कुल आदेश

This article is about the mathematical concept. For the linguistic term, see Linear order (linguistics).

गणित में, कुल या रैखिक क्रम एक आंशिक क्रम है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं। अर्थात्, कुल क्रम एक द्विआधारी संबंध है $\leq$ कुछ सेट पर (गणित) $X$, जो सभी के लिए निम्नलिखित को संतुष्ट करता है $a,b$ और $c$ में $X$:

1. $a\leq a$ (प्रतिवर्त संबंध )।
2. यदि $a\leq b$ और $b\leq c$ तब $a\leq c$ (सकर्मक संबंध )।
3. यदि $a\leq b$ और $b\leq a$ तब $a=b$ (एंटीसिमेट्रिक संबंध )।
4. $a\leq b$ या $b\leq a$ (जुड़ा हुआ संबंध , जिसे पहले टोटल कहा जाता था)।

कुल ऑर्डर को कभी-कभी साधारण भी कहा जाता है, कनेक्शन, या पूर्ण आदेश। कुल ऑर्डर से लैस एक सेट पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट है; शर्तें बस सेट का आदेश दिया, रैखिक रूप से आदेशित सेट, और हार गया भी उपयोग किए जाते हैं। शब्द श्रृंखला को कभी-कभी पूरी तरह से आदेशित सेट के पर्याय के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन आम तौर पर किसी दिए गए आंशिक रूप से आदेशित सेट के किसी प्रकार के पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सबसेट को संदर्भित करता है।

कुल आदेश के लिए दिए गए आंशिक क्रम का विस्तार उस आंशिक क्रम का रैखिक विस्तार कहलाता है।

सख्त और गैर-सख्त कुल आदेश

एstrict total orderएक सेट पर $X$ एक सख्त आंशिक आदेश है $X$ जिसमें किन्हीं दो भिन्न तत्वों की तुलना की जा सकती है। अर्थात्, कुल क्रम एक द्विआधारी संबंध है $<$ कुछ सेट पर (गणित) $X$, जो सभी के लिए निम्नलिखित को संतुष्ट करता है $a,b$ और $c$ में $X$:

1. नहीं $a<a$ (अपरिवर्तनीय संबंध)।
2. यदि $a<b$ फ़िर नही $b<a$ (असममित संबंध )।
3. यदि $a<b$ और $b<c$ तब $a<c$ (सकर्मक संबंध)।
4. यदि $a\neq b$, तब $a<b$ या $b<a$ (कनेक्टेड रिलेशन)।

ट्रांज़िटिविटी और इर्रेफ़्लेक्सिव से असममित प्रवाह; इसके अलावा, विषमता विषमता से आती है। प्रत्येक (गैर-सख्त) कुल आदेश के लिए $\leq$ सम्बद्ध संबंध है $<$, से जुड़ा सख्त कुल आदेश कहा जाता है $\leq$ जिसे दो समकक्ष तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है:

• $a<b$ यदि $a\leq b$ और $a\neq b$ (प्रतिवर्त कमी )।
• $a<b$ अगर नहीं $b\leq a$ (अर्थात।, $<$ द्विआधारी संबंध है# के विलोम संबंध का पूरक है $\leq$).

