आदेश सिद्धांत

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आदेश सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो द्विआधारी संबंधों का उपयोग करके आदेश की सहज धारणा की जांच करता है। यह बयानों का वर्णन करने के लिए एक औपचारिक रूपरेखा प्रदान करता है जैसे कि यह उससे कम है या यह उससे पहले है। यह लेख क्षेत्र का परिचय देता है और बुनियादी परिभाषाएँ प्रदान करता है। ऑर्डर-सैद्धांतिक शब्दों की एक सूची ऑर्डर थ्योरी शब्दावली में पाई जा सकती है।

पृष्ठभूमि और प्रेरणा

आदेश हर जगह गणित और कंप्यूटर विज्ञान जैसे संबंधित क्षेत्रों में हैं। प्राथमिक विद्यालय में प्राय: चर्चित पहला क्रम प्राकृतिक संख्याओं पर मानक क्रम होता है उदा. 2 3 से कम है, 10 5 से बड़ा है, या क्या टॉम के पास सैली से कम कुकीज़ हैं? . इस सहज ज्ञान युक्त अवधारणा को संख्याओं के अन्य सेटों, जैसे पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं के आदेशों तक बढ़ाया जा सकता है। किसी अन्य संख्या से अधिक या उससे कम होने का विचार सामान्य रूप से संख्या प्रणालियों (अंक प्रणालियों के साथ तुलना) के बुनियादी अंतर्ज्ञानों में से एक है (हालांकि आमतौर पर दो संख्याओं के वास्तविक घटाव में भी रुचि होती है, जो क्रम द्वारा नहीं दी जाती है) ). आदेश के अन्य परिचित उदाहरण एक शब्दकोष में शब्दों का वर्णानुक्रमिक क्रम और लोगों के एक समूह के भीतर वंशानुक्रम की वंशावली संपत्ति हैं।

आदेश की धारणा बहुत सामान्य है, उन संदर्भों से परे फैली हुई है जिनमें अनुक्रम या सापेक्ष मात्रा का तत्काल, सहज अनुभव होता है। अन्य संदर्भों में आदेश रोकथाम या विशेषज्ञता की धारणाओं को ग्रहण कर सकते हैं। संक्षेप में, इस प्रकार का क्रम सबसेट के बराबर होता है, उदाहरण के लिए, बाल रोग विशेषज्ञ चिकित्सक होते हैं, और वृत्त केवल विशेष-केस दीर्घवृत्त होते हैं।

कुछ आदेश, जैसे प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में कम और शब्दों पर वर्णानुक्रम में, एक विशेष गुण होता है: प्रत्येक तत्व की तुलना किसी अन्य तत्व से की जा सकती है, अर्थात यह उससे छोटा (पहले), उससे बड़ा (बाद में), या उसके समान होता है। . हालांकि, कई अन्य आदेश नहीं हैं। उदाहरण के लिए सेट (गणित) के संग्रह पर सबसेट क्रम पर विचार करें: हालांकि पक्षियों का सेट और कुत्तों का सेट जानवरों के सेट के दोनों उपसमुच्चय हैं, न तो पक्षी और न ही कुत्ते दूसरे के उपसमुच्चय का गठन करते हैं। वे आदेश जैसे संबंध का उपसमुच्चय जिसके लिए अतुलनीय तत्व मौजूद हैं, आंशिक आदेश कहलाते हैं; आदेश जिसके लिए तत्वों की प्रत्येक जोड़ी तुलनीय है, कुल आदेश हैं।

आदेश सिद्धांत एक सामान्य सेटिंग में ऐसे उदाहरणों से उत्पन्न होने वाले आदेशों के अंतर्ज्ञान को पकड़ लेता है। यह गुण निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जाता है कि एक संबंध ≤ एक गणितीय क्रम होना चाहिए। यह अधिक अमूर्त दृष्टिकोण बहुत मायने रखता है, क्योंकि किसी विशेष क्रम के विवरण पर ध्यान केंद्रित किए बिना, सामान्य सेटिंग में कई प्रमेय प्राप्त कर सकते हैं। इन अंतर्दृष्टियों को तब आसानी से कई कम अमूर्त अनुप्रयोगों में स्थानांतरित किया जा सकता है।

आदेशों के व्यापक व्यावहारिक उपयोग से प्रेरित, कई विशेष प्रकार के आदेशित सेट परिभाषित किए गए हैं, जिनमें से कुछ अपने स्वयं के गणितीय क्षेत्रों में विकसित हुए हैं। इसके अलावा, ऑर्डर सिद्धांत खुद को ऑर्डरिंग संबंधों के विभिन्न वर्गों तक ही सीमित नहीं रखता है, बल्कि उनके बीच उपयुक्त कार्य (गणित) पर भी विचार करता है। कार्यों के लिए ऑर्डर थ्योरिटिक संपत्ति का एक सरल उदाहरण कार्यात्मक विश्लेषण से आता है जहां मोनोटोनिक फ़ंक्शन फ़ंक्शन अक्सर पाए जाते हैं।

बुनियादी परिभाषाएँ

यह खंड समुच्चय सिद्धांत, अंकगणित और द्विआधारी संबंधों की अवधारणाओं पर आधारित क्रमित समुच्चयों का परिचय देता है।

