वेक्टर कैलकुलस

Not to be confused with Geometric calculus or Matrix calculus.

वेक्टर कैलकुलस, या वेक्टर विश्लेषण, वेक्टर क्षेत्रों के व्युत्पन्न और अभिन्न के साथ संबंध है, मुख्य रूप से 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में $\mathbb {R} ^{3}.$ वेक्टर कैलकुलस शब्द को कभी -कभी मल्टीवेरेबल कैलकुलस के व्यापक विषय के लिए एक पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है, जो वेक्टर कैलकुलस के साथ -साथ आंशिक व्युत्पन्न और कई अभिन्न अंग फैलाता है।वेक्टर कैलकुलस अंतर ज्यामिति और आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।इसका उपयोग भौतिकी और इंजीनियरिंग में बड़े पैमाने पर किया जाता है, विशेष रूप से विवरण में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और द्रव प्रवाह।

वेक्टर कैलकुलस को 19 वीं शताब्दी के अंत के पास जे। विलार्ड गिब्स और ओलिवर हेविसाइड द्वारा चतुर्भुज विश्लेषण से विकसित किया गया था, और अधिकांश संकेतन और शब्दावली गिब्स और एडविन बिडवेल विल्सन द्वारा उनकी 1901 की पुस्तक, वेक्टर विश्लेषण में स्थापित की गई थी।क्रॉस उत्पादों का उपयोग करते हुए पारंपरिक रूप में, वेक्टर कैलकुलस उच्च आयामों को सामान्य नहीं करता है, जबकि ज्यामितीय बीजगणित का वैकल्पिक दृष्टिकोण जो बाहरी उत्पादों का उपयोग करता है (देखें (देखें (देखें) § Generalizations अधिक के लिए नीचे)।

मूल वस्तुएं

स्केलर फ़ील्ड

Main article: Scalar field

एक स्केलर फ़ील्ड एक स्केलर (गणित) मान को एक स्थान में हर बिंदु पर जोड़ता है।स्केलर एक स्केलर (गणित) है जो एक स्केलर (भौतिकी) का प्रतिनिधित्व करता है।अनुप्रयोगों में स्केलर क्षेत्रों के उदाहरणों में पूरे स्थान पर तापमान वितरण, एक द्रव में दबाव वितरण और स्पिन-शून्य क्वांटम फ़ील्ड (स्केलर बोसोन के रूप में जाना जाता है), जैसे कि हिग्स क्षेत्र शामिल हैं।ये क्षेत्र स्केलर क्षेत्र सिद्धांत का विषय हैं।

वेक्टर फ़ील्ड

Main article: Vector field

एक वेक्टर क्षेत्र एक स्थान (गणित) में प्रत्येक बिंदु पर एक वेक्टर (ज्यामिति) का एक असाइनमेंट है। उदाहरण के लिए, विमान में एक वेक्टर फ़ील्ड को किसी दिए गए परिमाण_ (गणित) #Vector_spaces के साथ तीर के संग्रह के रूप में कल्पना की जा सकती है और प्रत्येक को विमान में एक बिंदु से जुड़ा हुआ दिशा।वेक्टर फ़ील्ड का उपयोग अक्सर मॉडल करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, पूरे अंतरिक्ष में एक चलती तरल पदार्थ की गति और दिशा, या कुछ बल की ताकत और दिशा, जैसे कि चुंबकीय क्षेत्र या गुरुत्वाकर्षण बल, क्योंकि यह बिंदु से बिंदु तक बदल जाता है।इसका उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक लाइन पर किए गए कार्य (भौतिकी) की गणना करने के लिए।

