अभिन्न परिवर्तन

गणित में, अभिन्न ट्रांसफ़ॉर्म एक प्रकार का ट्रांसफ़ॉर्म है जो एक फ़ंक्शन (गणित) को उसके मूल फ़ंक्शन स्पेस से इंटीग्रल के माध्यम से दूसरे फ़ंक्शन स्पेस में मैप करता है, जहां मूल फ़ंक्शन के कुछ गुणों को मूल की तुलना में अधिक आसानी से चित्रित और हेरफेर किया जा सकता है। कार्य स्थान. रूपांतरित फ़ंक्शन को आम तौर पर इनवर्स ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करके मूल फ़ंक्शन स्थान पर वापस मैप किया जा सकता है।

सामान्य प्रपत्र

एक अभिन्न परिवर्तन कोई भी परिवर्तन (फ़ंक्शन) है $T$ निम्नलिखित प्रपत्र का:

(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt

इस परिवर्तन का इनपुट एक फ़ंक्शन है (गणित) $f$ , और आउटपुट एक अन्य फ़ंक्शन है $Tf$ . इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म एक विशेष प्रकार का गणितीय संचालिका (गणित) है।

अनेक उपयोगी अभिन्न परिवर्तन हैं। प्रत्येक को फ़ंक्शन की पसंद द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है $K$ दो वेरिएबल (गणित) में से, कर्नेल फ़ंक्शन, इंटीग्रल कर्नेल या ट्रांसफ़ॉर्म का न्यूक्लियस।

कुछ कर्नेल में एक संबद्ध उलटा कर्नेल होता है $K^{-1}(u,t)$ जो (मोटे तौर पर कहें तो) उलटा परिवर्तन उत्पन्न करता है:

f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du

एक सममित कर्नेल वह है जो दो चरों को क्रमपरिवर्तित करने पर अपरिवर्तित रहता है; यह एक कर्नेल फ़ंक्शन है $K$ ऐसा है कि $K(t,u)=K(u,t)$ . अभिन्न समीकरणों के सिद्धांत में, सममित कर्नेल स्व-सहायक ऑपरेटरों के अनुरूप होते हैं।^[1]

प्रेरणा

समस्याओं के कई वर्ग हैं जिन्हें हल करना मुश्किल है - या कम से कम बीजगणितीय रूप से काफी कठिन है - उनके मूल प्रतिनिधित्व में। एक अभिन्न परिवर्तन एक समीकरण को उसके मूल डोमेन से दूसरे डोमेन में मैप करता है, जिसमें समीकरण में हेरफेर करना और हल करना मूल डोमेन की तुलना में बहुत आसान हो सकता है। फिर समाधान को इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म के व्युत्क्रम के साथ मूल डोमेन पर वापस मैप किया जा सकता है।

संभाव्यता के कई अनुप्रयोग हैं जो अभिन्न परिवर्तनों पर निर्भर करते हैं, जैसे मूल्य निर्धारण कर्नेल या स्टोकेस्टिक छूट कारक, या मजबूत आंकड़ों से पुनर्प्राप्त डेटा को सुचारू करना; कर्नेल (सांख्यिकी) देखें।

इतिहास

परिमित अंतरालों में कार्यों को व्यक्त करने के लिए परिवर्तनों के अग्रदूत फूरियर श्रृंखला थे। बाद में परिमित अंतराल की आवश्यकता को दूर करने के लिए फूरियर रूपांतरण विकसित किया गया था।

फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समय के किसी भी व्यावहारिक कार्य (उदाहरण के लिए इलेक्ट्रॉनिक उपकरण के टर्मिनलों पर वोल्टेज) को उन लोगों के और कोज्या के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, प्रत्येक को उपयुक्त रूप से स्केल किया गया (एक स्थिर कारक से गुणा किया गया), स्थानांतरित किया गया (उन्नत किया गया) या समय में मंद) और निचोड़ा हुआ या फैला हुआ (आवृत्ति बढ़ाना या घटाना)। फूरियर श्रृंखला में साइन और कोसाइन ऑर्थोनॉर्मल आधार का एक उदाहरण हैं।