आंशिक रूप से आदेशित सेट

आदेश विशेष द्विआधारी संबंध हैं। मान लीजिए कि P एक समुच्चय है और ≤ P पर एक संबंध है ('एक समुच्चय पर संबंध' का अर्थ 'इसके निवासियों के बीच संबंध' है)। तब ≤ एक 'आंशिक क्रम' है यदि यह स्वतुल्य संबंध, प्रतिसममित संबंध और सकर्मक संबंध है, अर्थात, यदि P में सभी a, b और c के लिए, हमारे पास वह है:

ए ≤ ए (रिफ्लेक्सीविटी)

यदि a ≤ b और b ≤ a तो a = b (प्रतिसममिति)

यदि a ≤ b और b ≤ c तो a ≤ c (संक्रामकता)।

उस पर आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के साथ एक सेट को 'आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट', 'पोसेट' या सिर्फ 'आदेशित सेट' कहा जाता है, यदि अभीष्ट अर्थ स्पष्ट है। इन गुणों की जांच करने पर, तुरंत यह देखा जाता है कि प्राकृतिक संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर जाने-माने आदेश उपरोक्त अर्थों में सभी आदेश हैं। हालाँकि, इन उदाहरणों में अतिरिक्त संपत्ति है कि कोई भी दो तत्व तुलनीय हैं, अर्थात, P में सभी a और b के लिए, हमारे पास वह है:

ए ≤ बी या बी ≤ ए।

इस संपत्ति के साथ आंशिक ऑर्डर को कुल ऑर्डर कहा जाता है। इन आदेशों को 'रैखिक आदेश' या 'श्रृंखला' भी कहा जा सकता है। जबकि कई परिचित आदेश रैखिक हैं, सेट पर सबसेट ऑर्डर एक उदाहरण प्रदान करता है जहां यह मामला नहीं है। एक अन्य उदाहरण विभाज्यता (या is-a-divisor-of) संबंध | द्वारा दिया गया है। दो प्राकृत संख्याओं n और m के लिए हम n|m लिखते हैं यदि n विभाजन (गणित) m बिना शेषफल के। कोई भी आसानी से देख सकता है कि इससे आंशिक आदेश प्राप्त होता है। किसी भी सेट पर पहचान संबंध = भी एक आंशिक क्रम है जिसमें हर दो अलग तत्व अतुलनीय हैं। यह एकमात्र ऐसा संबंध भी है जो आंशिक क्रम और तुल्यता संबंध दोनों है। मुख्य रूप से गैर-रैखिक आदेशों के लिए पॉकेट्स के कई उन्नत गुण दिलचस्प हैं।

एक पोसेट की कल्पना करना

विभाज्यता द्वारा आंशिक रूप से आदेशित 60 के सभी विभाजकों के सेट का हास आरेख

हास आरेख आंशिक क्रम के तत्वों और संबंधों को नेत्रहीन रूप से प्रस्तुत कर सकते हैं। ये ग्राफ़ चित्र हैं जहां वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) पोसेट के तत्व हैं और ऑर्डरिंग रिलेशन को ग्राफ़ सिद्धांत और वर्टिकल की सापेक्ष स्थिति दोनों द्वारा दर्शाया गया है। ऑर्डर नीचे-ऊपर खींचे जाते हैं: यदि कोई तत्व x (पूर्ववर्ती) y से छोटा है तो x से y तक एक पथ मौजूद है जो ऊपर की ओर निर्देशित है। तत्वों को जोड़ने वाले किनारों के लिए अक्सर यह आवश्यक होता है कि वे एक-दूसरे को पार करें, लेकिन तत्वों को कभी भी किनारे के भीतर स्थित नहीं होना चाहिए। एक शिक्षाप्रद अभ्यास प्राकृतिक संख्याओं के सेट के लिए हस्स आरेख तैयार करना है जो 13 से कम या उसके बराबर है, जिसके द्वारा आदेश दिया गया है। (भाजक संबंध)।

यहां तक ​​कि कुछ अनंत सेटों को परिमित उप-क्रम पर एक अंडाकार (...) को आरोपित करके चित्रित किया जा सकता है। यह प्राकृतिक संख्याओं के लिए अच्छा काम करता है, लेकिन यह वास्तविक के लिए विफल रहता है, जहां 0 से ऊपर कोई तत्काल उत्तराधिकारी नहीं होता है; हालाँकि, अक्सर एक समान प्रकार के आरेखों से संबंधित अंतर्ज्ञान प्राप्त कर सकते हैं.

एक आदेश के भीतर विशेष तत्व

आंशिक रूप से आदेशित सेट में कुछ तत्व हो सकते हैं जो एक विशेष भूमिका निभाते हैं। सबसे बुनियादी उदाहरण एक poset के कम से कम तत्व द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, 1 सकारात्मक पूर्णांकों का सबसे छोटा तत्व है और खाली सेट सबसेट क्रम के तहत सबसे कम सेट है। औपचारिक रूप से, एक तत्व एम सबसे कम तत्व है यदि:

एम ≤ ए, आदेश के सभी तत्वों ए के लिए।

अंकन 0 अक्सर कम से कम तत्व के लिए पाया जाता है, भले ही कोई संख्या संबंधित न हो। हालांकि, संख्याओं के सेट के क्रम में, यह अंकन अनुचित या अस्पष्ट हो सकता है, क्योंकि संख्या 0 हमेशा सबसे कम नहीं होती है। उपरोक्त विभाज्यता क्रम | द्वारा एक उदाहरण दिया गया है, जहां 1 सबसे छोटा तत्व है क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है। इसके विपरीत, 0 वह संख्या है जो अन्य सभी संख्याओं से विभाजित होती है। इसलिए यह आदेश का सबसे बड़ा तत्व है। सबसे कम और सबसे बड़े तत्वों के लिए अन्य लगातार शर्तें नीचे और ऊपर या शून्य और इकाई हैं।

