क्रोनकर डेल्टा

Not to be confused with the Dirac delta function, nor with the Kronecker symbol.

गणित में, क्रोनकर डेल्टा (लियोपोल्ड क्रोनकर के नाम पर रखा गया) दो चर (गणित) का एक फलन (गणित) है, आमतौर पर केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक । फ़ंक्शन 1 है यदि चर समान हैं, और 0 अन्यथा:

$$\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$$

या आइवरसन ब्रैकेट के उपयोग के साथ:

$$\delta _{ij}=[i=j]\,$$

जहां क्रोनकर डेल्टा δ_ij चरों का एक टुकड़ावार कार्य है i और j. उदाहरण के लिए, δ_1 2 = 0, जबकि δ_3 3 = 1.

क्रोनेकर डेल्टा गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग के कई क्षेत्रों में स्वाभाविक रूप से अपनी परिभाषा को ऊपर वर्णित रूप से व्यक्त करने के साधन के रूप में प्रकट होता है।

रैखिक बीजगणित में, n × n शिनाख्त सांचा I क्रोनकर डेल्टा के बराबर प्रविष्टियाँ हैं:

$$I_{ij}=\delta _{ij}$$

कहां i और j मान लें 1, 2, ..., n, और यूक्लिडियन वेक्टर के आंतरिक उत्पाद को इस रूप में लिखा जा सकता है

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$$

यहाँ यूक्लिडियन वेक्टर को इस रूप में परिभाषित किया गया है n-टुपल्स: $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ और $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ और अंतिम चरण क्रोनकर डेल्टा के मूल्यों का उपयोग करके योग को कम करने के लिए प्राप्त किया जाता है j.

सकारात्मक या गैर-नकारात्मक पूर्णांकों पर प्रतिबंध आम है, लेकिन वास्तव में, क्रोनकर डेल्टा को एक मनमाने सेट पर परिभाषित किया जा सकता है।

गुण

निम्नलिखित समीकरण संतुष्ट हैं:

$${\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}$$

इसलिए, मैट्रिक्स δ पहचान मैट्रिक्स के रूप में माना जा सकता है।

एक अन्य उपयोगी प्रतिनिधित्व निम्नलिखित रूप है:

$$\delta _{nm}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}$$

सीमा में $N\to \infty$. यह ज्यामितीय श्रृंखला के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

वैकल्पिक संकेतन

आइवरसन ब्रैकेट का उपयोग करना:

$$\delta _{ij}=[i=j].$$

अक्सर, एक एकल-तर्क अंकन δ_i का उपयोग किया जाता है, जो सेटिंग के बराबर है j = 0:

$$\delta _{i}={\begin{cases}0,&{\text{if }}i\neq 0\\1,&{\text{if }}i=0\end{cases}}$$

रेखीय बीजगणित में, इसे एक टेन्सर के रूप में सोचा जा सकता है, और लिखा जाता है δⁱ
_j. कभी-कभी क्रोनकर डेल्टा को प्रतिस्थापन टेन्सर कहा जाता है।

डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग

यूनिट नमूना समारोह

अंकीय संकेत प्रक्रिया (डीएसपी) के अध्ययन में, यूनिट नमूना समारोह $\delta [n]$ 2-आयामी क्रोनकर डेल्टा फ़ंक्शन के एक विशेष मामले का प्रतिनिधित्व करता है $\delta _{ij}$ जहां क्रोनकर सूचकांकों में शून्य संख्या शामिल है, और जहां सूचकांकों में से एक शून्य है। इस मामले में:

$$\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{where}}-\infty <n<\infty$$

या अधिक आम तौर पर जहां:

$$\delta [n-k]\equiv \delta [k-n]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{where}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty$$

हालाँकि, यह केवल एक विशेष मामला है। टेन्सर कैलकुलस में, इंडेक्स 0 के बजाय इंडेक्स 1 से शुरू होने वाले किसी विशेष आयाम में संख्या आधार वैक्टर के लिए यह अधिक सामान्य है। इस मामले में, संबंध $\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}$ मौजूद नहीं है, और वास्तव में, क्रोनकर डेल्टा फ़ंक्शन और यूनिट नमूना फ़ंक्शन अलग-अलग फ़ंक्शन हैं जो विशिष्ट मामले में ओवरलैप करते हैं जहां सूचकांकों में संख्या 0 शामिल होती है, सूचकांकों की संख्या 2 होती है, और सूचकांकों में से एक का मान होता है शून्य का।

