy + g (x, y, z) dz \land dx + h (x, y, z) dy \land dz$ एक है $2$ -फॉर्म जिसे सतह पर एकीकृत किया जा सकता है (गणित) $S$ :

\int _{S}(f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz).

प्रतीक $\land$ बाहरी उत्पाद को दर्शाता है, जिसे कभी-कभी वेज उत्पाद कहा जाता है, दो भिन्न रूपों का। इसी तरह, एक ' $3$ -प्रपत्र $f (x, y, z) dx \land dy \land dz$ एक आयतन तत्व का प्रतिनिधित्व करता है जिसे अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में एकीकृत किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, ए $k$ -फॉर्म एक ऐसी वस्तु है जिसे a . पर एकीकृत किया जा सकता है $k$ -आयामी कई गुना, और डिग्री का सजातीय बहुपद है $k$ समन्वय अंतर में $dx,dy,\ldots .$ एक पर $n$ -आयामी कई गुना, शीर्ष-आयामी रूप ( $n$ -फॉर्म) को वॉल्यूम फॉर्म कहा जाता है।

विभेदक रूप एक वैकल्पिक बीजगणित बनाते हैं। यह बताता है कि $dy\wedge dx=-dx\wedge dy$ तथा $dx\wedge dx=0.$ यह वैकल्पिक गुण एकीकरण के क्षेत्र के अभिविन्यास (गणित) को दर्शाता है।

बाहरी व्युत्पन्न विभेदक रूपों पर एक ऑपरेशन है, जिसे दिया गया है a $k$ -प्रपत्र $\varphi$ , a . पैदा करता है $(k +1)$ -प्रपत्र $d\varphi .$ यह ऑपरेशन एक फ़ंक्शन के अंतर को बढ़ाता है (एक फ़ंक्शन को a . के रूप में माना जा सकता है) $0$ -रूप, और इसका अंतर है $df(x)=f'(x)dx.$ ) यह कलन के मौलिक प्रमेय, विचलन प्रमेय , ग्रीन के प्रमेय, और स्टोक्स के प्रमेय को एकल सामान्य परिणाम, सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय के विशेष मामलों के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है।

अंतर $1$ -फॉर्म स्वाभाविक रूप से एक अलग-अलग मैनिफोल्ड पर वेक्टर क्षेत्र के लिए दोहरे होते हैं, और वेक्टर फ़ील्ड और के बीच युग्मन $1$ -रूपों को आंतरिक उत्पाद द्वारा मनमाने ढंग से अंतर रूपों तक बढ़ाया जाता है। इस पर परिभाषित बाहरी व्युत्पन्न के साथ विभेदक रूपों का बीजगणित दो मैनिफोल्ड्स के बीच सुचारू कार्यों के तहत पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) द्वारा संरक्षित है। यह सुविधा ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय जानकारी को पुलबैक (अंतर ज्यामिति) से एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाने की अनुमति देती है, बशर्ते कि जानकारी अंतर रूपों के संदर्भ में व्यक्त की गई हो। एक उदाहरण के रूप में, एकीकरण के लिए चर सूत्र का परिवर्तन एक सरल कथन बन जाता है कि एक अभिन्न को पुलबैक के तहत संरक्षित किया जाता है।

इतिहास

विभेदक रूप रैखिक बीजगणित से प्रभावित, विभेदक ज्यामिति के क्षेत्र का हिस्सा हैं। हालांकि डिफरेंशियल की धारणा काफी पुरानी है, डिफरेंशियल फॉर्म के बीजगणितीय संगठन के प्रारंभिक प्रयास का श्रेय आमतौर पर एली कार्टन को उनके 1899 के पेपर के संदर्भ में दिया जाता है।^[1] विभेदक रूपों के बाहरी बीजगणित के कुछ पहलू हरमन ग्रासमैन के 1844 के काम, डाई लाइनेल में दिखाई देते हैं रैखिक विस्तार का सिद्धांत, गणित की एक नई शाखा।

अवधारणा

विभेदक रूप बहुचरीय कलन के लिए एक दृष्टिकोण प्रदान करते हैं जो निर्देशांक से स्वतंत्र होता है।

एकता और अभिविन्यास

एक अंतर $k$ -फॉर्म को आयाम के एक उन्मुख मैनिफोल्ड (गणित) पर एकीकृत किया जा सकता है $k$ . एक अंतर $1$ -फॉर्म को एक असीम उन्मुख लंबाई, या 1-आयामी उन्मुख घनत्व को मापने के रूप में सोचा जा सकता है। एक अंतर $2$ -फॉर्म को एक अतिसूक्ष्म उन्मुख क्षेत्र, या 2-आयामी उन्मुख घनत्व को मापने के रूप में सोचा जा सकता है। और इसी तरह।

विभेदक रूपों का एकीकरण केवल उन्मुखता मैनिफोल्ड (गणित) पर अच्छी तरह से परिभाषित है। 1-आयामी मैनिफोल्ड का एक उदाहरण अंतराल है $[a, b]$ , और अंतरालों को एक अभिविन्यास दिया जा सकता है: वे सकारात्मक रूप से उन्मुख होते हैं यदि $a < b$ , और अन्यथा नकारात्मक रूप से उन्मुख। यदि $a < b$ फिर अंतर का अभिन्न $1$ -प्रपत्र $f (x) dx$ अंतराल पर $[a, b]$ (इसकी प्राकृतिक सकारात्मक अभिविन्यास के साथ) है

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

जो विपरीत अभिविन्यास से सुसज्जित होने पर समान अंतराल पर समान अंतर रूप के अभिन्न का ऋणात्मक है। वह है:

\int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx

यह एक-आयामी इंटीग्रल के लिए इंटीग्रल # कन्वेंशन के लिए एक ज्यामितीय संदर्भ देता है, कि जब अंतराल के उन्मुखीकरण को उलट दिया जाता है तो संकेत बदल जाता है। एक-चर एकीकरण सिद्धांत में इसकी एक मानक व्याख्या यह है कि, जब एकीकरण की सीमाएं विपरीत क्रम में होती हैं ( $b < a$ ), वृद्धि $dx$ एकीकरण की दिशा में नकारात्मक है।

अधिक आम तौर पर, एक $m$ -फॉर्म एक उन्मुख घनत्व है जिसे एक पर एकीकृत किया जा सकता है $m$ -आयामी उन्मुख कई गुना। (उदाहरण के लिए, ए $1$ -फॉर्म को एक उन्मुख वक्र पर एकीकृत किया जा सकता है, ए $2$ -फॉर्म को एक उन्मुख सतह, आदि पर एकीकृत किया जा सकता है।) यदि $M$ एक उन्मुख है $m$ -आयामी कई गुना, और $M'$ विपरीत उन्मुखीकरण के साथ एक ही कई गुना है और $ω$ एक $m$ -फॉर्म, फिर किसी के पास है:

\int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.

ये सम्मेलन एक श्रृंखला (बीजगणितीय टोपोलॉजी) पर एकीकृत, एक अंतर रूप के रूप में एकीकृत और व्याख्या करने के अनुरूप हैं। माप सिद्धांत में, इसके विपरीत, एक फ़ंक्शन के रूप में एकीकृत और व्याख्या करता है $f$ एक उपाय के संबंध में $μ$ और एक सबसेट पर एकीकृत करता है $A$ , अभिविन्यास की किसी भी धारणा के बिना; एक लिखता है ${\textstyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$ एक सबसेट पर एकीकरण को इंगित करने के लिए $A$ . यह एक आयाम में एक मामूली अंतर है, लेकिन उच्च-आयामी कई गुना अधिक सूक्ष्म हो जाता है; विवरण के लिए उपायों के साथ #Relation देखें।

एक उन्मुख घनत्व की धारणा को सटीक बनाना, और इस प्रकार एक विभेदक रूप में, बाहरी बीजगणित शामिल है। निर्देशांक के एक सेट के अंतर, $dx 1$ , ..., $dx n$ सभी के लिए एक आधार के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है $1$ -रूप। इनमें से प्रत्येक कई गुना पर प्रत्येक बिंदु पर एक कोवेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है जिसे संबंधित समन्वय दिशा में एक छोटे से विस्थापन को मापने के रूप में माना जा सकता है। एक सामान्य $1$ -फॉर्म कई गुना हर बिंदु पर इन अंतरों का एक रैखिक संयोजन है:

f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},

जहां $f k = f k (x 1, ... , x n)$ सभी निर्देशांक के कार्य हैं। एक अंतर $1$ -फॉर्म एक उन्मुख वक्र के साथ एक लाइन इंटीग्रल के रूप में एकीकृत है।

भाव $dx i \land dx j$ , कहाँ पे $i < j$ सभी के लिए कई गुना हर बिंदु पर आधार के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है $2$ -रूप। इसे के समानांतर एक अतिसूक्ष्म उन्मुख वर्ग के रूप में माना जा सकता है $x i$ – $x j$ -विमान। एक सामान्य $2$ -फॉर्म कई गुना हर बिंदु पर इनका एक रैखिक संयोजन है: ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ , और यह बिल्कुल एक सतह अभिन्न की तरह एकीकृत है।