कम से कम और सबसे बड़े तत्व मौजूद नहीं हो सकते हैं, जैसा कि वास्तविक संख्याओं के उदाहरण से पता चलता है। लेकिन अगर वे मौजूद हैं, तो वे हमेशा अद्वितीय होते हैं। इसके विपरीत, विभाज्यता संबंध पर विचार करें सेट पर {2,3,4,5,6}। हालांकि इस सेट में न तो शीर्ष है और न ही नीचे, तत्वों 2, 3 और 5 के नीचे कोई तत्व नहीं है, जबकि 4, 5 और 6 के ऊपर कोई नहीं है। ऐसे तत्वों को क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम कहा जाता है। औपचारिक रूप से, एक तत्व एम न्यूनतम तत्व है यदि:

a ≤ m का अर्थ है a = m, आदेश के सभी तत्वों a के लिए।

≤ के साथ ≥ का आदान-प्रदान करने से अधिकतम तत्व की परिभाषा मिलती है। जैसा कि उदाहरण दिखाता है, कई अधिकतम तत्व हो सकते हैं और कुछ तत्व अधिकतम और न्यूनतम दोनों हो सकते हैं (उदाहरण के लिए ऊपर 5)। हालाँकि, यदि कोई न्यूनतम तत्व है, तो यह क्रम का एकमात्र न्यूनतम तत्व है। फिर से, अनंत पोसेट्स में अधिकतम तत्व हमेशा मौजूद नहीं होते हैं - किसी दिए गए अनंत सेट के सभी 'परिमित' सबसेट का सेट, सबसेट समावेशन द्वारा आदेशित, कई प्रतिपक्षों में से एक प्रदान करता है। कुछ शर्तों के तहत अधिकतम तत्वों के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण ज़ोर्न लेम्मा है।

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के सबसेट ऑर्डर को इनहेरिट करते हैं। हमने प्रेरित विभाज्यता क्रम के साथ प्राकृतिक संख्याओं के सबसेट {2,3,4,5,6} पर विचार करके इसे पहले ही लागू कर दिया है। अब पोसेट के ऐसे तत्व भी हैं जो ऑर्डर के कुछ सबसेट के संबंध में विशेष हैं। यह ऊपरी सीमा की परिभाषा की ओर जाता है। कुछ पोसेट पी के एक उपसमुच्चय एस को देखते हुए, एस की ऊपरी सीमा पी का एक तत्व बी है जो एस' के सभी तत्वों से ऊपर है '। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है

s ≤ b, s में सभी s के लिए।

निचली सीमाएँ फिर से क्रम को उल्टा करके परिभाषित की जाती हैं। उदाहरण के लिए, -5 पूर्णांकों के सबसेट के रूप में प्राकृतिक संख्याओं की निचली सीमा है। सेट के एक सेट को देखते हुए, इन सेटों के लिए सबसेट ऑर्डरिंग के तहत एक ऊपरी सीमा उनके संघ (सेट सिद्धांत) द्वारा दी गई है। वास्तव में, यह ऊपरी सीमा काफी खास है: यह सबसे छोटा सेट है जिसमें सभी सेट शामिल हैं। इसलिए, हमने समुच्चयों के समुच्चय की न्यूनतम ऊपरी सीमा पाई है। इस अवधारणा को सुप्रीमम या ज्वाइन भी कहा जाता है, और एक सेट S के लिए कोई लिखता है sup(S) या $\bigvee S$ इसकी कम से कम ऊपरी सीमा के लिए। इसके विपरीत, सबसे बड़ी निचली सीमा को सबसे कम या मीट और निरूपित inf(S) या के रूप में जाना जाता है $\bigwedge S$. आदेश सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में ये अवधारणाएं महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। दो तत्वों x और y के लिए भी लिखता है $x\vee y$ और $x\wedge y$ sup({x,y}) और inf({x,y}) के लिए क्रमशः।

उदाहरण के लिए, 1 पूर्णांकों के सबसेट के रूप में धनात्मक पूर्णांकों में से सबसे कम है।

एक अन्य उदाहरण के लिए, संबंध | पर फिर से विचार करें प्राकृतिक संख्या पर। दो संख्याओं की सबसे छोटी ऊपरी सीमा सबसे छोटी संख्या है जो उन दोनों से विभाजित होती है, यानी संख्याओं का सबसे कम सामान्य गुणक। बदले में सबसे बड़ी निचली सीमाएं सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा दी जाती हैं।

द्वैत

पिछली परिभाषाओं में, हमने अक्सर ध्यान दिया है कि एक अवधारणा को केवल पूर्व परिभाषा में क्रम बदलने से परिभाषित किया जा सकता है। यह कम से कम और सबसे बड़ा, न्यूनतम और अधिकतम के लिए, ऊपरी सीमा और निचली सीमा के लिए, और इसी तरह का मामला है। यह आदेश सिद्धांत में एक सामान्य स्थिति है: एक दिए गए आदेश को केवल अपनी दिशा का आदान-प्रदान करके उलटा किया जा सकता है, चित्रात्मक रूप से हस आरेख को ऊपर-नीचे फ़्लिप करना। यह तथाकथित दोहरी, उलटा या विपरीत क्रम उत्पन्न करता है।