जबकि असतत इकाई नमूना समारोह और क्रोनकर डेल्टा फ़ंक्शन एक ही अक्षर का उपयोग करते हैं, वे निम्नलिखित तरीकों से भिन्न होते हैं। असतत इकाई नमूना समारोह के लिए, वर्ग ब्रेसिज़ में एकल पूर्णांक सूचकांक रखना अधिक पारंपरिक है; इसके विपरीत क्रोनकर डेल्टा में कितनी भी संख्या में सूचकांक हो सकते हैं। इसके अलावा, असतत इकाई नमूना समारोह का उद्देश्य क्रोनकर डेल्टा समारोह से अलग है। डीएसपी में, असतत इकाई नमूना फ़ंक्शन आमतौर पर सिस्टम के सिस्टम फ़ंक्शन की खोज के लिए असतत प्रणाली के इनपुट फ़ंक्शन के रूप में उपयोग किया जाता है जिसे सिस्टम के आउटपुट के रूप में उत्पादित किया जाएगा। इसके विपरीत, क्रोनकर डेल्टा फ़ंक्शन का विशिष्ट उद्देश्य एक आइंस्टीन सारांश सम्मेलन से शब्दों को छानने के लिए है।

असतत इकाई नमूना समारोह को और अधिक आसानी से परिभाषित किया गया है:

$$\delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ is another integer}}\end{cases}}$$

इसके अलावा, क्रोनकर डेल्टा फ़ंक्शन और यूनिट नमूना फ़ंक्शन दोनों के लिए डिराक डेल्टा समारोह अक्सर भ्रमित होता है। डिराक डेल्टा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\delta (t)={\begin{cases}\infty &t=0\\0&t{\text{ is another real}}\end{cases}}$$

क्रोनकर डेल्टा फ़ंक्शन के विपरीत $\delta _{ij}$ और इकाई नमूना समारोह $\delta [n]$, डिराक डेल्टा फ़ंक्शन $\delta (t)$ एक पूर्णांक अनुक्रमणिका नहीं है, इसका एक निरंतर गैर-पूर्णांक मान है t.

मामलों को और अधिक भ्रमित करने के लिए, इकाई आवेग समारोह का उपयोग कभी-कभी डायराक डेल्टा फ़ंक्शन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है $\delta (t)$, या इकाई नमूना समारोह $\delta [n]$.

डेल्टा फ़ंक्शन के गुण

क्रोनकर डेल्टा में तथाकथित सिफ्टिंग संपत्ति है जिसके लिए j ∈ Z:

$$\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.$$

और अगर पूर्णांकों को एक माप स्थान के रूप में देखा जाता है, जो गिनती माप के साथ संपन्न होता है, तो यह संपत्ति डिराक डेल्टा फ़ंक्शन की परिभाषित संपत्ति के साथ मेल खाती है

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y),$$

और वास्तव में इस अनुरूप संपत्ति के कारण डायराक के डेल्टा का नाम क्रोनकर डेल्टा के नाम पर रखा गया था. सिग्नल प्रोसेसिंग में यह आमतौर पर संदर्भ (असतत या निरंतर समय) होता है जो क्रोनकर और डिराक कार्यों को अलग करता है। और सम्मेलन द्वारा, δ(t) आम तौर पर निरंतर समय (डीराक) इंगित करता है, जबकि तर्क पसंद करते हैं i, j, k, l, m, और n आमतौर पर असतत समय (क्रोनेकर) के लिए आरक्षित होते हैं। एक अन्य सामान्य अभ्यास वर्ग कोष्ठक के साथ असतत अनुक्रमों का प्रतिनिधित्व करना है; इस प्रकार: δ[n]. क्रोनकर डेल्टा सीधे डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का नमूना लेने का परिणाम नहीं है।

