दिशात्मक व्युत्पन्न

गणित में, एक दिए गए सदिश (गणित) v के साथ एक दिए गए बिंदु x पर एक बहुभिन्नरूपी विभेदक फलन | अवकलनीय (अदिश) फलन का दिशात्मक व्युत्पन्न फलन के परिवर्तन की तात्कालिक दर को सहज रूप से दर्शाता है, x के माध्यम से v द्वारा निर्दिष्ट वेग के साथ आगे बढ़ रहा है। .

एक बिंदु (उदाहरण के लिए, स्थिति) x पर वेक्टर v के संबंध में एक अदिश क्षेत्र 'एफ' का दिशात्मक व्युत्पन्न निम्नलिखित में से किसी के द्वारा निरूपित किया जा सकता है:

$$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}=\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.$$

इसलिए यह एक आंशिक व्युत्पन्न की धारणा को सामान्यीकृत करता है, जिसमें परिवर्तन की दर वक्रीय समन्वय वक्रों में से एक के साथ ली जाती है, अन्य सभी निर्देशांक स्थिर होते हैं। दिशात्मक व्युत्पन्न गेटॉक्स व्युत्पन्न का एक विशेष मामला है।

परिभाषा

का एक समोच्च प्लॉट $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, काले रंग में ग्रेडिएंट वेक्टर और यूनिट वेक्टर दिखा रहा है $\mathbf {u}$ की दिशा में दिशात्मक व्युत्पन्न द्वारा स्केल किया गया $\mathbf {u}$ नारंगी में। ग्रेडिएंट वेक्टर लंबा है क्योंकि ग्रेडिएंट किसी फ़ंक्शन की वृद्धि की सबसे बड़ी दर की दिशा में इंगित करता है।

एक अदिश समारोह का दिशात्मक व्युत्पन्न

$$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$$

एक वेक्टर के साथ

$$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$$

कार्य है (गणित) $\nabla _{\mathbf {v} }{f}$ सीमा द्वारा परिभाषित (गणित)

$$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$$

यह परिभाषा संदर्भों की एक विस्तृत श्रृंखला में मान्य है, उदाहरण के लिए जहां वेक्टर (और इसलिए एक इकाई वेक्टर) का यूक्लिडियन मानदंड अपरिभाषित है।

अलग-अलग कार्यों के लिए

यदि फ़ंक्शन f अलग-अलग कार्य है # 'x' पर उच्च आयामों में भिन्नता है, तो दिशात्मक व्युत्पन्न किसी भी इकाई वेक्टर 'v' के साथ x पर मौजूद है, और एक है

$$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$$

जहां $\nabla$ दाईं ओर ढाल को दर्शाता है, $\cdot$ डॉट उत्पाद है और v एक इकाई वेक्टर है। यह एक पथ को परिभाषित करने से होता है $h(t)=x+tv$ और व्युत्पन्न की परिभाषा को एक सीमा के रूप में उपयोग करते हुए जिसकी गणना इस पथ के साथ की जा सकती है:

$${\begin{aligned}0&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tDf(x)(v)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-Df(x)(v)\\&=\nabla _{v}f(x)-Df(x)(v).\end{aligned}}$$

सहज रूप से, एक बिंदु 'x' पर f का दिशात्मक व्युत्पन्न समय के संबंध में 'v' की दिशा में f के व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है, जब 'x' से आगे बढ़ता है।

=== वेक्टर === की केवल दिशा का उपयोग करना [[image:Geometrical interpretation of a directional derivative.svg|thumb|स्पर्शरेखा A और क्षैतिज के बीच का कोण α अधिकतम होगा यदि काटने वाले विमान में ढाल A की दिशा हो। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, कुछ लेखक दिशात्मक व्युत्पत्ति को सामान्यीकृत सदिश के बाद एक मनमाना अशून्य सदिश v के संबंध में परिभाषित करें, इस प्रकार यह इसके परिमाण से स्वतंत्र है और केवल इसकी दिशा पर निर्भर करता है। यह परिभाषा वृद्धि की दर देती है f प्रति इकाई दूरी द्वारा दी गई दिशा में चली गई v. इस मामले में, एक है

$$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h|\mathbf {v} |}},$$

या यदि f 'x' पर अवकलनीय है,

$$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}.$$

=== एक इकाई वेक्टर === के लिए प्रतिबंध

यूक्लिडियन स्थान पर एक फ़ंक्शन के संदर्भ में, कुछ पाठ सदिश v को एक इकाई सदिश होने तक सीमित करते हैं। इस प्रतिबंध के साथ, उपरोक्त दोनों परिभाषाएँ समतुल्य हैं।

गुण

साधारण व्युत्पन्न के कई परिचित गुण दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए हैं। इनमें किसी भी कार्य f और g के पड़ोस (गणित) में परिभाषित और 'p' पर कुल व्युत्पन्न शामिल हैं:

1. 'विभेदन में योग नियम':
   $$\nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.$$
2. अवकलन में स्थिर गुणनखंड नियम: किसी भी स्थिरांक c के लिए,
   $$\nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.$$
3. उत्पाद नियम (या लीबनिज का नियम):
   $$\nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.$$
4. श्रृंखला नियम: यदि g p पर अवकलनीय है और h g(p) पर अवकलनीय है, तो
   $$\nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).$$