उपयोग उदाहरण

अभिन्न परिवर्तनों के अनुप्रयोग के एक उदाहरण के रूप में, लाप्लास परिवर्तन पर विचार करें। यह एक ऐसी तकनीक है जो टाइम डोमेन में अंतर समीकरण या पूर्णांक-विभेदक समीकरण को मैप करती है| समय डोमेन को बहुपद समीकरणों में विभाजित किया जाता है जिसे आवृत्ति डोमेन कहा जाता है| जटिल आवृत्ति डोमेन. (जटिल आवृत्ति वास्तविक, भौतिक आवृत्ति के समान है, बल्कि अधिक सामान्य है। विशेष रूप से, जटिल आवृत्ति s = -σ + iω का काल्पनिक घटक आवृत्ति की सामान्य अवधारणा से मेल खाता है, अर्थात, वह दर जिस पर एक साइनसॉइड चक्र होता है, जबकि जटिल आवृत्ति का वास्तविक घटक σ अवमंदन की डिग्री से मेल खाता है, यानी आयाम की एक घातीय कमी।) जटिल आवृत्ति के संदर्भ में डाले गए समीकरण को जटिल आवृत्ति डोमेन (जटिल में बहुपद समीकरणों की जड़ें) में आसानी से हल किया जाता है फ़्रीक्वेंसी डोमेन समय डोमेन में eigenvalues के अनुरूप है), जिससे फ़्रीक्वेंसी डोमेन में एक समाधान तैयार किया जाता है। व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को नियोजित करना, यानी, मूल लाप्लास परिवर्तन की व्युत्क्रम प्रक्रिया, एक समय-डोमेन समाधान प्राप्त करता है। इस उदाहरण में, जटिल आवृत्ति डोमेन (आमतौर पर हर में होने वाले) में बहुपद समय डोमेन में शक्ति श्रृंखला के अनुरूप होते हैं, जबकि जटिल आवृत्ति डोमेन में अक्षीय बदलाव समय डोमेन में घातांक को क्षय करके अवमंदन के अनुरूप होते हैं।

लाप्लास ट्रांसफॉर्म का भौतिकी और विशेष रूप से इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में व्यापक अनुप्रयोग मिलता है, जहां जटिल आवृत्ति डोमेन में विद्युत सर्किट के व्यवहार का वर्णन करने वाला विशेषता समीकरण (कैलकुलस) समय में तेजी से स्केल किए गए और समय-स्थानांतरित नम साइनसॉइड के रैखिक संयोजनों से मेल खाता है। कार्यक्षेत्र। अन्य अभिन्न परिवर्तन अन्य वैज्ञानिक और गणितीय विषयों में विशेष प्रयोज्यता पाते हैं।

एक अन्य उपयोग उदाहरण पथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन में कर्नेल है#क्वांटम यांत्रिकी में पथ इंटीग्रल:

\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.

यह बताता है कि कुल आयाम $\psi (x,t)$ पहुंचने के लिए $(x,t)$ सभी संभावित मानों का योग (अभिन्न) है $x'$ कुल आयाम का $\psi (x',t')$ मुद्दे पर पहुंचने के लिए $(x',t')$ से जाने वाले आयाम से गुणा किया गया $x'$ को $x$ [अर्थात। $K(x,t;x',t')$ ].^[2] इसे अक्सर किसी दिए गए सिस्टम के प्रचारक के रूप में जाना जाता है। यह (भौतिकी) कर्नेल अभिन्न परिवर्तन का कर्नेल है। हालाँकि, प्रत्येक क्वांटम प्रणाली के लिए, एक अलग कर्नेल है।^[3]

