आकारिता

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत में, आकारिकी एक संरचना-संरक्षण मानचित्र (गणित) है जो एक गणितीय संरचना से उसी प्रकार की दूसरी संरचना में होता है। आकृतिवाद की धारणा समकालीन गणित में बहुत बार आती है। समुच्चय सिद्धांत में आकारिकी कार्य (समुच्चय सिद्धांत) हैं; रैखिक बीजगणित में, रैखिक परिवर्तन; समूह सिद्धांत में, समूह समरूपता; टोपोलॉजी में, निरंतर कार्य, और इसी तरह।

श्रेणी के सिद्धांत में, रूपवाद मोटे तौर पर एक समान विचार है: इसमें शामिल गणितीय वस्तुओं को सेट करने की आवश्यकता नहीं है, और उनके बीच के संबंध नक्शे के अलावा कुछ और हो सकते हैं, हालांकि किसी दिए गए वर्ग की वस्तुओं के बीच आकारिकी को समान व्यवहार करना पड़ता है। मानचित्रों के लिए जिसमें उन्हें कार्य रचना के समान एक साहचर्य संचालन स्वीकार करना होगा। श्रेणी सिद्धांत में आकारिकी समरूपता का एक अमूर्त रूप है। आकृतिवाद और संरचनाओं (जिन्हें ऑब्जेक्ट कहा जाता है) का अध्ययन, जिस पर उन्हें परिभाषित किया गया है, श्रेणी सिद्धांत का केंद्र है। मोर्फिज्म की अधिकांश शब्दावली, साथ ही साथ उनके अंतर्निहित अंतर्ज्ञान, कंक्रीट श्रेणी से आती है, जहां वस्तुओं को केवल कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ सेट किया जाता है, और आकारिकी संरचना-संरक्षण कार्य हैं। श्रेणी सिद्धांत में, आकारिकी को कभी-कभी 'तीर' भी कहा जाता है।

परिभाषा

एक श्रेणी (गणित) सी में दो वर्ग (सेट सिद्धांत) होते हैं, जिनमें से एक objects और अन्य morphisms. दो वस्तुएँ हैं जो हर रूपवाद से जुड़ी हैं, source और यह target. स्रोत X और लक्ष्य Y के साथ एक आकारिकी f को f : X → Y लिखा जाता है, और आरेखीय रूप से a द्वारा दर्शाया जाता है arrow X से Y तक।

कई सामान्य श्रेणियों के लिए, ऑब्जेक्ट सेट (गणित) होते हैं (अक्सर कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ) और आकृतिवाद एक ऑब्जेक्ट से दूसरे ऑब्जेक्ट में फ़ंक्शन (गणित) होते हैं। इसलिए, आकारिकी के स्रोत और लक्ष्य को अक्सर कहा जाता है domain और codomain क्रमश।

मोर्फिज्म एक आंशिक ऑपरेशन से लैस हैं, जिसे कहा जाता है composition. दो morphisms f और g की संरचना को सटीक रूप से परिभाषित किया गया है जब f का लक्ष्य g का स्रोत है, और g ∘ f (या कभी-कभी केवल gf) को निरूपित किया जाता है। g ∘ f का स्रोत f का स्रोत है, और g ∘ f का लक्ष्य g का लक्ष्य है। रचना दो स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है:

Identity

प्रत्येक वस्तु X के लिए, आकारिकी आईडी मौजूद होती है_X : X → X को X पर 'पहचान रूपवाद' कहा जाता है, ऐसा कि प्रत्येक आकारिकी के लिए f : A → B हमारे पास आईडी है_B ∘ एफ = एफ = एफ ∘ आईडी_A.

साहचर्य: h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f जब भी सभी रचनाएँ परिभाषित हों, यानी जब f का लक्ष्य g का स्रोत हो, और g का लक्ष्य h का स्रोत हो।

एक ठोस श्रेणी के लिए (एक श्रेणी जिसमें वस्तुओं को सेट किया जाता है, संभवतः अतिरिक्त संरचना के साथ, और morphisms संरचना-संरक्षण कार्य हैं), पहचान morphism केवल पहचान कार्य है, और संरचना केवल कार्यों की सामान्य संरचना है।

आकारिकी की संरचना को अक्सर एक क्रमविनिमेय आरेख द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,

X से Y तक के सभी रूपों के संग्रह को होम कहा जाता है_C(एक्स, वाई) या केवल होम (एक्स, वाई) और एक्स और वाई के बीच 'होम-सेट' कहा जाता है। कुछ लेखक मोर लिखते हैं_C(एक्स, वाई), मोर (एक्स, वाई) या सी (एक्स, वाई)। ध्यान दें कि होम-सेट शब्द एक मिथ्या नाम है, क्योंकि आकारिकी के संग्रह को सेट होने की आवश्यकता नहीं है; एक श्रेणी जहां होम (एक्स, वाई) सभी वस्तुओं के लिए एक सेट है एक्स और वाई को स्थानीय रूप से छोटा कहा जाता है। क्योंकि होम-सेट सेट नहीं हो सकते हैं, कुछ लोग होम-क्लास शब्द का उपयोग करना पसंद करते हैं।