प्रत्येक आदेश सिद्धांत की परिभाषा में इसकी दोहरी है: यह वह धारणा है जिसे परिभाषा को व्युत्क्रम क्रम में लागू करके प्राप्त किया जाता है। चूँकि सभी अवधारणाएँ सममित हैं, यह संक्रिया आंशिक क्रम के प्रमेयों को संरक्षित करती है। किसी दिए गए गणितीय परिणाम के लिए, कोई केवल क्रम को उल्टा कर सकता है और सभी परिभाषाओं को उनके दोहरे द्वारा प्रतिस्थापित कर सकता है और एक अन्य वैध प्रमेय प्राप्त करता है। यह महत्वपूर्ण और उपयोगी है, क्योंकि एक की कीमत के लिए दो प्रमेय प्राप्त होते हैं। द्वैत (आदेश सिद्धांत) पर लेख में कुछ और विवरण और उदाहरण मिल सकते हैं।

नए आदेशों का निर्माण

दिए गए ऑर्डर में से ऑर्डर बनाने के कई तरीके हैं। दोहरा क्रम एक उदाहरण है। एक अन्य महत्वपूर्ण निर्माण दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों का कार्टेशियन उत्पाद है, जो तत्वों के जोड़े पर उत्पाद ऑर्डर के साथ लिया जाता है। क्रम (ए, एक्स) ≤ (बी, वाई) अगर (और केवल अगर) ए ≤ बी और एक्स ≤ वाई द्वारा परिभाषित किया गया है। (ध्यान से ध्यान दें कि इस परिभाषा में संबंध प्रतीक ≤ के लिए तीन अलग-अलग अर्थ हैं।) दो पॉसेट का असंयुक्त मिलन ऑर्डर निर्माण का एक और विशिष्ट उदाहरण है, जहां ऑर्डर मूल ऑर्डर का सिर्फ (डिसजॉइंट) यूनियन है।

प्रत्येक आंशिक आदेश ≤ एक तथाकथित सख्त आदेश < को जन्म देता है, a <b को परिभाषित करके यदि a ≤ b और नहीं b ≤ a। इस परिवर्तन को a ≤ b यदि a <b या a = b सेट करके उल्टा किया जा सकता है। दो अवधारणाएँ समान हैं, हालाँकि कुछ परिस्थितियों में एक के साथ काम करना दूसरे की तुलना में अधिक सुविधाजनक हो सकता है।

आदेशों के बीच कार्य

दो सेटों के ऑर्डरिंग संबंधों से संबंधित कुछ अतिरिक्त गुणों वाले आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के बीच कार्यों पर विचार करना उचित है। इस संदर्भ में होने वाली सबसे मौलिक स्थिति मोनोटोनिक फ़ंक्शन है। पॉसेट P से पॉसेट Q तक एक फंक्शन f 'मोनोटोन' या 'ऑर्डर-प्रेजर्विंग' है, अगर P में a ≤ b का मतलब Q में f(a) ≤ f(b) है (ध्यान दें कि, सख्ती से, दो संबंध यहाँ भिन्न हैं क्योंकि वे विभिन्न सेटों पर लागू होते हैं।) इस निहितार्थ का विलोम उन कार्यों की ओर ले जाता है जो 'आदेश-परावर्तक' हैं, अर्थात ऊपर दिए अनुसार कार्य f जिसके लिए f(a) ≤ f(b) का तात्पर्य a ≤ b से है। दूसरी ओर, एक फ़ंक्शन 'ऑर्डर-रिवर्सिंग' या 'एंटीटोन' भी हो सकता है, अगर a ≤ b का तात्पर्य f(a) ≥ f(b) से है।

एक 'आदेश-एम्बेडिंग' ऑर्डर के बीच एक फ़ंक्शन है जो ऑर्डर-संरक्षण और ऑर्डर-रिफ्लेक्टिंग दोनों है। इन परिभाषाओं के उदाहरण आसानी से मिल जाते हैं। उदाहरण के लिए, वह फलन जो एक प्राकृतिक संख्या को उसके उत्तराधिकारी के लिए मैप करता है, प्राकृतिक क्रम के संबंध में स्पष्ट रूप से मोनोटोन है। असतत क्रम से कोई भी कार्य, यानी पहचान क्रम = द्वारा आदेशित सेट से, मोनोटोन भी है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को संबंधित वास्तविक संख्या में मैप करने से ऑर्डर एम्बेडिंग के लिए एक उदाहरण मिलता है। सत्ता स्थापित पर पूरक (सेट सिद्धांत) एंटीटोन फ़ंक्शन का एक उदाहरण है।

एक महत्वपूर्ण प्रश्न यह है कि जब दो आदेश अनिवार्य रूप से समान होते हैं, अर्थात जब वे तत्वों के नाम बदलने तक समान होते हैं। आदेश समरूपता' ऐसे कार्य हैं जो इस तरह के नामकरण को परिभाषित करते हैं। एक ऑर्डर-आइसोमोर्फिज्म एक मोनोटोन विशेषण फलन है जिसमें एक मोनोटोन व्युत्क्रम होता है। यह विशेषण क्रम-एम्बेडिंग होने के बराबर है। इसलिए, ऑर्डर-एम्बेडिंग की छवि f(P) हमेशा P के लिए आइसोमॉर्फिक होती है, जो एम्बेडिंग शब्द को सही ठहराती है।

