समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, प्रत्यक्ष उत्पाद एक संक्रिया है जो दो समूह (गणित) लेता है। G और H और एक नए समूह का निर्माण करता है, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है G × H. यह ऑपरेशन सेट (गणित) के कार्टेशियन उत्पाद का समूह-सैद्धांतिक एनालॉग है और गणित में प्रत्यक्ष उत्पाद की कई महत्वपूर्ण धारणाओं में से एक है।

एबेलियन समूह ों के संदर्भ में, प्रत्यक्ष उत्पाद को कभी-कभी प्रत्यक्ष योग के रूप में संदर्भित किया जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $G\oplus H$. एबेलियन समूहों के वर्गीकरण में प्रत्यक्ष योग महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: परिमित एबेलियन समूहों के मौलिक प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक परिमित एबेलियन समूह को चक्रीय समूह ों के प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

परिभाषा

दिए गए समूह G (ऑपरेशन के साथ *) और H (ऑपरेशन के साथ ∆), प्रत्यक्ष उत्पाद G × H निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

1. The underlying set is the Cartesian product, G × H. That is, the ordered pairs (g, h), where g ∈ G and h ∈ H.
2. The binary operation on G × H is defined component-wise:

   (g₁, h₁) · (g₂, h₂) = (g₁ * g₂, h₁ ∆ h₂)

परिणामी बीजगणितीय वस्तु एक समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है। विशेष रूप से: साहचर्य: बाइनरी ऑपरेशन ऑन G × H साहचर्य है। पहचान: प्रत्यक्ष उत्पाद में एक पहचान तत्व होता है, अर्थात् (1_G, 1_H), कहां 1_G का पहचान तत्व है G और 1_H का पहचान तत्व हैH. व्युत्क्रम: किसी तत्व का प्रतिलोम तत्व (g, h) का G × H जोड़ी है (g⁻¹, h⁻¹), कहां g⁻¹ का विलोम है g में G, और h⁻¹ का विलोम है h मेंH.

उदाहरण

• होने देना R योग के अंतर्गत वास्तविक संख्या ओं का समूह हो। फिर प्रत्यक्ष उत्पाद R × R सभी दो-घटक यूक्लिडियन वेक्टर का समूह है (x, y) यूक्लिडियन वेक्टर # जोड़ और घटाव के संचालन के तहत:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂)  =  (x₁ + x₂, y₁ + y₂).

• होने देना R⁺ गुणा के तहत सकारात्मक वास्तविक संख्या ओं का समूह बनें। फिर प्रत्यक्ष उत्पाद R⁺ × R⁺ घटक-वार गुणन के संचालन के तहत प्रथम चतुर्थांश में सभी सदिशों का समूह है

(x₁, y₁) × (x₂, y₂)  =  (x₁ × x₂,  y₁ × y₂).

• होने देना G और H दो तत्वों के साथ चक्रीय समूह बनें:

<ली स्टाइल = डिस्प्ले: इनलाइन-टेबल; >

$G$

*	1	a
1	1	a
a	a	1

</ली> <ली स्टाइल = डिस्प्ले: इनलाइन-टेबल; मार्जिन-लेफ्ट: 20 पीएक्स; >

$H$

*	1	b
1	1	b
b	b	1

</ली>

फिर प्रत्यक्ष उत्पाद G × H क्लेन चार-समूह के लिए समूह समरूपता है:

$G\times H$

*	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a,b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a,b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a,b)	(1,b)
(1,b)	(1,b)	(a,b)	(1,1)	(a,1)
(a,b)	(a,b)	(1,b)	(a,1)	(1,1)

प्राथमिक गुण

• The direct product is commutative and associative up to isomorphism. That is, G × H ≅ H × G and (G × H) × K ≅ G × (H × K) for any groups G, H, and K.
• The trivial group is the identity element of the direct product, up to isomorphism. If E denotes the trivial group, G ≅ G × E ≅ E × G for any groups G.
• The order of a direct product G × H is the product of the orders of G and H:

  |G × H| = |जी| |एच|.

  यह सेट के कार्टेशियन उत्पाद की प्रमुखता के सूत्र से अनुसरण करता है।
• प्रत्येक तत्व का क्रम (g, h) के आदेशों का लघुत्तम समापवर्त्य है g और h:

  |(जी, एच)| = एलसीएम(|जी|, |एच|).