वैक्टर और pseudovectors

अधिक उन्नत उपचारों में, एक और आगे स्यूडोवेक्टर फ़ील्ड और स्यूडोस्केलर फ़ील्ड को अलग करता है, जो वेक्टर फ़ील्ड और स्केलर फ़ील्ड के समान हैं, सिवाय इसके कि वे एक ओरिएंटेशन-रिवरिंग मैप के तहत साइन बदलते हैं: उदाहरण के लिए, एक वेक्टर फ़ील्ड का कर्ल (गणित) एक हैPseudovector फ़ील्ड, और यदि कोई एक वेक्टर क्षेत्र को दर्शाता है, तो विपरीत दिशा में कर्ल इंगित करता है।इस भेद को स्पष्ट और ज्यामितीय बीजगणित में स्पष्ट किया गया है, जैसा कि नीचे वर्णित है।

वेक्टर बीजगणित

Main article: Euclidean vector § Basic properties

वेक्टर कैलकुलस में बीजगणितीय (गैर-अंतर) संचालन को वेक्टर बीजगणित के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे वेक्टर स्थान के लिए परिभाषित किया जाता है और फिर वैश्विक रूप से एक वेक्टर क्षेत्र में लागू किया जाता है।मूल बीजगणितीय संचालन में शामिल हैं:

Notations in vector calculus

Operation	Notation	Description
Vector addition	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	Addition of two vectors, yielding a vector.
Scalar multiplication	$a\mathbf {v}$	Multiplication of a scalar and a vector, yielding a vector.
Dot product	$\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$	Multiplication of two vectors, yielding a scalar.
Cross product	$\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$	Multiplication of two vectors in $\mathbb {R} ^{3}$, yielding a (pseudo)vector.

आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले दो ट्रिपल उत्पाद भी हैं:

Vector calculus triple products

Operation	Notation	Description
Scalar triple product	$\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	The dot product of the cross product of two vectors.
Vector triple product	$\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	The cross product of the cross product of two vectors.

ऑपरेटर और प्रमेय

Main article: Vector calculus identities

विभेदक ऑपरेटर

Main articles: Gradient, Divergence, Curl (mathematics), and Laplacian

वेक्टर कैलकुलस स्केलर या वेक्टर क्षेत्रों पर परिभाषित विभिन्न अंतर ऑपरेटरों का अध्ययन करते हैं, जो आमतौर पर डेल ऑपरेटर के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं ($\nabla$), जिसे नबला के रूप में भी जाना जाता है।तीन बुनियादी वेक्टर ऑपरेटर हैं:

Differential operators in vector calculus

Operation	Notation	Description	Notational analogy	Domain/Range
Gradient	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Measures the rate and direction of change in a scalar field.	Scalar multiplication	Maps scalar fields to vector fields.
Divergence	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Measures the scalar of a source or sink at a given point in a vector field.	Dot product	Maps vector fields to scalar fields.
Curl	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Measures the tendency to rotate about a point in a vector field in $\mathbb {R} ^{3}$.	Cross product	Maps vector fields to (pseudo)vector fields.
f denotes a scalar field and F denotes a vector field

आमतौर पर दो लाप्लास ऑपरेटर भी उपयोग किए जाते हैं:

Laplace operators in vector calculus

Operation	Notation	Description	Domain/Range
Laplacian	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Measures the difference between the value of the scalar field with its average on infinitesimal balls.	Maps between scalar fields.
Vector Laplacian	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Measures the difference between the value of the vector field with its average on infinitesimal balls.	Maps between vector fields.
f denotes a scalar field and F denotes a vector field

जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक नामक एक मात्रा कार्यों का अध्ययन करने के लिए उपयोगी होती है जब फ़ंक्शन के डोमेन और रेंज दोनों बहुक्रियाशील होते हैं, जैसे कि एकीकरण के दौरान चर का परिवर्तन।

अभिन्न प्रमेय

तीन बुनियादी वेक्टर ऑपरेटरों में इसी प्रमेय होते हैं जो कैलकुलस के मौलिक प्रमेय को उच्च आयामों के लिए सामान्य करते हैं:

Integral theorems of vector calculus

Theorem	Statement	Description
Gradient theorem	$\int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]$	The line integral of the gradient of a scalar field over a curve L is equal to the change in the scalar field between the endpoints p and q of the curve.
Divergence theorem	$\underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$	The integral of the divergence of a vector field over an n-dimensional solid V is equal to the flux of the vector field through the (n−1)-dimensional closed boundary surface of the solid.
Curl (Kelvin–Stokes) theorem	$\iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	The integral of the curl of a vector field over a surface Σ in $\mathbb {R} ^{3}$ is equal to the circulation of the vector field around the closed curve bounding the surface.
$\varphi$ denotes a scalar field and F denotes a vector field

दो आयामों में, विचलन और कर्ल प्रमेय ग्रीन के प्रमेय को कम करते हैं:

Green's theorem of vector calculus

Theorem	Statement	Description
Green's theorem	$\iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	The integral of the divergence (or curl) of a vector field over some region A in $\mathbb {R} ^{2}$ equals the flux (or circulation) of the vector field over the closed curve bounding the region.
For divergence, F = (M, −L). For curl, F = (L, M, 0). L and M are functions of (x, y).

अनुप्रयोग

रैखिक सन्निकटन

Main article: Linear approximation

रैखिक सन्निकटन का उपयोग जटिल कार्यों को रैखिक कार्यों के साथ बदलने के लिए किया जाता है जो लगभग समान हैं।एक अलग कार्य दिया f(x, y) वास्तविक मूल्यों के साथ, कोई अनुमानित कर सकता है f(x, y) के लिए (x, y) पास में (a, b) सूत्र द्वारा

$f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).$

दाहिने हाथ की तरफ विमान के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा का समीकरण है z = f(x, y) पर (a, b).

अनुकूलन

Main article: Mathematical optimization

कई वास्तविक चर के लगातार अलग -अलग कार्य के लिए, एक बिंदु P (यानी, इनपुट चर के लिए मानों का एक सेट, जिसे 'R' में एक बिंदु के रूप में देखा जाता है।ⁿ ) 'महत्वपूर्ण' है यदि फ़ंक्शन के सभी आंशिक डेरिवेटिव P पर शून्य हैं, या, समकक्ष, यदि इसका ढाल शून्य है।महत्वपूर्ण मान महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान हैं।

यदि फ़ंक्शन चिकनी फ़ंक्शन है, या, कम से कम दो बार लगातार अलग -अलग, एक महत्वपूर्ण बिंदु या तो एक स्थानीय अधिकतम, एक स्थानीय न्यूनतम या एक काठी बिंदु हो सकता है।अलग -अलग मामलों को दूसरे डेरिवेटिव के हेसियन मैट्रिक्स के eigenvalues पर विचार करके प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

फर्मेट के प्रमेय (स्थिर अंक) द्वारा | फर्मेट के प्रमेय, सभी स्थानीय मैक्सिमा और एक अलग कार्य के मिनीमा महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होते हैं।इसलिए, स्थानीय मैक्सिमा और मिनीमा को खोजने के लिए, यह सैद्धांतिक रूप से, इन शून्य पर हेसियन मैट्रिक्स के ढाल और ईजेनवेल्यूज के शून्य की गणना करने के लिए, सैद्धांतिक रूप से पर्याप्त है।

भौतिकी और इंजीनियरिंग

वेक्टर कैलकुलस अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है:

• सेंटर ऑफ मास
• क्षेत्र सिद्धांत (भौतिकी)
• गतिकी
• मैक्सवेल के समीकरण

सामान्यीकरण

अलग 3-manifolds

वेक्टर कैलकुलस शुरू में यूक्लिडियन स्पेस के लिए परिभाषित किया गया है। यूक्लिडियन 3-स्पेस, $\mathbb {R} ^{3},$ जिसमें केवल एक 3-आयामी वास्तविक वेक्टर स्पेस होने से परे अतिरिक्त संरचना है, अर्थात्: एक आदर्श (गणित) (लंबाई की एक धारणा देना) एक आंतरिक उत्पाद (डॉट उत्पाद) के माध्यम से परिभाषित किया गया है, जो बदले में कोण की धारणा देता है, औरएक ओरिएंटेबिलिटी, जो बाएं हाथ और दाएं हाथ की धारणा देता है।ये संरचनाएं एक वॉल्यूम फॉर्म को जन्म देती हैं, और क्रॉस उत्पाद भी, जिसका उपयोग वेक्टर कैलकुलस में व्यापक रूप से किया जाता है।