तथाकथित 'गैलॉइस कनेक्शन' द्वारा अधिक विस्तृत प्रकार के कार्य दिए गए हैं। मोनोटोन गाल्वा कनेक्शन को ऑर्डर-आइसोमोर्फिज्म के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि वे उलटी दिशाओं में दो कार्यों की एक जोड़ी का गठन करते हैं, जो एक दूसरे के विपरीत नहीं हैं, लेकिन फिर भी उनके बीच घनिष्ठ संबंध हैं।

पॉसेट पर एक अन्य विशेष प्रकार के स्व-नक्शे हैं 'क्लोजर ऑपरेटर # आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर क्लोजर ऑपरेटर', जो न केवल मोनोटोनिक हैं, बल्कि बेवकूफ भी हैं, यानी एफ (एक्स) = एफ (एफ (एक्स)), और 'क्लोजर' ऑपरेटर' (या मुद्रास्फीति), यानी x ≤ f(x)। गणित में दिखाई देने वाले सभी प्रकार के क्लोजर में इनके कई अनुप्रयोग हैं।

केवल आदेश संबंधों के साथ संगत होने के अलावा, विशेष तत्वों और निर्माणों के संबंध में पॉसेट्स के बीच कार्य भी अच्छा व्यवहार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, जब कम से कम तत्व वाले पॉसेट्स के बारे में बात करते हैं, तो केवल मोनोटोनिक कार्यों पर विचार करना उचित प्रतीत हो सकता है जो इस तत्व को संरक्षित करते हैं, यानी जो कम से कम तत्वों को कम से कम तत्वों को मैप करते हैं। यदि बाइनरी इन्फिमा ∧ मौजूद है, तो एक उचित संपत्ति के लिए आवश्यक हो सकता है कि f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y), सभी x और y के लिए। ये सभी गुण, और वास्तव में बहुत अधिक, सीमा-संरक्षण कार्य (आदेश सिद्धांत) | सीमा-संरक्षण कार्य के लेबल के तहत संकलित किए जा सकते हैं।

अंत में, कोई भी दृश्य को उल्टा कर सकता है, आदेशों के कार्यों से कार्यों के आदेशों पर स्विच कर सकता है। वास्तव में, दो पोसेट P और Q के बीच के कार्यों को बिंदुवार क्रम के माध्यम से आदेशित किया जा सकता है। दो कार्यों एफ और जी के लिए, हमारे पास एफ ≤ जी है अगर एफ (एक्स) ≤ जी (एक्स) पी के सभी तत्वों एक्स के लिए। यह उदाहरण के लिए डोमेन सिद्धांत में होता है, जहां फ़ंक्शन रिक्त स्थान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

विशेष प्रकार के आदेश

क्रम सिद्धांत में अध्ययन की जाने वाली कई संरचनाएं आगे के गुणों के साथ क्रम संबंधों को नियोजित करती हैं। वास्तव में, यहां तक ​​कि कुछ संबंध जो आंशिक आदेश नहीं हैं, विशेष रुचि के होते हैं। मुख्य रूप से प्रीआर्डर की अवधारणा का उल्लेख किया जाना है। एक पूर्व आदेश एक ऐसा संबंध है जो रिफ्लेक्सिव और सकर्मक है, लेकिन जरूरी नहीं कि एंटीसिमेट्रिक हो। प्रत्येक प्रीऑर्डर तत्वों के बीच एक समानता संबंध को प्रेरित करता है, जहां ए बी के बराबर होता है, अगर ए ≤ बी और बी ≤ ए। इस संबंध के संबंध में समतुल्य सभी तत्वों की पहचान करके पूर्व-आदेशों को आदेशों में बदला जा सकता है।

ऑर्डर के आइटम्स पर संख्यात्मक डेटा से कई प्रकार के ऑर्डर परिभाषित किए जा सकते हैं: प्रत्येक आइटम के लिए विशिष्ट वास्तविक संख्याओं को जोड़ने और आइटमों को ऑर्डर करने के लिए संख्यात्मक तुलनाओं का उपयोग करने से कुल ऑर्डर परिणाम; इसके बजाय, यदि अलग-अलग मदों को समान संख्यात्मक अंकों की अनुमति दी जाती है, तो एक सख्त कमजोर क्रम प्राप्त होता है। तुलना किए जाने से पहले एक निश्चित सीमा से अलग होने के लिए दो अंकों की आवश्यकता होती है, जो एक अर्ध-क्रम की अवधारणा की ओर जाता है, जबकि सीमा को प्रति-आइटम के आधार पर अलग-अलग करने की अनुमति एक अंतराल आदेश उत्पन्न करती है।

एक अतिरिक्त सरल लेकिन उपयोगी संपत्ति तथाकथित 'अच्छी तरह से स्थापित संबंध|वेल-फाउंडेड' की ओर ले जाती है, जिसके लिए सभी गैर-खाली सबसेट में एक न्यूनतम तत्व होता है। रेखीय से आंशिक क्रम के लिए अच्छी तरह से आदेश सामान्यीकरण, एक सेट 'अच्छी तरह से आंशिक क्रम' है अगर इसके सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्वों की एक सीमित संख्या है।

