जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक

"Jacobian matrix" redirects here. For the operator, see Jacobi matrix (operator).

वेक्टर कैलकुलस में, जैकबियन मैट्रिक्स (/dʒəˈkoʊbiən/, /dʒɪ-, jɪ-/) कई चर के वेक्टर-मूल्यवान कार्य के सभी पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव का मैट्रिक्स (गणित) है।जब यह मैट्रिक्स वर्ग मैट्रिक्स होता है, तो यह होता है, जब फ़ंक्शन इनपुट के समान संख्या में होता है, जैसा कि इसके आउटपुट के Euclidean_vector#अपघटन की संख्या के रूप में इनपुट होता है, तो इसके निर्धारक को जैकबियन निर्धारक के रूप में संदर्भित किया जाता है।मैट्रिक्स और (यदि लागू हो) दोनों निर्धारक को अक्सर साहित्य में केवल जैकबियन के रूप में संदर्भित किया जाता है। मान लीजिए f : Rⁿ → R^m एक ऐसा कार्य है कि इसके प्रत्येक पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव पर मौजूद हैं Rⁿ।यह फ़ंक्शन एक बिंदु लेता है x ∈ Rⁿ इनपुट के रूप में और वेक्टर का उत्पादन करता है f(x) ∈ R^m आउटपुट के रूप में।फिर जैकबियन मैट्रिक्स f एक होने के लिए परिभाषित किया गया है m×n मैट्रिक्स, द्वारा निरूपित J, किसका (i,j)वें प्रविष्टि है ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$, या स्पष्ट रूप से

$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

कहाँ पे $\nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}$ के ढाल का ट्रांसपोज़ (पंक्ति वेक्टर) है $i$ अवयव।

जैकबियन मैट्रिक्स, जिनकी प्रविष्टियाँ हैं x, विभिन्न तरीकों से निरूपित है;सामान्य सूचनाएं शामिल हैं Df, J_f, $\nabla \mathbf {f}$, तथा ${\frac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}$।कुछ लेखक जैकबियन को ऊपर दिए गए फॉर्म के पक्षांतरित के रूप में परिभाषित करते हैं।

जैकबियन मैट्रिक्स मैट्रिक्स_ (गणित) #linear_transformations कुल व्युत्पन्न का f हर बिंदु पर जहां f अलग है।विस्तार से, अगर h एक विस्थापन वेक्टर है जो एक स्तंभ मैट्रिक्स , मैट्रिक्स उत्पाद द्वारा दर्शाया गया है J(x) ⋅ h एक और विस्थापन वेक्टर है, जो कि परिवर्तन का सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है f एक पड़ोस (गणित) में x, यदि f(x) पर अलग -अलग कार्य है x. इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन जो मैप करता है y प्रति f(x) + J(x) ⋅ (y – x) का सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है f(y) सभी बिंदुओं के लिए y के करीब x।यह रैखिक कार्य (कलन) कैलकुलस) को व्युत्पन्न या कुल व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है f पर x।

कब m = n, जैकबियन मैट्रिक्स वर्ग है, इसलिए इसका निर्धारक एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्य है x, के जैकबियन निर्धारक के रूप में जाना जाता है f।यह स्थानीय व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी देता है f।विशेष रूप से, कार्य f एक बिंदु के पड़ोस में एक अलग उलटा कार्य है x यदि और केवल अगर जैकबियन निर्धारक नॉनज़ेरो पर है x (वैश्विक इनवर्टिबिलिटी की संबंधित समस्या के लिए जैकबियन अनुमान देखें)।कई इंटीग्रल में चर को बदलते समय जैकबियन निर्धारक भी दिखाई देता है (देखें एकीकरण_बाय_सबस्टिट्यूशन#substitution_for_multiple_variables)।