क्रोनेकर डेल्टा एक आपतन बीजगणित का गुणात्मक पहचान तत्व बनाता है।

डायराक डेल्टा फ़ंक्शन से संबंध

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, क्रोनकर डेल्टा और डिराक डेल्टा फ़ंक्शन दोनों का उपयोग असतत वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। यदि वितरण के समर्थन (गणित) में अंक होते हैं x = {x₁, ..., x_n}, इसी संभावना के साथ p₁, ..., p_n, फिर संभाव्यता द्रव्यमान कार्य p(x) वितरण खत्म हो गया है x क्रोनकर डेल्टा का उपयोग करके लिखा जा सकता है, जैसे

$$p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.$$

समतुल्य रूप से, प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन f(x) डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का उपयोग करके वितरण का वितरण लिखा जा सकता है

$$f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$$

कुछ शर्तों के तहत क्रोनकर डेल्टा एक डायराक डेल्टा फ़ंक्शन के नमूने से उत्पन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि एक डायराक डेल्टा आवेग बिल्कुल नमूना बिंदु पर होता है और आदर्श रूप से निक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय के अनुसार लोपास-फिल्टर्ड (महत्वपूर्ण आवृत्ति पर कटऑफ के साथ) होता है, तो परिणामी असतत-समय संकेत क्रोनकर डेल्टा फ़ंक्शन होगा।

सामान्यीकरण

यदि इसे एक प्रकार माना जाता है (1,1) टेंसर, क्रोनकर टेंसर लिखा जा सकता है δⁱ
_j सदिश सूचकांक के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण के साथ j और सदिश सूचकांक का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण i:

$$\delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}$$

यह टेंसर दर्शाता है:

• आइडेंटिटी मैपिंग (या आइडेंटिटी मैट्रिक्स), जिसे रैखिक मानचित्रण माना जाता है V → V या V^∗ → V^∗
• ट्रेस (रैखिक बीजगणित) या टेंसर संकुचन , जिसे मैपिंग माना जाता है V^∗ ⊗ V → K
• वो नक्शा K → V^∗ ⊗ V, बाहरी उत्पाद ों के योग के रूप में अदिश गुणन का प्रतिनिधित्व करता है।

generalized Kronecker deltaया मल्टी-इंडेक्स क्रोनकर डेल्टा ऑफ ऑर्डर 2p एक प्रकार है (p, p) टेन्सर जो पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक टेंसर है p ऊपरी सूचकांक, और इसके में भी p कम सूचकांक।

दो परिभाषाएँ जो एक कारक से भिन्न होती हैं p! उपयोग में हैं। नीचे, प्रस्तुत किए गए संस्करण में गैर-शून्य घटकों को स्केल किया गया है ±1. दूसरे संस्करण में गैर-शून्य घटक हैं जो हैं ±1/p!, परिणामस्वरूप परिवर्तनों के साथ सूत्रों में स्केलिंग कारक, जैसे स्केलिंग कारक 1/p! में§ Properties of the generalized Kronecker deltaनीचे गायब हो रहा है.

सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा की परिभाषाएँ

सूचकांकों के संदर्भ में, सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}+1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\\;\;0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}$$

होने देना S_p डिग्री का सममित समूह बनें p, तब:

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.$$

एंटीसिमेट्रिक टेंसर#नोटेशन|एंटी-सिमेट्रिज़ेशन का उपयोग करना:

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.$$

ए के संदर्भ में p × p निर्धारक:

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.$$

निर्धारक के लाप्लास विस्तार (निर्धारक#लाप्लास का विस्तार और सहायक मैट्रिक्स|लाप्लास का सूत्र) का उपयोग करके, इसे पुनरावर्तन परिभाषित किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}$$

जहां कैरन, ˇ, उस इंडेक्स को इंगित करता है जो अनुक्रम से छोड़ा गया है।

कब p = n (वेक्टर स्थान का आयाम), लेवी-सिविता प्रतीक के संदर्भ में:

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}.$$

सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा का संकुचन

क्रोनकर डेल्टा संकुचन अंतरिक्ष के आयाम पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए,

$$\delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},$$

कहां d अंतरिक्ष का आयाम है। इस संबंध से पूर्ण अनुबंधित डेल्टा प्राप्त होता है

$$\delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).$$

पूर्ववर्ती सूत्रों का सामान्यीकरण है

$$\delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.$$

सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा के गुण

सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा का उपयोग एंटीसिमेट्रिक टेन्सर#नोटेशन|एंटी-सिमेट्रिज़ेशन के लिए किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}$$

उपरोक्त समीकरणों और विरोधी सममित टेंसर के गुणों से, हम सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा के गुणों को प्राप्त कर सकते हैं:

$${\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\rho _{1}\dots \rho _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\rho _{1}\dots \rho _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}$$

जो सूत्रों में लिखे गए सामान्यीकृत संस्करण हैं§ Properties. अंतिम सूत्र कॉची-बिनेट सूत्र के बराबर है।

सूचकांकों के योग के माध्यम से क्रम को कम करना पहचान द्वारा व्यक्त किया जा सकता है