इसके विपरीत, सख्त कुल आदेश का रिफ्लेक्सिव क्लोजर $<$ एक (गैर सख्त) कुल आदेश है।

उदाहरण

• पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट का कोई भी सबसेट X पर आदेश के प्रतिबंध के लिए पूरी तरह से आदेशित है X.
• खाली सेट पर अद्वितीय आदेश, ∅, कुल आदेश है।
• कार्डिनल संख्या या क्रमिक संख्या का कोई भी सेट (अधिक दृढ़ता से, ये अच्छी-आदेश हैं)।
• यदि X कोई सेट है और f से एक इंजेक्शन समारोह X तब पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट पर f कुल आदेश को प्रेरित करता है X व्यवस्थित करके x₁ ≤ x₂ अगर और केवल अगर f(x₁) ≤ f(x₂).
• पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेटों के एक परिवार के कार्टेशियन उत्पाद पर लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर , एक अच्छी-ऑर्डर द्वारा सेट इंडेक्स, स्वयं कुल ऑर्डर है।
• सामान्य से कम या बराबर (≤) या उससे अधिक या बराबर (≥) संबंधों द्वारा आदेशित वास्तविक संख्याओं सूचकांक सेट पूरी तरह से आदेशित है। इसलिए वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक उपसमुच्चय पूरी तरह से क्रमबद्ध है, जैसे कि प्राकृतिक संख्या एँ, पूर्णांक और परिमेय संख्या एँ। इनमें से प्रत्येक को एक निश्चित संपत्ति के साथ पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के अद्वितीय (एक आदेश समरूपता तक) प्रारंभिक उदाहरण के रूप में दिखाया जा सकता है, (यहाँ, कुल आदेश A एक संपत्ति के लिए प्रारंभिक है, अगर, जब भी B संपत्ति है, वहाँ से एक आदेश समरूपता है A के एक सबसेट के लिए B):
  • प्राकृतिक संख्याएं प्रारंभिक गैर-खाली पूरी तरह से आदेशित सेट बनाती हैं जिसमें कोई ऊपरी सीमा नहीं होती है।
  • पूर्णांक एक प्रारंभिक गैर-खाली पूरी तरह से आदेशित सेट बनाते हैं जिसमें न तो ऊपरी और न ही निचली सीमा होती है।
  • परिमेय संख्याएँ प्रारंभिक पूर्ण रूप से क्रमबद्ध सेट बनाती हैं जो वास्तविक संख्याओं में सघन सेट है। इसके अलावा, रिफ्लेक्सिव रिडक्शन < परिमेय संख्याओं पर एक सघन क्रम है।
  • वास्तविक संख्याएँ एक आरंभिक अनबाउंड पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट का निर्माण करती हैं जो आदेश टोपोलॉजी (नीचे परिभाषित) में जुड़ाव है।
• ऑर्डर किए गए फ़ील्ड परिभाषा के अनुसार पूरी तरह से ऑर्डर किए गए हैं। इनमें परिमेय संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। प्रत्येक ऑर्डर किए गए फ़ील्ड में एक ऑर्डर किया हुआ सबफ़ील्ड होता है जो परिमेय संख्याओं के लिए आइसोमोर्फिक होता है। कोई भी डेडेकिंड-पूर्ण आदेशित फ़ील्ड वास्तविक संख्याओं के लिए आइसोमोर्फिक है।
• वर्णमाला के अक्षरों को मानक वर्णमाला क्रम के अनुसार क्रमित किया गया है, उदाहरण के लिए, A < B < C आदि, एक सख्त कुल आदेश है।

जंजीरें

शब्द श्रृंखला को कभी-कभी पूरी तरह से आदेशित सेट के पर्याय के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन यह आम तौर पर आंशिक रूप से आदेशित सेट के सबसेट को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है जो प्रेरित आदेश के लिए पूरी तरह से आदेश दिया जाता है। आमतौर पर, आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट किसी दिए गए सेट के सबसेट का एक सेट होता है जिसे शामिल करने का आदेश दिया जाता है, और इस शब्द का उपयोग श्रृंखलाओं के सेट के गुणों को बताने के लिए किया जाता है। सेटों के नेस्टेड स्तरों की यह उच्च संख्या शब्द की उपयोगिता की व्याख्या करती है।

पूरी तरह से आदेशित उपसमुच्चय को संदर्भित करने के लिए श्रृंखला के उपयोग का एक सामान्य उदाहरण ज़ोर्न लेम्मा है जो दावा करता है कि, यदि आंशिक रूप से आदेशित सेट में प्रत्येक श्रृंखला X में एक ऊपरी सीमा है X, तब X कम से कम एक अधिकतम तत्व शामिल है। ज़ोर्न लेम्मा का आमतौर पर प्रयोग किया जाता है X उपसमुच्चय का एक सेट होना; इस मामले में, ऊपरी सीमा यह साबित करके प्राप्त की जाती है कि एक श्रृंखला के तत्वों का मिलन X में है X. यह वह तरीका है जो आम तौर पर यह साबित करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि एक वेक्टर अंतरिक्ष में हैमेल आधार हैं और एक अंगूठी (गणित) में अधिकतम आदर्श हैं।

