टेंसर कैलकुलस

गणित में, टेंसर कैलकुलस, टेंसर विश्लेषण, या RICCI कैलकुलस वेक्टर कैलकुलस का एक विस्तार है जो टेंसर क्षेत्र (टेन्सर जो कि कई गुना अधिक भिन्न हो सकते हैं, जैसे कि अंतरिक्ष समय में)।

ग्रेगोरियो रिक्की-क्लैस्ट्रो और उनके छात्र टुल्लियो लेवी-सिविटा द्वारा विकसित, इसका उपयोग अल्बर्ट आइंस्टीन ने अपनी सामान्य सापेक्षता को विकसित करने के लिए किया अनंत पथरी के विपरीत, टेंसर कैलकुलस कई गुना पर समन्वय चार्ट के एक प्रकट सहसंयोजक में भौतिकी समीकरणों की प्रस्तुति की अनुमति देता है।

टेंसर कैलकुलस में भौतिकी, अभियांत्रिकी और कंप्यूटर विज्ञान में कई अनुप्रयोग हैं, जिसमें लोच (भौतिकी) , निरंतर यांत्रिकी, विद्युत चुम्बकीयवाद (विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के गणितीय विवरण देखें), सामान्य सापेक्षता (सामान्य सापेक्षता का गणित देखें), क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और मशीन लर्निंग सहित कई अनुप्रयोग हैं।

बाहरी कैलकुलस ेलिए कर्तन के एक मुख्य प्रस्तावक के साथ काम करते हुए, प्रभावशाली जियोमीटर शिइंग-शेन चेर्न टेंसर कैलकुलस की भूमिका को संक्षेप में प्रस्तुत करता है:

अंतर ज्यामिति के हमारे विषय में, जहां आप कई गुना के बारे में बात करते हैं, एक कठिनाई यह है कि ज्यामिति को निर्देशांक द्वारा वर्णित किया गया है, लेकिन निर्देशांक का अर्थ नहीं है।उन्हें परिवर्तन से गुजरने की अनुमति है।और इस तरह की स्थिति को संभालने के लिए, एक महत्वपूर्ण उपकरण तथाकथित टेंसर विश्लेषण, या रिक्की कैलकुलस है, जो गणितज्ञों के लिए नया था।गणित में आपके पास एक फ़ंक्शन है, आप फ़ंक्शन को लिखते हैं, आप गणना करते हैं, या आप जोड़ते हैं, या आप गुणा करते हैं, या आप अंतर कर सकते हैं।आपके पास कुछ बहुत ठोस है।ज्यामिति में ज्यामितीय स्थिति को संख्याओं द्वारा वर्णित किया गया है, लेकिन आप अपनी संख्याओं को मनमाने ढंग से बदल सकते हैं।तो इसे संभालने के लिए, आपको रिक्की कैलकुलस की आवश्यकता है।

सिंटैक्स

टेंसर संकेतन उन वस्तुओं पर ऊपरी और निचले अनुक्रमितों का उपयोग करता है जो एक चर ऑब्जेक्ट को वैक्टर (निचले सूचकांक) के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन के रूप में लेबल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, वैक्टर (ऊपरी सूचकांक), या मिश्रित सहसंयोजक और कॉन्ट्रावेरियन के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन (ऊपरी और दोनों ऊपरी और दोनों ऊपरी और संकोच (निचला सूचकांक)।वास्तव में पारंपरिक गणित वाक्यविन्यास में हम कार्टेशियन समन्वय प्रणालियों के साथ काम करते समय सहसंयोजक सूचकांक का उपयोग करते हैं $(x_{1},x_{2},x_{3})$ अक्सर यह महसूस किए बिना कि यह सहसंयोजक अनुक्रमित घटकों के रूप में टेंसर सिंटैक्स का एक सीमित उपयोग है।