कब m = 1, तभी f : Rⁿ → R एक स्केलर क्षेत्र है। स्केलर-मूल्यवान फ़ंक्शन, जैकबियन मैट्रिक्स पंक्ति वेक्टर को कम कर देता है $\nabla ^{\mathrm {T} }f$;सभी प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव के इस पंक्ति वेक्टर f के ग्रेडिएंट का ट्रांसपोज़ है f, अर्थात। $\mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f$।आगे विशेषज्ञ, जब m = n = 1, तभी f : R → R एक स्केलर फ़ील्ड है। एक एकल चर का स्केलर-मूल्यवान फ़ंक्शन, जैकबियन मैट्रिक्स में एक ही प्रविष्टि है;यह प्रविष्टि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है f।

इन अवधारणाओं का नाम गणितज्ञ कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी (1804-1851) के नाम पर रखा गया है।

जैकबियन मैट्रिक्स

कई चर में एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन का जैकबियन कई चर में एक स्केलर (गणित) -वैल्यूड फ़ंक्शन के ढाल को सामान्य करता है, जो एक एकल चर के स्केलर-मूल्यवान फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को सामान्य करता है।दूसरे शब्दों में, एक स्केलर-मूल्यवान बहुभिन्नरूपी फ़ंक्शन का जैकबियन मैट्रिक्स है (इसका ढाल) और एक एकल चर के स्केलर-मूल्यवान फ़ंक्शन का ढाल है, इसका व्युत्पन्न है।

प्रत्येक बिंदु पर जहां एक फ़ंक्शन अलग -अलग होता है, इसके जैकबियन मैट्रिक्स को स्ट्रेचिंग, घूर्णन या रूपांतरित करने की मात्रा का वर्णन करने के रूप में भी सोचा जा सकता है कि फ़ंक्शन उस बिंदु के पास स्थानीय रूप से थोपता है।उदाहरण के लिए, यदि (x′, y′) = f(x, y) एक छवि को आसानी से बदलने के लिए उपयोग किया जाता है, जैकबियन मैट्रिक्स J_f(x, y), वर्णन करता है कि पड़ोस में छवि कैसे है (x, y) रूपांतरित है।

यदि कोई फ़ंक्शन एक बिंदु पर अलग -अलग है, तो इसका अंतर जैकबियन मैट्रिक्स द्वारा निर्देशांक में दिया गया है।हालांकि एक फ़ंक्शन को अपने जैकबियन मैट्रिक्स को परिभाषित करने के लिए अलग-अलग होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि केवल इसके पहले-क्रम आंशिक डेरिवेटिव्स को मौजूद होना आवश्यक है।

यदि f एक बिंदु पर व्युत्पन्न है p में Rⁿ, फिर इसका कुल व्युत्पन्न#एक रैखिक मानचित्र के रूप में कुल व्युत्पन्न द्वारा दर्शाया गया है J_f(p)।इस मामले में, रैखिक परिवर्तन द्वारा प्रतिनिधित्व किया गया J_f(p) का सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है f बिंदु के पास p, इस अर्थ में कि

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),$

कहाँ पे o(‖x − p‖) एक big_o_notation#लिटिल-ओ_नोटेशन है जो यूक्लिडियन दूरी की तुलना में बहुत तेजी से शून्य के बीच पहुंचता है x तथा p के रूप में x दृष्टिकोण p।यह सन्निकटन अपने टेलर बहुपद द्वारा एक एकल चर के एक स्केलर फ़ंक्शन के सन्निकटन के लिए माहिर है, अर्थात्

$f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)$।

इस अर्थ में, जैकबियन को एक प्रकार का व्युत्पन्न माना जा सकता है। कई चर के वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन के पहले-क्रम व्युत्पन्न।विशेष रूप से, इसका मतलब है कि कई चर के स्केलर-मूल्यवान कार्य के ढाल को भी इसका पहला-क्रम व्युत्पन्न माना जा सकता है।

संकलित विभेद्य कार्य f : Rⁿ → R^m तथा g : R^m → R^k Chain_rule#general_rule को संतुष्ट करें, अर्थात् $\mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )$ के लिये x में Rⁿ।

कई चर के एक स्केलर फ़ंक्शन के ढाल के जैकबियन का एक विशेष नाम है: हेसियन मैट्रिक्स , जो एक अर्थ में प्रश्न में फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न है।