कुछ संदर्भों में, जिन शृंखलाओं पर विचार किया जाता है, वे अपने सामान्य क्रम या इसके विलोम संबंध के साथ प्राकृतिक संख्याओं के समतुल्य क्रम हैं। इस मामले में, एक श्रृंखला को एक मोनोटोन अनुक्रम के साथ पहचाना जा सकता है, और इसे आरोही श्रृंखला या अवरोही श्रृंखला कहा जाता है, यह निर्भर करता है कि अनुक्रम बढ़ रहा है या घट रहा है। आंशिक रूप से आदेशित सेट में अवरोही श्रृंखला की स्थिति होती है यदि प्रत्येक अवरोही श्रृंखला अंततः स्थिर हो जाती है। उदाहरण के लिए, एक आदेश अच्छी तरह से स्थापित क्रम है यदि उसमें अवरोही श्रृंखला की स्थिति है। इसी तरह, आरोही श्रृंखला की स्थिति का अर्थ है कि प्रत्येक आरोही श्रृंखला अंततः स्थिर हो जाती है। उदाहरण के लिए, एक नोथेरियन वलय एक वलय है जिसका आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।

अन्य संदर्भों में, केवल परिमित समुच्चय वाली शृंखलाओं पर विचार किया जाता है। इस मामले में, एक परिमित श्रृंखला की बात करता है, जिसे अक्सर एक श्रृंखला के रूप में छोटा किया जाता है। इस मामले में, श्रृंखला की 'लंबाई' श्रृंखला के लगातार तत्वों के बीच असमानताओं (या सेट समावेशन) की संख्या है; वह है, श्रृंखला में तत्वों की संख्या ऋण एक। इस प्रकार एक सिंगलटन सेट लंबाई शून्य की एक श्रृंखला है, और एक आदेशित जोड़ी लंबाई की एक श्रृंखला है। किसी स्थान के आयाम सिद्धांत को अक्सर परिभाषित किया जाता है या उप-श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, सदिश स्थान का आयाम रैखिक उपस्थानों की श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई है, और क्रमविनिमेय वलय का क्रुल आयाम प्रमुख आदर्शों की श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई है।

गणितीय संरचना  के कुछ पूरी तरह से क्रमबद्ध उपसमुच्चय के लिए भी श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है जो आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट नहीं हैं। बहुपदों की नियमित शृंखलाओं द्वारा एक उदाहरण दिया गया है। एक अन्य उदाहरण एक ग्राफ (असतत गणित)  में चलने (ग्राफ सिद्धांत) के पर्याय के रूप में श्रृंखला का उपयोग है।

आगे की अवधारणाएं

जाली सिद्धांत

एक पूरी तरह से आदेशित सेट को एक विशेष प्रकार के जाली (क्रम) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात् एक जिसमें हमारे पास है

$\{a\vee b,a\wedge b\}=\{a,b\}$ सभी के लिए ए, बी।

फिर हम a ≤ b if और only if लिखते हैं $a=a\wedge b$. इसलिए एक पूरी तरह से आदेशित सेट एक वितरण जालक है।

परिमित कुल आदेश

एक साधारण गिनती तर्क यह सत्यापित करेगा कि किसी भी गैर-खाली परिमित पूरी तरह से आदेशित सेट (और इसलिए किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय) में कम से कम तत्व है। इस प्रकार प्रत्येक परिमित कुल क्रम वास्तव में एक अच्छी व्यवस्था है। या तो प्रत्यक्ष प्रमाण के द्वारा या यह देखते हुए कि प्रत्येक अच्छी क्रम क्रमसूचक संख्या के लिए क्रम समरूपी है, कोई यह दिखा सकता है कि प्रत्येक परिमित कुल क्रम < द्वारा आदेशित प्राकृतिक संख्याओं के प्रारंभिक खंड के लिए क्रम समरूपी है। दूसरे शब्दों में, k तत्वों के साथ एक सेट पर कुल क्रम पहले k प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक आक्षेप को प्रेरित करता है। इसलिए ऑर्डर प्रकार ω के साथ ऑर्डर प्रकार ω के साथ परिमित कुल ऑर्डर या अच्छी ऑर्डर को अनुक्रमित करना आम है जो ऑर्डरिंग का सम्मान करता है (या तो शून्य या एक के साथ शुरू होता है)।

श्रेणी सिद्धांत

पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों की श्रेणी (गणित) की एक उपश्रेणी बनाते हैं, जिसमें आकारिता मैप होते हैं जो ऑर्डर का सम्मान करते हैं, यानी मैप्स f जैसे कि अगर a ≤ b तो f(a) ≤ f(b)।

दो आदेशों का सम्मान करने वाले दो पूरी तरह से आदेशित सेटों के बीच एक आक्षेप मानचित्र (गणित) इस श्रेणी में एक समरूपता है।