  विशेष रूप से, अगर | g | और | h | अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, फिर का क्रम (g, h) के आदेश का उत्पाद है g और h .
• फलस्वरूप यदि G और H चक्रीय समूह हैं जिनके आदेश अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तब G × H चक्रीय भी है। यानी अगर m और n अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, फिर

  (Z / mZ) × (Z / nZ) ≅ Z / mnZ.

  यह तथ्य चीनी शेष प्रमेय से निकटता से संबंधित है।

बीजगणितीय संरचना

होने देना G और H समूह बनो, चलो P = G × H, और के निम्नलिखित दो उपसमूहों पर विचार करेंP:

G′ = { (g, 1) : g ∈ G } और H′ = { (1, h) : h ∈ H }.

ये दोनों वास्तव में के उपसमूह हैं P, पहला आइसोमोर्फिक है G, और दूसरा आइसोमोर्फिक है H. अगर हम इनकी पहचान करते हैं G और Hक्रमशः, तो हम प्रत्यक्ष उत्पाद के बारे में सोच सकते हैं P मूल समूहों के रूप में G और H उपसमूहों के रूप में।

इन उपसमूहों P निम्नलिखित तीन महत्वपूर्ण गुण हैं: (फिर से कह रहे हैं कि हम पहचानते हैं G′ और H′ साथ G और H, क्रमश।)

1. चौराहा (सेट सिद्धांत) G ∩ H तुच्छ समूह है।
2. का हर तत्व P के एक तत्व के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है G और का एक तत्वH.
3. का हर तत्व G के प्रत्येक तत्व के साथ क्रमविनिमेयता H.

साथ में, ये तीन गुण प्रत्यक्ष उत्पाद की बीजगणितीय संरचना को पूरी तरह से निर्धारित करते हैं P. यानी अगर P क्या कोई समूह उपसमूहों वाला है G और H जो उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करता है P के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आवश्यक रूप से आइसोमोर्फिक है G और H. इस दशा में, P कभी-कभी इसके उपसमूहों के आंतरिक प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में संदर्भित किया जाता है G और H.

कुछ संदर्भों में, उपरोक्त तीसरी संपत्ति को निम्नलिखित द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

3'। दोनों G और H में सामान्य उपसमूह हैं P.

यह संपत्ति संपत्ति 3 के बराबर है, क्योंकि दो सामान्य उपसमूहों के तत्वों को छोटे चौराहे के साथ आवश्यक रूप से कम्यूटेटर पर विचार करके एक तथ्य को कम किया जा सकता है। [g,h] किसी के भी g में G, h में H.

उदाहरण

• Let V be the Klein four-group:

  V

  ∙	1	a	b	c
  1	1	a	b	c
  a	a	1	c	b
  b	b	c	1	a
  c	c	b	a	1

  Then V is the internal direct product of the two-element subgroups {1, a} and {1, b}.
• Let $\langle a\rangle$ be a cyclic group of order mn, where m and n are relatively prime. Then $\langle a^{n}\rangle$ and $\langle a^{m}\rangle$ are cyclic subgroups of orders m and n, respectively, and $\langle a\rangle$ is the internal direct product of these subgroups.
• Let C^× be the group of nonzero complex numbers under multiplication. Then C^× is the internal direct product of the circle group T of unit complex numbers and the group R⁺ of positive real numbers under multiplication.
• If n is odd, then the general linear group GL(n, R) is the internal direct product of the special linear group SL(n, R) and the subgroup consisting of all scalar matrices.
• Similarly, when n is odd the orthogonal group O(n, R) is the internal direct product of the special orthogonal group SO(n, R) and the two-element subgroup {−I, I}, where I denotes the identity matrix.
• The symmetry group of a cube is the internal direct product of the subgroup of rotations and the two-element group {−I, I}, where I is the identity element and −I is the point reflection through the center of the cube. A similar fact holds true for the symmetry group of an icosahedron.
• Let n be odd, and let D_4n be the dihedral group of order 4n:

  $D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$

  Then D_4n is the internal direct product of the subgroup $\langle r^{2},s\rangle$ (which is isomorphic to D_2n) and the two-element subgroup {1, rⁿ}.

