समाकृतिकता

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The group of fifth roots of unity under multiplication is isomorphic to the group of rotations of the regular pentagon under composition.

गणित में, एक समरूपता एक ही प्रकार की दो गणितीय संरचना ओं के बीच एक संरचना-संरक्षण मानचित्र (गणित) है जिसे एक व्युत्क्रम कार्य द्वारा उलटा किया जा सकता है। दो गणितीय संरचनाएं तुल्याकारी हैं यदि उनके बीच एक तुल्याकारिता मौजूद है। आइसोमोर्फिज्म शब्द प्राचीन ग्रीक से लिया गया है: विकट:ἴσος|ἴσος आइसोस बराबर, और विक्ट:μορφή|μορφή मोर्फे रूप या आकार।

समरूपता में रुचि इस तथ्य में निहित है कि दो समरूप वस्तुओं में समान गुण होते हैं (आगे की जानकारी जैसे अतिरिक्त संरचना या वस्तुओं के नाम को छोड़कर)। इस प्रकार आइसोमोर्फिक संरचनाओं को केवल संरचना के दृष्टिकोण से अलग नहीं किया जा सकता है, और इसकी पहचान की जा सकती है। गणितीय शब्दजाल में, कोई कहता है कि दो वस्तुएँ हैं the same up to an isomorphism. एक automorphism एक संरचना से स्वयं के लिए एक आइसोमोर्फिज्म है। दो संरचनाओं के बीच एक समरूपता एक विहित समरूपता है (एक विहित नक्शा जो एक समरूपता है) यदि दो संरचनाओं के बीच केवल एक समरूपता है (जैसा कि यह एक सार्वभौमिक संपत्ति के समाधान के मामले में है), या यदि समरूपता बहुत अधिक प्राकृतिक है (कुछ अर्थों में) अन्य समरूपताओं की तुलना में। उदाहरण के लिए, प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए p, सभी क्षेत्र (गणित) के साथ p तत्व कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक हैं, एक अद्वितीय आइसोमोर्फिज्म के साथ। समरूपता प्रमेय विहित समरूपता प्रदान करते हैं जो अद्वितीय नहीं हैं।

अवधि isomorphism मुख्य रूप से बीजगणितीय संरचना ओं के लिए उपयोग किया जाता है। इस मामले में, मैपिंग को समरूपता कहा जाता है, और एक समरूपता एक समरूपता है यदि और केवल यदि यह विशेषण है।

गणित के विभिन्न क्षेत्रों में, विचाराधीन संरचना के प्रकार के आधार पर, समरूपता को विशेष नाम प्राप्त हुए हैं। उदाहरण के लिए:

• एक आइसोमेट्री मीट्रिक रिक्त स्थान का एक आइसोमोर्फिज्म है।
• एक होमियोमोर्फिज्म टोपोलॉजिकल स्पेस का एक आइसोमोर्फिज्म है।
• डिफियोमोर्फिज्म एक विभेदक संरचना से सुसज्जित रिक्त स्थान का एक समरूपता है, आमतौर पर अलग-अलग कई गुना।
• एक sympletomorphism सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड का एक आइसोमोर्फिज्म है।
• एक क्रमचय एक सेट (गणित) का एक ऑटोमोर्फिज़्म है।
• ज्यामिति में, आइसोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म को अक्सर परिवर्तन (फ़ंक्शन) कहा जाता है, उदाहरण के लिए कठोर परिवर्तन , affine परिवर्तन , प्रक्षेपण परिवर्तन

श्रेणी सिद्धांत , जिसे संरचनाओं के बीच मानचित्रण की अवधारणा की औपचारिकता के रूप में देखा जा सकता है, एक ऐसी भाषा प्रदान करता है जिसका उपयोग मूल विचार के इन विभिन्न पहलुओं के दृष्टिकोण को एकीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण

लघुगणक और घातांक

होने देना $\mathbb {R} ^{+}$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं का गुणनात्मक समूह बनें, और मान लें $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का योज्य समूह हो।