ढाल और विचलन के लिए केवल आंतरिक उत्पाद की आवश्यकता होती है, जबकि कर्ल और क्रॉस उत्पाद को भी समन्वय प्रणाली के हाथ को ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है (अधिक विस्तार के लिए क्रॉस उत्पाद#देखें) देखें।

वेक्टर कैलकुलस को अन्य 3-आयामी वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान पर परिभाषित किया जा सकता है यदि उनके पास एक आंतरिक उत्पाद है (या अधिक आम तौर पर एक सममित नॉनडेनेरेट रूप) और एक अभिविन्यास;ध्यान दें कि यह यूक्लिडियन स्पेस के लिए एक आइसोमोर्फिज्म की तुलना में कम डेटा है, क्योंकि इसमें निर्देशांक (संदर्भ का एक फ्रेम) के एक सेट की आवश्यकता नहीं होती है, जो इस तथ्य को दर्शाता है कि वेक्टर कैलकुलस रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है (विशेष ऑर्थोगोनल समूह इसलिए (3)।

अधिक आम तौर पर, वेक्टर कैलकुलस को किसी भी 3-आयामी उन्मुख रीमैनियन कई गुना, या अधिक आम तौर पर छद्म-रीमैनियन कई गुना पर परिभाषित किया जा सकता है।इस संरचना का सीधा सा मतलब है कि प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा अंतरिक्ष में एक आंतरिक उत्पाद है (अधिक आम तौर पर, एक सममित नॉनडेनेरेट रूप) और एक अभिविन्यास, या अधिक विश्व स्तर पर कि एक सममित नॉनडेनेरेट मीट्रिक टेंसर और एक अभिविन्यास है, और काम करता है क्योंकि वेक्टर कैलकुलस परिभाषित किया गया है।प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा वैक्टर के संदर्भ में।

अन्य आयाम

अधिकांश विश्लेषणात्मक परिणाम आसानी से समझ में आते हैं, एक अधिक सामान्य रूप में, अंतर ज्यामिति की मशीनरी का उपयोग करते हुए, जिनमें से वेक्टर कैलकुलस एक सबसेट बनाता है।ग्रेड और डाइव अन्य आयामों के लिए तुरंत सामान्यीकरण करते हैं, जैसा कि ढाल प्रमेय, विचलन प्रमेय, और लाप्लासियन (हार्मोनिक विश्लेषण की उपज) करते हैं, जबकि कर्ल और क्रॉस उत्पाद सीधे के रूप में सामान्य नहीं करते हैं।

सामान्य दृष्टिकोण से, (3-आयामी) वेक्टर कैलकुलस में विभिन्न क्षेत्रों को समान रूप से K-vector फ़ील्ड के रूप में देखा जाता है: स्केलर फ़ील्ड 0-वेक्टर फ़ील्ड हैं, वेक्टर फ़ील्ड 1-वेक्टर फ़ील्ड हैं, Pseudovector फ़ील्ड 2-वेक्टर हैं।फ़ील्ड, और Pseudoscalar फ़ील्ड 3-वेक्टर फ़ील्ड हैं।उच्च आयामों में अतिरिक्त प्रकार के फ़ील्ड (स्केलर/वेक्टर/स्यूडोवेक्टर/स्यूडोस्केलर 0/1/एन एंड माइनस; 1/एन आयामों के अनुरूप हैं, जो आयाम 3 में संपूर्ण है)छद्म) वैक्टर।

