अनंत समूह

गणित में, एक अनंत समूह एक सामयिक समूह है जो एक निश्चित अर्थ में परिमित समूहों की एक प्रणाली से इकट्ठा होता है।

एक अनंत समूह का उपयोग करने का विचार परिमित समूहों की एक संपूर्ण प्रणाली का एक समान, या सिनॉप्टिक दृश्य प्रदान करना है। अनंत समूह के गुण आमतौर पर सिस्टम के समान गुण बोलते हैं। उदाहरण के लिए, अनंत समूह निश्चित रूप से उत्पन्न होता है (एक स्थलीय समूह के रूप में) यदि और केवल मौजूद है $d\in \mathbb {N}$ जैसे कि सिस्टम में हर समूह द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है $d$ तत्व। परिमित समूहों के बारे में कई प्रमेयों को अनंत समूहों के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है; लैग्रेंज की प्रमेय (समूह सिद्धांत) | लैग्रेंज की प्रमेय और साइलो प्रमेय इसके उदाहरण हैं। एक अनंत समूह के निर्माण के लिए परिमित समूहों और उनके बीच समूह समरूपता की एक प्रणाली की आवश्यकता होती है। व्यापकता के नुकसान के बिना, इन समरूपताओं को विशेषण फलन माना जा सकता है, जिस स्थिति में परिमित समूह परिणामी अनंत समूह के भागफल समूह के रूप में दिखाई देंगे; एक मायने में, ये भागफल अनंत समूह का अनुमान लगाते हैं।

अनंत समूहों के महत्वपूर्ण उदाहरण पी-एडिक संख्या के एबेलियन समूह हैं। पी-एडिक पूर्णांक और अनंत-डिग्री फील्ड एक्सटेंशन के गैलोज़ समूह।

हर अनंत समूह कॉम्पैक्ट जगह और पूरी तरह पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया स्थान है। अवधारणा का एक गैर-कॉम्पैक्ट सामान्यीकरण स्थानीय रूप से सीमित समूहों का है। इससे भी अधिक सामान्य पूरी तरह से अलग समूह हैं।

परिभाषा

असीमित समूहों को दो समकक्ष तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है।

पहली परिभाषा (रचनात्मक)

एक अनंत समूह एक सामयिक समूह है जो असतत अंतरिक्ष परिमित समूहों की व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा तक समरूपता है। इस संदर्भ में, एक व्युत्क्रम प्रणाली में एक निर्देशित सेट होता है $(I,\leq )$, परिमित समूहों का एक संग्रह ${\mathcal {G}}=\{G_{i}:i\in I\}$, प्रत्येक में असतत टोपोलॉजी और समूह समरूपता का संग्रह है $\{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}$ ऐसा है कि $f_{i}^{i}$ पर पहचान है $G_{i}$ और संग्रह रचना गुण को संतुष्ट करता है $f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}$. उलटा सीमा सेट है:

$\varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j})=g_{i}{\text{ for all }}j\geq i\right\}$

सबस्पेस टोपोलॉजी उत्पाद टोपोलॉजी से लैस है।

एक सार्वभौमिक संपत्ति के संदर्भ में व्युत्क्रम सीमा को भी परिभाषित किया जा सकता है। श्रेणी सिद्धांत शर्तों में, यह फ़िल्टर किए गए श्रेणी के निर्माण का एक विशेष मामला है।

दूसरी परिभाषा (स्वयंसिद्ध)

एक अनंत समूह एक हॉसडॉर्फ स्पेस, कॉम्पैक्ट समूह और पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए सांस्थितिक समूह है: वह है, एक सामयिक समूह जो एक पत्थर की जगह भी है।

अनंत पूर्णता

एक मनमाना समूह दिया $G$, एक संबंधित अनंत समूह है ${\widehat {G}}$, की अनंत पूर्णता $G$.इसे समूहों की व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है $G/N$, कहां $N$ में सामान्य उपसमूहों के माध्यम से चलता है $G$ एक उपसमूह के परिमित सूचकांक (ये सामान्य उपसमूह समावेशन द्वारा आंशिक क्रम हैं, जो भागफलों के बीच प्राकृतिक समरूपता के व्युत्क्रम प्रणाली में अनुवादित होते हैं)।