ऑर्डर टोपोलॉजी

किसी भी पूरी तरह से व्यवस्थित सेट एक्स के लिए हम अंतराल (गणित) एस (ए, बी) = {एक्स: ए <एक्स और एक्स <बी}, (-∞, बी) = {एक्स: एक्स <बी}, (ए) को परिभाषित कर सकते हैं , ∞) = {x : a < x} और (−∞, ∞) = X। हम इन खुले अंतरालों का उपयोग किसी क्रमित सेट, ऑर्डर टोपोलॉजी पर टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए कर सकते हैं।

जब एक सेट पर एक से अधिक ऑर्डर का उपयोग किया जा रहा हो तो एक विशेष ऑर्डर द्वारा प्रेरित ऑर्डर टोपोलॉजी के बारे में बात की जाती है। उदाहरण के लिए यदि 'एन' प्राकृतिक संख्या है, <से कम है और> इससे अधिक है तो हम < द्वारा प्रेरित 'एन' पर ऑर्डर टोपोलॉजी का उल्लेख कर सकते हैं और 'एन' पर ऑर्डर टोपोलॉजी > से प्रेरित है (इस मामले में वे होते हैं समान होना लेकिन सामान्य रूप से नहीं होगा)।

कुल क्रम से प्रेरित आदेश टोपोलॉजी को आनुवंशिक रूप से सामान्य स्थान के रूप में दिखाया जा सकता है।

पूर्णता

एक पूरी तरह से आदेशित सेट को पूर्णता (आदेश सिद्धांत) कहा जाता है यदि प्रत्येक गैर-खाली सबसेट जिसमें ऊपरी सीमा होती है, कम से कम ऊपरी सीमा होती है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या ओं का समुच्चय R पूर्ण है लेकिन परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q नहीं है। दूसरे शब्दों में, पूर्णता (आदेश सिद्धांत) की विभिन्न अवधारणाएं (कुल होने के साथ भ्रमित नहीं होना) द्विआधारी संबंध को आगे नहीं बढ़ाती हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं पर संबंध की एक संपत्ति ≤ यह है कि आर में ऊपरी सीमा के साथ आर के प्रत्येक खाली सेट | गैर-रिक्त उपसमुच्चय एस में आर में एक सर्वोच्च (जिसे सर्वोच्च भी कहा जाता है) है। हालांकि, के लिए परिमेय संख्याएँ यह सर्वोच्चता आवश्यक रूप से परिमेय नहीं है, इसलिए वही गुण परिमेय संख्याओं के संबंध ≤ के प्रतिबंध पर नहीं टिकता है।

X की पूर्णता के क्रम टोपोलॉजी के गुणों से संबंधित कई परिणाम हैं:

• यदि X पर ऑर्डर टोपोलॉजी जुड़ी हुई है, तो X पूर्ण है।
• X ऑर्डर टोपोलॉजी के तहत जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर यह पूर्ण है और X में कोई गैप नहीं है (एक गैप दो बिंदु a और b' है) एक्स में ए < बी के साथ ऐसा है कि कोई सी ए < सी < बी को संतुष्ट करता है।)
• X पूर्ण है यदि और केवल यदि आदेश टोपोलॉजी में बंद किया गया प्रत्येक बाउंडेड सेट कॉम्पैक्ट है।

एक पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट (इसके ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ) जो एक पूर्ण जाली है, कॉम्पैक्ट जगह है। उदाहरण वास्तविक संख्याओं के बंद अंतराल हैं, उदा। इकाई अंतराल [0,1], और सघन रूप से विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली (विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा)। इन उदाहरणों के बीच क्रम-संरक्षण होमियोमोर्फिज्म हैं।

आदेशों का योग

किन्हीं दो असंयुक्त कुल आदेशों के लिए $(A_{1},\leq _{1})$ और $(A_{2},\leq _{2})$, एक प्राकृतिक क्रम है $\leq _{+}$ मंच पर $A_{1}\cup A_{2}$, जिसे दो आदेशों का योग या कभी-कभी केवल कहा जाता है $A_{1}+A_{2}$:

के लिए $x,y\in A_{1}\cup A_{2}$, $x\leq _{+}y$ धारण करता है अगर और केवल अगर निम्न में से कोई एक धारण करता है:

1. $x,y\in A_{1}$ और $x\leq _{1}y$
2. $x,y\in A_{2}$ और $x\leq _{2}y$
3. $x\in A_{1}$ और $y\in A_{2}$

सहज रूप से, इसका मतलब है कि पहले सेट के तत्वों के ऊपर दूसरे सेट के तत्व जोड़े जाते हैं।