विभेदक रूपों पर परिभाषित एक मौलिक ऑपरेशन बाहरी उत्पाद है (प्रतीक वेज (प्रतीक) है $\land$ ) यह वेक्टर कैलकुस से क्रॉस उत्पाद के समान है, जिसमें यह एक वैकल्पिक उत्पाद है। उदाहरण के लिए,

dx^{1}\wedge dx^{2}=-dx^{2}\wedge dx^{1}

क्योंकि वह वर्ग जिसकी पहली भुजा है $dx 1$ और दूसरा पक्ष है $dx 2$ को उस वर्ग के रूप में विपरीत दिशा वाला माना जाता है जिसकी पहली भुजा है $dx 2$ और जिसका दूसरा पक्ष है $dx 1$ . यही कारण है कि हमें केवल भावों को समेटने की आवश्यकता है $dx i \land dx j$ , साथ $i < j$ ; उदाहरण के लिए: $a (dx i \land dx j) + b (dx j \land dx i) = (a - b) dx i \land dx j$ . बाहरी उत्पाद उच्च-डिग्री विभेदक रूपों को निम्न-डिग्री वाले से बाहर बनाने की अनुमति देता है, ठीक उसी तरह जैसे वेक्टर कैलकुलस में क्रॉस उत्पाद दोनों पक्षों को इंगित करने वाले वैक्टर से समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्र वेक्टर की गणना करने की अनुमति देता है। प्रत्यावर्तन का तात्पर्य यह भी है कि $dx i \land dx i = 0$ , उसी तरह समानांतर वैक्टर का क्रॉस उत्पाद, जिसका परिमाण उन वैक्टरों द्वारा फैले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र है, शून्य है। उच्च आयामों में, $dx i 1 डीएक्स i m = 0$ यदि कोई दो सूचकांक $i 1$ , ..., $i m$ समान हैं, उसी तरह एक Parallelepiped#Parallelotope द्वारा घेरा गया आयतन जिसका किनारा वैक्टर रैखिक स्वतंत्रता शून्य है।

बहु-सूचकांक संकेतन

प्राथमिक के वेज उत्पाद के लिए एक सामान्य संकेतन $k$ -फॉर्म को मल्टी-इंडेक्स नोटेशन कहा जाता है: an . में $n$ -आयामी संदर्भ, के लिए $I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}),1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n$ , हम परिभाषित करते हैं ${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$ .^[2] लंबाई के सभी सख्ती से बढ़ते बहु-सूचकांकों के सेट को परिभाषित करके एक और उपयोगी संकेतन प्राप्त किया जाता है $k$ , आयाम की जगह में $n$ , निरूपित ${\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}$ . फिर स्थानीय रूप से (जहां भी निर्देशांक लागू होते हैं), $\{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}$ अंतर की जगह फैलाता है $k$ - कई गुना में फॉर्म $M$ आयाम का $n$ , जब रिंग के ऊपर एक मॉड्यूल के रूप में देखा जाता है $C \infty (M)$ सुचारू कार्यों पर $M$ . के आकार की गणना करके ${\mathcal {J}}_{k,n}$ संयुक्त रूप से, का मॉड्यूल $k$ -फॉर्म पर ए $n$ -आयामी कई गुना, और सामान्य स्थान में $k$ -covectors on an $n$ -आयामी वेक्टर अंतरिक्ष, is $n$ चुनें $k$ : ${\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}}$ . यह यह भी दर्शाता है कि अंतर्निहित मैनिफोल्ड के आयाम से अधिक डिग्री के गैर-शून्य अंतर रूप नहीं हैं।

बाहरी व्युत्पन्न

बाहरी उत्पाद के अलावा, बाहरी व्युत्पन्न ऑपरेटर भी है $d$ . एक विभेदक रूप का बाहरी व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन के अंतर का सामान्यीकरण है, इस अर्थ में कि बाहरी व्युत्पन्न $f \in C \infty (M) = Ω 0 (M)$ वास्तव में का अंतर है $f$ . जब उच्च रूपों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, यदि $ω = f dx I$ एक सरल है $k$ -फॉर्म, फिर इसका बाहरी व्युत्पन्न $dω$ एक है $(k + 1)$ -फॉर्म गुणांक कार्यों के अंतर को लेकर परिभाषित किया गया है:

d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.

सामान्य के विस्तार के साथ $k$ -रैखिकता के माध्यम से फार्म: if $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ , तो इसका बाहरी अवकलज है

d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)

में $R 3$ हॉज स्टार ऑपरेटर के साथ, बाहरी व्युत्पन्न ढाल , कर्ल (गणित) , और विचलन से मेल खाता है, हालांकि यह पत्राचार, क्रॉस उत्पाद की तरह, उच्च आयामों को सामान्यीकृत नहीं करता है, और कुछ सावधानी के साथ व्यवहार किया जाना चाहिए।

बाहरी व्युत्पन्न स्वयं आयामों की एक मनमानी परिमित संख्या में लागू होता है, और यह एक लचीला और शक्तिशाली उपकरण है जो विभेदक ज्यामिति, अंतर टोपोलॉजी और भौतिकी के कई क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोग के साथ है। ध्यान दें, हालांकि बाहरी व्युत्पन्न की उपरोक्त परिभाषा को स्थानीय निर्देशांक के संबंध में परिभाषित किया गया था, इसे पूरी तरह से समन्वय-मुक्त तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, विभेदक रूपों के बाहरी बीजगणित पर डिग्री 1 की व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित) के रूप में। इस अधिक सामान्य दृष्टिकोण का लाभ यह है कि यह कई गुना एकीकरण के लिए एक प्राकृतिक समन्वय-मुक्त दृष्टिकोण की अनुमति देता है। यह कैलकुस के मौलिक प्रमेय के प्राकृतिक सामान्यीकरण की भी अनुमति देता है, जिसे (सामान्यीकृत) स्टोक्स प्रमेय कहा जाता है, जो कई गुना पर एकीकरण के सिद्धांत में एक केंद्रीय परिणाम है।

डिफरेंशियल कैलकुलस

होने देना $U$ में एक खुला सेट बनें $R n$ . एक अंतर $0$ -फॉर्म (शून्य-फॉर्म) को एक सुचारू कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है $f$ पर $U$ - जिसका समुच्चय निरूपित है $C \infty (U)$ . यदि $v$ क्या कोई वेक्टर है $R n$ , फिर $f$ एक दिशात्मक व्युत्पन्न है $\partial v f$ , जो पर एक और कार्य है $U$ एक बिंदु पर जिसका मूल्य $p \in U$ परिवर्तन की दर है (पर $p$ ) का $f$ में $v$ दिशा:

(\partial _{v}f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.

(इस धारणा को बिंदुवार उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है कि $v$ पर एक सदिश क्षेत्र है $U$ मूल्यांकन करके $v$ बिंदु पर $p$ परिभाषा में।)

विशेष रूप से, यदि $v = e j$ है $j$ वें समन्वय वेक्टर तो $\partial v f$ का आंशिक व्युत्पन्न है $f$ के प्रति सम्मान के साथ $j$ वें समन्वय समारोह, यानी, $\partial f / \partial x j$ , कहाँ पे $x 1$ , $x 2$ , ..., $x n$ पर समन्वय कार्य कर रहे हैं $U$ . उनकी परिभाषा के अनुसार, आंशिक व्युत्पन्न निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करते हैं: यदि नए निर्देशांक $y 1$ , $y 2$ , ..., $y n$ पेश किए जाते हैं, फिर

{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.

विभेदक रूपों की ओर ले जाने वाला पहला विचार यह अवलोकन है कि $\partial v f (p)$ का एक रैखिक कार्य है $v$ :

{\begin{aligned}(\partial _{v+w}f)(p)&=(\partial _{v}f)(p)+(\partial _{w}f)(p)\\(\partial _{cv}f)(p)&=c(\partial _{v}f)(p)\end{aligned}}

किसी भी वैक्टर के लिए $v$ , $w$ और कोई वास्तविक संख्या $c$ . प्रत्येक बिंदु p पर, यह रैखिक नक्शा $R n$ प्रति $R$ निरूपित है $df p$ और के एक समारोह के व्युत्पन्न या अंतर कहा जाता है $f$ पर $p$ . इस प्रकार $df p (v) = \partial v f (p)$ . पूरे सेट पर विस्तारित, वस्तु $df$ एक फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है जो एक वेक्टर फ़ील्ड लेता है $U$ , और एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन देता है जिसका प्रत्येक बिंदु पर मान फ़ंक्शन के वेक्टर फ़ील्ड के साथ व्युत्पन्न होता है $f$ . ध्यान दें कि प्रत्येक पर $p$ , अंतर $df p$ एक वास्तविक संख्या नहीं है, लेकिन स्पर्शरेखा वैक्टर पर एक रैखिक कार्यात्मक है, और एक अंतर 1-रूप का एक प्रोटोटाइप उदाहरण है| $1$ -प्रपत्र।

चूंकि कोई वेक्टर $v$ एक रैखिक संयोजन है $Σ v j e j$ इसके यूक्लिडियन वेक्टर#अपघटन, $df$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $df p (e j)$ प्रत्येक के लिए $j$ और प्रत्येक $p \in U$ , जो केवल के आंशिक व्युत्पन्न हैं $f$ पर $U$ . इस प्रकार $df$ के आंशिक डेरिवेटिव को एन्कोड करने का एक तरीका प्रदान करता है $f$ . यह देखकर डिकोड किया जा सकता है कि निर्देशांक $x 1$ , $x 2$ , ..., $x n$ स्वयं पर कार्य कर रहे हैं $U$ , और इसलिए अंतर को परिभाषित करें $1$ -रूप $dx 1$ , $dx 2$ , ..., $dx n$ . होने देना $f = x i$ . तब से $\partial x i / \partial x j = δ ij$ , क्रोनकर डेल्टा फ़ंक्शन , यह इस प्रकार है

df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.