लघुगणक समारोह $\log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ संतुष्ट $\log(xy)=\log x+\log y$ सबके लिए $x,y\in \mathbb {R} ^{+},$ तो यह एक समूह समरूपता है। घातीय कार्य $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ संतुष्ट $\exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)$ सबके लिए $x,y\in \mathbb {R} ,$ तो यह भी एक समाकारिता है।

पहचान $\log \exp x=x$ और $\exp \log y=y$ बताते हैं कि $\log$ और $\exp$ एक दूसरे के व्युत्क्रम कार्य हैं। तब से $\log$ एक समाकारिता है जिसका व्युत्क्रम भी एक समाकारिता है, $\log$ समूहों का एक समरूपता है। $\log$ h> फलन एक तुल्याकारिता है जो धनात्मक वास्तविक संख्याओं के गुणन को वास्तविक संख्याओं के योग में परिवर्तित करता है। यह सुविधा शासक और लघुगणकों की तालिका का उपयोग करके या लघुगणकीय पैमाने के साथ स्लाइड नियम का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं को गुणा करना संभव बनाती है।

पूर्णांक मॉड्यूल 6

समूह पर विचार करें $(\mathbb {Z} _{6},+),$ मॉड्यूलर अंकगणित के साथ 0 से 5 तक पूर्णांक 6. समूह पर भी विचार करें $\left(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+\right),$ आदेशित जोड़े जहां x निर्देशांक 0 या 1 हो सकते हैं, और y निर्देशांक 0, 1, या 2 हो सकते हैं, जहां x-निर्देशांक में योग 2 है और y-निर्देशांक में योग 3 है।

निम्नलिखित योजना के तहत ये संरचनाएं आइसोमोर्फिक हैं:

$${\begin{alignedat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0)&\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{alignedat}}$$

या सामान्य तौर पर $(a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.$ उदाहरण के लिए, $(1,1)+(1,0)=(0,1),$ जो अन्य प्रणाली में अनुवाद करता है $1+3=4.$ भले ही ये दो समूह अलग-अलग दिखते हैं क्योंकि सेट में अलग-अलग तत्व होते हैं, वे वास्तव में आइसोमॉर्फिक हैं: उनकी संरचनाएं बिल्कुल समान हैं। अधिक आम तौर पर, दो चक्रीय समूह ों के समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद $\mathbb {Z} _{m}$ और $\mathbb {Z} _{n}$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $(\mathbb {Z} _{mn},+)$ चीनी शेष प्रमेय के अनुसार, यदि और केवल यदि m और n सहअभाज्य हैं।

संबंध-संरक्षण समरूपता

यदि एक वस्तु में द्विआधारी संबंध R के साथ एक सेट X होता है और दूसरी ऑब्जेक्ट में बाइनरी रिलेशन S के साथ एक सेट Y होता है तो X से Y तक एक आइसोमोर्फिज्म एक विशेषण फलन होता है $f:X\to Y$ ऐसा है कि:

$$\operatorname {S} (f(u),f(v))\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {R} (u,v)$$

S प्रतिवर्त संबंध , अविचलित संबंध , सममित संबंध , एंटीसिमेट्रिक संबंध , असममित रिलेशन, सकर्मक रिलेशन, जुड़ा हुआ संबंध , बाइनरी रिलेशन # रिलेशन ओवर ए सेट, एक आंशिक ऑर्डर, कुल आदेश , अच्छी तरह से आदेश , सख्त कमजोर आदेश , स्ट्रिक्ट वीक ऑर्डर# कुल पूर्व आदेश (कमजोर क्रम), एक तुल्यता संबंध , या किसी अन्य विशेष गुणों के असममित संबंध , यदि और केवल यदि R है।

उदाहरण के लिए, R एक आदेश सिद्धांत ≤ और S एक ऑर्डरिंग है $\scriptstyle \sqsubseteq ,$ तब X से Y तक की तुल्याकारिता एक विशेषण फलन है $f:X\to Y$ ऐसा है कि

$$f(u)\sqsubseteq f(v)\quad {\text{ if and only if }}\quad u\leq v.$$

ऐसी तुल्याकारिता को a कहते हैं order isomorphism या (कम सामान्यतः) ए isotone isomorphism.

