समूह विस्तार

गणित में, समूह विस्तार एक विशेष सामान्य उपसमूह और भागफल समूह के संदर्भ में समूह (गणित) का वर्णन करने का सामान्य साधन है। यदि $Q$ और $N$ दो समूह हैं तो $G$ , $Q$ द्वारा $N$ का समूह विस्तार है यदि एक संक्षिप्त $1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1$ अनुक्रम है।

यदि $G$ , $N$ द्वारा $Q$ का विस्तार है, तो $G$ एक समूह है $\iota (N)$ , $G$ का एक सामान्य उपसमूह है और भागफल समूह $G/\iota (N)$ समूह $Q$ के लिए समरूप है। विस्तार समस्या के संदर्भ में समूह विस्तार उत्पन्न होते हैं जहां समूह $Q$ और $N$ ज्ञात हैं और $G$ के गुण निर्धारित किए जाने हैं। ध्यान दें कि सूत्र के रूप में " $G$ द्वारा $N$ का विस्तार है कुछ समूह के द्वारा $Q$ " का भी प्रयोग किया जाता है।^[1] चूँकि किसी भी परिमित समूह $G$ में साधारण फलन समूह $G/N$ के साथ एक अधिकतम सामान्य उपसमूह $N$ होता है, सभी परिमित समूहों को परिमित सरल समूहों के साथ विस्तार की एक श्रृंखला के रूप में बनाया जा सकता है। एक समूह विस्तार को केंद्रीय विस्तार कहा जाता है यदि उपसमूह $N$ , $G$ के केंद्र में स्थित है।

सामान्य रूप में विस्तार

यदि किसी को विनिमेय समूह होने के लिए $G$ और $Q$ की आवश्यकता होती है, तो दिए गए विनिमेय समूह $N$ द्वारा $Q$ के विस्तार के समरूपी वर्गों का समुच्चय वास्तव में एक समूह है जो $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)$ के समरूप है।

विस्तार प्रकार्यक समूह विस्तार के कई अन्य सामान्य वर्ग ज्ञात हैं लेकिन कोई सिद्धांत सम्मिलित नहीं है जो एक समय में सभी संभावित विस्तार को हल करता हो। समूह विस्तार को सामान्यतः एक कठिन समस्या के रूप में वर्णित किया जाता है इसे विस्तार समस्या कहा जाता है। कुछ उदाहरणों पर विचार करने के लिए, यदि $G=K\times H$ , तब $G$ दोनों का विस्तार है $H$ और $K$ अधिक सामान्यतः यदि $G$ , $K$ और $H$ का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है जिसे $G=K\rtimes H$ के रूप में लिखा जाता है, तो $G$ , $H$ का विस्तार है इसलिए समूह विस्तार, उत्पाद विस्तार के अन्य उदाहरण प्रदान करते हैं।

विस्तार समस्या

समूह $G$ किस समूह का विस्तार है इसका प्रश्न $H$ द्वारा $N$ को विस्तार समस्या कहा जाता है और उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से इसका गहन अध्ययन किया गया है।

इसकी प्रेरणा के रूप में, विचार करें कि परिमित समूह की संरचना श्रृंखला उपसमूह $\{A_{i}\}$ का एक परिमित अनुक्रम है जहां प्रत्येक $\{A_{i+1}\}$ का विस्तार $\{A_{i}\}$ है कुछ साधारण समूह द्वारा परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण हमें परिमित सरल समूहों की श्रृंखला प्रदान करता है इसलिए विस्तार की समस्या का हल हमें सामान्य रूप से सभी परिमित समूहों के निर्माण और वर्गीकरण के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान कर सकता है।

विस्तार का वर्गीकरण

गणितीय वस्तुओं के संदर्भ में ऐसे सभी विस्तारों को व्यक्त करके K या H के सभी विस्तारों को वर्गीकृत करने के लिए विस्तार समस्या को हल करने, समझने और गणना करने में आसान है। सामान्यतः यह समस्या बहुत कठिन है और सबसे उपयोगी परिणाम विस्तार को वर्गीकृत करते हैं जो कुछ अतिरिक्त शर्तों को पूरा करते हैं। यह जानना महत्वपूर्ण है कि दो विस्तार कब समतुल्य या समनुरूप होते हैं।

माना कि विस्तार

आकृति 1

1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1

और

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

समतुल्य या समनुरूप हैं यदि एक समरूप समूह $T:G\to G'$ उपस्थित है जो चित्र 1 के आरेख को क्रमविनिमेय बनाता है। वास्तव में आरेख की कल्पित क्रमविनिमेयता के कारण एक समूह समरूपी होना पर्याप्त है, मानचित्र $T$ को लघु पाँच लेम्मा सिद्धांत द्वारा एक समरूपता होने के लिए प्रणोदित (गणित) किया जाता है।