(*)

इस व्यंजक का अर्थ दोनों पक्षों का एक मनमाना बिंदु पर मूल्यांकन करके दिया गया है $p$ : दाईं ओर, योग को बिंदुवार परिभाषित किया जाता है, ताकि

df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.

दोनों पक्षों को लागू करना $e j$ , हर तरफ परिणाम है $j$ वें आंशिक व्युत्पन्न $f$ पर $p$ . तब से $p$ तथा $j$ मनमाना थे, यह सूत्र साबित करता है (*).

अधिक सामान्यतः, किसी भी सुचारू कार्यों के लिए $g i$ तथा $h i$ पर $U$ , हम अंतर को परिभाषित करते हैं $1$ -प्रपत्र $α = Σ i g i dh i$ बिंदुवार

\alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}

प्रत्येक के लिए $p \in U$ . कोई अंतर $1$ -फॉर्म इस तरह से उत्पन्न होता है, और उपयोग करने से (*) यह इस प्रकार है कि कोई अंतर $1$ -प्रपत्र $α$ पर $U$ निर्देशांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}

कुछ सुचारू कार्यों के लिए $f i$ पर $U$ .

विभेदक रूपों की ओर ले जाने वाला दूसरा विचार निम्नलिखित प्रश्न से उत्पन्न होता है: एक अंतर दिया गया $1$ -प्रपत्र $α$ पर $U$ , कोई फ़ंक्शन कब मौजूद होता है $f$ पर $U$ ऐसा है कि $α = df$ ? उपरोक्त विस्तार इस प्रश्न को एक फ़ंक्शन की खोज में कम कर देता है $f$ जिसका आंशिक व्युत्पन्न $\partial f / \partial x i$ बराबर हैं $n$ दिए गए कार्य $f i$ . के लिये $n > 1$ , ऐसा फ़ंक्शन हमेशा मौजूद नहीं होता है: कोई भी सुचारू कार्य $f$ संतुष्ट

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},

तो ऐसा खोजना असंभव होगा $f$ जब तक

{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0

सभी के लिए $i$ तथा $j$ .

तिरछा समरूपता | बाईं ओर की तिरछी-समरूपता in $i$ तथा $j$ एक एंटीसिमेट्रिक उत्पाद पेश करने का सुझाव देता है $\land$ अंतर पर $1$ -फॉर्म, बाहरी उत्पाद, ताकि इन समीकरणों को एक ही स्थिति में जोड़ा जा सके

\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,

कहाँ पे $\land$ परिभाषित किया गया है ताकि:

dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.

यह अंतर का एक उदाहरण है $2$ -प्रपत्र। इस $2$ -फॉर्म को बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है $dα$ का $α = Σ n j =1 f j dx j$ . यह द्वारा दिया गया है

d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.

संक्षेप में: $dα = 0$ किसी फ़ंक्शन के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त है $f$ साथ $α = df$ .

अंतर $0$ -रूप, $1$ -फॉर्म, और $2$ -फॉर्म विभेदक रूपों के विशेष मामले हैं। प्रत्येक के लिए $k$ , अंतर का एक स्थान है $k$ -फॉर्म, जिसे निर्देशांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}

कार्यों के संग्रह के लिए $f i 1 i 2 \cdot\cdot\cdot i k$ . एंटीसिमेट्री, जो पहले से मौजूद थी $2$ -फॉर्म, योग को उन सूचकांकों के सेट तक सीमित करना संभव बनाता है जिनके लिए $i 1 < i 2 < ... < i k -1 < i k$ .

बाहरी उत्पाद का उपयोग करके और किसी भी अंतर के लिए विभेदक रूपों को एक साथ गुणा किया जा सकता है $k$ -प्रपत्र $α$ , एक अंतर है $(k + 1)$ -प्रपत्र $dα$ का बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है $α$ .

विभेदक रूप, बाहरी उत्पाद और बाहरी व्युत्पन्न निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र हैं। नतीजतन, उन्हें किसी भी चिकनी कई गुना पर परिभाषित किया जा सकता है $M$ . ऐसा करने का एक तरीका है कवर $M$ समन्वय चार्ट के साथ और एक अंतर को परिभाषित करें $k$ -फॉर्म ऑन $M$ अंतर का परिवार होना $k$ प्रत्येक चार्ट पर -फॉर्म जो ओवरलैप पर सहमत होते हैं। हालाँकि, अधिक आंतरिक परिभाषाएँ हैं जो निर्देशांक की स्वतंत्रता को प्रकट करती हैं।

आंतरिक परिभाषाएं

होने देना $M$ एक चिकनी कई गुना हो। डिग्री का एक सहज अंतर रूप $k$ का एक खंड (फाइबर बंडल) है $k$ के कोटेंजेंट बंडल का वां बाहरी बीजगणित $M$ . सभी अंतर का सेट $k$ - कई गुना पर फॉर्म $M$ एक सदिश स्थल है, जिसे अक्सर निरूपित किया जाता है $Ω k (M)$ .

एक विभेदक रूप की परिभाषा को निम्नानुसार पुन: स्थापित किया जा सकता है। किसी भी बिंदु पर $p \in M$ , एक $k$ -प्रपत्र $β$ एक तत्व को परिभाषित करता है

\beta _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M,

कहाँ पे $T p M$ स्पर्शरेखा स्थान है $M$ पर $p$ तथा $T p * M$ इसकी दोहरी जगह है। यह स्थान है naturally isomorphic^[3]^{[clarification needed]} फाइबर के लिए $p$ के दोहरे बंडल के $k$ के स्पर्शरेखा बंडल की बाहरी शक्ति $M$ . वह है, $β$ एक रैखिक कार्यात्मक भी है ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$ , यानी की दोहरी $k$ th बाहरी शक्ति समरूपी है $k$ दोहरी की बाहरी शक्ति:

{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M\cong {\Big (}{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M{\Big )}^{*}

बाहरी शक्तियों की सार्वभौमिक संपत्ति से, यह समान रूप से एक वैकल्पिक रूप बहुरेखीय मानचित्र है:

\beta _{p}\colon \bigoplus _{n=1}^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} .

नतीजतन, एक अंतर $k$ -फॉर्म का मूल्यांकन किसी के खिलाफ किया जा सकता है $k$ -एक ही बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिशों का टपल $p$ का $M$ . उदाहरण के लिए, एक अंतर $1$ -प्रपत्र $α$ प्रत्येक बिंदु को असाइन करता है $p \in M$ एक रैखिक कार्यात्मक $α p$ पर $T p M$ . पर एक आंतरिक उत्पाद की उपस्थिति में $T p M$ (एक रीमैनियन मीट्रिक द्वारा प्रेरित $M$ ), $α p$ एक स्पर्शरेखा वेक्टर के साथ आंतरिक उत्पाद के रूप में रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय हो सकता है $X p$ . अंतर $1$ -रूपों को कभी-कभी सहप्रसरण और वैक्टर, कोवेक्टर फ़ील्ड, या दोहरे वेक्टर फ़ील्ड के विपरीत कहा जाता है, विशेष रूप से भौतिकी के भीतर।

बाहरी बीजगणित को वैकल्पिक मानचित्र के माध्यम से टेंसर बीजगणित में एम्बेड किया जा सकता है। वैकल्पिक मानचित्र को मानचित्रण के रूप में परिभाषित किया गया है

\operatorname {Alt} \colon {\bigotimes }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.

एक टेंसर के लिए $\tau$ एक बिंदु पर $p$ ,

\operatorname {Alt} (\tau _{p})(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\tau _{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)}),

कहाँ पे $S k$ सममित समूह है $k$ तत्व वैकल्पिक नक्शा सममित 2-रूपों द्वारा उत्पन्न टेंसर बीजगणित में आदर्श के कोसेट पर स्थिर है, और इसलिए एक एम्बेडिंग के लिए उतरता है

\operatorname {Alt} \colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.