कई अन्य प्रकार के ऑर्डर तब उत्पन्न होते हैं जब कुछ सेटों के इन्फिमम और सुपरमम के अस्तित्व की गारंटी होती है। इस पहलू पर ध्यान केंद्रित करते हुए, आमतौर पर आदेशों की पूर्णता (आदेश सिद्धांत) के रूप में जाना जाता है, एक प्राप्त करता है:

• परिबद्ध पोसेट, यानी कम से कम तत्व और सबसे बड़े तत्व वाले पोसेट (जो खाली उपसमुच्चय के केवल सर्वोच्च और न्यूनतम हैं),
• जाली (क्रम), जिसमें प्रत्येक गैर-रिक्त परिमित सेट में एक सर्वोच्च और निम्नतम होता है,
• पूर्ण जाली, जहां हर सेट में एक अंतिम और इन्फिमम होता है, और
• निर्देशित पूर्ण आंशिक आदेश (डीसीपीओएस), जो सभी निर्देशित सेट के सर्वोच्चता के अस्तित्व की गारंटी देता है और डोमेन सिद्धांत में अध्ययन किया जाता है।
• पूरक, या पीओसी सेट के साथ आंशिक आदेश, एक अद्वितीय तल तत्व 0 के साथ पॉसेट हैं, साथ ही एक ऑर्डर-रिवर्सिंग इनवोल्यूशन भी है $*$ ऐसा है कि $a\leq a^{*}\implies a=0.$

हालांकि, कोई और भी आगे जा सकता है: यदि सभी परिमित गैर-खाली इन्फिमा मौजूद हैं, तो ∧ को सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में कुल बाइनरी ऑपरेशन के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, एक जाली में, दो संक्रियाएँ ∧ और ∨ उपलब्ध हैं, और कोई भी सर्वसमिका देकर नए गुणों को परिभाषित कर सकता है, जैसे कि

x∧ (y ∨ z)  =  (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), सभी x, y, और z के लिए।

इस स्थिति को 'वितरणशीलता' कहा जाता है और यह वितरणात्मक जालक को जन्म देती है। कुछ अन्य महत्वपूर्ण वितरण नियम हैं जिनकी चर्चा वितरण पर लेख (आदेश सिद्धांत) में की गई है। कुछ अतिरिक्त आदेश संरचनाएं जो अक्सर बीजगणितीय संचालन और परिभाषित पहचान के माध्यम से निर्दिष्ट की जाती हैं

• Heyting बीजगणित और
• बूलियन बीजगणित (संरचना) एस,

जो दोनों एक नया ऑपरेशन शुरू करते हैं ~ जिसे 'निषेध' कहा जाता है। दोनों संरचनाएं गणितीय तर्क में एक भूमिका निभाती हैं और विशेष रूप से बूलियन बीजगणित के कंप्यूटर विज्ञान में प्रमुख अनुप्रयोग हैं। अंत में, गणित में विभिन्न संरचनाएं और भी अधिक बीजगणितीय संक्रियाओं के साथ आदेशों को जोड़ती हैं, जैसा कि कितना के मामले में होता है, जो एक अतिरिक्त संक्रिया की परिभाषा की अनुमति देता है।

पोसेट्स के कई अन्य महत्वपूर्ण गुण मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, एक पॉसेट 'स्थानीय रूप से परिमित' है यदि इसमें प्रत्येक बंद अंतराल (गणित) [a, b] परिमित सेट है। स्थानीय रूप से परिमित पॉसेट आपतन बीजगणित को जन्म देते हैं जो बदले में परिमित बाउंड पॉसेट के यूलर विशेषता#सामान्यीकरण को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

ऑर्डर किए गए सेट के सबसेट

एक क्रमित समुच्चय में, दिए गए क्रम के आधार पर कई प्रकार के विशेष उपसमुच्चयों को परिभाषित किया जा सकता है। एक साधारण उदाहरण ऊपरी सेट हैं; यानी ऐसे सेट जिनमें क्रम में उनके ऊपर सभी तत्व होते हैं। औपचारिक रूप से, एक पोसेट P में एक सेट S का ऊपरी संवरण P में सेट {x द्वारा दिया जाता है | स में य ≤ x} के साथ कुछ य होता है। एक सेट जो इसके ऊपरी बंद होने के बराबर होता है उसे ऊपरी सेट कहा जाता है। निचले सेटों को दोहरे रूप से परिभाषित किया गया है।

अधिक जटिल निचले उपसमुच्चय आदर्श (आदेश सिद्धांत) हैं, जिनके पास अतिरिक्त संपत्ति है कि उनके प्रत्येक दो तत्वों में आदर्श के भीतर एक ऊपरी सीमा होती है। उनके दोहरे फ़िल्टर (गणित) द्वारा दिए गए हैं। एक संबंधित अवधारणा एक निर्देशित सेट की है, जिसमें एक आदर्श की तरह परिमित उपसमुच्चय की ऊपरी सीमा होती है, लेकिन एक निम्न सेट नहीं होना चाहिए। इसके अलावा, यह अक्सर प्रीऑर्डर किए गए सेटों के लिए सामान्यीकृत होता है।