एक प्राकृतिक समरूपता है $\eta :G\rightarrow {\widehat {G}}$, और की छवि $G$ इसके तहत समरूपता घनीभूत होती है ${\widehat {G}}$. समरूपता $\eta$ इंजेक्शन है अगर और केवल अगर समूह $G$ अवशिष्ट परिमित समूह है (अर्थात, $\bigcap {N}=1$, जहां चौराहा परिमित सूचकांक के सभी सामान्य उपसमूहों से होकर गुजरता है)।

समरूपता $\eta$ निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति की विशेषता है: किसी भी अनंत समूह को दिया गया $H$ और कोई भी निरंतर समूह समरूपता $f:G\rightarrow H$ कहां $G$ समूह संचालन के साथ संगत सबसे छोटी टोपोलॉजी दी गई है जिसमें इसके परिमित सूचकांक के सामान्य उपसमूह खुले हैं, एक अद्वितीय निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) समूह समरूपता मौजूद है $g:{\widehat {G}}\rightarrow H$ साथ $f=g\eta$.

समानता

पहली परिभाषा द्वारा निर्मित कोई भी समूह दूसरी परिभाषा में स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।

इसके विपरीत, इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले किसी भी समूह को व्युत्क्रम सीमा का उपयोग करके पहली परिभाषा के अनुसार व्युत्क्रम सीमा के रूप में निर्मित किया जा सकता है $\varprojlim G/N$ कहां $N$ के खुले सामान्य उपसमूहों के माध्यम से होता है $G$ (रिवर्स) समावेशन द्वारा आदेश दिया गया। दूसरे शब्दों में, $G$ इसकी अपनी अनंत पूर्णता है।

विशेषण प्रणाली

व्यवहार में, परिमित समूहों की व्युत्क्रम प्रणाली लगभग हमेशा आक्षेपात्मक होती है, अर्थात इसके सभी मानचित्र आच्छादी होते हैं। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम केवल विशेषण प्रणालियों पर विचार कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी व्युत्क्रम प्रणाली को देखते हुए, हम पहले इसके अनंत समूह का निर्माण कर सकते हैं $G$, फिर इसे अपनी अनंत पूर्णता के रूप में फिर से बनाएँ।