यह नक्शा प्रदर्शित करता है $β$ रैंक के वैक्टर टेंसर क्षेत्र के एक एंटीसिमेट्रिक टेंसर कॉन्वर्सिस और कॉन्ट्रावेरिएंस के रूप में $k$ . अंतर रूपों पर $M$ ऐसे टेंसर क्षेत्रों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं।

संचालन

साथ ही वेक्टर अंतरिक्ष संरचना से उत्पन्न होने वाले स्केलर ऑपरेशंस द्वारा जोड़ और गुणा, अंतर रूपों पर परिभाषित कई अन्य मानक संचालन हैं। सबसे महत्वपूर्ण संचालन दो अंतर रूपों के बाहरी उत्पाद हैं, एक एकल अंतर रूप का बाहरी व्युत्पन्न, एक अंतर रूप का आंतरिक उत्पाद और एक वेक्टर क्षेत्र, एक वेक्टर क्षेत्र और सहसंयोजक के संबंध में एक अंतर रूप का झूठ व्युत्पन्न एक परिभाषित कनेक्शन के साथ कई गुना पर एक वेक्टर क्षेत्र के संबंध में एक विभेदक रूप का व्युत्पन्न।

बाहरी उत्पाद

a . का बाहरी उत्पाद $k$ -प्रपत्र $α$ और एक $ℓ$ -प्रपत्र $β$ , निरूपित $α \land β$ , एक है ( $k + ℓ$ )-प्रपत्र। प्रत्येक बिंदु पर $p$ कई गुना $M$ , रूपों $α$ तथा $β$ कोटैंजेंट स्पेस की बाहरी शक्ति के तत्व हैं $p$ . जब बाहरी बीजगणित को टेंसर बीजगणित के भागफल के रूप में देखा जाता है, तो बाहरी उत्पाद टेंसर उत्पाद से मेल खाता है (बाहरी बीजगणित को परिभाषित करने वाला तुल्यता संबंध मॉड्यूलो)।

बाह्य बीजगणित में निहित प्रतिसममिति का अर्थ है कि जब $α \land β$ एक बहुरेखीय कार्यात्मक के रूप में देखा जाता है, यह बारी-बारी से होता है। हालांकि, जब बाहरी बीजगणित को वैकल्पिक मानचित्र के माध्यम से टेंसर बीजगणित के उप-स्थान के रूप में एम्बेड किया जाता है, तो टेंसर उत्पाद $α \otimes β$ बारी-बारी से नहीं है। एक स्पष्ट सूत्र है जो इस स्थिति में बाहरी उत्पाद का वर्णन करता है। बाहरी उत्पाद है

\alpha \wedge \beta =\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).

यदि एम्बेडिंग ${\textstyle \bigwedge }^{n}T^{*}M$ में ${\bigotimes }^{n}T^{*}M$ मानचित्र के माध्यम से किया जाता है $n!\operatorname {Alt}$ के बजाय $\operatorname {Alt}$ , बाहरी उत्पाद है

\alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).

यह विवरण स्पष्ट गणना के लिए उपयोगी है। उदाहरण के लिए, यदि $k = ℓ = 1$ , फिर $α \land β$ है $2$ -फॉर्म जिसका मूल्य एक बिंदु पर $p$ अल्टरनेटिंग बिलिनियर फॉर्म द्वारा परिभाषित किया गया है

(\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)

के लिये $v, w \in T p M$ .

बाहरी उत्पाद द्विरेखीय है: यदि $α$ , $β$ , तथा $γ$ कोई अंतर रूप हैं, और यदि $f$ कोई सुचारू कार्य है, तो

\alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,

\alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).

यह तिरछा कम्यूटेटिव (ग्रेडेड कम्यूटेटिव के रूप में भी जाना जाता है) है, जिसका अर्थ है कि यह प्रतिकम्यूटेटिविटी के एक प्रकार को संतुष्ट करता है जो रूपों की डिग्री पर निर्भर करता है: यदि $α$ एक है $k$ -फॉर्म और $β$ एक $ℓ$ -रूप, फिर

\alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .

एक में विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित भी होता है:

$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .$

रिमेंनियन मैनिफोल्ड

एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर, या अधिक सामान्यतः एक [[ छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड ]], मीट्रिक स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट बंडलों के फाइबर-वार आइसोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है। इससे वेक्टर फ़ील्ड को कोवेक्टर फ़ील्ड में बदलना संभव हो जाता है और इसके विपरीत। यह हॉज स्टार ऑपरेटर जैसे अतिरिक्त संचालन की परिभाषा को भी सक्षम बनाता है $\star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)$ और हॉज स्टार#कोडिफरेंशियल $\delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)$ , जिसके पास डिग्री है $-1$ और डिफरेंशियल ऑपरेटर है#ऑपरेटर का बाहरी डिफरेंशियल से एडजॉइंट $d$ .

वेक्टर क्षेत्र संरचनाएं

छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, $1$ -रूपों को वेक्टर क्षेत्रों से पहचाना जा सकता है; वेक्टर फ़ील्ड में अतिरिक्त विशिष्ट बीजीय संरचनाएं हैं, जो संदर्भ के लिए और भ्रम से बचने के लिए यहां सूचीबद्ध हैं।

सबसे पहले, प्रत्येक (सह) स्पर्शरेखा स्थान एक क्लिफोर्ड बीजगणित उत्पन्न करता है, जहां एक (सह) वेक्टर का उत्पाद स्वयं के साथ एक द्विघात रूप के मूल्य द्वारा दिया जाता है - इस मामले में, मीट्रिक टेंसर द्वारा प्रेरित प्राकृतिक। यह बीजगणित विभेदक रूपों के बाहरी बीजगणित से अलग है, जिसे क्लिफोर्ड बीजगणित के रूप में देखा जा सकता है जहां द्विघात रूप गायब हो जाता है (क्योंकि किसी भी वेक्टर का बाहरी उत्पाद शून्य है)। इस प्रकार क्लिफर्ड बीजगणित बाहरी बीजगणित के गैर-एंटीकम्यूटेटिव (क्वांटम) विकृति हैं। इनका अध्ययन ज्यामितीय बीजगणित में किया जाता है।

एक अन्य विकल्प सदिश क्षेत्रों को व्युत्पत्तियों के रूप में मानना है। उनके द्वारा उत्पन्न विभेदक ऑपरेटरों का (गैर-अनुवांशिक) बीजगणित वेइल बीजगणित है और वेक्टर क्षेत्रों में सममित बीजगणित का एक गैर-अनुवांशिक (क्वांटम) विरूपण है।

बाहरी अंतर परिसर

बाह्य व्युत्पन्न का एक महत्वपूर्ण गुण यह है कि $d 2 = 0$ . इसका मतलब है कि बाहरी व्युत्पन्न एक कोचैन कॉम्प्लेक्स को परिभाषित करता है:

0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.

इस परिसर को डी रम कॉम्प्लेक्स कहा जाता है, और इसकी सह-समरूपता परिभाषा के अनुसार डॉ. रहम मेमने के रूप में है $M$ . पोंकारे लेम्मा द्वारा, डी रम परिसर स्थानीय रूप से सटीक अनुक्रम है सिवाय at . के $Ω 0 (M)$ . कर्नेल पर $Ω 0 (M)$ स्थानीय रूप से स्थिर कार्य ों का स्थान है $M$ . इसलिए, परिसर निरंतर शीफ (गणित) का एक संकल्प है $R$ , जो बदले में डे रम के प्रमेय का एक रूप दर्शाता है: डी रम कोहोलॉजी शीफ कोहोलॉजी की गणना करता है $R$ .

पुलबैक

मान लो कि $f : M \to N$ चिकना है। का अंतर $f$ एक चिकना नक्शा है $df : TM \to TN$ के स्पर्शरेखा बंडलों के बीच $M$ तथा $N$ . यह नक्शा भी दर्शाया गया है $f *$ और पुशफॉरवर्ड को बुलाया। किसी भी बिंदु के लिए $p \in M$ और कोई स्पर्शरेखा वेक्टर $v \in T p M$ , एक अच्छी तरह से परिभाषित पुशफॉरवर्ड वेक्टर है $f * (v)$ में $T f (p) N$ . हालाँकि, यह एक वेक्टर क्षेत्र के बारे में सच नहीं है। यदि $f$ इंजेक्शन नहीं है, क्योंकि कहो $q \in N$ दो या दो से अधिक पूर्व-छवियां हैं, तो सदिश क्षेत्र दो या दो से अधिक भिन्न सदिशों को निर्धारित कर सकता है $T q N$ . यदि $f$ विशेषण नहीं है, तो एक बिंदु होगा $q \in N$ जिस पर $f *$ किसी भी स्पर्शरेखा वेक्टर को बिल्कुल भी निर्धारित नहीं करता है। सदिश क्षेत्र के बाद से $N$ परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक बिंदु पर एक अद्वितीय स्पर्शरेखा वेक्टर निर्धारित करता है $N$ , सदिश क्षेत्र का पुशफॉरवर्ड हमेशा मौजूद नहीं होता है।