किसी भी आयाम में, एक nondegenerate रूप मानते हुए, एक स्केलर फ़ंक्शन का ग्रेड एक वेक्टर फ़ील्ड है, और एक वेक्टर फ़ील्ड का DIV एक स्केलर फ़ंक्शन है, लेकिन केवल आयाम 3 या 7 में (और, तुच्छ रूप से, आयाम 0 या 1 में) एक वेक्टर फ़ील्ड एक वेक्टर फ़ील्ड का कर्ल है, और केवल 3 या सात-आयामी क्रॉस उत्पाद आयामों में एक क्रॉस उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है (अन्य आयामी में सामान्यीकरण या तो आवश्यकता है $n-1$ 1 वेक्टर प्राप्त करने के लिए वैक्टर, या वैकल्पिक झूठ बीजगणित हैं, जो अधिक सामान्य एंटीसिमेट्रिक बिलिनियर उत्पाद हैं)।ग्रेड और डिव का सामान्यीकरण, और कैसे कर्ल को सामान्य किया जा सकता है, कर्ल (गणित) #Generalizations पर विस्तृत किया जाता है। कर्ल: सामान्यीकरण;संक्षेप में, एक वेक्टर क्षेत्र का कर्ल एक bivector क्षेत्र है, जिसे विशेष ऑर्थोगोनल झूठ बीजगणित के रूप में अनंत रोटेशन के बीजगणित के रूप में व्याख्या की जा सकती है;हालांकि, यह एक वेक्टर क्षेत्र के साथ पहचाना नहीं जा सकता है क्योंकि आयाम अलग -अलग हैं - 3 आयामों में रोटेशन के 3 आयाम हैं, लेकिन 4 आयामों में रोटेशन के 6 आयाम (और आम तौर पर अधिक आम तौर पर $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ एन आयामों में घुमाव के आयाम)।

वेक्टर कैलकुलस के दो महत्वपूर्ण वैकल्पिक सामान्यीकरण हैं।पहला, ज्यामितीय बीजगणित, वेक्टर फ़ील्ड (3 या उससे कम आयामों में, प्रत्येक k-vector फ़ील्ड के बजाय एक स्केलर फ़ंक्शन या वेक्टर फ़ील्ड के साथ, K-VECTOR फ़ील्ड का उपयोग करता है।यह क्रॉस उत्पाद की जगह लेता है, जो 3 आयामों के लिए विशिष्ट है, दो वेक्टर फ़ील्ड में ले जाता है और आउटपुट के रूप में एक वेक्टर फ़ील्ड के रूप में देता है, बाहरी उत्पाद के साथ, जो सभी आयामों में मौजूद है और दो वेक्टर फ़ील्ड में लेता है, आउटपुट के रूप में (2 (2)-वेक्टर) फील्ड।यह उत्पाद वेक्टर रिक्त स्थान (एक अभिविन्यास और nondegenerate रूप के साथ) पर बीजगणितीय संरचना के रूप में क्लिफोर्ड बीजगणित करता है।ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग ज्यादातर भौतिकी और अन्य लागू क्षेत्रों के सामान्यीकरण में उच्च आयामों में किया जाता है।

दूसरा सामान्यीकरण वेक्टर फ़ील्ड या के-वेक्टर फ़ील्ड के बजाय विभेदक रूपों (के-कोवेक्टर फ़ील्ड) का उपयोग करता है, और व्यापक रूप से गणित में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से अंतर ज्यामिति, ज्यामितीय टोपोलॉजी और हार्मोनिक विश्लेषण में, विशेष रूप से ओरिएंटेड स्यूडो पर हॉज थ्योरी में-Riemannian कई गुना।इस दृष्टिकोण से, ग्रेड, कर्ल, और डिव क्रमशः 0-रूपों, 1-रूपों और 2-रूपों के बाहरी व्युत्पन्न के अनुरूप हैं, और वेक्टर कैलकुलस के प्रमुख प्रमेय स्टोक्स के सामान्य रूप के सभी विशेष मामले हैं।'प्रमेय।