एक उपसमुच्चय जो - एक उप-समुच्चय के रूप में - रैखिक रूप से आदेशित होता है, उसे कुल क्रम#चेन कहा जाता है। विपरीत धारणा, antichain, एक उपसमुच्चय है जिसमें दो तुलनीय तत्व नहीं होते हैं; यानी वह असतत आदेश है।

संबंधित गणितीय क्षेत्र

यद्यपि अधिकांश गणितीय क्षेत्र एक या दूसरे तरीके से आदेशों का उपयोग करते हैं, फिर भी कुछ सिद्धांत ऐसे भी हैं जिनके संबंध केवल अनुप्रयोग से कहीं आगे तक जाते हैं। आदेश सिद्धांत के संपर्क के उनके प्रमुख बिंदुओं के साथ, इनमें से कुछ को नीचे प्रस्तुत किया जाना है।

सार्वभौमिक बीजगणित

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सार्वभौमिक बीजगणित के तरीके और औपचारिकताएं कई आदेश सैद्धांतिक विचारों के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं। कुछ सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करने वाली बीजगणितीय संरचनाओं के संदर्भ में आदेशों को औपचारिक रूप देने के अलावा, बीजगणित से अन्य संबंध भी स्थापित किए जा सकते हैं। बूलियन बीजगणित (संरचना) और बूलियन रिंग्स के बीच पत्राचार द्वारा एक उदाहरण दिया गया है। अन्य मुद्दे मुक्त वस्तु के अस्तित्व से संबंधित हैं, जैसे जनरेटर के दिए गए सेट के आधार पर मुक्त जाली। इसके अलावा, सार्वभौमिक बीजगणित के अध्ययन में क्लोजर ऑपरेटर महत्वपूर्ण हैं।

टोपोलॉजी

टोपोलॉजी में, ऑर्डर बहुत प्रमुख भूमिका निभाते हैं। वास्तव में, खुले सेट का संग्रह एक पूर्ण जाली का शास्त्रीय उदाहरण प्रदान करता है, अधिक सटीक रूप से एक पूर्ण हेटिंग बीजगणित (या फ्रेम या लोकेल)। फ़िल्टर (गणित) और नेट (गणित) आदेश सिद्धांत से निकटता से संबंधित धारणाएँ हैं और एक टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए बंद सेट का उपयोग किया जा सकता है। इन संबंधों से परे, टोपोलॉजी को पूरी तरह से खुला सेट लैटिस के संदर्भ में देखा जा सकता है, जो व्यर्थ टोपोलॉजी के अध्ययन की ओर ले जाता है। इसके अलावा, एक टोपोलॉजी के अंतर्निहित सेट के तत्वों का एक प्राकृतिक पूर्वक्रम तथाकथित विशेषज्ञता क्रम द्वारा दिया जाता है, जो वास्तव में एक आंशिक आदेश है यदि टोपोलॉजी T0 स्पेस है। टी₀.

इसके विपरीत, क्रम सिद्धांत में, अक्सर सामयिक परिणामों का उपयोग किया जाता है। ऑर्डर के सबसेट को परिभाषित करने के विभिन्न तरीके हैं जिन्हें एक टोपोलॉजी के खुले सेट के रूप में माना जा सकता है। पॉसेट (एक्स, ≤) पर टोपोलॉजी को ध्यान में रखते हुए, जो बदले में ≤ को उनके विशेषज्ञता क्रम के रूप में प्रेरित करता है, टोपोलॉजी की तुलना ऐसी टोपोलॉजी अलेक्जेंडर टोपोलॉजी है, जो सभी ऊपरी सेटों को खोलता है। इसके विपरीत, टोपोलॉजी टोपोलॉजी की तुलना जो विशेषज्ञता क्रम को प्रेरित करती है, वह ऊपरी टोपोलॉजी है, जिसमें एक उप-आधार के रूप में आदर्श (आदेश सिद्धांत) (अर्थात् {y in X | y ≤ x} कुछ x के लिए फॉर्म के सेट) के पूरक हैं। इसके अतिरिक्त, विशेषज्ञता आदेश ≤ के साथ एक टोपोलॉजी विशेषज्ञता (पूर्व) आदेश # महत्वपूर्ण गुण हो सकती है, जिसका अर्थ है कि उनके खुले सेट निर्देशित सुप्रीमा (≤ के संबंध में) द्वारा पहुंच योग्य नहीं हैं। बेहतरीन क्रम सुसंगत टोपोलॉजी स्कॉट टोपोलॉजी है, जो एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी की तुलना में मोटा है। इस भावना में तीसरी महत्वपूर्ण टोपोलॉजी लॉसन टोपोलॉजी है। इन टोपोलॉजी और ऑर्डर थ्योरी की अवधारणाओं के बीच घनिष्ठ संबंध हैं। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन निर्देशित सर्वोच्चता को संरक्षित करता है यदि और केवल अगर यह स्कॉट टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है (इस कारण से इस ऑर्डर सैद्धांतिक संपत्ति को स्कॉट-निरंतर | स्कॉट-निरंतरता भी कहा जाता है)।