प्रस्तुतियाँ

की बीजगणितीय संरचना G × H की प्रस्तुतियों के संदर्भ में प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए एक समूह की प्रस्तुति देने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है G और H. विशेष रूप से, मान लीजिए

$G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \$ और $\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,$

कहां $S_{G}$ और $S_{H}$ हैं (असंबद्ध) एक समूह का सेट बनाना और $R_{G}$ और $R_{H}$ संबंधों को परिभाषित कर रहे हैं। फिर

$G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle$

कहां $R_{P}$ संबंधों का एक सेट है जो निर्दिष्ट करता है कि प्रत्येक तत्व $S_{G}$ के प्रत्येक तत्व के साथ आवागमन करता है $S_{H}$.

उदाहरण के लिए अगर

$G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \$ और $\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle$

तब

$G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .$

सामान्य संरचना

जैसा ऊपर बताया गया है, उपसमूह G और H में सामान्य हैं G × H. विशेष रूप से, कार्यों को परिभाषित करें π_G: G × H → G और π_H: G × H → H द्वारा

π_G(g, h) = g और π_H(g, h) = h.

फिर π_G और π_H समूह समरूपता वाद हैं, जिन्हें प्रोजेक्शन (गणित) समरूपता के रूप में जाना जाता है, जिनकी गुठली हैं H और G, क्रमश।

यह इस प्रकार है कि G × H का समूह विस्तार है G द्वारा H (या ठीक इसके विपरीत)। मामले में जहां G × H एक परिमित समूह है, यह इस प्रकार है कि के रचना कारक G × H के संघटन कारकों का ठीक संघ (सेट सिद्धांत) हैं G और के रचना कारक H.

और गुण

सार्वभौमिक संपत्ति

Main article: Product (category theory)

प्रत्यक्ष उत्पाद G × H निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति की विशेषता हो सकती है। होने देना π_G: G × H → G और π_H: G × H → H प्रक्षेपण समरूपता हो। फिर किसी भी समूह के लिए P और कोई समरूपता ƒ_G: P → G और ƒ_H: P → H, एक अद्वितीय समरूपता मौजूद है ƒ: P → G × H निम्नलिखित आरेख कम्यूटेटिव आरेख बनाना:

विशेष रूप से, समरूपता ƒ सूत्र द्वारा दिया गया है

ƒ(p)  =  ( ƒ_G(p), ƒ_H(p) ).

श्रेणी सिद्धांत में उत्पादों के लिए सार्वभौमिक संपत्ति का यह एक विशेष मामला है।

उपसमूह

यदि A का एक उपसमूह है G और B का एक उपसमूह है H, फिर प्रत्यक्ष उत्पाद A × B का एक उपसमूह है G × H. उदाहरण के लिए, की आइसोमॉर्फिक प्रति G में G × H उत्पाद है G × {1} , कहां {1} का तुच्छ समूह उपसमूह है H.

यदि A और B सामान्य हैं, तो A × B का सामान्य उपसमूह है G × H. इसके अलावा, प्रत्यक्ष उत्पादों का भागफल समूह भागफलों के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए समरूप है:

(G × H) / (A × B) ≅ (G / A) × (H / B).

ध्यान दें कि यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है कि प्रत्येक उपसमूह G × H के एक उपसमूह का उत्पाद है G उपसमूह के साथ H. उदाहरण के लिए, अगर G कोई गैर-तुच्छ समूह है, फिर उत्पाद G × G एक विकर्ण उपसमूह है

Δ = { (g, g) : g ∈ G }

के दो उपसमूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद नहीं है G.

प्रत्यक्ष उत्पादों के उपसमूह गौरसैट की लेम्मा द्वारा वर्णित हैं। अन्य उपसमूहों में #Fiber के उत्पाद शामिल हैं G और H.

संयुग्मन और केंद्रीकरण

दो तत्व (g₁, h₁) और (g₂, h₂) संयुग्मता वर्ग में हैं G × H अगर और केवल अगर g₁ और g₂ में संयुग्मित हैं G और h₁ और h₂ में संयुग्मित हैं H. यह इस प्रकार है कि प्रत्येक संयुग्मन वर्ग में G × H में संयुग्मी वर्ग का कार्तीय गुणनफल है G और एक conjugacy वर्ग में H.

इसी क्रम में यदि (g, h) ∈ G × H, का केंद्रक (g, h) के केंद्रीकरण का उत्पाद है g और h:

C_G×H(g, h)  =  C_G(g) × C_H(h).