इसके विपरीत, एक विभेदक रूप को वापस खींचना हमेशा संभव होता है। पर एक अंतर प्रपत्र $N$ प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक कार्यात्मक के रूप में देखा जा सकता है। इस फंक्शनल को डिफरेंशियल के साथ प्रीकंपोज़ करना $df : TM \to TN$ प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है $M$ और इसलिए एक विभेदक रूप $M$ . पुलबैक का अस्तित्व विभेदक रूपों के सिद्धांत की प्रमुख विशेषताओं में से एक है। यह अन्य स्थितियों में पुलबैक मानचित्रों के अस्तित्व की ओर ले जाता है, जैसे कि डी रम कोहोलॉजी में पुलबैक होमोमोर्फिज्म।

औपचारिक रूप से, चलो $f : M \to N$ चिकना हो, और चलो $ω$ एक चिकना हो $k$ -फॉर्म ऑन $N$ . फिर एक विभेदक रूप है $f * ω$ पर $M$ , का पुलबैक कहा जाता है $ω$ , जो के व्यवहार को पकड़ लेता है $ω$ के सापेक्ष देखा $f$ . पुलबैक को परिभाषित करने के लिए, एक बिंदु तय करें $p$ का $M$ और स्पर्शरेखा वैक्टर $v 1$ , ..., $v k$ प्रति $M$ पर $p$ . का पुलबैक $ω$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

(f^{*}\omega )_{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\omega _{f(p)}(f_{*}v_{1},\ldots ,f_{*}v_{k}).

इस परिभाषा को देखने के और भी कई सारगर्भित तरीके हैं। यदि $ω$ एक है $1$ -फॉर्म ऑन $N$ , तो इसे कोटेंजेंट बंडल के एक भाग के रूप में देखा जा सकता है $T * N$ का $N$ . का उपयोग करते हुए ^∗ एक दोहरे मानचित्र को निरूपित करने के लिए, दोहरे से अंतर के लिए $f$ है $(df) * : T * N \to T * M$ . का पुलबैक $ω$ समग्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ T^{*}N\ {\stackrel {(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ T^{*}M.

यह के कोटैंजेंट बंडल का एक भाग है $M$ और इसलिए एक अंतर $1$ -फॉर्म ऑन $M$ . पूर्ण व्यापकता में, चलो ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$ निरूपित करें $k$ दोहरे मानचित्र की बाहरी शक्ति अंतर के लिए। फिर a . का पुलबैक $k$ -प्रपत्र $ω$ सम्मिश्र है

M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}N\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M.

पुलबैक देखने का एक और सार तरीका a viewing देखने से आता है $k$ -प्रपत्र $ω$ स्पर्शरेखा रिक्त स्थान पर एक रैखिक कार्यात्मक के रूप में। इस दृष्टि से, $ω$ वेक्टर बंडल ों का एक रूप है

{\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} ,

कहाँ पे $N \times R$ तुच्छ रैंक एक बंडल पर है $N$ . समग्र नक्शा

{\textstyle \bigwedge }^{k}TM\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}df}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R}

प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है $M$ , और इसलिए यह तुच्छ बंडल के माध्यम से कारक है $M \times R$ . वेक्टर बंडल मॉर्फिज्म ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है $f * ω$ .

पुलबैक प्रपत्रों पर सभी बुनियादी कार्यों का सम्मान करता है। यदि $ω$ तथा $η$ रूप हैं और $c$ एक वास्तविक संख्या है, तो

{\begin{aligned}f^{*}(c\omega )&=c(f^{*}\omega ),\\f^{*}(\omega +\eta )&=f^{*}\omega +f^{*}\eta ,\\f^{*}(\omega \wedge \eta )&=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta ,\\f^{*}(d\omega )&=d(f^{*}\omega ).\end{aligned}}

किसी प्रपत्र का पुलबैक निर्देशांक में भी लिखा जा सकता है। मान लो की $x 1$ , ..., $x m$ निर्देशांक हैं $M$ , वह $y 1$ , ..., $y n$ निर्देशांक हैं $N$ , और यह कि ये समन्वय प्रणालियाँ सूत्रों द्वारा संबंधित हैं $y i = f i (x 1, ..., x m)$ सभी के लिए $i$ . स्थानीय रूप से चालू $N$ , $ω$ के रूप में लिखा जा सकता है

\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\,dy^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy^{i_{k}},

जहां, प्रत्येक पसंद के लिए $i 1$ , ..., $i k$ , $ω i 1 \cdot\cdot\cdot i k$ का एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य है $y 1$ , ..., $y n$ . पुलबैक की रैखिकता और बाहरी उत्पाद के साथ इसकी संगतता का उपयोग करते हुए, का पुलबैक $ω$ सूत्र है

f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)\,df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{k}}.

प्रत्येक बाहरी व्युत्पन्न $df i$ के संदर्भ में विस्तारित किया जा सकता है $dx 1$ , ..., $dx m$ . जिसके परिणामस्वरूप $k$ -फॉर्म को जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक मैट्रिक्स का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}\,dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}.

यहां, ${\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}$ मैट्रिक्स के निर्धारक को दर्शाता है जिसकी प्रविष्टियाँ हैं ${\frac {\partial f_{i_{m}}}{\partial x^{j_{n}}}}$ , $1\leq m,n\leq k$ .

एकीकरण

एक अंतर $k$ -फॉर्म को एक उन्मुख पर एकीकृत किया जा सकता है $k$ -आयामी कई गुना। जब $k$ -फॉर्म को एक पर परिभाषित किया गया है $n$ -आयामी कई गुना के साथ $n > k$ , फिर $k$ -फॉर्म को उन्मुख पर एकीकृत किया जा सकता है $k$ -आयामी सबमनिफोल्ड। यदि $k = 0$ , उन्मुख 0-आयामी सबमनिफोल्ड पर एकीकरण, उन बिंदुओं के उन्मुखीकरण के अनुसार, बिंदुओं पर मूल्यांकन किए गए इंटीग्रैंड का योग है। के अन्य मूल्य $k = 1, 2, 3, ...$ लाइन इंटीग्रल्स, सरफेस इंटीग्रल्स, वॉल्यूम इंटीग्रल्स आदि के अनुरूप हैं। औपचारिक रूप से एक विभेदक रूप के अभिन्न को परिभाषित करने के कई समान तरीके हैं, जो सभी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मामले को कम करने पर निर्भर करते हैं।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर एकीकरण

होने देना $U$ का एक खुला उपसमुच्चय बनें $R n$ . देना $R n$ इसका मानक अभिविन्यास और $U$ उस अभिविन्यास का प्रतिबंध। हर चिकना $n$ -प्रपत्र $ω$ पर $U$ रूप है

\omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}

कुछ सुचारू कार्य के लिए $f : R n \to R$ . इस तरह के एक समारोह में सामान्य रीमैन या लेबेसेग अर्थ में एक अभिन्न अंग होता है। यह हमें के अभिन्न को परिभाषित करने की अनुमति देता है $ω$ का अभिन्न होना $f$ :

\int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.

इसे अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए एक अभिविन्यास तय करना आवश्यक है। विभेदक रूपों की तिरछी-समरूपता का अर्थ है कि, का अभिन्न अंग, कहते हैं, $dx 1 \land dx 2$ के अभिन्न का ऋणात्मक होना चाहिए $dx 2 \land dx 1$ . रीमैन और लेबेसेग इंटीग्रल इस निर्भरता को निर्देशांक के क्रम पर नहीं देख सकते हैं, इसलिए वे अभिन्न के संकेत को अनिर्धारित छोड़ देते हैं। अभिविन्यास इस अस्पष्टता को हल करता है।

जंजीरों पर एकीकरण

होने देना $M$ सेम $n$ -कई गुना और $ω$ एक $n$ -फॉर्म ऑन $M$ . सबसे पहले, मान लें कि का एक पैरामीट्रिजेशन है $M$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय द्वारा। यही है, मान लें कि एक भिन्नता मौजूद है

\varphi \colon D\to M

कहाँ पे $D \subseteq R n$ . देना $M$ द्वारा प्रेरित अभिविन्यास $φ$ . फिर (Rudin 1976) के अभिन्न को परिभाषित करता है $ω$ ऊपर $M$ का अभिन्न होना $φ * ω$ ऊपर $D$ . निर्देशांक में, इसकी निम्नलिखित अभिव्यक्ति है। चार्ट को ठीक करें $M$ निर्देशांक के साथ $x 1, ..., x n$ . फिर

\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.

मान लो कि $φ$ द्वारा परिभाषित किया गया है

\varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{n}({\mathbf {u} })).