इन दोनों सामान्यीकरणों के दृष्टिकोण से, वेक्टर कैलकुलस गणितीय रूप से अलग -अलग वस्तुओं की पहचान करता है, जो प्रस्तुति को सरल बनाता है लेकिन अंतर्निहित गणितीय संरचना और सामान्यीकरण कम स्पष्ट है। ज्यामितीय बीजगणित के दृष्टिकोण से, वेक्टर कैलकुलस वेक्टर फ़ील्ड या स्केलर फ़ंक्शंस के साथ K-Vector फ़ील्ड की पहचान करता है: 0-वैक्टर और 3-वैरेक्टर स्केलर, 1-वैक्टर और 2-वैक्टर के साथ वैक्टर के साथ।विभेदक रूपों के दृष्टिकोण से, वेक्टर कैलकुलस स्केलर फ़ील्ड या वेक्टर फ़ील्ड के साथ K-Forms की पहचान करता है: 0-Forms और 3-Forms Scalar फ़ील्ड, 1-Forms और 2-Forms के साथ वेक्टर फ़ील्ड के साथ।इस प्रकार उदाहरण के लिए कर्ल स्वाभाविक रूप से एक वेक्टर फ़ील्ड या 1-फॉर्म इनपुट के रूप में लेता है, लेकिन स्वाभाविक रूप से एक 2-वेक्टर फ़ील्ड या 2-फॉर्म (इसलिए Pseudovector फ़ील्ड) के रूप में आउटपुट होता है, जिसे तब सीधे लेने के बजाय एक वेक्टर फ़ील्ड के रूप में व्याख्या की जाती है।एक वेक्टर क्षेत्र के लिए एक वेक्टर क्षेत्र;यह उच्च आयामों में एक वेक्टर फ़ील्ड के कर्ल में परिलक्षित होता है, जिसमें वेक्टर फ़ील्ड आउटपुट नहीं होता है।

यह भी देखें

• वास्तविक मूल्यवान कार्य
• एक वास्तविक चर का कार्य
• कई वास्तविक चर का कार्य
• वेक्टर कैलकुलस पहचान
• वेक्टर बीजगणित संबंध
• बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल
• दिशात्मक व्युत्पन्न
• रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र
• सोलनॉइडल वेक्टर फ़ील्ड
• लाप्लासियन वेक्टर फील्ड
• हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन
• ऑर्थोगोनल निर्देशांक
• तिरछा निर्देशांक
• Curvilinear निर्देशांक
• टेंसर
• ज्यामितीय कैलकुलस

संदर्भ

स्रोत

• सैंड्रो कैपरिनी (2002) [https://link.springer.com/article/10.1007%2FS004070200001?li=true क्षणों और कोणीय वेग के वेक्टर प्रतिनिधित्व की खोज,।
• Crowe, Michael J. (1967). वेक्टर विश्लेषण का इतिहास: एक वेक्टर सिस्टम के विचार का विकास (reprint ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-67910-5.
• Marsden, J. E. (1976). वेक्टर कैलकुलस. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.
• Schey, H. M. (2005). डिव ग्रेड कर्ल और वह सब: वेक्टर कैलकुलस पर एक अनौपचारिक पाठ. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6.
• बैरी स्पेन (1965) वेक्टर विश्लेषण, 2 संस्करण, इंटरनेट संग्रह से लिंक।
• चेन-टू ताई (1995)।]तकनीकी रिपोर्ट आरएल 915, विकिरण प्रयोगशाला, मिशिगन विश्वविद्यालय।

बाहरी कड़ियाँ

• The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields
• "Vector analysis", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Vector algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen-To
• Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.

वेक्टर कैलकुलस श्रेणी: गणितीय भौतिकी]