इसी प्रकार, केंद्र (समूह सिद्धांत) का G × H के केन्द्रों की उपज है G और H:

Z(G × H)  =  Z(G) × Z(H).

नॉर्मलाइज़र अधिक जटिल तरीके से व्यवहार करते हैं क्योंकि प्रत्यक्ष उत्पादों के सभी उपसमूह स्वयं प्रत्यक्ष उत्पादों के रूप में विघटित नहीं होते हैं।

ऑटोमोर्फिज्म और एंडोमोर्फिज्म

यदि α का एक समूह ऑटोमोर्फिज्म है G और β का ऑटोमोर्फिज्म है H, फिर उत्पाद समारोह α × β: G × H → G × H द्वारा परिभाषित

(α × β)(g, h) = (α(g), β(h))

का ऑटोमोर्फिज्म है G × H. यह इस प्रकार है कि Aut(G × H) एक उपसमूह आइसोमॉर्फिक है प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए Aut(G) × Aut(H).

यह सामान्य तौर पर सच नहीं है कि प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म G × H उपरोक्त रूप है। (वह है, Aut(G) × Aut(H) का एक उचित उपसमूह है Aut(G × H)।) उदाहरण के लिए, यदि G कोई समूह है, तो एक ऑटोमोर्फिज्म मौजूद है σ का G × G जो दो कारकों को स्विच करता है, अर्थात

σ(g₁, g₂) = (g₂, g₁).

एक अन्य उदाहरण के लिए, का ऑटोमोर्फिज़्म समूह Z × Z है GL(2, Z), सभी का समूह 2 × 2 मैट्रिक्स (गणित) पूर्णांक प्रविष्टियों और निर्धारक के साथ, ±1. यह ऑटोमोर्फिज्म समूह अनंत है, लेकिन केवल बहुत से ऑटोमोर्फिज्म में ऊपर दिए गए रूप हैं।

सामान्य तौर पर, प्रत्येक एंडोमोर्फिज्म G × H रूप में लिखा जा सकता है 2 × 2 आव्यूह

${\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}$

कहां α का एंडोमोर्फिज्म है G, δ का एंडोमोर्फिज्म है H, और β: H → G और γ: G → H समरूपता हैं। इस तरह के एक मैट्रिक्स में वह गुण होना चाहिए जो छवि (गणित) में प्रत्येक तत्व का है α की छवि में हर तत्व के साथ संचार करता है β, और छवि में प्रत्येक तत्व γ की छवि में हर तत्व के साथ संचार करता है δ.

जब G और H अविघटनीय, केंद्रविहीन समूह होते हैं, तो ऑटोमॉर्फिज्म समूह अपेक्षाकृत सीधा होता है, Aut(G) × Aut(H) यदि G और H आइसोमोर्फिक नहीं हैं, और Aut(G) wr 2 यदि G ≅ H, wr दर्शाता है पुष्पांजलि उत्पाद । यह क्रुल-श्मिट प्रमेय का हिस्सा है, और आम तौर पर परिमित प्रत्यक्ष उत्पादों के लिए अधिक है।

सामान्यीकरण

परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद

एक साथ दो से अधिक समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद लेना संभव है। एक परिमित अनुक्रम दिया G₁, ..., G_n समूहों का, प्रत्यक्ष उत्पाद

$\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}$

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

• The elements of G₁ × ⋯ × G_n are tuples (g₁, ..., g_n), where g_i ∈ G_i for each i.
• The operation on G₁ × ⋯ × G_n is defined component-wise:

  (g₁, ..., g_n)(g₁′, ..., g_n′) = (g₁g₁′, ..., g_ng_n′).

इसमें दो समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के समान कई गुण हैं, और इसी तरह से बीजगणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।

अनंत प्रत्यक्ष उत्पाद

असीमित संख्या में समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद लेना भी संभव है। अनंत क्रम के लिए G₁, G₂, ... समूहों के, इसे ऊपर के परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद की तरह ही परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें अनंत प्रत्यक्ष उत्पाद के तत्व अनंत ट्यूपल्स हैं।

अधिक आम तौर पर, एक अनुक्रमित परिवार {G_i }_i∈I समूहों का, प्रत्यक्ष उत्पाद Π_i∈I G_i निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

• The elements of Π_i∈I G_i are the elements of the infinite Cartesian product of the sets G_i; i.e., functions ƒ: I → ⋃_i∈I G_i with the property that ƒ(i) ∈ G_i for each i.
• The product of two elements ƒ, g is defined componentwise:

  (ƒ • g)(i) = ƒ(i) • g(i).

