जुड़ा हुआ संबंध

Transitive binary relations

	Symmetric	Antisymmetric	Connected	Well-founded	Has joins	Has meets	Reflexive	Irreflexive	Asymmetric
			Total, Semiconnex					Anti- reflexive
Equivalence relation	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Preorder (Quasiorder)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Partial order	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Total preorder	✗	✗	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Total order	✗	Y	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Prewellordering	✗	✗	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Well-quasi-ordering	✗	✗	✗	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Well-ordering	✗	Y	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Lattice	✗	Y	✗	✗	Y	Y	Y	✗	✗
Join-semilattice	✗	Y	✗	✗	Y	✗	Y	✗	✗
Meet-semilattice	✗	Y	✗	✗	✗	Y	Y	✗	✗
Strict partial order	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Strict weak order	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Strict total order	✗	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	Y
	Symmetric	Antisymmetric	Connected	Well-founded	Has joins	Has meets	Reflexive	Irreflexive	Asymmetric
Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$	${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	$aRa$	${\text{not }}aRa$	${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$

indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation

R

be transitive: for all

a,b,c,

if

aRb

and

bRc

then

aRc,

and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

गणित में, एक समुच्चय पर एक संबंध को जुड़ा हुआ या कुल कहा जाता है यदि यह सभी को संबंधित (या तुलना) करता है distinct सेट के तत्वों के जोड़े एक दिशा या दूसरे में जबकि यह संबंधित होने पर दृढ़ता से जुड़ा हुआ कहा जाता है all तत्वों के जोड़े। जैसा कि #Terminology में वर्णित है, इन गुणों के लिए शब्दावली एक समान नहीं है। कुल की इस धारणा को इस अर्थ में कुल संबंध के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए कि सभी के लिए $x\in X$ वहां एक है $y\in X$ ताकि $x\mathrel {R} y$ (क्रमिक संबंध देखें)।

संयोजकता कुल ऑर्डर की परिभाषा में प्रमुखता से दिखाई देती है: कुल (या रैखिक) ऑर्डर एक आंशिक क्रम है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं; यानी ऑर्डर रिलेशन जुड़ा हुआ है। इसी तरह, जुड़ा हुआ [[ सख्त आंशिक आदेश ]] [[ सख्त कुल आदेश ]] है। एक संबंध कुल क्रम है यदि और केवल यदि यह आंशिक क्रम और दृढ़ता से जुड़ा हुआ दोनों है। एक संबंध एक सख्त कुल आदेश है, और केवल अगर, यह एक सख्त आंशिक आदेश है और अभी जुड़ा हुआ है। एक सख्त कुल आदेश कभी भी दृढ़ता से जुड़ा नहीं हो सकता (खाली डोमेन को छोड़कर)।

औपचारिक परिभाषा

एक रिश्ता $R$ एक सेट पर $X$ कहा जाता हैconnected जब सभी के लिए $x,y\in X,$

{\text{ if }}x\neq y{\text{ then }}x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x,

या, समकक्ष, जब सभी के लिए

x,y\in X,

x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x\quad {\text{or}}\quad x=y.

संपत्ति के साथ एक संबंध जो सभी के लिए है

x,y\in X,

x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x

कहा जाता हैstrongly connected.^[1]^[2]^[3]

शब्दावली

जुड़े संबंध की धारणा का मुख्य उपयोग ऑर्डर के संदर्भ में है, जहां इसका उपयोग कुल या रैखिक ऑर्डर को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इस संदर्भ में, संपत्ति को अक्सर विशेष रूप से नामित नहीं किया जाता है। बल्कि, कुल ऑर्डर को आंशिक ऑर्डर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं।^[4]^[5] इस प्रकार, total का उपयोग आमतौर पर उन संबंधों के लिए किया जाता है जो जुड़े हुए हैं या दृढ़ता से जुड़े हुए हैं।^[6] हालाँकि, कुल संबंध की इस धारणा को क्रमिक संबंध होने की संपत्ति से अलग होना चाहिए, जिसे कुल भी कहा जाता है। इसी तरह, जुड़े हुए संबंध कभी-कभी कहलाते हैं complete,^[7] हालांकि यह भी भ्रम पैदा कर सकता है: सार्वभौमिक संबंध को पूर्ण भी कहा जाता है,^[8] और [[ पूर्णता (आदेश सिद्धांत ) ]] के क्रम सिद्धांत में कई अन्य अर्थ हैं। जुड़े हुए संबंध भी कहलाते हैं connex^[9]^[10] या संतुष्ट करने के लिए कहा trichotomy^[11] (हालांकि ट्राइकोटॉमी (गणित) की अधिक सामान्य परिभाषा उसमें अधिक मजबूत है exactly one तीन विकल्पों में से $x\mathrel {R} y,y\mathrel {R} x,x=y$ अवश्य होल्ड करें)।

जब विचार किए गए संबंध आदेश नहीं हैं, तो जुड़ा होना और दृढ़ता से जुड़ा होना महत्वपूर्ण रूप से अलग-अलग गुण हैं। स्रोत जो दोनों को परिभाषित करते हैं, फिर शब्दों के जोड़े का उपयोग करते हैं जैसे weakly connected और connected,^[12] complete और strongly complete,^[13] total और complete,^[6] semiconnex और connex,^[14] या connex और strictly connex,^[15] क्रमशः, जुड़े हुए और दृढ़ता से जुड़े हुए विचारों के लिए वैकल्पिक नामों के रूप में ऊपर परिभाषित किया गया है।