टेंसर संकेतन एक वस्तु पर ऊपरी सूचकांक की अनुमति देता है जो पारंपरिक गणित सिंटैक्स से सामान्य बिजली संचालन के साथ भ्रमित हो सकता है।उदाहरण के लिए, सामान्य गणित वाक्यविन्यास में, $e=mc^{2}=mcc$, हालांकि, टेंसर सिंटैक्स में एक कोष्ठक का उपयोग किसी वस्तु के चारों ओर एक टेंसर इंडेक्स बनाम एक सामान्य बिजली संचालन के उपयोग को अस्वीकार करने के लिए एक शक्ति में उठाने से पहले किया जाना चाहिए।टेंसर सिंटैक्स में हम लिखेंगे, $e=m(c^{1})^{2}=m(c^{1})(c^{1})$ तथा $e=m(c^{2})^{2}=m(c^{2})(c^{2})$।आंतरिक कोष्ठक में संख्या कॉन्ट्रैवेरिएंट घटक को अलग करती है जहां बाहरी कोष्ठक संख्या मात्रा को बढ़ाने के लिए शक्ति को अलग करती है।बेशक यह सिर्फ एक मनमाना समीकरण है, हम यह निर्दिष्ट कर सकते हैं कि C एक टेंसर नहीं है और ज्ञात है कि इस विशेष चर को गुणवत्ता C को 2 की शक्ति तक ले जाने के लिए इसके चारों ओर एक कोष्ठक की आवश्यकता नहीं है, हालांकि, यदि C वेक्टर थे, फिर इसे एक टेंसर के रूप में दर्शाया जा सकता है और इस टेंसर को सामान्य गणित सूचकांक से अलग करने की आवश्यकता होगी जो एक शक्ति के लिए एक मात्रा बढ़ाने का संकेत देते हैं।

प्रमुख अवधारणाएं

वेक्टर अपघटन

टेन्सर संकेतन एक वेक्टर की अनुमति देता है (${\vec {V}}$) एक आधार वेक्टर के टेंसर संकुचन का प्रतिनिधित्व करने वाले आइंस्टीन योग में विघटित होने के लिए (${\vec {Z}}_{i}$ या ${\vec {Z}}^{i}$) एक घटक वेक्टर के साथ ($V_{i}$ या $V^{i}$)।

${\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}$ प्रत्येक वेक्टर में दो अलग -अलग अभ्यावेदन होते हैं, एक को कॉन्ट्रैवेरिएंट घटक के रूप में संदर्भित किया जाता है ($V^{i}$) एक सहसंयोजक आधार के साथ (${\vec {Z}}_{i}$), और अन्य एक सहसंयोजक घटक के रूप में ($V_{i}$) एक विपरीत आधार के साथ (${\vec {Z}}^{i}$)।सभी ऊपरी अनुक्रमों के साथ टेंसर वस्तुओं को कंट्रैस्टेरियन के रूप में संदर्भित किया जाता है, और सभी निचले अनुक्रमितों के साथ टेंसर ऑब्जेक्ट को कोवेरिएंट के रूप में संदर्भित किया जाता है।कॉन्ट्रैवेरिएंट और कोवेरिएंट के बीच अंतर करने की आवश्यकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि जब हम किसी विशेष समन्वय प्रणाली से संबंधित अपने आधार वेक्टर के साथ एक मनमाना वेक्टर को डॉट करते हैं, तो इस डॉट उत्पाद की व्याख्या करने के दो तरीके हैं, या तो हम इसे आधार के प्रक्षेपण के रूप में देखते हैंमनमाना वेक्टर पर वेक्टर, या हम इसे आधार वेक्टर पर मनमाना वेक्टर के प्रक्षेपण के रूप में देखते हैं, डॉट उत्पाद के दोनों विचार पूरी तरह से समतुल्य हैं, लेकिन अलग -अलग घटक तत्व और अलग -अलग आधार वैक्टर हैं:

$${\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}_{i}=V_{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}_{i}={\vec {Z}}_{i}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}^{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}_{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}^{i})}\cdot {\vec {V}}$$

$${\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}^{i}=V^{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}^{i}={{\vec {Z}}^{i}}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}_{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}^{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}_{i})}\cdot {\vec {V}}$$

उदाहरण के लिए, भौतिकी में आप एक वेक्टर क्षेत्र के साथ शुरू करते हैं, आप इसे सहसंयोजक आधार के संबंध में विघटित करते हैं, और यह है कि आप कॉन्ट्रैवेरिएंट निर्देशांक कैसे प्राप्त करते हैं।ऑर्थोनॉर्मल कार्टेशियन निर्देशांक के लिए, सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरिएंट आधार समान हैं, क्योंकि इस मामले में निर्धारित आधार केवल पहचान मैट्रिक्स है, हालांकि, गैर-एफाइन समन्वय प्रणाली जैसे कि ध्रुवीय या गोलाकार के लिए, सचेत करने की आवश्यकता है।समन्वय प्रणाली के घटकों को उत्पन्न करने के लिए कॉन्ट्रावेरियन या कोवेरिएंट आधार सेट।