अधिक सामान्यतः, यदि $(I,\leq )$ एक पूरी तरह से ऑर्डर किया गया इंडेक्स सेट है, और प्रत्येक के लिए $i\in I$ संरचना $(A_{i},\leq _{i})$ एक रैखिक क्रम है, जहां सेट होता है $A_{i}$ जोड़ो में अलग हैं, तो प्राकृतिक कुल क्रम पर $\bigcup _{i}A_{i}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

के लिए $x,y\in \bigcup _{i\in I}A_{i}$, $x\leq y$ रखती है अगर:

1. या तो कुछ है $i\in I$ साथ $x\leq _{i}y$
2. या कुछ हैं $i<j$ में $I$ साथ $x\in A_{i}$, $y\in A_{j}$

निर्णायकता

प्रथम-क्रम तर्क | कुल आदेशों का प्रथम-क्रम सिद्धांत निर्णायकता (तर्क) है, अर्थात यह तय करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है कि कौन-सा प्रथम-क्रम कथन सभी कुल आदेशों के लिए धारण करता है। S2S (गणित) में व्याख्यात्मकता का उपयोग करते हुए, मोनाडिक दूसरे क्रम का तर्क | गणनीय सेट टोटल ऑर्डर का मोनाडिक सेकंड-ऑर्डर सिद्धांत भी निर्णायक है।

== पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट == के कार्टेशियन उत्पाद पर ऑर्डर

बढ़ती ताकत के क्रम में, यानी जोड़े के घटते सेट, दो पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेटों के कार्टेशियन उत्पाद पर संभावित आदेशों में से तीन हैं:

• शब्दावली क्रम: (ए, बी) ≤ (सी, डी) अगर और केवल अगर ए <सी या (ए = सी और बी ≤ डी)। यह कुल आदेश है।
• (ए, बी) ≤ (सी, डी) अगर और केवल अगर ए ≤ सी और बी ≤ डी (उत्पाद क्रम )। यह आंशिक आदेश है।
• (ए, बी) ≤ (सी, डी) अगर और केवल अगर (ए <सी और बी <डी) या (ए = सी और बी = डी) (प्रत्यक्ष उत्पाद का रिफ्लेक्सिव क्लोजर # द्विआधारी संबंधों का प्रत्यक्ष उत्पाद संबंधित सख्त कुल आदेश)। यह भी आंशिक आदेश है।

तीनों को समान रूप से दो सेट से अधिक के कार्टेशियन उत्पाद के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

सदिश स्थान 'R' पर लागूⁿ, इनमें से प्रत्येक इसे एक आदेशित सदिश स्थान बनाता है।

आंशिक रूप से आदेशित सेट#उदाहरण भी देखें।

'R' के एक उपसमुच्चय पर परिभाषित n वास्तविक चरों का एक वास्तविक फलनⁿ उस सबसेट पर सख्त कमजोर क्रम #Function।

संबंधित संरचनाएं

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

एक द्विआधारी संबंध जो प्रतिसममित, सकर्मक और प्रतिवर्ती (लेकिन आवश्यक रूप से कुल नहीं) एक आंशिक क्रम है।

एक संगत कुल क्रम वाला एक समूह (गणित) एक पूरी तरह से आदेशित समूह है।

केवल कुछ गैर-तुच्छ संरचनाएं हैं जो कुल ऑर्डर के रिडक्ट्स (के रूप में परिभाषित) हैं। ओरिएंटेशन को भूल जाने से बीच का संबंध बन जाता है। सिरों के स्थान को भूल जाने से चक्रीय क्रम होता है। दोनों आँकड़ों को भूल जाने से संबंध विच्छेद हो जाता है।

यह भी देखें

• Artinian ring
• Countryman line
• Order theory
• Permutation
• Prefix order - नीचे की ओर कुल आंशिक क्रम
• Suslin's problem
• Well-order

संदर्भ

• Garrett Birkhoff (1967). Lattice Theory. Colloquium Publications. Vol. 25. Providence: Am. Math. Soc.
• Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (1990). Introduction to Lattices and Order. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36766-2. LCCN 89009753.
• Fuchs, L (1963). Partially Ordered Algebraic Systems. Pergamon Press.
• George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4
• Rosenstein, Joseph G. (1982). Linear orderings. New York: Academic Press.
• Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (1993). Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-77970-1.

बाहरी कड़ियाँ

• "Totally ordered set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]