समूहों की श्रेणी
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| बीजगणितीय संरचना → 'समूह सिद्धांत' समूह सिद्धांत |
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गणित में, श्रेणी सिद्धांत Grp (या Gp[1]) वस्तुओं के लिए सभी समूह (गणित) का वर्ग (सेट सिद्धांत) है और आकारिकी के लिए समूह समरूपता है। जैसे, यह एक ठोस श्रेणी है। इस श्रेणी के अध्ययन को समूह सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।
अन्य श्रेणियों से संबंध
Grp, M: Grp → Mon से समूहों से Monoid और U: Grp → समूह से सेट की श्रेणी में सेट करने के लिए दो भुलक्कड़ फ़ैक्टर हैं। M के दो सहायक कारक हैं: एक दायाँ, I: सोम → Grp, और एक बायाँ, K: सोम → Grp। मैं: मोन → जीआरपी हर मोनॉयड को इनवर्टिबल एलिमेंट्स के सबमोनॉइड में भेजने वाला फ़ंक्टर है और के: मोन → जीआरपी हर मोनॉइड को उस मोनॉइड के ग्रोथेंडिक समूह में भेजने वाला फ़ैक्टर है। भुलक्कड़ फ़ंक्टर यू: जीआरपी → सेट में समग्र केएफ द्वारा दिया गया एक बायां जोड़ है: सेट → सोम → जीआरपी, जहां एफ फ्री_ऑब्जेक्ट # फ्री_ऑपरेटर है; यह फ़ंक्टर हर सेट S को S. पर मुफ़्त समूह असाइन करता है
श्रेणीबद्ध गुण
जीआरपी में एकरूपता सटीक रूप से इंजेक्शन होमोमोर्फिज्म हैं, अधिरूपता सटीक रूप से विशेषण होमोमोर्फिज्म हैं, और समाकृतिकता सटीक रूप से द्विभाजित होमोमोर्फिज्म हैं।
श्रेणी जीआरपी पूर्ण श्रेणी|पूर्ण और सह-पूर्ण दोनों है। जीआरपी में उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) |श्रेणी-सैद्धांतिक उत्पाद सिर्फ समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है जबकि जीआरपी में सह-उत्पाद|श्रेणी-सैद्धांतिक सहउत्पाद समूहों का मुफ्त उत्पाद है। जीआरपी में शून्य वस्तु एं तुच्छ समूह हैं (सिर्फ एक पहचान तत्व से मिलकर)।
Grp में प्रत्येक आकारिकी f : G → H में एक कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत)|श्रेणी-सैद्धांतिक कर्नेल (साधारण कर्नेल (बीजगणित) द्वारा दिया गया) ker f = {x' ' जी में | एफ(एक्स) = ई}), और एक कोकर्नेल भी (श्रेणी सिद्धांत)|श्रेणी-सैद्धांतिक कोकर्नेल ('के कारक समूह द्वारा दिया गया) H में f(G) के नॉर्मल क्लोजर (ग्रुप थ्योरी) द्वारा 'H। एबेलियन श्रेणियों के विपरीत, यह सच नहीं है कि जीआरपी में प्रत्येक मोनोमोर्फिज्म इसके कोकर्नेल का कर्नेल है।
योज्य नहीं है और इसलिए एबेलियन नहीं है
एबेलियन समूहों की श्रेणी , Ab, Grp की पूर्ण उपश्रेणी है। Ab एक एबेलियन श्रेणी है, लेकिन Grp नहीं है। दरअसल, जीआरपी एक योगात्मक श्रेणी भी नहीं है, क्योंकि दो समूह समरूपता के योग को परिभाषित करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है। इसका एक प्रमाण इस प्रकार है: सममित समूह S से आकारिकी का समुच्चय3 स्वयं के क्रम में तीन, , के दस तत्व हैं: एक तत्व z जिसका उत्पाद E के प्रत्येक तत्व के साथ दोनों ओर z है (समरूपता प्रत्येक तत्व को पहचान के लिए भेजती है), तीन तत्व जैसे कि एक निश्चित पक्ष पर उनका उत्पाद हमेशा स्वयं होता है (तीनों पर अनुमान ऑर्डर दो के उपसमूह), और छह ऑटोमोर्फिज्म। यदि 'जीआरपी' एक योगात्मक श्रेणी होती, तो दस तत्वों का यह समुच्चय एक वलय (गणित) होता। किसी भी वलय में, शून्य तत्व को इस गुण द्वारा अलग किया जाता है कि 0x=x0=0 वलय में सभी x के लिए, और इसलिए z को E का शून्य होना चाहिए। हालांकि, E के कोई भी दो गैर-शून्य तत्व नहीं हैं जिनके गुणनफल z है, इसलिए इस परिमित वलय में कोई शून्य भाजक नहीं होगा। वेडरबर्न के छोटे प्रमेय द्वारा बिना किसी शून्य विभाजक के एक परिमित वलय एक क्षेत्र (गणित) है, लेकिन दस तत्वों वाला कोई क्षेत्र नहीं है क्योंकि प्रत्येक परिमित क्षेत्र के क्रम में, एक प्रधान की शक्ति होती है।
सटीक अनुक्रम
जीआरपी में सटीक अनुक्रम की धारणा सार्थक है, और एबेलियन श्रेणियों के सिद्धांत से कुछ परिणाम, जैसे नौ लेम्मा , पांच लेम्मा, और उनके परिणाम जीआरपी में सही हैं। The snake lemma however is not true in Grp.[dubious ][citation needed] जीआरपी एक नियमित श्रेणी है।
संदर्भ
- ↑ Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. p. 20. ISBN 1-4020-1961-0.
- Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. Retrieved 2009-11-25.श्रेणी: समूह सिद्धांत