समूह समरूपता

जी (बाएं) से एच (दाएं) तक एक समूह समरूपता (एच) का चित्रण। एच के अंदर अंडाकार एच की छवि_ (गणित) है। N, h का कर्नेल_(बीजगणित) #Group_homomorphisms है और aN, N का एक सहसमुच्चय है।

गणित में, दिए गए दो समूह (गणित) , (जी, ∗) और (एच, ·), (जी, ∗) से (एच, ·) तक एक 'समूह समाकारिता' एक फलन (गणित) है: जी → एच ऐसा है कि जी में सभी यू और वी के लिए यह धारण करता है

$h(u*v)=h(u)\cdot h(v)$

जहां समीकरण के बाईं ओर समूह संचालन G का है और दाईं ओर H का है।

इस गुण से कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि h पहचान तत्व e को मैप करता है_Gजी के पहचान तत्व ई के लिए_Hएच का,

$h(e_{G})=e_{H}$

और यह इस अर्थ में व्युत्क्रमों को व्युत्क्रमों में भी मैप करता है

$h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,$

इसलिए कोई कह सकता है कि h समूह संरचना के अनुकूल है।

समाकारिता h(x) के लिए पुराने अंकन x हो सकते हैं^एच या एक्स_h, हालांकि यह एक इंडेक्स या एक सामान्य सबस्क्रिप्ट के रूप में भ्रमित हो सकता है। ऑटोमेटा सिद्धांत में, कभी-कभी होमोमोर्फिज्म को उनके तर्कों के दाईं ओर कोष्ठक के बिना लिखा जाता है, ताकि h(x) सरल हो जाए $xh$. गणित के क्षेत्रों में जहां एक समूह को अतिरिक्त संरचना के साथ संपन्न माना जाता है, एक समरूपता का मतलब कभी-कभी एक नक्शा होता है जो न केवल समूह संरचना (ऊपर के रूप में) बल्कि अतिरिक्त संरचना का भी सम्मान करता है। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल समूह ों के एक समरूपता को अक्सर निरंतर होना आवश्यक होता है।

अंतर्ज्ञान

एक समूह समरूपता को परिभाषित करने का उद्देश्य उन कार्यों का निर्माण करना है जो बीजगणितीय संरचना को संरक्षित करते हैं। समूह समाकारिता की एक समतुल्य परिभाषा है: फलन h : G → H एक समूह समाकारिता है यदि जब भी

a * b = c   हमारे पास   h(a) ⋅ h(b) = h(c) है।

दूसरे शब्दों में, समूह एच कुछ अर्थों में जी के समान बीजगणितीय संरचना है और होमोमोर्फिज्म एच इसे संरक्षित करता है।

प्रकार

एकरूपता: एक समूह समाकारिता जो अंतःक्षेपी फलन (या, एक-से-एक) है; यानी, विशिष्टता को बरकरार रखता है। एपिमोर्फिज्म : एक समूह समरूपता जो विशेषण कार्य (या, पर) है; यानी, कोडोमेन में हर बिंदु तक पहुंचता है।

समूह समरूपतावाद

एक समूह समरूपतावाद जो कि आक्षेप है; यानी, द्विभाजन और विशेषण। इसका व्युत्क्रम भी एक समूह समरूपता है। इस मामले में, समूह जी और एच को आइसोमोर्फिक कहा जाता है; वे केवल अपने तत्वों के अंकन में भिन्न होते हैं और सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए समान होते हैं।

एंडोमोर्फिज्म : ए ग्रुप होमोमोर्फिज्म, एच: जी → जी; डोमेन और कोडोमेन समान हैं। जी का एंडोमोर्फिज्म भी कहा जाता है। automorphism : एक समूह एंडोमोर्फिज्म जो विशेषण है, और इसलिए एक आइसोमोर्फिज्म है। एक समूह जी के सभी ऑटोमोर्फिज्म का सेट, ऑपरेशन के रूप में कार्यात्मक संरचना के साथ, एक समूह बनाता है, जी का ऑटोमोर्फिज्म समूह। इसे ऑट (जी) द्वारा निरूपित किया जाता है। एक उदाहरण के रूप में, ('Z', +) के ऑटोमोर्फिज्म समूह में केवल दो तत्व होते हैं, पहचान परिवर्तन और -1 के साथ गुणन; यह ('जेड'/2'जेड', +) के लिए आइसोमॉर्फिक है।

छवि और गिरी

Main articles: Image (mathematics) and kernel (algebra)

हम एच के कर्नेल (बीजगणित) को जी में तत्वों के सेट के रूप में परिभाषित करते हैं जो एच में पहचान के लिए मैप किए जाते हैं

$\operatorname {ker} (h):=\left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.$

और एच की छवि (गणित) ।

$\operatorname {im} (h):=h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.$