चेतावनी

ऐसा हो सकता है कि विस्तार $1\to K\to G\to H\to 1$ और $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ असमान हैं लेकिन G और G' समूहों के रूप में समरूप हैं। उदाहरण के लिए, $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ द्वारा क्लेन चार-समूह के $8$ असमान विस्तार हैं^[2] लेकिन समूह समरूप हैं, और अनुक्रम $8$ के केवल चार समूहों में क्रम $2$ के एक सामान्य उपसमूह होते हैं जिसमें क्लेन चार-समूह के भागफल समूह समरूप होते हैं।

तुच्छ विस्तार

तुच्छ विस्तार एक समूह विस्तार है:

1\to K\to G\to H\to 1

जो निम्न विस्तार के बराबर होता है:

1\to K\to K\times H\to H\to 1

जहां बाएँ और दाएँ तीर क्रमशः $K\times H$ प्रत्येक फलन का समाविष्ट और प्रक्षेप फलन हैं।

विभाजन विस्तार का वर्गीकरण

विभाजन विस्तार एक समूह विस्तार है

1\to K\to G\to H\to 1

एक समरूपता $s\colon H\to G$ जैसे कि H से G तक s द्वारा जाना और फिर लघु अनुक्रम के भागफल मानचित्र द्वारा H पर वापस जाना H पर पहचान मानचित्र को प्रेरित करता है अर्थात $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ इस स्थिति में सामान्यतः कहा जाता है कि यह उपरोक्त अनुक्रम को 'विभाजित' करता है। विभाजन विस्तार को वर्गीकृत करना बहुत आसान है, क्योंकि एक विस्तार को विभाजित किया जाता है यदि समूह G K और H का एक प्रत्यक्ष उत्पाद है। प्रत्यक्ष उत्पाद को वर्गीकृत करना आसान होता है, क्योंकि वे समरूपता के साथ $H\to \operatorname {Aut} (K)$ के रूप मे होते हैं जहां $K$ "स्वसमाकृतिकता समूह" है। इसके के लिए प्रत्यक्ष उत्पाद देखें।

शब्दावली पर चेतावनी

गणित में सामान्य रूप से, संरचना K के विस्तार को सामान्यतः एक संरचना L के रूप में माना जाता है जिसमें से K एक उपसंरचना है। उदाहरण के लिए क्षेत्रीय विस्तार देखें। हालांकि, समूह सिद्धांत में आंशिक रूप से अंकन के कारण विपरीत शब्दावली $\operatorname {Ext} (Q,N)$ आ गई है जो N द्वारा Q के विस्तार के रूप में समूह Q पर स्थित है। रोनाल्ड ब्राउन (गणितज्ञ) और टिमोथी पोर्टर का ओटोश्रेयर (गणितज्ञ) के गैर-एबेलियन विस्तार के सिद्धांत पर इस शब्दावली का उपयोग करता है जो कि K के लिए समूह विस्तार की एक विस्तृत संरचना प्रदान करता है।^[3]

केंद्रीय विस्तार

समूह G का एक केंद्रीय विस्तार समूहों का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है

1\to A\to E\to G\to 1

जैसे कि A, $Z(E)$ , समूह ई के केंद्र में सम्मिलित है। A द्वारा G के केंद्रीय विस्तार के समरूपता वर्गों का सह-समरूपता समूह $H^{2}(G,A)$ के साथ समतुल्य है। .

किसी भी समूह G और किसी विनिमेय समूह A और E को लेकर $A\times G$ समूह पर केंद्रीय विस्तार के उदाहरण बनाए जा सकते हैं। इस प्रकार का विभाजन उदाहरण उपरोक्त समतुल्यता के अंतर्गत $H^{2}(G,A)$ के अनुरूप है। प्रक्षेपीय अभ्यावेदन के सिद्धांत में अधिक जटिल उदाहरण पाए जाते हैं, ऐसी स्थितियों में जहां प्रक्षेपी निरूपण को साधारण रेखीय निरूपण में के रूप मे स्वीकृत नहीं जाता है। परिमित पूर्ण समूहों की स्थिति में एक पूर्णतः केंद्रीय विस्तार होता है।

इसी प्रकार, लाई बीजगणित का केंद्रीय विस्तार ${\mathfrak {g}}$ अनुक्रम है:

0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0

जैसे कि

{\mathfrak {a}}

,

{\mathfrak {e}}

के केंद्र में है।

भागफल में केंद्रीय विस्तार का एक सामान्य सिद्धांत है।^[4]

