उलटा कार्यों का अभिन्न अंग

गणित में, प्रतिलोम फलनों के समाकलों की गणना एक ऐसे सूत्र के माध्यम से की जा सकती है जो व्युत्क्रम के प्रतिअवकलजों को अभिव्यक्त करता है $f^{-1}$ एक सतत कार्य और उलटा कार्य $f$, के अनुसार $f^{-1}$ और का एक प्रतिपक्षी $f$. यह सूत्र 1905 में चार्ल्स-एंज लाइसेंट द्वारा प्रकाशित किया गया था।

प्रमेय का कथन

होने देना $I_{1}$ तथा $I_{2}$ के दो अंतराल (गणित) हो $\mathbb {R}$. मान लो की $f:I_{1}\to I_{2}$ एक सतत और उलटा कार्य है। यह मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय से अनुसरण करता है $f$ सख्ती से मोनोटोन है। फलस्वरूप, $f$ अंतराल के अंतराल को मैप करता है, इसलिए एक खुला नक्शा है और इस प्रकार एक होमोमोर्फिज्म है। तब से $f$ और उलटा कार्य $f^{-1}:I_{2}\to I_{1}$ निरंतर हैं, कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा उनके प्रतिपक्षी हैं।

लाइसेंट ने साबित किया कि अगर $F$ का प्रतिपक्षी है $f$, फिर के प्रतिपक्षी $f^{-1}$ हैं:

$\int f^{-1}(y)\,dy=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C,$

कहाँ पे $C$ एक मनमाना वास्तविक संख्या है। ध्यान दें कि ऐसा नहीं माना जाता है $f^{-1}$अवकलनीय है।

प्रमेय का चित्रण

1905 के अपने लेख में लाइसेंट ने तीन प्रमाण दिए। सबसे पहले, अतिरिक्त परिकल्पना के तहत कि $f^{-1}$ अवकलनीय फलन है, कोई उपरोक्त सूत्र को विभेदित कर सकता है, जो उपपत्ति को तुरंत पूरा करता है। उनका दूसरा प्रमाण ज्यामितीय था। यदि $f(a)=c$ तथा $f(b)=d$, प्रमेय लिखा जा सकता है:

$\int _{c}^{d}f^{-1}(y)\,dy+\int _{a}^{b}f(x)\,dx=bd-ac.$

दाईं ओर की आकृति इस सूत्र के शब्दों के बिना एक प्रमाण है। लाईसेंट इस प्रमाण को कठोर बनाने के लिए आवश्यक परिकल्पनाओं पर चर्चा नहीं करता है, लेकिन यह सिद्ध किया जा सकता है यदि $f$ केवल सख्ती से मोनोटोन माना जाता है (लेकिन जरूरी नहीं कि निरंतर हो, अलग-अलग होने दें)। इस मामले में दोनों $f$ तथा $f^{-1}$ रीमैन पूर्णांक हैं और पहचान निचले/ऊपरी डार्बौक्स योग के बीच एक आक्षेप से होती है $f$ और ऊपरी/निचले डार्बौक्स योग $f^{-1}$.प्रमेय का प्रतिपक्षी संस्करण तब कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है जब मामले में $f$ भी निरंतर माना जाता है। लाईसेंट का तीसरा प्रमाण अतिरिक्त परिकल्पना का उपयोग करता है $f$ अवकलनीय है। इसके साथ शुरुआत $f^{-1}(f(x))=x$, एक से गुणा करता है $f'(x)$ और दोनों पक्षों को जोड़ता है। दाएँ हाथ की ओर होने वाले भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके गणना की जाती है ${\textstyle xf(x)-\int f(x)\,dx}$, और सूत्र इस प्रकार है।

फिर भी, यह दिखाया जा सकता है कि यह प्रमेय भले ही लागू हो $f$ या $f^{-1}$ अवकलनीय नहीं है: उदाहरण के लिए, पिछले तर्क में स्टिल्टजेस इंटीग्रल का उपयोग करना पर्याप्त है। दूसरी ओर, भले ही सामान्य मोनोटोनिक फ़ंक्शन लगभग हर जगह अलग-अलग होते हैं, सामान्य सूत्र का प्रमाण तब तक पालन नहीं करता है, जब तक कि $f^{-1}$ नितांत सतत है।

यह भी जांचना संभव है कि प्रत्येक के लिए $y$ में $I_{2}$, समारोह का व्युत्पन्न $y\mapsto yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))$ के बराबर है $f^{-1}(y)$. दूसरे शब्दों में:

$\forall x\in I_{1}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)f(x+h)-xf(x)-\left(F(x+h)-F(x)\right)}{f(x+h)-f(x)}}=x.$