तब इंटीग्रल को निर्देशांकों में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},

कहाँ पे

{\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}

जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक का निर्धारक है। जैकोबियन मौजूद है क्योंकि $φ$ अवकलनीय है।

सामान्य तौर पर, एक $n$ -मैनीफोल्ड को के खुले उपसमुच्चय द्वारा पैरामीट्रिज नहीं किया जा सकता है $R n$ . लेकिन इस तरह के एक पैरामीट्रिजेशन हमेशा स्थानीय स्तर पर संभव है, इसलिए स्थानीय पैरामीट्रिजेशन के संग्रह पर इंटीग्रल के योग के रूप में उन्हें परिभाषित करके मनमानी मैनिफोल्ड्स पर इंटीग्रल को परिभाषित करना संभव है। इसके अलावा, के parametrizations को परिभाषित करना भी संभव है $k$ के लिए -आयामी उपसमुच्चय $k < n$ , और इससे के समाकलों को परिभाषित करना संभव हो जाता है $k$ -रूप। इसे सटीक बनाने के लिए, मानक डोमेन को ठीक करना सुविधाजनक है $D$ में $R k$ , आमतौर पर एक घन या एक सिंप्लेक्स। ए $k$ -चेन चिकनी एम्बेडिंग का औपचारिक योग है $D \to M$ . यही है, यह चिकनी एम्बेडिंग का संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक को एक पूर्णांक बहुलता सौंपी जाती है। प्रत्येक सुचारू एम्बेडिंग निर्धारित करता है a $k$ -आयामी सबमैनफोल्ड ऑफ $M$ . यदि श्रृंखला है

c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},

तब a . का समाकलन $k$ -प्रपत्र $ω$ ऊपर $c$ की शर्तों पर इंटीग्रल के योग के रूप में परिभाषित किया गया है $c$ :

\int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .

एकीकरण को परिभाषित करने के लिए यह दृष्टिकोण संपूर्ण कई गुना एकीकरण के लिए प्रत्यक्ष अर्थ प्रदान नहीं करता है $M$ . हालांकि, इस तरह के अर्थ को परोक्ष रूप से निर्दिष्ट करना अभी भी संभव है क्योंकि प्रत्येक चिकनी मैनिफोल्ड अनिवार्य रूप से अद्वितीय तरीके से त्रिभुज (टोपोलॉजी) सुचारू रूप से हो सकता है, और अभिन्न ओवर $M$ त्रिभुज द्वारा निर्धारित श्रृंखला पर अभिन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

एकता के विभाजन का उपयोग कर एकीकरण

एक और दृष्टिकोण है, जिसका वर्णन किया गया है (Dieudonne 1972), जो सीधे एकीकरण को एक अर्थ प्रदान करता है $M$ , लेकिन इस दृष्टिकोण के लिए एक अभिविन्यास तय करने की आवश्यकता है $M$ . एक का अभिन्न अंग $n$ -प्रपत्र $ω$ एक पर $n$ -आयामी कई गुना चार्ट में काम करके परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि पहले $ω$ एकल सकारात्मक उन्मुख चार्ट पर समर्थित है। इस चार्ट पर, इसे वापस a . पर खींचा जा सकता है $n$ -फॉर्म के खुले उपसमुच्चय पर $R n$ . यहां, फॉर्म में पहले की तरह एक अच्छी तरह से परिभाषित रीमैन या लेबेस्ग इंटीग्रल है। चर सूत्र का परिवर्तन और यह धारणा कि चार्ट एक साथ सकारात्मक रूप से उन्मुख है, यह सुनिश्चित करता है कि का अभिन्न अंग $ω$ चुने हुए चार्ट से स्वतंत्र है। सामान्य स्थिति में, लिखने के लिए एकता के विभाजन का उपयोग करें $ω$ के योग के रूप में $n$ -फॉर्म, जिनमें से प्रत्येक एक सकारात्मक रूप से उन्मुख चार्ट में समर्थित है, और के अभिन्न को परिभाषित करता है $ω$ एकता के विभाजन में प्रत्येक पद के समाकलों का योग होना।

एकीकृत करना भी संभव है $k$ -रूपों पर उन्मुख $k$ -आयामी सबमनिफोल्ड इस अधिक आंतरिक दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए। फॉर्म को वापस सबमेनफोल्ड में खींच लिया जाता है, जहां पहले की तरह चार्ट का उपयोग करके इंटीग्रल को परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक पथ दिया गया $γ (t) : [0, 1] \to R 2$ , एकीकृत a $1$ पथ पर -फॉर्म बस फॉर्म को फॉर्म में वापस खींच रहा है $f (t) dt$ पर $[0, 1]$ , और यह इंटीग्रल फंक्शन का इंटीग्रल है $f (t)$ अंतराल पर।

फाइबर के साथ एकीकरण

फ़ुबिनी के प्रमेय में कहा गया है कि उत्पाद के सेट पर इंटीग्रल की गणना उत्पाद में दो कारकों पर एक पुनरावृत्त इंटीग्रल के रूप में की जा सकती है। इससे पता चलता है कि किसी उत्पाद पर एक विभेदक रूप का अभिन्न अंग एक पुनरावृत्त अभिन्न के रूप में भी गणना योग्य होना चाहिए। विभेदक रूपों का ज्यामितीय लचीलापन यह सुनिश्चित करता है कि यह न केवल उत्पादों के लिए, बल्कि अधिक सामान्य स्थितियों में भी संभव है। कुछ परिकल्पनाओं के तहत, एक चिकनी नक्शे के तंतुओं के साथ एकीकृत करना संभव है, और फ़ुबिनी के प्रमेय का एनालॉग वह मामला है जहां यह नक्शा किसी उत्पाद से उसके कारकों में से एक का प्रक्षेपण है।

क्योंकि एक सबमैनिफोल्ड पर एक विभेदक रूप को एकीकृत करने के लिए एक अभिविन्यास को ठीक करने की आवश्यकता होती है, तंतुओं के साथ एकीकरण के लिए एक शर्त उन तंतुओं पर एक अच्छी तरह से परिभाषित अभिविन्यास का अस्तित्व है। होने देना $M$ तथा $N$ शुद्ध आयामों के दो उन्मुख कई गुना बनें $m$ तथा $n$ , क्रमश। मान लो कि $f : M \to N$ एक विशेषण निमज्जन है। इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक फाइबर $f -1 (y)$ है $(m - n)$ -आयामी और वह, के प्रत्येक बिंदु के आसपास $M$ , एक चार्ट है जिस पर $f$ किसी उत्पाद से उसके किसी एक कारक पर प्रक्षेपण जैसा दिखता है। हल करना $x \in M$ और सेट करें $y = f (x)$ . मान लो कि

{\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}

और कि $η y$ गायब नहीं होता। निम्नलिखित (Dieudonne 1972), एक अद्वितीय है

\sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))

जिसे के रेशेदार भाग के रूप में माना जा सकता है $ω x$ इसके संबंध में $η y$ . अधिक सटीक, परिभाषित करें $j : f -1 (y) \to M$ समावेश होना। फिर $σ x$ संपत्ति द्वारा परिभाषित किया गया है कि

\omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,

कहाँ पे

\sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M

क्या किसी $(m - n)$ -कोवेक्टर जिसके लिए

\sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.

फार्म $σ x$ भी नोट किया जा सकता है $ω x / η y$ .

इसके अलावा, फिक्स्ड के लिए $y$ , $σ x$ के संबंध में सुचारू रूप से बदलता रहता है $x$ . यानी मान लीजिए कि

\omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M

प्रक्षेपण मानचित्र का एक सहज खंड है; हम कहते हैं कि $ω$ एक चिकना अंतर है $m$ -फॉर्म ऑन $M$ साथ-साथ $f -1 (y)$ . फिर एक सहज अंतर होता है $(m - n)$ -प्रपत्र $σ$ पर $f -1 (y)$ ऐसा कि, प्रत्येक पर $x \in f -1 (y)$ ,

\sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.

यह प्रपत्र दर्शाया गया है $ω / η y$ . वही निर्माण कार्य करता है यदि $ω$ एक $m$ -फाइबर के पड़ोस में फॉर्म, और उसी नोटेशन का उपयोग किया जाता है। एक परिणाम यह है कि प्रत्येक फाइबर $f -1 (y)$ उन्मुख है। विशेष रूप से, ओरिएंटेशन फॉर्म का विकल्प $M$ तथा $N$ प्रत्येक फाइबर के एक अभिविन्यास को परिभाषित करता है $f$ .

फुबिनी के प्रमेय का एनालॉग इस प्रकार है। पहले जैसा, $M$ तथा $N$ शुद्ध आयामों के दो उन्मुख कई गुना हैं $m$ तथा $n$ , तथा $f : M \to N$ एक विशेषण निमज्जन है। की ओरिएंटेशन ठीक करें $M$ तथा $N$ , और प्रत्येक फाइबर दे $f$ प्रेरित अभिविन्यास। होने देना $ω$ सेम $m$ -फॉर्म ऑन $M$ , और जाने $η$ सेम $n$ -फॉर्म ऑन $N$ यह उन्मुखीकरण के संबंध में लगभग हर जगह सकारात्मक है $N$ . फिर, लगभग सभी के लिए $y \in N$ , फार्म $ω / η y$ एक अच्छी तरह से परिभाषित अभिन्न है $m - n$ फॉर्म ऑन $f -1 (y)$ . इसके अलावा, एक अभिन्न है $n$ -फॉर्म ऑन $N$ द्वारा परिभाषित

y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta _{y}{\bigg )}\,\eta _{y}.