अंतर ज्यामिति में

See also: Tangent space § Tangent vectors as directional derivatives

होने देना M एक अलग करने योग्य कई गुना हो और p का एक बिंदु M. लगता है कि f के पड़ोस में परिभाषित एक कार्य है p, और कुल व्युत्पन्न पर p. अगर v एक स्पर्शरेखा सदिश है M पर p, फिर का दिशात्मक व्युत्पन्न f साथ में v, के रूप में विभिन्न रूप से दर्शाया गया है df(v) (बाहरी व्युत्पन्न देखें), $\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )$ (सहसंयोजक व्युत्पन्न देखें), $L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )$ (झूठ व्युत्पन्न देखें), या ${\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)$ (देखना Tangent space § Definition via derivations), इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है। होने देना γ : [−1, 1] → M के साथ एक अवकलनीय वक्र हो γ(0) = p और γ′(0) = v. फिर दिशात्मक व्युत्पन्न द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.$$

इस परिभाषा की पसंद से स्वतंत्र सिद्ध किया जा सकता है γ, बशर्ते γ को निर्धारित तरीके से चुना जाता है ताकि γ′(0) = v.

झूठ व्युत्पन्न

सदिश क्षेत्र का लाइ डेरिवेटिव $W^{\mu }(x)$ एक वेक्टर क्षेत्र के साथ $V^{\mu }(x)$ दो दिशात्मक डेरिवेटिव (लुप्त हो जाने वाले मरोड़ के साथ) के अंतर से दिया जाता है:

$${\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.$$

विशेष रूप से, एक अदिश क्षेत्र के लिए $\phi (x)$लाई व्युत्पन्न मानक दिशात्मक व्युत्पन्न को कम करता है:

$${\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .$$

रीमैन टेंसर

दिशात्मक डेरिवेटिव का उपयोग अक्सर रीमैन वक्रता टेन्सर के परिचयात्मक डेरिवेटिव में किया जाता है। एक अपरिमेय सदिश के साथ एक घुमावदार आयत पर विचार करें $\delta$ एक किनारे के साथ और $\delta '$ दूसरे के साथ। हम एक कोवेक्टर का अनुवाद करते हैं $S$ साथ में $\delta$ तब $\delta '$ और फिर अनुवाद को घटाएं $\delta '$ और तब $\delta$. आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग करके दिशात्मक व्युत्पन्न के निर्माण के बजाय, हम सहसंयोजक व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं। के लिए अनुवाद ऑपरेटर $\delta$ इस प्रकार है

$$1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,$$

और के लिए $\delta '$,

$$1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.$$

दोनों रास्तों के बीच का अंतर तब है

$$(1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.$$

मैं तर्क कर सकता था सहसंयोजक डेरिवेटिव की गैर-अनुसूचितता कई गुना की वक्रता को मापती है:

$$[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },$$

कहाँ $R$ रीमैन वक्रता टेन्सर है और चिह्न लेखक की चिह्न परिपाटी पर निर्भर करता है।

समूह सिद्धांत में

अनुवाद

पॉइनकेयर बीजगणित में, हम एक अतिसूक्ष्म अनुवाद ऑपरेटर पी को परिभाषित कर सकते हैं

$$\mathbf {P} =i\nabla .$$

(i यह सुनिश्चित करता है कि 'P' एक स्व-आसन्न संकारक है) एक परिमित विस्थापन 'λ' के लिए, अनुवाद के लिए एकात्मक संचालक हिल्बर्ट अंतरिक्ष समूह प्रतिनिधित्व है

$$U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left(-i{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \mathbf {P} \right).$$

इनफिनिटिमल ट्रांसलेशन ऑपरेटर की उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करके, हम देखते हैं कि परिमित ट्रांसलेशन ऑपरेटर एक घातांक दिशात्मक व्युत्पन्न है:

$$U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).$$

यह इस अर्थ में एक ट्रांसलेशन ऑपरेटर है कि यह f('x') के रूप में बहु-परिवर्तनीय कार्यों पर कार्य करता है

$$U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }}).$$

Proof of the last equation

In standard single-variable calculus, the derivative of a smooth function f(x) is defined by (for small ε)

$${\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.$$

This can be rearranged to find f(x+ε):

$$f(x+\varepsilon )=f(x)+\varepsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\varepsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).$$

It follows that $[1+\varepsilon \,(d/dx)]$ is a translation operator. This is instantly generalized to multivariable functions f(x)

$$f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\varepsilon }})=\left(1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).$$

Here ${\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla$ is the directional derivative along the infinitesimal displacement ε. We have found the infinitesimal version of the translation operator:

$$U({\boldsymbol {\varepsilon }})=1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla .$$

It is evident that the group multiplication law U(g)U(f)=U(gf) takes the form

$$U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).$$

So suppose that we take the finite displacement λ and divide it into N parts (N→∞ is implied everywhere), so that λ/N=ε. In other words,

$${\boldsymbol {\lambda }}=N{\boldsymbol {\varepsilon }}.$$

Then by applying U(ε) N times, we can construct U(λ):

$$[U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=U(N{\boldsymbol {\varepsilon }})=U({\boldsymbol {\lambda }}).$$

We can now plug in our above expression for U(ε):

$$[U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=\left[1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.$$

Using the identity

$$\exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},$$

we have

$$U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).$$

And since U(ε)f(x) = f(x+ε) we have

$$[U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N{\boldsymbol {\varepsilon }})=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }})=U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),$$

Q.E.D.