यदि $X=Y,$ तो यह एक संबंध-संरक्षण ऑटोमोर्फिज्म है।

अनुप्रयोग

बीजगणित में, समरूपता को सभी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए परिभाषित किया गया है। कुछ का विशेष रूप से अध्ययन किया जाता है; उदाहरण के लिए:

• वेक्टर रिक्त स्थान के बीच रैखिक समरूपता ; वे व्युत्क्रमणीय मैट्रिसेस द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं।
• समूह (गणित) के बीच समूह समरूपता ; परिमित समूह ों के समरूपता वर्ग ों का वर्गीकरण एक खुली समस्या है।
• रिंग (गणित) के बीच रिंग आइसोमोर्फिज्म ।
• फील्ड आइसोमोर्फिज्म फील्ड (गणित) के बीच रिंग आइसोमोर्फिज्म के समान हैं; उनका अध्ययन, और अधिक विशेष रूप से फील्ड ऑटोमोर्फिज्म का अध्ययन गैल्वा सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।

जिस प्रकार एक बीजगणितीय संरचना के ऑटोमोर्फिज्म एक समूह (गणित) का निर्माण करते हैं, दो बीजगणितों के बीच एक समान संरचना साझा करने वाले समरूपता एक ढेर (गणित) बनाते हैं। एक विशेष समरूपता को दो संरचनाओं की पहचान करने देना इस ढेर को एक समूह में बदल देता है।

गणितीय विश्लेषण में, लाप्लास परिवर्तन एक समरूपता है जो कठिन अंतर समीकरणों को आसान बीजगणितीय समीकरणों में मैप करता है।

ग्राफ सिद्धांत में, दो ग्राफ़ G और H के बीच एक समरूपता एक विशेषण मानचित्र f है जो G के कोने से H के कोने तक होता है जो किनारे की संरचना को इस अर्थ में संरक्षित करता है कि वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) u से वर्टेक्स v तक एक किनारा है। G में यदि और केवल यदि कोई किनारा है $f(u)$ को $f(v)$ एच में। ग्राफ समरूपता देखें।

गणितीय विश्लेषण में, दो हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच एक समरूपता एक आक्षेपण है जो अतिरिक्त, स्केलर गुणन और आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है।

तार्किक परमाणुवाद के शुरुआती सिद्धांतों में, तथ्यों और सच्चे प्रस्तावों के बीच औपचारिक संबंध को बर्ट्रेंड रसेल और लुडविग विट्गेन्स्टाइन द्वारा आइसोमॉर्फिक होने के लिए सिद्धांतित किया गया था। सोच की इस पंक्ति का एक उदाहरण रसेल के गणित दर्शन के परिचय में पाया जा सकता है।

साइबरनेटिक्स में, अच्छा नियामक या कॉनेंट-एशबी प्रमेय कहा गया है कि सिस्टम का हर अच्छा नियामक उस सिस्टम का एक मॉडल होना चाहिए। चाहे विनियमित हो या स्व-विनियमन, सिस्टम के नियामक और प्रसंस्करण भागों के बीच एक समरूपता आवश्यक है।

श्रेणी सैद्धांतिक दृश्य

श्रेणी सिद्धांत में, एक श्रेणी (गणित) सी दी गई है, एक समरूपता एक आकृतिवाद है $f:a\to b$ जिसमें एक व्युत्क्रम आकारिकी है $g:b\to a,$ वह है, $fg=1_{b}$ और $gf=1_{a}.$ उदाहरण के लिए, एक विशेषण रेखीय नक्शा सदिश स्थानों के बीच एक समरूपता है, और एक विशेषण निरंतर कार्य जिसका व्युत्क्रम भी निरंतर है, स्थलीय स्थानों के बीच एक समरूपता है, जिसे होमोमोर्फिज़्म कहा जाता है।

दो श्रेणियां C और D यदि कारक मौजूद हैं तो श्रेणियों का समरूपता है $F:C\to D$ और $G:D\to C$ जो परस्पर एक दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती हैं, अर्थात् $FG=1_{D}$ (पहचान कारक चालू D) और $GF=1_{C}$ (पहचान कारक चालू C).