एक समरूपता की गिरी और छवि की व्याख्या यह मापने के रूप में की जा सकती है कि यह एक समरूपता होने के कितने करीब है। समरूपता प्रमेय कहता है कि एक समूह समरूपता की छवि, h(G) भागफल समूह G/ker h के लिए समरूपी है।

h का कर्नेल G का एक [[ सामान्य उपसमूह ]] है और h की छवि H का एक उपसमूह है:

${\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.\end{aligned}}$

अगर और केवल अगर ker(h) = {e_G}, समरूपता, h, एक #monomorphism है; यानी, एच इंजेक्शन (एक-से-एक) है। इंजेक्शन सीधे देता है कि कर्नेल में एक अनूठा तत्व है, और, इसके विपरीत, कर्नेल में एक अनूठा तत्व इंजेक्शन देता है:

${\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}$

उदाहरण

• चक्रीय समूह Z पर विचार करें₃ = (Z/3Z, +) = ({0, 1, 2}, +) और पूर्णांकों का समूह (Z, +)। मैप h : Z → Z/3Z with h(u) = u मॉड्यूलर अंकगणित 3 एक समूह समरूपता है। यह आच्छादक है और इसके कर्नेल में सभी पूर्णांक होते हैं जो 3 से विभाज्य होते हैं।

• Consider the group

  $G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}$

  For any complex number u the function f_u : G → C^* defined by:

  ${\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}$

  is a group homomorphism.
• Consider multiplicative group of positive real numbers (R⁺, ⋅) for any complex number u the function f_u : R⁺ → C defined by:

  $f_{u}(a)=a^{u}$

  is a group homomorphism.

• घातांक प्रकार्य गैर-शून्य वास्तविक संख्या ओं के समूह R* को गुणन के साथ जोड़ने के साथ वास्तविक संख्या R के समूह से एक समूह समरूपता उत्पन्न करता है। कर्नेल {0} है और छवि में धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
• एक्सपोनेंशियल मैप गैर-शून्य जटिल संख्या ओं C* के गुणन के साथ जटिल संख्या C के समूह से एक समूह समरूपता उत्पन्न करता है। यह नक्शा विशेषण है और इसमें कर्नेल {2πki : k ∈ Z} है, जैसा कि यूलर के सूत्र से देखा जा सकता है। R और C जैसे क्षेत्र जिनमें उनके योज्य समूह से उनके गुणक समूह में समरूपता होती है, इस प्रकार घातीय क्षेत्र कहलाते हैं।

समूहों की श्रेणी

यदि h : G → H और k : H → K समूह समरूपता हैं, तो ऐसा है k ∘ h : G → K. इससे पता चलता है कि आकारिकी के रूप में समूह समरूपता के साथ मिलकर सभी समूहों का वर्ग एक श्रेणी सिद्धांत बनाता है।

एबेलियन समूह ों के होमोमोर्फिज्म

यदि जी और एच एबेलियन समूह (यानी, कम्यूटेटिव) समूह हैं, तो सेट Hom(G, H) जी से एच तक सभी समूह समरूपताएं स्वयं एक आबेली समूह है: योग h + k दो समरूपताओं के द्वारा परिभाषित किया गया है

(h + k)(u) = h(u) + k(u)    for all u in G.

इसे सिद्ध करने के लिए H की क्रमविनिमेयता आवश्यक है h + k फिर से एक समूह समरूपता है।

होमोमोर्फिज्म का जोड़ निम्नलिखित अर्थों में होमोमोर्फिज्म की संरचना के अनुकूल है: यदि f अंदर है Hom(K, G), h, k के अवयव हैं Hom(G, H), और जी अंदर है Hom(H, L), तब

(h + k) ∘ f = (h ∘ f) + (k ∘ f) और g ∘ (h + k) = (g ∘ h) + (g ∘ k).

चूंकि रचना साहचर्य है, यह दर्शाता है कि एक एबेलियन समूह के सभी एंडोमोर्फिज्म का सेट एंड (जी) एक रिंग (बीजगणित) बनाता है, जी का एंडोमोर्फिज्म रिंग । उदाहरण के लिए, एबेलियन समूह का एंडोमोर्फिज्म रिंग जिसमें प्रत्यक्ष योग होता है 'Z'/n'Z' की m प्रतियों के समूह 'Z'/n'Z' में प्रविष्टियों के साथ m-by-m मैट्रिक्स (गणित) की अंगूठी के लिए आइसोमोर्फिक है। उपरोक्त अनुकूलता यह भी दर्शाती है कि समूह समरूपता वाले सभी एबेलियन समूहों की श्रेणी एक पूर्ववर्ती श्रेणी बनाती है; प्रत्यक्ष योग और अच्छी तरह से व्यवहार किए गए गुठली का अस्तित्व इस श्रेणी को एक एबेलियन श्रेणी का प्रोटोटाइपिक उदाहरण बनाता है।

यह भी देखें

• समरूपता पर मौलिक प्रमेय
• रिंग समरूपता
• कासिमोर्फिज़्म

संदर्भ

• Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. pp. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

बाहरी कड़ियाँ

• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. "Group Homomorphism". MathWorld.श्रेणी: रूपवाद