As a technical note, this procedure is only possible because the translation group forms an Abelian subgroup (Cartan subalgebra) in the Poincaré algebra. In particular, the group multiplication law U(a)U(b) = U(a+b) should not be taken for granted. We also note that Poincaré is a connected Lie group. It is a group of transformations T(ξ) that are described by a continuous set of real parameters $\xi ^{a}$. The group multiplication law takes the form

$$T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).$$

Taking $\xi ^{a}=0$ as the coordinates of the identity, we must have

$$f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.$$

The actual operators on the Hilbert space are represented by unitary operators U(T(ξ)). In the above notation we suppressed the T; we now write U(λ) as U(P(λ)). For a small neighborhood around the identity, the power series representation

$$U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots$$

is quite good. Suppose that U(T(ξ)) form a non-projective representation, i.e.,

$$U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).$$

The expansion of f to second power is

$$f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.$$

After expanding the representation multiplication equation and equating coefficients, we have the nontrivial condition

$$t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.$$

Since $t_{ab}$ is by definition symmetric in its indices, we have the standard Lie algebra commutator:

$$[t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},$$

with C the structure constant. The generators for translations are partial derivative operators, which commute:

$$\left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.$$

This implies that the structure constants vanish and thus the quadratic coefficients in the f expansion vanish as well. This means that f is simply additive:

$$f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},$$

and thus for abelian groups,

$$U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).$$

Q.E.D.

रोटेशन

रोटेशन ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी) में एक दिशात्मक व्युत्पन्न भी होता है। एक कोण θ के लिए रोटेशन ऑपरेटर, यानी एक राशि θ = |θ| के समानांतर एक अक्ष के बारे में ${\hat {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}/\theta$ है

$$U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).$$

यहाँ L वेक्टर ऑपरेटर है जो SO (3) उत्पन्न करता है:

$$\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .$$

यह ज्यामितीय रूप से दिखाया जा सकता है कि एक अतिसूक्ष्म दाहिने हाथ का घुमाव स्थिति वेक्टर x को बदल देता है

$$\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} .$$

तो हम असीम रोटेशन के तहत उम्मीद करेंगे:

$$U(R(\delta {\boldsymbol {\theta }}))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.$$

यह इस प्रकार है कि

$$U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .$$

उपरोक्त के समान घातांक प्रक्रिया के बाद, हम स्थिति के आधार पर रोटेशन ऑपरेटर पर पहुंचते हैं, जो एक घातांक दिशात्मक व्युत्पन्न है:

$$U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).$$

सामान्य व्युत्पन्न

एक सामान्य व्युत्पन्न एक दिशात्मक व्युत्पन्न है जो अंतरिक्ष में किसी सतह पर सामान्य (यानी, ओर्थोगोनल) दिशा में लिया जाता है, या अधिक आम तौर पर एक सामान्य वेक्टर क्षेत्र ऑर्थोगोनल के साथ कुछ ऊनविम पृष्ठ के लिए होता है। उदाहरण के लिए न्यूमैन सीमा की स्थिति देखें। यदि सामान्य दिशा द्वारा निरूपित किया जाता है $\mathbf {n}$, तो किसी फ़ंक्शन f के सामान्य व्युत्पन्न को कभी-कभी निरूपित किया जाता है ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}}$. अन्य नोटेशन में,

$${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].$$

ठोस पदार्थों के सातत्य यांत्रिकी में

सातत्य यांत्रिकी में कई महत्वपूर्ण परिणामों के लिए वैक्टर के संबंध में वैक्टर और वैक्टर और टेंसर के संबंध में टेंसर के डेरिवेटिव की आवश्यकता होती है। दिशात्मक निर्देश इन डेरिवेटिव्स को खोजने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है।

यह भी देखें

• Del in cylindrical and spherical coordinates
• Differential form
• Fréchet derivative
• Gateaux derivative
• Generalizations of the derivative
• Semi-differentiability
• Hadamard derivative
• Lie derivative
• Material derivative
• Structure tensor
• Tensor derivative (continuum mechanics)
• Total derivative

संदर्भ

• Hildebrand, F. B. (1976). Advanced Calculus for Applications. Prentice Hall. ISBN 0-13-011189-9.
• K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
• Shapiro, A. (1990). "On concepts of directional differentiability". Journal of Optimization Theory and Applications. 66 (3): 477–487. doi:10.1007/BF00940933. S2CID 120253580.

बाहरी संबंध

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• Directional derivatives at MathWorld.
• Directional derivative at PlanetMath.