ध्यान दें कि डोमेन और कोडोमेन वास्तव में आकृतिवाद का निर्धारण करने वाली जानकारी का हिस्सा हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चयों की श्रेणी में, जहाँ आकारिकी फलन होते हैं, दो फलन अलग-अलग कोडोमेन होते हुए क्रमित युग्मों के समुच्चय के समान हो सकते हैं (फ़ंक्शन की समान श्रेणी हो सकती है)। श्रेणी सिद्धांत के दृष्टिकोण से दो कार्य अलग हैं। इस प्रकार कई लेखकों की आवश्यकता है कि होम-क्लास होम (एक्स, वाई) अलग-अलग सेट हों। व्यवहार में, यह कोई समस्या नहीं है क्योंकि यदि यह असम्बद्धता धारण नहीं करती है, तो डोमेन और कोडोमेन को आकारिकी में जोड़कर सुनिश्चित किया जा सकता है (कहते हैं, एक आदेशित ट्रिपल के दूसरे और तीसरे घटक के रूप में)।

कुछ विशेष morphisms

मोनोमोर्फिज्म और एपिमोर्फिज्म

एक आकारिकी f: X → Y को एकरूपता कहा जाता है यदि f ∘ g₁ = च ∘ जी₂ तात्पर्य जी₁ = जी₂ सभी रूपों के लिए जी₁, जी₂: जेड → एक्स। एक मोनोमोर्फिज्म को संक्षेप में एक मोनो कहा जा सकता है, और हम विशेषण के रूप में मोनिक का उपयोग कर सकते हैं। एक आकारिकी f में 'बायाँ प्रतिलोम' होता है या एक 'विभाजित मोनोमोर्फिज्म' होता है यदि कोई आकारिकी g: Y → X ऐसा हो कि g ∘ f = पहचान_X. इस प्रकार f ∘ g: Y → Y idempotent है; वह है, (एफ ∘ जी)^{2</उप> = एफ ∘ (जी ∘ एफ) ∘ जी = च ∘ जी। बाएँ प्रतिलोम g को f का 'अनुभाग (श्रेणी सिद्धांत)' भी कहा जाता है।}

बाएं व्युत्क्रम वाले आकारिकी हमेशा मोनोमोर्फिज्म होते हैं, लेकिन बातचीत (तर्क) सामान्य रूप से सत्य नहीं है; एक मोनोमोर्फिज्म बाएं उलटा होने में असफल हो सकता है। ठोस श्रेणियों में, एक फ़ंक्शन जिसमें बाएं उलटा होता है वह इंजेक्शन होता है। इस प्रकार ठोस श्रेणियों में, मोनोमोर्फिज़्म अक्सर होते हैं, लेकिन हमेशा इंजेक्शन नहीं होते हैं। एक इंजेक्शन होने की स्थिति मोनोमोर्फिज्म होने की तुलना में अधिक मजबूत है, लेकिन विभाजित मोनोमोर्फिज्म होने की तुलना में कमजोर है।

दोहरी रूप से मोनोमोर्फिज्म, एक आकारिकी f: X → Y को एपिमोर्फिज्म कहा जाता है यदि जी₁ ∘ एफ = जी₂ ∘ f का अर्थ है g₁ = जी₂ सभी रूपों के लिए जी₁, जी₂: Y → Z. एक एपिमोर्फिज्म को संक्षेप में एपि कहा जा सकता है, और हम महाकाव्य को विशेषण के रूप में उपयोग कर सकते हैं।एक आकारिकी f का 'सही व्युत्क्रम' होता है या एक 'विभाजित एपिमोर्फिज्म' होता है यदि कोई आकारिकी g: Y → X ऐसा हो कि f ∘ g = पहचान_Y. सही व्युत्क्रम g को f का 'सेक्शन' भी कहा जाता है। सही व्युत्क्रम वाले मोर्फिज्म हमेशा एपिमोर्फिज्म होते हैं, लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं होता है, क्योंकि एक एपिमोर्फिज्म सही व्युत्क्रम होने में विफल हो सकता है।

यदि एक मोनोमोर्फिज्म f बाएं व्युत्क्रम g के साथ विभाजित होता है, तो g दाएं व्युत्क्रम f के साथ विभाजित एपिमोर्फिज्म है। ठोस श्रेणियों में, एक फ़ंक्शन जिसका सही व्युत्क्रम होता है, वह विशेषण है। इस प्रकार ठोस श्रेणियों में, एपिमोर्फिज्म अक्सर होते हैं, लेकिन हमेशा नहीं, विशेषण। एक अनुमान होने की स्थिति एपिमोर्फिज्म होने की तुलना में अधिक मजबूत है, लेकिन विभाजित एपिमोर्फिज्म होने की तुलना में कमजोर है। समुच्चयों की श्रेणी में, यह कथन कि प्रत्येक अनुमान का एक खंड है, पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है।