उदाहरण

• यदि असतत टोपोलॉजी दी जाए तो परिमित समूह अनंत हैं।
• p-adic संख्या का समूह|p-adic पूर्णांक $\mathbb {Z} _{p}$ योग के तहत अनंत है (वास्तव में #प्रोसाइक्लिक समूह)। यह परिमित समूहों की व्युत्क्रम सीमा है $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ जहाँ n सभी प्राकृतिक संख्याओं और प्राकृतिक मानचित्रों पर होता है $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ के लिए $n\geq m$. इस अनंत समूह पर टोपोलॉजी पी-एडिक वैल्यूएशन से उत्पन्न होने वाली टोपोलॉजी के समान है $\mathbb {Z} _{p}$.
• अनंत पूर्णांकों का समूह ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ की अनंत पूर्णता है $\mathbb {Z}$. विस्तार से, यह परिमित समूहों की व्युत्क्रम सीमा है $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ कहां $n=1,2,3,\dots$ मॉड्यूलो मैप्स के साथ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ के लिए $m\,|\,n$. यह समूह सभी समूहों का उत्पाद है $\mathbb {Z} _{p}$, और यह किसी परिमित क्षेत्र का निरपेक्ष गैलोज़ समूह है।
• अनंत डिग्री के क्षेत्र विस्तार का गाल्वा सिद्धांत स्वाभाविक रूप से गाल्वा समूहों को जन्म देता है जो अनंत हैं। विशेष रूप से, यदि एल/के एक गाल्वा विस्तार है, तो हम समूह जी = गैल (एल/के) पर विचार करते हैं जिसमें एल के सभी फील्ड ऑटोमोर्फिज्म शामिल हैं जो के के सभी तत्वों को स्थिर रखते हैं। यह समूह परिमित समूह गैल (एफ/के) की व्युत्क्रम सीमा है, जहां एफ सभी मध्यवर्ती क्षेत्रों पर होता है जैसे कि एफ/के एक परिमित गैलोज़ विस्तार है। सीमा प्रक्रिया के लिए, हम प्रतिबंध समरूपता गैल (एफ₁/ के) → गैल (एफ₂/ के), जहां एफ₂ ⊆ एफ₁. गल (एल/के) पर हम जो टोपोलॉजी प्राप्त करते हैं उसे वोल्फगैंग क्रुल के बाद क्रुल टोपोलॉजी के रूप में जाना जाता है। Waterhouse (1974) दिखाया गया है कि प्रत्येक अनंत समूह किसी क्षेत्र K के गैलोज़ सिद्धांत से उत्पन्न होने वाले एक के लिए आइसोमोर्फिक है, लेकिन कोई भी (अभी तक) नियंत्रित नहीं कर सकता है कि इस मामले में कौन सा क्षेत्र K होगा। वास्तव में, कई क्षेत्रों के लिए K सामान्य रूप से ठीक से नहीं जानता है कि कौन से परिमित समूह K के ऊपर Galois समूह के रूप में होते हैं। यह एक क्षेत्र K के लिए व्युत्क्रम Galois समस्या है। (कुछ क्षेत्रों K के लिए व्युत्क्रम Galois समस्या का समाधान हो गया है, जैसे कि जटिल संख्याओं पर एक चर में परिमेय फलनों का क्षेत्र।) प्रत्येक अनंत समूह किसी क्षेत्र के निरपेक्ष गैलोज़ समूह के रूप में नहीं होता है।
• एटेल मौलिक समूह | बीजगणितीय ज्यामिति में माना जाने वाला ईटेल मौलिक समूह भी अनंत समूह हैं, मोटे तौर पर बोलते हैं क्योंकि बीजगणित केवल बीजगणितीय विविधता के परिमित आवरणों को 'देख' सकता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी के मौलिक समूह, हालांकि, सामान्य रूप से अनंत नहीं हैं: किसी भी निर्धारित समूह के लिए, एक 2-आयामी सीडब्ल्यू परिसर है जिसका मौलिक समूह इसके बराबर है।
• स्थानीय रूप से परिमित जड़ वाले वृक्ष का ऑटोमोर्फिज्म समूह अनंत है।

गुण और तथ्य

• (मनमाने ढंग से कई) अनंत समूहों के समूहों का प्रत्येक प्रत्यक्ष उत्पाद अनंत है; अनंतता से उत्पन्न होने वाली टोपोलॉजी उत्पाद टोपोलॉजी से सहमत है। निरंतर संक्रमण मानचित्रों के साथ अनंत समूहों की व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा अनंत है और व्युत्क्रम सीमा फ़ैक्टर अनंत समूहों की श्रेणी पर सटीक फ़ैक्टर है। इसके अलावा, अनंत होना एक विस्तार गुण है।
• एक अनंत समूह का प्रत्येक संवृत समुच्चय उपसमूह अपने आप में अनंत होता है; अनंतता से उत्पन्न होने वाली टोपोलॉजी उप-स्थान (टोपोलॉजी) से सहमत है। यदि N अनंत समूह G का एक बंद सामान्य उपसमूह है, तो कारक समूह G/N अनंत है; अनंतता से उत्पन्न होने वाली टोपोलॉजी भागफल टोपोलॉजी से सहमत है।
• चूंकि प्रत्येक अनंत समूह G कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ है, हमारे पास G पर एक हार माप है, जो हमें G के सबसेट के आकार को मापने की अनुमति देता है, कुछ संभावनाओं की गणना करता है, और G पर अभिन्न कार्य करता है।
• एक असीमित समूह का एक उपसमूह खुला है अगर और केवल अगर यह बंद है और एक उपसमूह का परिमित सूचकांक है।
• निकोले निकोलोव (गणितज्ञ) और और सीगल के एक प्रमेय के अनुसार, किसी भी स्थैतिक रूप से परिमित रूप से उत्पन्न अनंत समूह (अर्थात, एक अनंत समूह जिसमें एक सघन समुच्चय परिमित रूप से उत्पन्न उपसमूह होता है) में परिमित सूचकांक के उपसमूह खुले होते हैं। यह जीन पियरे सेरे के पहले के समान परिणाम को सामान्य रूप से उत्पन्न प्रो-पी समूह | प्रो-पी समूहों के लिए सामान्यीकृत करता है। प्रमाण परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण का उपयोग करता है।
• उपरोक्त निकोलोव-सेगल परिणाम के एक आसान परिणाम के रूप में, किसी भी विशेषण असतत समूह समरूपता φ: G → H अनंत समूहों G और H के बीच तब तक निरंतर है जब तक G स्थलाकृतिक रूप से अंतिम रूप से उत्पन्न होता है। वास्तव में, H का कोई भी खुला उपसमूह परिमित सूचकांक का है, इसलिए G में इसकी पूर्वधारणा भी परिमित सूचकांक की है, और इसलिए इसे खुला होना चाहिए।
• मान लीजिए कि G और H स्थैतिक रूप से परिमित रूप से उत्पन्न अनंत समूह हैं जो एक आइसोमोर्फिज्म ι द्वारा असतत समूहों के रूप में आइसोमोर्फिक हैं। फिर उपरोक्त परिणाम से ι विशेषण और निरंतर है। इसके अलावा, वी⁻¹ भी निरंतर है, इसलिए ι एक होमियोमॉर्फिज्म है। इसलिए स्थलीय रूप से परिमित रूप से उत्पन्न अनंत समूह पर टोपोलॉजी इसकी बीजगणितीय संरचना द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है।