समरूपता बनाम विशेषण रूपवाद

एक ठोस श्रेणी में (मोटे तौर पर, एक श्रेणी जिसकी वस्तुएँ सेट हैं (शायद अतिरिक्त संरचना के साथ) और जिनकी आकृति संरचना-संरक्षण कार्य हैं), जैसे कि टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी या बीजगणितीय वस्तुओं की श्रेणी (जैसे समूहों की श्रेणी , श्रेणी) छल्लों की, और मॉड्यूल की श्रेणी ), एक समरूपता अंतर्निहित सेट ों पर विशेषण होना चाहिए। बीजगणितीय श्रेणियों में (विशेष रूप से, विविधता की श्रेणियां (सार्वभौमिक बीजगणित)), एक समरूपता समरूपता के समान है जो अंतर्निहित सेटों पर विशेषण है। हालांकि, ऐसी ठोस श्रेणियां हैं जिनमें विशेषण रूपवाद आवश्यक रूप से समरूपता नहीं हैं (जैसे कि स्थलीय रिक्त स्थान की श्रेणी)।

समानता के साथ संबंध

See also: Equality (mathematics)

गणित के कुछ क्षेत्रों में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत के बीच अंतर करना महत्वपूर्ण है equality एक ओर और isomorphism दूसरे पर। समानता तब होती है जब दो वस्तुएँ बिल्कुल समान होती हैं, और एक वस्तु के बारे में जो कुछ भी सत्य होता है वह दूसरे के बारे में सत्य होता है, जबकि एक समरूपता का अर्थ है कि एक वस्तु की संरचना के निर्दिष्ट भाग के बारे में जो कुछ भी सत्य है वह दूसरे के बारे में सत्य है। उदाहरण के लिए, सेट्स

$$A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ and }}\quad B=\{-1,0,1\}$$

हैं equal; वे केवल अलग-अलग निरूपण हैं - पहली एक गहन परिभाषा एक (बिल्डर नोटेशन सेट करें में), और दूसरी विस्तारित परिभाषा (स्पष्ट गणना द्वारा) - पूर्णांकों के समान उपसमुच्चय की। इसके विपरीत, सेट $\{A,B,C\}$ और $\{1,2,3\}$ नहीं हैं equal—पहले में वे तत्व हैं जो अक्षर हैं, जबकि दूसरे में वे तत्व हैं जो संख्याएँ हैं। ये सेट के रूप में आइसोमोर्फिक हैं, क्योंकि परिमित सेट आइसोमोर्फिज्म तक उनके प्रमुखता (तत्वों की संख्या) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं और इन दोनों में तीन तत्व होते हैं, लेकिन आइसोमोर्फिज्म के कई विकल्प हैं- एक आइसोमोर्फिज्म है

${\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3,$ जबकि दूसरा है ${\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,$

और कोई भी समरूपता आंतरिक रूप से किसी अन्य से बेहतर नहीं है। इस दृष्टि से और इस अर्थ में, ये दो समुच्चय समान नहीं हैं क्योंकि कोई उन पर विचार नहीं कर सकता identical: कोई उनके बीच एक समरूपता चुन सकता है, लेकिन यह पहचान की तुलना में एक कमजोर दावा है - और केवल चुने हुए समरूपता के संदर्भ में मान्य है।