इस फॉर्म को द्वारा निरूपित करें

{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .

फिर (Dieudonne 1972) सामान्यीकृत फ़ुबिनी सूत्र सिद्ध करता है

\int _{M}\omega =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .

एक डुबकी के तंतुओं के साथ अन्य डिग्री के रूपों को एकीकृत करना भी संभव है। पहले जैसी ही परिकल्पनाएँ मान लें, और मान लें $α$ एक कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित बनें $(m - n + k)$ -फॉर्म ऑन $M$ . फिर एक है $k$ -प्रपत्र $γ$ पर $N$ जो एकीकरण का परिणाम है $α$ के तंतुओं के साथ $f$ . फार्म $α$ प्रत्येक पर निर्दिष्ट करके परिभाषित किया गया है $y \in N$ , कैसे $γ$ प्रत्येक के साथ जोड़े $k$ -वेक्टर $v$ पर $y$ , और उस जोड़ी का मान एक अभिन्न ओवर है $f -1 (y)$ जो केवल इस पर निर्भर करता है $α$ , $v$ , और के उन्मुखीकरण $M$ तथा $N$ . अधिक सटीक, प्रत्येक पर $y \in N$ , एक समरूपता है

{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{y}^{*}N

आंतरिक उत्पाद द्वारा परिभाषित

\mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y},

वॉल्यूम फॉर्म के किसी भी विकल्प के लिए $ζ$ के उन्मुखीकरण में $N$ . यदि $x \in f -1 (y)$ , फिर एक $k$ -वेक्टर $v$ पर $y$ एक निर्धारित करता है $(n - k)$ -कोवेक्टर एट $x$ पुलबैक द्वारा:

f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{x}^{*}M.

इनमें से प्रत्येक कोवेक्टर के पास एक बाहरी उत्पाद है $α$ , तो वहाँ एक है $(m - n)$ -प्रपत्र $β v$ पर $M$ साथ-साथ $f -1 (y)$ द्वारा परिभाषित

(\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.

यह प्रपत्र के उन्मुखीकरण पर निर्भर करता है $N$ लेकिन का चुनाव नहीं $ζ$ . फिर $k$ -प्रपत्र $γ$ संपत्ति द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है

\langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} },

तथा $γ$ चिकना है (Dieudonne 1972). यह प्रपत्र भी निरूपित $α ♭$ और . का अभिन्न कहा जाता है $α$ के तंतुओं के साथ $f$ . रेम कोहोलॉजी में Gysin मानचित्रों के निर्माण के लिए तंतुओं के साथ एकीकरण महत्वपूर्ण है।

तंतुओं के साथ एकीकरण प्रक्षेपण सूत्र को संतुष्ट करता है (Dieudonne 1972). यदि $λ$ क्या किसी $ℓ$ -फॉर्म ऑन $N$ , फिर

\alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda )^{\flat }.

स्टोक्स की प्रमेय

बाहरी व्युत्पन्न और एकीकरण के बीच मौलिक संबंध स्टोक्स के प्रमेय द्वारा दिया गया है: यदि $ω$ एक ( $n - 1$ ) - पर कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ फार्म $M$ तथा $\partialM$ कई गुना को दर्शाता है#कई गुना . की सीमा के साथ $M$ इसके प्रेरित अभिविन्यास (गणित) के साथ, तब

\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .

इसका एक प्रमुख परिणाम यह है कि सजातीय श्रृंखलाओं पर एक बंद रूप का समाकल बराबर होता है: यदि $ω$ एक बंद है $k$ -फॉर्म और $M$ तथा $N$ हैं $k$ -चेन जो समरूप हैं (जैसे कि $M - N$ a . की सीमा है $(k + 1)$ -जंजीर $W$ ), फिर $\textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }$ , चूंकि अंतर अभिन्न है $\textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0$ .

उदाहरण के लिए, यदि $ω = df$ विमान पर एक संभावित कार्य का व्युत्पन्न है या $R n$ , तो का अभिन्न अंग $ω$ से एक पथ पर $a$ प्रति $b$ पथ की पसंद पर निर्भर नहीं करता है (अभिन्न है $f (b) - f (a)$ ), चूंकि दिए गए समापन बिंदुओं वाले विभिन्न पथ समस्थानिक हैं, इसलिए समजातीय (एक कमजोर स्थिति)। इस मामले को ग्रेडिएंट प्रमेय कहा जाता है, और कलन के मौलिक प्रमेय को सामान्य करता है। समोच्च एकीकरण में यह पथ स्वतंत्रता बहुत उपयोगी है।

यह प्रमेय डे रम कोहोलॉजी और जंजीरों के समरूपता (गणित) के बीच के द्वंद्व को भी रेखांकित करता है।

उपायों के साथ संबंध

एक सामान्य अवकलनीय मैनिफोल्ड पर (अतिरिक्त संरचना के बिना), विभेदक रूपों को मैनिफोल्ड के उपसमुच्चय पर एकीकृत नहीं किया जा सकता है; यह अंतर अंतर रूपों के बीच अंतर की कुंजी है, जो कि श्रृंखलाओं या उन्मुख सबमेनफोल्ड्स पर एकीकृत होते हैं, और उपाय, जो सबसेट पर एकीकृत होते हैं। सबसे सरल उदाहरण को एकीकृत करने का प्रयास कर रहा है $1$ -प्रपत्र $dx$ अंतराल पर $[0, 1]$ . वास्तविक रेखा पर सामान्य दूरी (और इस प्रकार माप) को मानते हुए, यह अभिन्न या तो है $1$ या $-1$ , अभिविन्यास के आधार पर: $\textstyle {\int _{0}^{1}dx=1}$ , जबकि $\textstyle {\int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}$ . इसके विपरीत, माप का अभिन्न अंग $| dx |$ अंतराल पर स्पष्ट रूप से है $1$ (अर्थात स्थिरांक फलन का समाकलन) $1$ इस उपाय के संबंध में है $1$ ) इसी तरह, निर्देशांक के परिवर्तन के तहत एक अंतर $n$ जैकोबियन निर्धारक द्वारा -रूप परिवर्तन $J$ , जबकि एक माप जैकोबियन निर्धारक के निरपेक्ष मान से बदलता है, $| J |$ , जो आगे अभिविन्यास के मुद्दे को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, मानचित्र के अंतर्गत $x \mapsto - x$ लाइन पर, अंतर रूप $dx$ वापस खींचता है $- dx$ ; अभिविन्यास उलट गया है; जबकि लेबेसेग माप, जिसे हम यहां निरूपित करते हैं $| dx |$ , वापस खींचती है $| dx |$ ; यह नहीं बदलता है।

एक अभिविन्यास के अतिरिक्त डेटा की उपस्थिति में, एकीकृत करना संभव है $n$ -फॉर्म (शीर्ष-आयामी रूप) पूरे कई गुना या कॉम्पैक्ट सबसेट पर; संपूर्ण कई गुना पर एकीकरण कई गुना के मौलिक वर्ग पर रूप को एकीकृत करने के अनुरूप है, $[M]$ . औपचारिक रूप से, एक अभिविन्यास की उपस्थिति में, कोई पहचान सकता है $n$ - कई गुना घनत्व के साथ फॉर्म; घनत्व बदले में एक माप को परिभाषित करते हैं, और इस प्रकार एकीकृत किया जा सकता है (Folland 1999, Section 11.4, pp. 361–362).

एक उन्मुख लेकिन उन्मुख कई गुना पर, अभिविन्यास के दो विकल्प हैं; कोई भी विकल्प किसी को एकीकृत करने की अनुमति देता है $n$ कॉम्पैक्ट सबसेट पर -फॉर्म, दो विकल्पों के साथ एक संकेत से भिन्न होता है। गैर-उन्मुख कई गुना पर, $n$ -रूपों और घनत्वों की पहचान नहीं की जा सकती है - विशेष रूप से, किसी भी शीर्ष-आयामी रूप को कहीं गायब हो जाना चाहिए (गैर-उन्मुख कई गुना पर कोई वॉल्यूम रूप नहीं हैं), लेकिन कहीं भी गायब घनत्व नहीं हैं- इस प्रकार जब कोई कॉम्पैक्ट सबसेट पर घनत्व को एकीकृत कर सकता है, तो एक एकीकृत नहीं कर सकता $n$ -रूप। इसके बजाय शीर्ष-आयामी वॉल्यूम फॉर्म # उपायों के संबंध के साथ घनत्व की पहचान कर सकते हैं।