एक परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद के विपरीत, अनंत प्रत्यक्ष उत्पाद Π_i∈I G_i आइसोमॉर्फिक उपसमूहों के तत्वों द्वारा उत्पन्न नहीं होता है {G_i }_i∈I. इसके बजाय, ये उपसमूह प्रत्यक्ष उत्पाद का एक उपसमूह उत्पन्न करते हैं जिसे अनंत प्रत्यक्ष योग के रूप में जाना जाता है, जिसमें सभी तत्व होते हैं जिनमें केवल बहुत से गैर-पहचान वाले घटक होते हैं।

अन्य उत्पाद

सेमीडायरेक्ट उत्पाद

Main article: Semidirect product

स्मरण करो कि एक समूह P उपसमूहों के साथ G और H के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है G और H जब तक यह निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता है:

1. चौराहा (सेट सिद्धांत) G ∩ H तुच्छ समूह है।
2. का हर तत्व P के एक तत्व के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है G और का एक तत्वH.
3. दोनों G और H में सामान्य उपसमूह हैं P.

का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद G और H तीसरी स्थिति को शिथिल करके प्राप्त किया जाता है, ताकि दो उपसमूहों में से केवल एक ही हो G, H सामान्य होना आवश्यक है। परिणामी उत्पाद में अभी भी ऑर्डर किए गए जोड़े शामिल हैं (g, h), लेकिन गुणा के लिए थोड़ा अधिक जटिल नियम के साथ।

तीसरी स्थिति को पूरी तरह से शिथिल करना भी संभव है, जिसके लिए दो उपसमूहों में से किसी के भी सामान्य होने की आवश्यकता नहीं है। इस मामले में, समूह P के ज़प्पा-स्ज़ेप उत्पाद के रूप में जाना जाता है G और H.

मुफ्त उत्पाद

Main article: Free product

का मुफ्त उत्पाद G और H, आमतौर पर निरूपित G ∗ H, उपसमूहों को छोड़कर, प्रत्यक्ष उत्पाद के समान है G और H का G ∗ H आवागमन करने की आवश्यकता नहीं है। यानी अगर

G = 〈 S_G <बड़ा>|</बड़ा> R_G 〉 और H = 〈 S_H <बड़ा>|</बड़ा> R_H 〉,

के लिए प्रस्तुतियाँ हैं G और H, तब

G ∗ H = 〈 S_G ∪ S_H <बड़ा>|</बड़ा> R_G ∪ R_H 〉.

प्रत्यक्ष उत्पाद के विपरीत, मुक्त उत्पाद के तत्वों को आदेशित जोड़े द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। वास्तव में, किसी भी दो गैर-तुच्छ समूहों का मुफ्त उत्पाद अनंत है। मुक्त उत्पाद वास्तव में समूहों की श्रेणी में प्रतिउत्पाद है।

उपनिर्देश उत्पाद

Main article: Subdirect product

यदि G और H समूह हैं, का एक उपप्रत्यक्ष उत्पाद G और H का कोई उपसमूह है G × H जो विशेषण कार्य को मैप करता है G और H प्रक्षेपण समरूपता के तहत। गौरसैट की लेम्मा के अनुसार, प्रत्येक उपप्रत्यक्ष उत्पाद एक फाइबर उत्पाद है।

फाइबर उत्पाद

Main article: Pullback (category theory)

होने देना G, H, और Q समूह बनो, और रहने दो φ: G → Q और χ: H → Q समरूपता हो। का फाइबर उत्पाद G और H ऊपर Q, जिसे पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में भी जाना जाता है, निम्न का उपसमूह है G × H:

G ×_Q H = <बड़ा> {</बड़ा> (g, h) ∈ G × H : φ(g) = χ(h) <बड़ा></बड़ा>।

यदि φ: G → Q और χ: H → Q अधिरूपता हैं, तो यह एक उप-प्रत्यक्ष उत्पाद है।

संदर्भ

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• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (2nd ed.), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
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