एक और उदाहरण अधिक औपचारिक है और अधिक प्रत्यक्ष रूप से समरूपता से समानता को अलग करने के लिए प्रेरणा को दिखाता है: परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष वी और इसकी दोहरी जगह के बीच भेद $V^{*}=\left\{\varphi :V\to \mathbf {K} \right\}$ वी से स्केलर्स के अपने क्षेत्र में रैखिक मानचित्रों का $\mathbf {K} .$ इन स्थानों का एक ही आयाम है, और इस प्रकार अमूर्त वेक्टर रिक्त स्थान के रूप में आइसोमोर्फिक हैं (चूंकि बीजगणितीय रूप से, वेक्टर रिक्त स्थान को आयाम द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसे सेट को कार्डिनैलिटी द्वारा वर्गीकृत किया जाता है), लेकिन आइसोमोर्फिज्म का कोई प्राकृतिक विकल्प नहीं है $V\mathrel {\overset {\sim }{\to }} V^{*}.$ यदि कोई वी के लिए आधार चुनता है, तो यह एक समरूपता पैदा करता है: सभी के लिए $u,v\in V,$

$$v\mathrel {\overset {\sim }{\mapsto }} \phi _{v}\in V^{*}\quad {\text{ such that }}\quad \phi _{v}(u)=v^{\mathrm {T} }u.$$

यह एक कॉलम वेक्टर (वी के तत्व) को एक पंक्ति वेक्टर (वी * के तत्व) में स्थानांतरित करने के अनुरूप है, लेकिन आधार का एक अलग विकल्प एक अलग समरूपता देता है: समरूपता आधार की पसंद पर निर्भर करती है। अधिक सूक्ष्मता से, वहाँ is सदिश समष्टि V से इसके द्विद्वि तक मानचित्र $V^{**}=\left\{x:V^{*}\to \mathbf {K} \right\}$ जो आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता: सभी के लिए $v\in V{\text{ and }}\varphi \in V^{*},$

$$v\mathrel {\overset {\sim }{\mapsto }} x_{v}\in V^{**}\quad {\text{ such that }}\quad x_{v}(\phi )=\phi (v).$$

यह एक तीसरी धारणा की ओर ले जाता है, जो कि एक प्राकृतिक समरूपता है: जबकि $V$ और $V^{**}$ अलग-अलग सेट हैं, उनके बीच समरूपता का एक स्वाभाविक विकल्प है। एक समरूपता की यह सहज धारणा जो एक मनमाना विकल्प पर निर्भर नहीं करती है, एक प्राकृतिक परिवर्तन की धारणा में औपचारिक है; संक्षेप में, वह हो सकता है consistently पहचान, या अधिक आम तौर पर एक परिमित-आयामी सदिश स्थान से इसके दोहरे दोहरे तक का नक्शा, $V\mathrel {\overset {\sim }{\to }} V^{**},$ के लिए any सदिश स्थान एक सुसंगत तरीके से। इस अंतर्ज्ञान को औपचारिक रूप देना श्रेणी सिद्धांत के विकास के लिए एक प्रेरणा है।

हालांकि, एक ऐसा मामला है जहां प्राकृतिक समरूपता और समानता के बीच अंतर आमतौर पर नहीं किया जाता है। यह उन वस्तुओं के लिए है जिनकी विशेषता एक सार्वभौमिक संपत्ति हो सकती है। वास्तव में, एक ही सार्वभौमिक गुण साझा करने वाली दो वस्तुओं के बीच एक अद्वितीय समरूपतावाद अनिवार्य रूप से स्वाभाविक है। एक विशिष्ट उदाहरण वास्तविक संख्या ओं का समूह है, जिसे अनंत दशमलव विस्तार, अनंत बाइनरी विस्तार, कॉची क्रम, डेडेकाइंड कट और कई अन्य तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, ये निर्माण अलग-अलग वस्तुओं को परिभाषित करते हैं जो एक ही सार्वभौमिक संपत्ति के सभी समाधान हैं। चूँकि इन वस्तुओं में बिल्कुल समान गुण होते हैं, कोई निर्माण की विधि को भूल सकता है और उन्हें समान मान सकता है। जिक्र करते समय हर कोई यही करता हैthe वास्तविक संख्या का सेट। भागफल स्थान (टोपोलॉजी) के साथ भी ऐसा ही होता है: वे आमतौर पर तुल्यता वर्ग ों के सेट के रूप में निर्मित होते हैं। हालांकि, सेट के एक सेट का जिक्र करना उल्टा हो सकता है, और इसलिए भागफल रिक्त स्थान को आमतौर पर अनिर्धारित वस्तुओं के सेट की एक जोड़ी के रूप में माना जाता है, जिसे अक्सर अंक कहा जाता है, और इस सेट पर एक विशेषण मानचित्र होता है।