सामान्य विस्तार के लिए सामान्यीकरण

समरूपता के संदर्भ में A द्वारा G के सभी विस्तार का एक समान वर्गीकरण $G\to \operatorname {Out} (A)$ है लेकिन स्पष्ट रूप से परीक्षण $H^{3}(G,Z(A))$ और सह समरूपता समूह $H^{2}(G,Z(A))$ की स्थिति सम्मिलित है।^[5]

लाई समूह

लाइ समूह सिद्धांत में, केंद्रीय विस्तार बीजगणितीय सांस्थिति के संबंध में उत्पन्न होते हैं। सामान्यतः असतत समूहों द्वारा लाई समूहों के केंद्रीय विस्तार समूहों को समाविष्ट करने के समान हैं। सामान्य रूप से, सम्बद्ध समूह G का एक संबद्ध समष्टि $G *$ से $G$ का एक केंद्रीय विस्तार इस प्रकार से है कि प्रक्षेपीय मान $\pi \colon G^{*}\to G$ का एक समरूप समूह और विशेषण है। समूह संरचना पर $G *$ में पहचान के लिए एक पहचान तत्व की समष्टि $G$ पर निर्भर करता है उदाहरण के लिए G∗ G का सार्वभौमिक समष्टि है तब π का कर्नेल $G$ का मौलिक समूह है जिसे विनिमेय समूह के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत एक लाई समूह $G$ और केंद्रीय उपसमूह $Z$ दिया गया है भागफल $G / Z$ लाई समूह है और $G$ इसका समुच्चय समष्टि है।

यदि $G$ का लाई बीजगणित $g$ है और $A$ का लाई बीजगणित $a$ है और $E$ का $e$ है तो $e$ , $g$ द्वारा $a$ का केंद्रीय लाई बीजगणित विस्तार है। सैद्धांतिक भौतिकी की शब्दावली में, $a$ के मान को केंद्रीय विस्तार कहा जाता है। ये मान $e$ के केंद्र में सम्मिलित होते हैं और नोथेर की प्रमेय द्वारा समरूपता समूहों के संरक्षित मानों के अनुरूप होते हैं जिन्हें आवेशित मान (भौतिकी) कहा जाता है।

सह-समरूप समूहों के रूप में केंद्रीय विस्तार के मूल उदाहरण हैं:

चक्रण समूह, जो विशेष लंबकोणीय समूह को दोहराते हैं और समान आयाम में प्रक्षेपी लंबकोणीय समूह को दोगुना विस्तृत करते हैं।
मेटा स्थित समूह, जो संसुघटित समूहों को दोहराते हैं।

$SL 2 (R)$ की स्थिति में एक मूलभूत समूह सम्मिलित है जो अपरिमित चक्रीय है। यहाँ सम्मिलित केंद्रीय विस्तार मॉड्यूलर सिद्धांत में अच्छी तरह से जाना जाता है भार के रूपों के स्थिति में $½$ वास्तविक रेखा पर इस स्थिति में, फूरियर रूपांतरण से निर्मित, वाइल प्रतिनिधित्व से अनुरूप एक अनुमानित प्रतिनिधित्व है। क्वांटम यांत्रिकी में मेटा स्थित समूह भी सम्मिलित होते हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ group+extension#Definition in nLab Remark 2.2.
↑ page no. 830, Dummit, David S., Foote, Richard M., Abstract algebra (Third edition), John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ (2004).
↑ Brown, Ronald; Porter, Timothy (1996). "On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations". Proceedings of the Royal Irish Academy Sect A. 96 (2): 213–227. MR 1641218.
↑ Janelidze, George; Kelly, Gregory Maxwell (2000). "माल्टसेव किस्मों में केंद्रीय विस्तार". Theory and Applications of Categories. 7 (10): 219–226. MR 1774075.
↑ P. J. Morandi, Group Extensions and H³ Archived 2018-05-17 at the Wayback Machine. From his collection of short mathematical notes.

Mac Lane, Saunders (1975), Homology, Classics in Mathematics, Springer Verlag, ISBN 3-540-58662-8
R.L. Taylor, Covering groups of non connected topological groups, Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 5 (1954), 753–768.
R. Brown and O. Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 115 (1994), 97–110.

[1] roup+extension#Definition in nLab Remark 2.2.

[2] . 830, Dummit, David S., Foote, Richard M., Abstract algebra (Third edition), John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ (2004).

[3] Brown, Ronald; Porter, Timothy (1996). "On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations". Proceedings of the Royal Irish Academy Sect A. 96 (2): 213–227. MR 1641218.

[4] Janelidze, George; Kelly, Gregory Maxwell (2000). "माल्टसेव किस्मों में केंद्रीय विस्तार". Theory and Applications of Categories. 7 (10): 219–226. MR 1774075.

[5] P. J. Morandi, Group Extensions and H³ Archived 2018-05-17 at the Wayback Machine. From his collection of short mathematical notes.

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