परिवर्तनों की तालिका

Table of integral transforms
Transform	Symbol	K	f(t)	t₁	t₂	K⁻¹	u₁	u₂
Abel transform	F, f	${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$		$u$	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$ ^[4]	t	$\infty$
Associated Legendre transform	${\mathcal {J}}_{n,m}$	$(1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Fourier transform	${\mathcal {F}}$	$e^{-2\pi iut}$	$L_{1}$	$-\infty$	$\infty$	$e^{2\pi iut}$	$-\infty$	$\infty$
Fourier sine transform	${\mathcal {F}}_{s}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	on $[0,\infty )$ , real-valued	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0$	$\infty$
Fourier cosine transform	${\mathcal {F}}_{c}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	on $[0,\infty )$ , real-valued	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	$0$	$\infty$
Hankel transform		$t\,J_{\nu }(ut)$		$0$	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0$	$\infty$
Hartley transform	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
Hermite transform	$H$	$e^{-x^{2}}H_{n}(x)$		$-\infty$	$\infty$		$0$	$\infty$
Hilbert transform	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$
Jacobi transform	$J$	$(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Laguerre transform	$L$	$e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)$		$0$	$\infty$		$0$	$\infty$
Laplace transform	${\mathcal {L}}$	$e^{-ut}$		$0$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Legendre transform	${\mathcal {J}}$	$P_{n}(x)\,$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Mellin transform	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}$		$0$	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$ ^[5]	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Two-sided Laplace transform	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Poisson kernel		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$		$0$	$2\pi$
Radon transform	Rƒ			$-\infty$	$\infty$
Weierstrass transform	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
X-ray transform	Xƒ			$-\infty$	$\infty$

व्युत्क्रम परिवर्तन के लिए एकीकरण की सीमा में, c एक स्थिरांक है जो परिवर्तन फ़ंक्शन की प्रकृति पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक और दो तरफा लाप्लास ट्रांसफॉर्म के लिए, सी को ट्रांसफॉर्म फ़ंक्शन के शून्य के सबसे बड़े वास्तविक भाग से बड़ा होना चाहिए।

ध्यान दें कि फूरियर रूपांतरण के लिए वैकल्पिक संकेतन और परंपराएँ हैं।

विभिन्न डोमेन

यहां अभिन्न परिवर्तनों को वास्तविक संख्याओं पर कार्यों के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन उन्हें समूह पर कार्यों के लिए अधिक सामान्यतः परिभाषित किया जा सकता है।

यदि इसके बजाय कोई सर्कल पर फ़ंक्शंस (आवधिक फ़ंक्शंस) का उपयोग करता है, तो एकीकरण कर्नेल द्विआवधिक फ़ंक्शंस होते हैं; वृत्त पर कार्यों द्वारा कनवल्शन से वृत्ताकार कनवल्शन प्राप्त होता है।
यदि कोई क्रम n के चक्रीय समूह पर फ़ंक्शंस का उपयोग करता है ( $C n$ या $Z / n Z$ ), एक एकीकरण कर्नेल के रूप में n × n मैट्रिक्स प्राप्त करता है; कनवल्शन परिसंचारी मैट्रिक्स से मेल खाता है।

सामान्य सिद्धांत

यद्यपि अभिन्न परिवर्तनों के गुण व्यापक रूप से भिन्न होते हैं, उनमें कुछ गुण समान होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म एक रैखिक ऑपरेटर है, क्योंकि इंटीग्रल एक लीनियर ऑपरेटर है, और वास्तव में यदि कर्नेल को एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन होने की अनुमति है तो सभी लीनियर ऑपरेटर इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म हैं (इस कथन का एक उचित रूप से तैयार किया गया संस्करण श्वार्ट्ज है) कर्नेल प्रमेय)।

ऐसे अभिन्न समीकरणों के सामान्य सिद्धांत को फ्रेडहोम सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत में, कर्नेल को एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर के रूप में समझा जाता है जो कार्यों के बानाच स्थान पर कार्य करता है। स्थिति के आधार पर, कर्नेल को विभिन्न प्रकार से फ्रेडहोम संचालक , परमाणु ऑपरेटर या फ्रेडहोम कर्नेल के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Chapter 8.2, Methods of Theoretical Physics Vol. I (Morse & Feshbach)
↑ Eq 3.42 in Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, emended edition:
↑ Mathematically, what is the kernel in path integral?
↑ Assuming the Abel transform is not discontinuous at $u$ .
↑ Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.

अग्रिम पठन

A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
R. K. M. Thambynayagam, The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers, McGraw-Hill, New York, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1
"Integral transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

[1] Chapter 8.2, Methods of Theoretical Physics Vol. I (Morse & Feshbach)

[2] Eq 3.42 in Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, emended edition:

[3] Mathematically, what is the kernel in path integral?

[4] Assuming the Abel transform is not discontinuous at $u$ .

[5] Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.

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