इसके लिए, यह औसत मूल्य प्रमेय को लागू करने के लिए पर्याप्त है $F$ के बीच $x$ तथा $x+h$, इसे ध्यान में रखते हुए $f$ मोनोटोनिक है।

उदाहरण

1. मान लो की $f(x)=\exp(x)$, इसलिये $f^{-1}(y)=\ln(y)$. उपरोक्त सूत्र तुरंत देता है
   $$\int \ln(y)\,dy=y\ln(y)-\exp(\ln(y))+C=y\ln(y)-y+C.$$
2. इसी प्रकार, के साथ $f(x)=\cos(x)$ तथा $f^{-1}(y)=\arccos(y)$,
   $$\int \arccos(y)\,dy=y\arccos(y)-\sin(\arccos(y))+C.$$
3. साथ $f(x)=\tan(x)$ तथा $f^{-1}(y)=\arctan(y)$,
   $$\int \arctan(y)\,dy=y\arctan(y)+\ln \left|\cos(\arctan(y))\right|+C.$$

इतिहास

जाहिर है, एकीकरण के इस प्रमेय की खोज पहली बार 1905 में चार्ल्स-एंज लाइसेंट ने की थी,जो शायद ही इस बात पर विश्वास कर सके कि यह प्रमेय नया है, और आशा व्यक्त की कि इसका उपयोग आगे से छात्रों और शिक्षकों के बीच फैलेगा। यह परिणाम स्वतंत्र रूप से 1912 में एक इटालियन इंजीनियर, अल्बर्टो कैप्रिली द्वारा प्रकाशित किया गया था, जो नुओव फॉर्मोल डी'इंटेग्राजिओन नामक एक ओपस्क्यूल में था। इसे 1955 में पार्कर द्वारा फिर से खोजा गया था। और उसके पीछे चल रहे कई गणितज्ञों द्वारा। फिर भी ये सब मानते हैं f या f⁻¹ अवकलनीय फलन है। प्रमेय का सामान्य संस्करण, इस अतिरिक्त धारणा से मुक्त, 1965 में माइकल स्पिवक द्वारा कैलकुलस में एक अभ्यास के रूप में प्रस्तावित किया गया था, और 1994 में एरिक की द्वारा उसी तर्ज पर एक काफी पूर्ण प्रमाण प्रकाशित किया गया था। यह प्रमाण डार्बौक्स अभिन्न की परिभाषा पर निर्भर करता है, और इसमें यह दिखाया जाता है कि फ़ंक्शन का ऊपरी डार्बौक्स इंटीग्रल f के निचले डार्बौक्स योग के साथ 1-1 पत्राचार में हैं f⁻¹. 2013 में, माइकल बेन्सिमहोन ने अनुमान लगाया कि सामान्य प्रमेय अभी भी पर्याप्त रूप से ज्ञात नहीं था, दो अन्य प्रमाण दिए:दूसरा प्रमाण, स्टिल्ट्स अभिन्न पर आधारित है और भागों द्वारा एकीकरण और प्रतिस्थापन द्वारा होमियोमॉर्फिक एकीकरण के सूत्रों पर आधारित है, जो अधिक जटिल सूत्रों को स्थापित करने के लिए सबसे उपयुक्त है।

होलोमोर्फिक कार्यों के लिए सामान्यीकरण

उपरोक्त प्रमेय होलोमोर्फिक कार्यों के स्पष्ट तरीके से सामान्यीकरण करता है: होने देना $U$ तथा $V$ के दो खुले और सरलता से जुड़े हुए सेट हों $\mathbb {C}$, और मान लो $f:U\to V$ एक biholomorphism है। फिर $f$ तथा $f^{-1}$ प्रतिपक्षी हैं, और यदि $F$ का प्रतिपक्षी है $f$, का सामान्य प्रतिपक्षी $f^{-1}$ है

$G(z)=zf^{-1}(z)-F\circ f^{-1}(z)+C.$

क्योंकि सभी होलोमोर्फिक कार्य अलग-अलग होते हैं, सबूत जटिल भेदभाव से तत्काल होता है।

यह भी देखें

• भागों द्वारा एकीकरण
• लेजेंड्रे परिवर्तन
• उत्पादों के लिए यंग की असमानता

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अभिन्न
• उलटा कार्य
• antiderivative
• अंक शास्त्र
• निरंतर कार्य
• कैलकुलस का मौलिक प्रमेय
• विभेदक कार्य
• बिना शब्दों के प्रमाण
• दरबौक्स राशि
• बिल्कुल निरंतर
• प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण

संदर्भ

• Staib, J. H. (Sep 1966). "The Integration of Inverse Functions". Mathematics Magazine. 39 (4): 223–224. doi:10.2307/2688087. JSTOR 2688087.