जैकबियन निर्धारक

एक nonlinear मानचित्र $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ एक छोटे वर्ग (बाएं, लाल रंग में) भेजता है एक विकृत समांतर चतुर्भुज (दाएं, लाल रंग में)।एक बिंदु पर जैकबियन उस बिंदु (सही, पारभासी सफेद में) के पास विकृत समांतर चतुर्भुज का सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन देता है, और जैकबियन निर्धारक मूल वर्ग के लिए अनुमानित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र का अनुपात देता है।

यदि m = n, फिर f से एक फ़ंक्शन है Rⁿ अपने आप को और जैकबियन मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है।फिर हम इसके निर्धारक को बना सकते हैं, जिसे जैकबियन निर्धारक के रूप में जाना जाता है।जैकबियन निर्धारक को कभी -कभी केवल जैकबियन के रूप में संदर्भित किया जाता है।

किसी दिए गए बिंदु पर जैकबियन निर्धारक के व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी देता है f उस बिंदु के पास।उदाहरण के लिए, लगातार अलग -अलग कार्य f एक बिंदु के पास उलटा है p ∈ Rⁿ यदि जैकबियन निर्धारक पर p गैर-शून्य है।यह उलटा फ़ंक्शन प्रमेय है।इसके अलावा, अगर जैकबियन निर्धारक पर p सकारात्मक संख्या है, तो f निकट अभिविन्यास को संरक्षित करता है p;यदि यह नकारात्मक संख्या है, f ओरिएंटेशन को उलट देता है।पर जैकबियन निर्धारक का पूर्ण मूल्य p हमें वह कारक देता है जिसके द्वारा फ़ंक्शन f निकट विस्तार या सिकुड़ता है p;यही कारण है कि यह सामान्य प्रतिस्थापन नियम में होता है।

जैकबियन निर्धारक का उपयोग तब किया जाता है जब प्रतिस्थापन के लिए एक एकीकरण#प्रतिस्थापन द्वारा एक एकीकरण करते समय कई चर के लिए एक क्षेत्र के भीतर एक क्षेत्र पर एक फ़ंक्शन के कई अभिन्न अंग का मूल्यांकन किया जाता है।समन्वय के परिवर्तन के लिए समायोजित करने के लिए जैकबियन निर्धारक के परिमाण में अभिन्न के भीतर एक गुणक कारक के रूप में उत्पन्न होता है।ऐसा इसलिए है nआयामी dV तत्व सामान्य रूप से नए समन्वय प्रणाली में एक समानांतर है, और nएक समानांतरपिप का वॉल्यूम इसके किनारे वाले वैक्टर का निर्धारक है।

जैकबियन का उपयोग एक संतुलन बिंदु के पास व्यवहार को अनुमानित करके मैट्रिक्स अंतर समीकरण के लिए संतुलन बिंदु की स्थिरता को निर्धारित करने के लिए भी किया जा सकता है।इसके अनुप्रयोगों में रोग मॉडलिंग में रोग-मुक्त संतुलन की स्थिरता का निर्धारण करना शामिल है।

उलटा

उलटा फ़ंक्शन प्रमेय के अनुसार, एक उल्टे फ़ंक्शन के जैकबियन मैट्रिक्स का उलटा मैट्रिक्स उलटा फ़ंक्शन का जैकबियन मैट्रिक्स है।यही है, अगर फ़ंक्शन का जैकबियन f : Rⁿ → Rⁿ बिंदु पर निरंतर और निरर्थक है p में Rⁿ, फिर f जब कुछ पड़ोस के लिए प्रतिबंधित है, तो यह उल्टा है p तथा

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }}^{-1}.$

दूसरे शब्दों में, यदि जैकबियन निर्धारक एक बिंदु पर शून्य नहीं है, तो फ़ंक्शन इस बिंदु के पास स्थानीय रूप से उल्टा है, अर्थात, इस बिंदु का एक पड़ोस (गणित) है जिसमें फ़ंक्शन उल्टा है।