अगर कोई मनमाना समरूपता (एक विकल्प पर निर्भर करता है) और एक प्राकृतिक समरूपता (जो लगातार किया जा सकता है) के बीच अंतर करना चाहता है, तो कोई लिख सकता है $\,\approx \,$ एक अप्राकृतिक समरूपता के लिए और ≅ एक प्राकृतिक समरूपता के लिए, जैसे कि $V\approx V^{*}$ और $V\cong V^{**}.$ इस सम्मेलन का सार्वभौमिक रूप से पालन नहीं किया जाता है, और जो लेखक अप्राकृतिक समरूपता और प्राकृतिक समरूपता के बीच अंतर करना चाहते हैं, वे आम तौर पर स्पष्ट रूप से भेद बताते हैं।

आम तौर पर, कह रहे हैं कि दो वस्तुएं हैं equal के लिए आरक्षित है जब एक बड़ी (परिवेश) स्थान की धारणा होती है जिसमें ये वस्तुएं रहती हैं। अक्सर, एक दिए गए सेट के दो सबसेट की समानता की बात करता है (जैसा कि ऊपर पूर्णांक सेट उदाहरण में है), लेकिन दो वस्तुओं की नहीं सारगर्भित रूप से प्रस्तुत किया। उदाहरण के लिए, 3-आयामी अंतरिक्ष में 2-आयामी इकाई क्षेत्र

$$S^{2}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$$

और रीमैन क्षेत्र ${\widehat {\mathbb {C} }}$ जिसे जटिल विमान के एक-बिंदु संघनन के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ or जटिल प्रक्षेपी रेखा (एक भागफल स्थान) के रूप में

$$\mathbf {P} _{\mathbb {C} }^{1}:=\left(\mathbb {C} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\right)/\left(\mathbb {C} ^{*}\right)$$

एक गणितीय वस्तु के लिए तीन अलग-अलग विवरण हैं, जिनमें से सभी तुल्याकारी हैं, लेकिन नहीं equal क्योंकि वे एक ही स्थान के सभी उपसमुच्चय नहीं हैं: पहला एक उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{3},$ दूसरा है $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$ साथ ही एक अतिरिक्त बिंदु, और तीसरा का एक उपभाग है $\mathbb {C} ^{2}.$ श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में, वस्तुएं आमतौर पर सबसे अधिक आइसोमॉर्फिक होती हैं- वास्तव में, श्रेणी सिद्धांत के विकास के लिए एक प्रेरणा यह दिखा रही थी कि होमोलॉजी सिद्धांत में विभिन्न निर्माणों से समकक्ष (आइसोमॉर्फिक) समूह उत्पन्न होते हैं। दो वस्तुओं X और Y के बीच दिए गए नक्शे, हालांकि, कोई पूछता है कि क्या वे बराबर हैं या नहीं (वे सेट के दोनों तत्व हैं $\hom(X,Y),$ इसलिए समानता उचित संबंध है), विशेष रूप से क्रमविनिमेय आरेख ों में।

यह भी देखें: होमोटॉपी प्रकार का सिद्धांत, जिसमें समरूपता को समानता के प्रकार के रूप में माना जा सकता है।

यह भी देखें

• बिसिमुलेशन
• तुल्यता संबंध
• ढेर (गणित)
• आइसोमेट्री
• समरूपता वर्ग
• समाकृतिकता प्रमेय
• सार्वभौमिक संपत्ति
• सुसंगत समरूपता

आगे की पढाई

• Mazur, Barry (12 June 2007), When is one thing equal to some other thing? (PDF)

बाहरी कड़ियाँ

• "Isomorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Isomorphism". MathWorld.