एक अभिविन्यास की उपस्थिति में भी, एकीकृत करने का सामान्य रूप से कोई सार्थक तरीका नहीं है $k$ -फॉर्म के लिए सबसेट के ऊपर $k < n$ क्योंकि उन्मुख करने के लिए परिवेश अभिविन्यास का उपयोग करने का कोई सुसंगत तरीका नहीं है $k$ -आयामी उपसमुच्चय। ज्यामितीय रूप से, ए $k$ -आयामी उपसमुच्चय को विपरीत दिशा के साथ समान उपसमुच्चय प्रदान करते हुए, अपने स्थान पर घुमाया जा सकता है; उदाहरण के लिए, समतल में क्षैतिज अक्ष को 180 डिग्री घुमाया जा सकता है। के एक सेट के ग्राम निर्धारक की तुलना करें $k$ एक में वैक्टर $n$ -आयामी अंतरिक्ष, जो, के निर्धारक के विपरीत $n$ सदिश, हमेशा धनात्मक होता है, एक वर्ग संख्या के संगत। ए का एक अभिविन्यास $k$ -सबमैनिफोल्ड इसलिए अतिरिक्त डेटा है जो परिवेश के कई गुना से व्युत्पन्न नहीं है।

रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, कोई परिभाषित कर सकता है a $k$ किसी के लिए -आयामी हॉसडॉर्फ उपाय $k$ (पूर्णांक या वास्तविक), जिसे ऊपर एकीकृत किया जा सकता है $k$ कई गुना के -आयामी उपसमुच्चय। इस हॉसडॉर्फ माप को एक फ़ंक्शन के समय पर एकीकृत किया जा सकता है $k$ -आयामी उपसमुच्चय, के एकीकरण के लिए एक माप-सैद्धांतिक एनालॉग प्रदान करते हैं $k$ -रूप। $n$ '}} -डायमेंशनल हॉसडॉर्फ माप से ऊपर के अनुसार एक घनत्व प्राप्त होता है।

धाराएं

एक वितरण (गणित) या सामान्यीकृत फ़ंक्शन के डिफरेंशियल फॉर्म एनालॉग को करंट (गणित) कहा जाता है। की जगह $k$ -धाराओं पर $M$ अंतर के उपयुक्त स्थान के लिए दोहरी जगह है $k$ -रूप। धाराएं एकीकरण के सामान्यीकृत डोमेन की भूमिका निभाती हैं, जो कि जंजीरों की तुलना में समान है, लेकिन इससे भी अधिक लचीली है।

भौतिकी में अनुप्रयोग

कुछ महत्वपूर्ण भौतिक संदर्भों में विभेदक रूप उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, मैक्सवेल के विद्युत के सिद्धांत में, फैराडे 2-फॉर्म, या विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ताकत , है

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}f_{ab}\,dx^{a}\wedge dx^{b}\,,

जहां $f ab$ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों से बनते हैं ${\vec {E}}$ तथा ${\vec {B}}$ ; जैसे, $f 12 = E z / c$ , $f 23 = - B z$ , या समकक्ष परिभाषाएँ।

यह प्रपत्र वक्रता रूप का एक विशेष मामला है $U(1)$ मुख्य बंडल जिस पर विद्युत चुंबकत्व और सामान्य गेज सिद्धांत दोनों का वर्णन किया जा सकता है। प्रिंसिपल बंडल के लिए कनेक्शन फॉर्म वेक्टर क्षमता है, जिसे आमतौर पर दर्शाया जाता है $A$ , जब किसी गेज में दर्शाया जाता है। एक तो है

{\textbf {F}}=d{\textbf {A}}.

द करेंट $3$ -फॉर्म is

{\textbf {J}}={\frac {1}{6}}j^{a}\,\varepsilon _{abcd}\,dx^{b}\wedge dx^{c}\wedge dx^{d}\,,

कहाँ पे $j a$ वर्तमान घनत्व के चार घटक हैं। (यहां लिखना परंपरा की बात है $F ab$ के बजाय $f ab$ , यानी बड़े अक्षरों का उपयोग करने के लिए, और लिखने के लिए $J a$ के बजाय $j a$ . हालांकि, वेक्टर rsp. टेंसर घटकों और उपर्युक्त रूपों के अलग-अलग भौतिक आयाम हैं। इसके अलावा, शुद्ध और अनुप्रयुक्त भौतिकी का अंतर्राष्ट्रीय संघ के एक अंतरराष्ट्रीय आयोग के निर्णय से, चुंबकीय ध्रुवीकरण वेक्टर को बुलाया गया है ${\vec {J}}$ कई दशकों तक, और कुछ प्रकाशकों द्वारा $J$ ; अर्थात् भिन्न-भिन्न राशियों के लिए एक ही नाम का प्रयोग किया जाता है।)

उपर्युक्त परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, मैक्सवेल के समीकरणों को बहुत ही सघन रूप से ज्यामितीय इकाइयों में लिखा जा सकता है जैसे

{\begin{aligned}d{\textbf {F}}&={\textbf {0}}\\d{\star {\textbf {F}}}&={\textbf {J}},\end{aligned}}

कहाँ पे $\star$ हॉज स्टार ऑपरेटर को दर्शाता है। इसी तरह के विचार सामान्य रूप से गेज सिद्धांतों की ज्यामिति का वर्णन करते हैं। $2$ 2}}-फॉर्म ${\star }\mathbf {F}$ , जो फैराडे रूप में द्वैत (गणित) है, को मैक्सवेल 2-रूप भी कहा जाता है।

विद्युत चुंबकत्व का उदाहरण है $U(1)$ गेज सिद्धांत । यहाँ झूठ समूह है $U(1)$ , एक आयामी एकात्मक समूह , जो विशेष रूप से एबेलियन समूह में है। गेज सिद्धांत हैं, जैसे यांग-मिल्स सिद्धांत, जिसमें लाई समूह अबेलियन नहीं है। उस स्थिति में, किसी को ऐसे संबंध मिलते हैं जो यहां वर्णित के समान हैं। क्षेत्र का एनालॉग $F$ इस तरह के सिद्धांतों में कनेक्शन का वक्रता रूप है, जिसे एक गेज में झूठ बीजगणित-मूल्यवान एक-रूप द्वारा दर्शाया जाता है $A$ . यांग-मिल्स फील्ड $F$ तब द्वारा परिभाषित किया गया है

\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .

एबेलियन मामले में, जैसे विद्युत चुंबकत्व, $A \land A = 0$ , लेकिन यह सामान्य रूप से धारण नहीं करता है। इसी तरह क्षेत्र समीकरणों को अतिरिक्त शब्दों द्वारा संशोधित किया जाता है जिसमें के बाहरी उत्पाद शामिल होते हैं $A$ तथा $F$ , गेज समूह के मौरर-कार्टन रूप के कारण।

ज्यामितीय माप सिद्धांत में अनुप्रयोग

जटिल विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड के लिए कई न्यूनतम परिणाम विर्टिंगर असमानता (2-रूपों) पर आधारित हैं। हर्बर्ट फेडरर के क्लासिक टेक्स्ट जियोमेट्रिक मेजरमेंट थ्योरी में एक संक्षिप्त प्रमाण मिल सकता है। सिस्टोलिक ज्यामिति में जटिल प्रक्षेप्य स्थान के लिए ग्रोमोव की असमानता में विर्टिंगर असमानता भी एक प्रमुख घटक है।

यह भी देखें

↑ Cartan, Élie (1899), "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 16: 239–332, doi:10.24033/asens.467
↑ Tu, Loring W. (2011). An introduction to manifolds (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 9781441974006. OCLC 682907530.
↑ "Linear algebra - "Natural" pairings between exterior powers of a vector space and its dual".

संदर्भ

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Zorich, Vladimir A. (2004), Mathematical Analysis II, Springer, ISBN 3-540-40633-6

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अंक शास्त्र
सतह (गणित)
मात्रा तत्व
फ़ंक्शन का अंतर
कलन का मौलिक प्रमेय
अलग करने योग्य कई गुना
समन्वय
कई गुना (गणित)
श्रृंखला (बीजीय टोपोलॉजी)
कील (प्रतीक)
पार उत्पाद
विभेदक टोपोलॉजी
अंतर ज्यामिति
निर्देशांक वेक्टर
रैखिक प्रकार्य
यौगिक
चिकना कई गुना
बहुरेखीय नक्शा
अंदरूनी प्रोडक्ट
रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय
सहप्रसरण और वैक्टर के विपरीत
सहसंयोजक व्युत्पन्न
अंतर ऑपरेटर
सटीक क्रम
त्रिकोणासन (टोपोलॉजी)
होमोटोपिक
होमोलॉजी (गणित)
ढाल प्रमेय
लेबेस्गु उपाय
वे ग्राम निर्धारित करते हैं
वर्तमान (गणित)
ज्यामितीय इकाइयां
लेट बीजगणित
विर्टिंगर असमानता (2-रूप)

बाहरी संबंध

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Sjamaar, Reyer (2006), Manifolds and differential forms lecture notes (PDF), a course taught at Cornell University.
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Jones, Frank, Integration on manifolds (PDF)

[1] Cartan, Élie (1899), "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 16: 239–332, doi:10.24033/asens.467

[2] Tu, Loring W. (2011). An introduction to manifolds (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 9781441974006. OCLC 682907530.

[3] "Linear algebra - "Natural" pairings between exterior powers of a vector space and its dual".

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