(अप्रमाणित) जैकबियन अनुमान एक बहुपद समारोह के मामले में वैश्विक इनवर्टिबिलिटी से संबंधित है, जो कि एन वैरिएबल्स में एन पोलिनोमियल द्वारा परिभाषित एक फ़ंक्शन है।यह दावा करता है कि, यदि जैकबियन निर्धारक एक गैर-शून्य स्थिरांक है (या, समकक्ष, कि इसमें कोई जटिल शून्य नहीं है), तो फ़ंक्शन उल्टा है और इसका व्युत्क्रम एक बहुपद कार्य है।

महत्वपूर्ण अंक

Main article: Critical point

यदि f : Rⁿ → R^m एक अलग कार्य है, एक महत्वपूर्ण बिंदु है f एक बिंदु है जहां जैकबियन मैट्रिक्स की रैंक (रैखिक बीजगणित) अधिकतम नहीं है।इसका मतलब यह है कि महत्वपूर्ण बिंदु पर रैंक कुछ पड़ोसी बिंदु पर रैंक से कम है।दूसरे शब्दों में, चलो k की छवि में निहित खुली गेंद ों का अधिकतम आयाम हो f;फिर एक बिंदु महत्वपूर्ण है अगर सभी नाबालिग (रैखिक बीजगणित) रैंक के एस k का f शून्य हैं।

मामले में जहां m = n = k, एक बिंदु महत्वपूर्ण है यदि जैकबियन निर्धारक शून्य है।

उदाहरण

उदाहरण 1

फ़ंक्शन पर विचार करें f : R² → R², साथ (x, y) ↦ (f₁(x, y), f₂(x, y)), के द्वारा दिया गया

$\mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.$

तो हमारे पास हैं

$f_{1}(x,y)=x^{2}y$

तथा

$f_{2}(x,y)=5x+\sin y$

और जैकबियन मैट्रिक्स f है

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}$

और जैकबियन निर्धारक है

$\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.$

उदाहरण 2: ध्रुवीय-कार्टेसियन परिवर्तन

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली से परिवर्तन (r, φ) कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (x, y) के लिए, फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है F: R⁺ × [0, 2π) → R² घटकों के साथ:

${\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}$

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}$

जैकबियन निर्धारक के बराबर है r।इसका उपयोग दो समन्वय प्रणालियों के बीच इंटीग्रल को बदलने के लिए किया जा सकता है:

$\iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .$

उदाहरण 3: गोलाकार-कार्टेसियन परिवर्तन

गोलाकार समन्वय प्रणाली से परिवर्तन (ρ, φ, θ) कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (x, y, z), फ़ंक्शन द्वारा दी गई है F: R⁺ × [0, π) × [0, 2π) → R³ घटकों के साथ:

${\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}$

इस समन्वय परिवर्तन के लिए जैकबियन मैट्रिक्स है

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.$

निर्धारक है ρ² sin φ।तब से dV = dx dy dz एक आयताकार अंतर मात्रा तत्व के लिए मात्रा है (क्योंकि एक आयताकार प्रिज्म की मात्रा इसके पक्षों का उत्पाद है), हम व्याख्या कर सकते हैं dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ गोलाकार अंतर मात्रा तत्व की मात्रा के रूप में।आयताकार विभेदक मात्रा तत्व की मात्रा के विपरीत, यह विभेदक मात्रा तत्व की मात्रा एक स्थिर नहीं है, और निर्देशांक के साथ भिन्न होती है (ρ तथा φ)।इसका उपयोग दो समन्वय प्रणालियों के बीच इंटीग्रल को बदलने के लिए किया जा सकता है:

$\iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .$

उदाहरण 4

फ़ंक्शन का जैकबियन मैट्रिक्स F : R³ → R⁴ घटकों के साथ

${\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}$

है

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.$

इस उदाहरण से पता चलता है कि जैकबियन मैट्रिक्स को एक वर्ग मैट्रिक्स की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 5