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.$$

मामले के लिए दोनों योग नियम का उपयोग करना p = n और लेवी-सिविता प्रतीक के साथ संबंध, लेवी-सिविता प्रतीक#एन आयाम|लेवी-सिविता प्रतीक का योग नियम व्युत्पन्न है:

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}={\frac {1}{(n-s)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\rho _{s+1}\dots \rho _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\rho _{s+1}\dots \rho _{n}}.$$

अंतिम संबंध का 4डी संस्करण पेनरोज़ के सामान्य सापेक्षता के गणित#स्पिनर औपचारिकतावाद में दिखाई देता है कि उन्होंने बाद में सामान्यीकरण किया, जब वे ऐटकेन के आरेखों को विकसित कर रहे थे, पेनरोज़ ग्राफिकल नोटेशन की तकनीक का हिस्सा बनने के लिए। इसके अलावा, इस संबंध का व्यापक रूप से एस-द्वंद्व सिद्धांतों में उपयोग किया जाता है, खासकर जब विभेदक रूप और हॉज स्टार ऑपरेटर # द्वंद्व की भाषा में लिखा जाता है।

अभिन्न प्रतिनिधित्व

किसी पूर्णांक के लिए n, एक मानक अवशेष (जटिल विश्लेषण) गणना का उपयोग करके हम क्रोनकर डेल्टा के लिए एक अभिन्न प्रतिनिधित्व नीचे अभिन्न के रूप में लिख सकते हैं, जहां अभिन्न का समोच्च शून्य के आसपास वामावर्त जाता है। यह प्रतिनिधित्व जटिल विमान में घूर्णन द्वारा निश्चित अभिन्न के बराबर भी है।

$$\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{x-n-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }\,d\varphi$$

द क्रोनकर कॉम्ब

क्रोनकर कॉम्ब पीरियड के साथ काम करता है N परिभाषित किया गया है (डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग नोटेशन का उपयोग करके):

$$\Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],$$

कहां N और n पूर्णांक हैं। क्रोनकर कंघे में इकाई आवेगों की एक अनंत श्रृंखला होती है N इकाइयों के अलावा, और शून्य पर इकाई आवेग शामिल है। इसे डिराक कंघी का असतत एनालॉग माना जा सकता है।

क्रोनकर इंटीग्रल

क्रोनकर डेल्टा को एक सतह से दूसरी सतह के मानचित्रण की डिग्री भी कहा जाता है। मान लीजिए सतह से एक मानचित्रण होता है S_uvw को S_xyz जो क्षेत्रों की सीमाएँ हैं, R_uvw और R_xyz जो केवल एक-से-एक पत्राचार से जुड़ा है। इस ढाँचे में यदि s और t के पैरामीटर हैं S_uvw, और S_uvw को S_uvw प्रत्येक बाहरी सामान्य द्वारा उन्मुख हैं n:

$$u=u(s,t),\quad v=v(s,t),\quad w=w(s,t),$$

जबकि सामान्य की दिशा होती है

$$(u_{s}\mathbf {i} +v_{s}\mathbf {j} +w_{s}\mathbf {k} )\times (u_{t}\mathbf {i} +v_{t}\mathbf {j} +w_{t}\mathbf {k} ).$$

होने देना x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) एक डोमेन युक्त में परिभाषित और सुचारू होना चाहिए S_uvw, और इन समीकरणों को मैपिंग को परिभाषित करने दें S_uvw पर S_xyz. फिर डिग्री δ मैपिंग का है 1/4π छवि के ठोस कोण का गुना S का S_uvw के आंतरिक बिंदु के संबंध में S_xyz, O. यदि O क्षेत्र की उत्पत्ति है, R_xyz, फिर डिग्री, δ अभिन्न द्वारा दिया गया है:

$$\delta ={\frac {1}{4\pi }}\iint _{R_{st}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{vmatrix}x&y&z\\{\frac {\partial x}{\partial s}}&{\frac {\partial y}{\partial s}}&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\{\frac {\partial x}{\partial t}}&{\frac {\partial y}{\partial t}}&{\frac {\partial z}{\partial t}}\end{vmatrix}}\,ds\,dt.$$

यह भी देखें

• डायराक उपाय
• संकेतक समारोह
• लेवी-सीविटा प्रतीक
• 'हूफ्ट सिंबल' नहीं
• यूनिट समारोह
• एक्सएनओआर गेट