एक आकृतिवाद जो एक एपिमोर्फिज्म और एक मोनोमोर्फिज्म दोनों है, उसे 'बिमोर्फिज्म' कहा जाता है।

समरूपता

एक आकारिकी f: X → Y को समरूपतावाद कहा जाता है यदि कोई आकारिकी मौजूद है g: Y → X ऐसा है कि f ∘ g = id_Y और जी ∘ एफ = आईडी_X. यदि एक आकारिकी में बाएँ-प्रतिलोम और दाएँ-प्रतिलोम दोनों होते हैं, तो दो व्युत्क्रम समान होते हैं, इसलिए f एक तुल्याकारिता है, और g को केवल f का 'प्रतिलोम' कहा जाता है। व्युत्क्रम morphisms, यदि वे मौजूद हैं, अद्वितीय हैं। प्रतिलोम g भी एक तुल्याकारिता है, व्युत्क्रम f के साथ। उनके बीच एक समरूपता वाली दो वस्तुओं को समरूपी या समतुल्य कहा जाता है।

जबकि प्रत्येक समरूपता एक द्विरूपता है, एक द्विरूपता आवश्यक रूप से एक समरूपता नहीं है। उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय छल्लों की श्रेणी में समावेशन 'Z' → 'Q' एक द्विरूपता है जो एक तुल्याकारिता नहीं है। हालांकि, कोई भी आकृतिवाद जो एक एपिमोर्फिज्म और स्प्लिट मोनोमोर्फिज्म, या मोनोमोर्फिज्म और स्प्लिट एपिमोर्फिज्म दोनों है, एक आइसोमोर्फिज्म होना चाहिए। एक श्रेणी, जैसे 'सेट', जिसमें प्रत्येक द्विरूपता एक समरूपता है, एक 'संतुलित श्रेणी' के रूप में जानी जाती है।

एंडोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म

एक रूपवाद f: X → X (अर्थात, समान स्रोत और लक्ष्य के साथ एक आकृतिवाद) X का एक एंडोमोर्फिज्म है। ए 'स्प्लिट एंडोमोर्फिज्म' एक आदर्श एंडोमोर्फिज्म f है यदि f एक अपघटन f = h ∘ g को g ∘ h = के साथ स्वीकार करता है पहचान। विशेष रूप से, एक श्रेणी का करौबी लिफाफा हर बेवकूफ रूपवाद को विभाजित करता है।

ऑटोमोर्फिज्म एक रूपवाद है जो एंडोमोर्फिज्म और आइसोमोर्फिज्म दोनों है। हर श्रेणी में, किसी वस्तु के ऑटोमोर्फिज्म हमेशा एक समूह (गणित) बनाते हैं, जिसे ऑब्जेक्ट का ऑटोमोर्फिज्म समूह कहा जाता है।

उदाहरण

• आमतौर पर बीजगणित में मानी जाने वाली बीजगणितीय संरचनाओं के लिए, जैसे कि समूह (गणित), रिंग (बीजगणित), मॉड्यूल (गणित), आदि, आकारिकी आमतौर पर समरूपता होती है, और समरूपता, ऑटोमोर्फिज्म, एंडोमोर्फिज्म, एपिमोर्फिज्म और मोनोमोर्फिज्म की धारणाएं उपरोक्त परिभाषित के समान हैं। हालांकि, अंगूठियों के मामले में, अधिरूपता को अक्सर अनुमान के पर्याय के रूप में माना जाता है, हालांकि रिंग एपिमोर्फिज्म हैं जो विशेषण नहीं हैं (उदाहरण के लिए, जब परिमेय संख्याओं में पूर्णांक एम्बेड करते हैं)।
• टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में, आकारिकी निरंतर कार्य हैं और समरूपता को होमोमोर्फिज्म कहा जाता है। ऐसे आक्षेप हैं (अर्थात, समुच्चय के समरूपता) जो होमोमोर्फिज्म नहीं हैं।
• चिकने मैनिफोल्ड्स की श्रेणी में, आकृतिवाद चिकने कार्य हैं और समरूपता को डिफियोमोर्फिज्म कहा जाता है।
• लघु श्रेणी की श्रेणी में आकारिकी कारक होते हैं।
• एक फ़ंक्टर श्रेणी में, रूपवाद प्राकृतिक परिवर्तन हैं।

अधिक उदाहरणों के लिए, श्रेणी सिद्धांत देखें।

यह भी देखें

• सामान्य रूपवाद
• शून्य रूपवाद

संदर्भ

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 2 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).

बाहरी कड़ियाँ

• "Morphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]