फ़ंक्शन के जैकबियन निर्धारक F : R³ → R³ घटकों के साथ

${\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}$

है

${\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.$

इससे हम देखते हैं कि F उन बिंदुओं में रिवर्स ओरिएंटेशन जहां x₁ तथा x₂ एक ही संकेत है;फ़ंक्शन स्थानीय रूप से हर जगह उल्टा है, जहां निकट बिंदुओं को छोड़कर x₁ = 0 या x₂ = 0।सहज रूप से, यदि कोई बिंदु के चारों ओर एक छोटी वस्तु के साथ शुरू होता है (1, 2, 3) और लागू करें F उस ऑब्जेक्ट के लिए, किसी को लगभग ऑब्जेक्ट मिलेगा 40 × 1 × 2 = 80 मूल एक की मात्रा, अभिविन्यास उलट के साथ।

अन्य उपयोग

प्रतिगमन और कम से कम वर्ग फिटिंग

जैकबियन सांख्यिकीय प्रतिगमन विश्लेषण और वक्र फिटिंग में एक रैखिक डिजाइन मैट्रिक्स के रूप में कार्य करता है;गैर-रैखिक कम से कम वर्ग देखें।

गतिशील तंत्र

रूप की एक गतिशील प्रणाली पर विचार करें ${\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )$, कहाँ पे ${\dot {\mathbf {x} }}$ (घटक-वार) व्युत्पन्न है $\mathbf {x}$ विकास पैरामीटर के संबंध में $t$ (समय और $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ अलग है।यदि $F(\mathbf {x} _{0})=0$, फिर $\mathbf {x} _{0}$ एक स्थिर बिंदु है (जिसे स्थिर राज्य भी कहा जाता है)।हार्टमैन -ग्रोबमैन प्रमेय द्वारा, एक स्थिर बिंदु के पास प्रणाली का व्यवहार eigenvalue s से संबंधित है $\mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)$, जैकबियन $F$ स्थिर बिंदु पर। विशेष रूप से, यदि eigenvalues सभी में वास्तविक भाग होते हैं जो नकारात्मक होते हैं, तो सिस्टम स्थिर बिंदु के पास स्थिर होता है, यदि किसी भी eigenvalue का एक वास्तविक हिस्सा है जो सकारात्मक है, तो बिंदु अस्थिर है।यदि eigenvalues का सबसे बड़ा वास्तविक हिस्सा शून्य है, तो जैकबियन मैट्रिक्स स्थिरता के मूल्यांकन के लिए अनुमति नहीं देता है।

न्यूटन की विधि

युग्मित nonlinear समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली को न्यूटन की विधि#समीकरणों के nonlinear सिस्टम द्वारा पुनरावृत्त रूप से हल किया जा सकता है। न्यूटन की विधि।यह विधि समीकरणों की प्रणाली के जैकबियन मैट्रिक्स का उपयोग करती है।

यह भी देखें

• केंद्र कई गुना
• हेसियन मैट्रिक्स
• पुष्पन (अंतर)

इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची

• आंशिक व्युत्पन्न
• वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन
• सिद्ध
• विभेद्य कार्य
• रेखीय सन्निकटन
• उलटा काम करना
• जैकबियन का अनुमान
• बहुस्तरीय अभिन्न
• बहुभिन्नरूपी कार्य
• यौगिक
• द्वितीय व्युत्पन्न
• उलटी
• उलटा समारोह प्रमेय
• ऋणात्मक संख्या
• निरपेक्ष मूल्य
• मात्रा
• समानांतर खात
• उल्टे कार्य
• उल्टे मैट्रिक्स
• ध्रुवीय समन्वय तंत्र
• कार्तीय समन्वय प्रणाली
• स्थानीय स्तर पर
• विकास -पार्श्वीय
• स्थिर अवस्था
• सेंटर मैनिफोल्ड
• पुष्पन (विभेदक)

अग्रिम पठन

• Gandolfo, Giancarlo (1996). "Comparative Statics and the Correspondence Principle". Economic Dynamics (Third ed.). Berlin: Springer. pp. 305–330. ISBN 3-540-60988-1.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.

बाहरी संबंध

• "Jacobian", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Mathworld A more technical explanation of Jacobians