इंड-परिमित समूह

असीमित समूह की एक धारणा है, जो अनंत समूहों के लिए वैचारिक दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) है; यानी एक समूह 'जी' अनिश्चित-परिमित है यदि यह एक प्रत्यक्ष सीमा की प्रत्यक्ष सीमा है # परिमित समूहों की औपचारिक परिभाषा। (विशेष रूप से, यह एक उद्योग समूह है।) सामान्य शब्दावली अलग है: एक समूह जी को स्थानीय रूप से परिमित समूह कहा जाता है यदि समूह उपसमूह का प्रत्येक उत्पादक सेट परिमित है। वास्तव में, यह 'अपरिमित' होने के समतुल्य है।

पोंट्रीगिन द्वैत को लागू करने से, कोई यह देख सकता है कि एबेलियन समूह अनंत समूह स्थानीय रूप से परिमित असतत एबेलियन समूहों के साथ द्वैत में हैं। उत्तरार्द्ध केवल एबेलियन टोरसन समूह हैं।

प्रक्षेप्य अनंत समूह

एक असीमित समूह प्रोजेक्टिव है यदि उसके पास प्रत्येक एक्सटेंशन के लिए उठाने की संपत्ति है। यह कहने के बराबर है कि जी प्रक्षेप्य है यदि एक अनंत एच → जी से प्रत्येक विशेषण रूपवाद के लिए एक खंड (श्रेणी सिद्धांत) जी → एच है '। एक अनंत समूह जी के लिए प्रोजेक्टिविटी दो गुणों में से किसी एक के बराबर है:* cohomological आयाम cd(G) ≤ 1;

• प्रत्येक प्राइम पी के लिए जी के साइलो पी-उपसमूह मुक्त प्रो-पी-समूह हैं।

प्रत्येक प्रक्षेपी अनंत समूह को छद्म बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के एक पूर्ण गैलोज़ समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है। यह परिणाम अलेक्जेंडर लुबोत्ज़की और लुइस वैन डेन ड्रीस के कारण है।

प्रोसाइक्लिक समूह

एक अनंत समूह $G$ प्रोसाइक्लिक है अगर यह एक ही तत्व द्वारा स्थैतिक रूप से उत्पन्न होता है $\sigma$ अर्थात।, $G={\overline {\langle \sigma \rangle }}$, उपसमूह का बंद होना $\langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}$. एक सामयिक समूह $G$ प्रोसाइक्लिक है अगर और केवल अगर $G\cong \prod _{p}G_{p}$ कहां $p$ सभी अभाज्य संख्याओं पर पर्वतमाला और $G_{p}$ या तो आइसोमोर्फिक है $\mathbb {Z} _{p}$ या $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N}$.

यह भी देखें

• स्थानीय रूप से चक्रीय समूह
• प्रो-पी ग्रुप | प्रो-पी ग्रुप
• अनंत पूर्णांक
• अवशिष्ट संपत्ति (गणित)
• अवशिष्ट परिमित समूह
• हॉसडॉर्फ समापन

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संदर्भ

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