श्रेणी सिद्धांत

हस्से आरेखों के साथ आदेशों के विज़ुअलाइज़ेशन में एक सीधा सामान्यीकरण होता है: बड़े तत्वों के नीचे कम तत्वों को प्रदर्शित करने के बजाय, आदेश की दिशा को ग्राफ़ के किनारों को निर्देश देकर भी चित्रित किया जा सकता है। इस तरह, प्रत्येक क्रम को एक निर्देशित विश्वकोश ग्राफ के बराबर देखा जाता है, जहां नोड्स पॉसेट के तत्व होते हैं और ए से बी तक एक निर्देशित पथ होता है यदि और केवल अगर ≤ बी। एसाइक्लिक होने की आवश्यकता को छोड़कर, कोई भी सभी प्रीऑर्डर्स प्राप्त कर सकता है।

जब सभी सकर्मक किनारों से सुसज्जित होते हैं, तो ये ग्राफ़ बदले में केवल विशेष श्रेणी के सिद्धांत होते हैं, जहाँ तत्व वस्तुएँ होती हैं और दो तत्वों के बीच आकारिकी का प्रत्येक सेट अधिकतम सिंगलटन होता है। आदेशों के बीच कार्य श्रेणियों के बीच कारक बन जाते हैं। ऑर्डर थ्योरी के कई विचार छोटे में श्रेणी सिद्धांत की अवधारणाएं हैं। उदाहरण के लिए, एक infimum सिर्फ एक उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) है। अधिक आम तौर पर, एक सीमा (श्रेणी सिद्धांत) (या कोलिमिट, क्रमशः) की अमूर्त धारणा के तहत इन्फिमा और सुप्रीमा को पकड़ सकता है। एक और जगह जहां श्रेणीबद्ध विचार उत्पन्न होते हैं, वह एक (मोनोटोन) गैलोज कनेक्शन की अवधारणा है, जो कि निकटस्थ फंक्शनलर्स की एक जोड़ी के समान है।

लेकिन श्रेणी सिद्धांत का भी बड़े पैमाने पर आदेश सिद्धांत पर प्रभाव पड़ता है। जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है उपयुक्त कार्यों के साथ पॉसेट्स की कक्षाएं दिलचस्प श्रेणियां बनाती हैं। अक्सर श्रेणियों के संदर्भ में उत्पाद ऑर्डर की तरह ऑर्डर के निर्माण को भी बता सकते हैं। आगे की अंतर्दृष्टि का परिणाम तब होता है जब ऑर्डर की श्रेणियां अन्य श्रेणियों के लिए श्रेणियों की समानता पाई जाती हैं, उदाहरण के लिए टोपोलॉजिकल स्पेस। शोध की यह पंक्ति विभिन्न प्रतिनिधित्व प्रमेयों की ओर ले जाती है, जिन्हें अक्सर स्टोन द्वैत के लेबल के तहत एकत्र किया जाता है।

इतिहास

जैसा कि पहले बताया गया है, गणित में आदेश सर्वव्यापी हैं। हालाँकि, आंशिक आदेशों का प्रारंभिक स्पष्ट उल्लेख संभवतः 19वीं शताब्दी से पहले नहीं पाया जा सकता है। इस सन्दर्भ में जॉर्ज बूले की कृतियों का विशेष महत्व है। इसके अलावा, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स, रिचर्ड डेडेकिंड, और अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) | अर्नस्ट श्रोडर के कार्य भी आदेश सिद्धांत की अवधारणाओं पर विचार करते हैं।

आदेशित ज्यामिति के योगदानकर्ताओं को 1961 की पाठ्यपुस्तक में सूचीबद्ध किया गया था:

It was Pasch in 1882, who first pointed out that a geometry of order could be developed without reference to measurement. His system of axioms was gradually improved by Peano (1889), Hilbert (1899), and Veblen (1904).

— H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry

1901 में बर्ट्रेंड रसेल ने आदेश की धारणा पर लिखा क्रमिक संबंध की पीढ़ी के माध्यम से विचार की नींव की खोज करना। वह गणित के सिद्धांतों (1903) के भाग IV में विषय पर लौट आए। रसेल ने नोट किया कि बाइनरी रिलेशन aRb का अर्थ a से b तक आगे बढ़ना है, विपरीत संबंध का विपरीत अर्थ है, और भावना क्रम और श्रृंखला का स्रोत है। (पृष्ठ 95) वह इम्मैनुएल कांत को स्वीकार करता है तार्किक विरोध और सकारात्मक और नकारात्मक विरोध के बीच के अंतर से अवगत थे। उन्होंने लिखा कि कांट श्रेय के पात्र हैं क्योंकि उन्होंने पहली बार असममित संबंधों के तार्किक महत्व की ओर ध्यान आकर्षित किया।

आंशिक रूप से आदेशित सेट के संक्षिप्त नाम के रूप में पोसेट शब्द को गैरेट बिरखॉफ ने अपनी प्रभावशाली पुस्तक लैटिस थ्योरी के दूसरे संस्करण में गढ़ा था।

यह भी देखें

• चक्रीय क्रम
• पदानुक्रम
• घटना बीजगणित
• कारण सेट

संदर्भ

• Birkhoff, Garrett (1940). Lattice Theory. Vol. 25 (3rd Revised ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1025-5.
• Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. (1981). A Course in Universal Algebra. Springer. ISBN 978-0-387-90578-5.
• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
• Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Mislove, M.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 93. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80338-0.

बाहरी संबंध

• Orders at ProvenMath partial order, linear order, well order, initial segment; formal definitions and proofs within the axioms of set theory.
• Nagel, Felix (2013). Set Theory and Topology. An Introduction to the Foundations of Analysis

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