सहसंयोजक वेक्टर अपघटन

${\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}$

variable	description	Type
${\vec {V}}$	vector	invariant
$V^{i}$	contravariant components (ordered set of scalars)	variant
${\vec {Z}}_{i}$	covariant bases (ordered set of vectors)	variant

कॉन्ट्रैवेरियन वेक्टर अपघटन

${\vec {V}}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}$

variable	description	type
${\vec {V}}$	vector	invariant
$V_{i}$	covariant components (ordered set of scalars)	variant
${\vec {Z}}^{i}$	contravariant bases (ordered set of covectors)	variant

मीट्रिक टेंसर

मीट्रिक टेंसर स्केलर तत्वों के साथ एक मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करता है ($Z_{ij}$ या $Z^{ij}$) और एक टेंसर ऑब्जेक्ट है जिसका उपयोग संकुचन नामक एक ऑपरेशन द्वारा एक अन्य टेंसर ऑब्जेक्ट पर इंडेक्स को बढ़ाने या कम करने के लिए किया जाता है, इस प्रकार एक सहसंयोजक टेंसर को एक कॉन्ट्रैवेरियन टेंसर में परिवर्तित करने की अनुमति देता है, और इसके विपरीत।

मीट्रिक टेंसर का उपयोग करके सूचकांक को कम करने का उदाहरण:

$T_{i}=Z_{ij}T^{j}$ मीट्रिक टेंसर का उपयोग करके सूचकांक बढ़ाने का उदाहरण:

$T^{i}=Z^{ij}T_{j}$ मीट्रिक टेंसर के रूप में परिभाषित किया गया है:

$Z_{ij}={\vec {Z}}_{i}\cdot {\vec {Z}}_{j}$

$Z^{ij}={\vec {Z}}^{i}\cdot {\vec {Z}}^{j}$ इसका मतलब यह है कि यदि हम एक आधार वेक्टर सेट के प्रत्येक क्रमचय को लेते हैं और उन्हें एक -दूसरे के खिलाफ बिठाते हैं, और फिर उन्हें एक वर्ग मैट्रिक्स में व्यवस्थित करते हैं, तो हमारे पास एक मीट्रिक टेंसर होगा।यहाँ चेतावनी यह है कि क्रमचय में दो वैक्टर का उपयोग अन्य वेक्टर के खिलाफ प्रक्षेपण के लिए किया जाता है, जो कि कॉन्ट्रावेरियन मीट्रिक टेंसर की तुलना में कोवेरिएंट मीट्रिक टेंसर की विशिष्ट संपत्ति है।

मीट्रिक टेंसर के दो स्वाद मौजूद हैं: (1) कॉन्ट्रैवेरिएंट मीट्रिक टेंसर ($Z^{ij}$), और (2) सहसंयोजक मीट्रिक टेंसर ($Z_{ij}$)।मीट्रिक टेंसर के ये दो स्वाद पहचान से संबंधित हैं:

$Z_{ik}Z^{jk}=\delta _{i}^{j}$ एक रूढ़िवादी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए, मीट्रिक टेंसर सिर्फ क्रोनकर डेल्टा है $\delta _{ij}$ या $\delta ^{ij}$, जो पहचान मैट्रिक्स के बराबर एक टेंसर है, और $\delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{j}^{i}$।

जैकबियन

इसके अलावा एक टेंसर को आसानी से एक असंतुलित से परिवर्तित किया जा सकता है ($x$) एक वर्जित समन्वय के लिए (${\bar {x}}$) सिस्टम बेसिस वैक्टर के अलग -अलग सेट:

$$f(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})=f{\bigg (}x^{1}({\bar {x}}),x^{2}({\bar {x}}),\dots ,x^{n}({\bar {x}}){\bigg )}={\bar {f}}({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\dots ,{\bar {x}}^{n})={\bar {f}}{\bigg (}{\bar {x}}^{1}(x),{\bar {x}}^{2}(x),\dots ,{\bar {x}}^{n}(x){\bigg )}$$

वर्जित और असंतुलित समन्वय प्रणाली के बीच जैकोबियन मैट्रिक्स संबंधों के उपयोग से (${\bar {J}}=J^{-1}$)।वर्जित और असंतुलित प्रणाली के बीच जैकबियन सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियनट बेसिस वैक्टर को परिभाषित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, इसमें इन वैक्टर के लिए मौजूद होने के लिए उन्हें वर्जित और असंतुलित प्रणाली के सापेक्ष निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करने की आवश्यकता है:

विरोधाभास वैक्टर को कानूनों का पालन करने की आवश्यकता होती है:

$v^{i}={\bar {v}}^{r}{\frac {\partial x^{i}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{r}}}$

${\bar {v}}^{i}=v^{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}$ कानूनों का पालन करने के लिए सहसंयोजक वैक्टर की आवश्यकता होती है:

$v_{i}={\bar {v}}_{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}$

${\bar {v}}_{i}=v_{r}{\frac {\partial x^{r}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{i}}}$ जैकबियन मैट्रिक्स के दो स्वाद हैं:

1. जे मैट्रिक्स असंतुलित से वर्जित निर्देशांक में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।जे को खोजने के लिए, हम वर्जित ढाल लेते हैं, अर्थात् आंशिक रूप से सम्मान के साथ व्युत्पन्न ${\bar {x}}^{i}$:

$J={\bar {\nabla }}f(x({\bar {x}}))$ 2। ${\bar {J}}$ एच> मैट्रिक्स, वर्जित से असंतुलित निर्देशांक में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।ढूँढ़ने के लिए ${\bar {J}}$, हम असंतुलित ढाल लेते हैं, अर्थात् आंशिक रूप से सम्मान के साथ व्युत्पन्न $x^{i}$:

${\bar {J}}=\nabla {\bar {f}}({\bar {x}}(x))$

ग्रेडिएंट वेक्टर

टेंसर कैलकुलस मानक पथरी से ढाल वेक्टर सूत्र को एक सामान्यीकरण प्रदान करता है जो सभी समन्वय प्रणालियों में काम करता है:

$\nabla F=\nabla _{i}F{\vec {Z}}^{i}$ कहाँ पे:

$\nabla _{i}F={\frac {\partial F}{\partial Z^{i}}}$ इसके विपरीत, मानक पथरी के लिए, ग्रेडिएंट वेक्टर फॉर्मूला उपयोग में समन्वय प्रणाली पर निर्भर है (उदाहरण: कार्टेशियन ग्रेडिएंट वेक्टर फॉर्मूला बनाम ध्रुवीय ढाल वेक्टर फॉर्मूला बनाम गोलाकार ढाल वेक्टर सूत्र, आदि)।मानक कैलकुलस में, प्रत्येक समन्वय प्रणाली का अपना विशिष्ट सूत्र होता है, टेंसर कैलकुलस के विपरीत, जिसमें केवल एक ढाल सूत्र होता है जो सभी समन्वय प्रणालियों के लिए बराबर होता है।यह मीट्रिक टेंसर की समझ से संभव है जो टेंसर कैलकुलस का उपयोग करता है।

यह भी देखें

• वेक्टर विश्लेषण
• मैट्रिक्स कैलकुलस
• रिक्की कैलकुलस
• Curvilinear निर्देशांक
  • वक्रता में टेंसर निर्देशांक
• बहुपक्षीय उप -भाग सीखने
• बहुस्तरीय बीजगणित
• अंतर ज्यामिति

इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची

• विविध
• रिक्की कैलकुलस
• अंक शास्त्र
• विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का गणितीय विवरण
• सातत्यक यांत्रिकी
• बाहरी गणना
• भौतिक विज्ञान
• वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन
• आइंस्टीन संक्षेप
• कार्तीय समन्वय प्रणाली
• वक्रता निर्देशांक
• वक्रता के निर्देशांक में टेन्सर
• बहुपक्षीय बीजगणित
• विभेदक ज्यामिति

अग्रिम पठन

• Dimitrienko, Yuriy (2002). Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions. Springer. ISBN 1-4020-1015-X.
• Sokolnikoff, Ivan S (1951). Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua. Wiley. ISBN 0471810525.
• Borisenko, A.I.; Tarapov, I.E. (1979). Vector and Tensor Analysis with Applications (2nd ed.). Dover. ISBN 0486638332.
• Itskov, Mikhail (2015). Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics (2nd ed.). Springer. ISBN 9783319163420.
• Tyldesley, J. R. (1973). An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists. Longman. ISBN 0-582-44355-5.
• Kay, D. C. (1988). Tensor Calculus. Schaum’s Outlines. McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.
• Grinfeld, P. (2014). Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.

बाहरी संबंध

• Dullemond, Kees; Peeters, Kasper (1991–2010). "Introduction to Tensor Calculus" (PDF). Retrieved 17 May 2018.