लक्षण

होने देना $R$ एक समान संबंध हो। निम्नलिखित समतुल्य हैं:^[14]* $R$ दृढ़ता से जुड़ा हुआ है;

$U\subseteq R\cup R^{\top }$ ;
${\overline {R}}\subseteq R^{\top }$ ;
${\overline {R}}$ असममित संबंध है,

कहां $U$ सार्वभौमिक संबंध है और $R^{\top }$ का विलोम सम्बन्ध है $R.$ निम्नलिखित समतुल्य हैं:^[14]* $R$ जुड़ा हुआ है;

${\overline {I}}\subseteq R\cup R^{\top }$ ;
${\overline {R}}\subseteq R^{\top }\cup I$ ;
${\overline {R}}$ प्रतिसममित संबंध है,

कहां ${\overline {I}}$ बाइनरी रिलेशन # विशेष सजातीय संबंधों का पूरक (सेट सिद्धांत) है $I$ और $R^{\top }$ का विलोम सम्बन्ध है $R.$ प्रगति का परिचय देते हुए, रसेल ने कनेक्शन के स्वयंसिद्ध का आह्वान किया:

Whenever a series is originally given by a transitive asymmetrical relation, we can express connection by the condition that any two terms of our series are to have the generating relation.
— Bertrand Russell, The Principles of Mathematics, page 239

गुण

edge }} संबंध^{[note 1]} $E$ एक टूर्नामेंट (ग्राफ सिद्धांत) ग्राफ का $G$ के सेट पर हमेशा एक जुड़ा हुआ रिश्ता होता है $G$ 'शिखर।
यदि एक दृढ़ता से जुड़ा हुआ संबंध सममित संबंध है, तो यह सार्वभौमिक संबंध है।
एक रिश्ता दृढ़ता से जुड़ा हुआ है अगर, और केवल अगर, यह जुड़ा हुआ है और रिफ्लेक्टिव है।^{[proof 1]}
एक सेट पर एक जुड़ा हुआ रिश्ता $X$ प्रतिसंक्रमणीय नहीं हो सकता, बशर्ते $X$ कम से कम 4 तत्व हैं।^[16] 3-तत्व सेट पर $\{a,b,c\},$ उदाहरण के लिए, संबंध $\{(a,b),(b,c),(c,a)\}$ दोनों गुण हैं।
यदि $R$ जुड़ा संबंध है $X,$ फिर सभी, या सभी एक को छोड़कर, के तत्व $X$ छवि में हैं (गणित) # के द्विआधारी संबंधों के लिए सामान्यीकरण $R.$ ^{[proof 2]} इसी तरह, सभी, या सभी लेकिन एक, के तत्व $X$ के क्षेत्र में हैं $R.$

↑ For the only if direction, both properties follow trivially. — For the if direction: when $x\neq y,$ then $x\mathrel {R} y\lor y\mathrel {R} x$ follows from connectedness; when $x=y,$ $x\mathrel {R} y$ follows from reflexivity.
↑ If $x,y\in X\setminus \operatorname {ran} (R),$ then $x\mathrel {R} y$ and $y\mathrel {R} x$ are impossible, so $x=y$ follows from connectedness.

संदर्भ

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↑ Causey, Robert L. (1994). Logic, Sets, and Recursion. Jones & Bartlett Learning. ISBN 0-86720-463-X., p. 135
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↑ ^6.0 ^6.1 Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007-05-02). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer. ISBN 978-3-540-32696-0., p. 6
↑ Makinson, David (2012-02-27). Sets, Logic and Maths for Computing. Springer. ISBN 978-1-4471-2500-6., p. 50
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↑ Jochen Burghardt (Jun 2018). Simple Laws about Nonprominent Properties of Binary Relations (Technical Report). arXiv:1806.05036. Bibcode:2018arXiv180605036B. Lemma 8.2, p.8.

[16] Defined formally by $vEw$ if a graph edge leads from vertex $v$ to vertex $w$

[17] For the only if direction, both properties follow trivially. — For the if direction: when $x\neq y,$ then $x\mathrel {R} y\lor y\mathrel {R} x$ follows from connectedness; when $x=y,$ $x\mathrel {R} y$ follows from reflexivity.

[19] If $x,y\in X\setminus \operatorname {ran} (R),$ then $x\mathrel {R} y$ and $y\mathrel {R} x$ are impossible, so $x=y$ follows from connectedness.

[1] Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014-09-18). "connected". The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-967959-1. Retrieved 2021-04-12.

[2] Nievergelt, Yves (2015-10-13). Logic, Mathematics, and Computer Science: Modern Foundations with Practical Applications. Springer. p. 182. ISBN 978-1-4939-3223-8.

[3] Causey, Robert L. (1994). Logic, Sets, and Recursion. Jones & Bartlett Learning. ISBN 0-86720-463-X., p. 135

[4] Paul R. Halmos (1968). Naive Set Theory. Princeton: Nostrand. Here: Ch.14. Halmos gives the names of reflexivity, anti-symmetry, and transitivity, but not of connectedness.

[5] Patrick Cousot (1990). "Methods and Logics for Proving Programs". In Jan van Leeuwen (ed.). Formal Models and Semantics. Handbook of Theoretical Computer Science. Vol. B. Elsevier. pp. 841–993. ISBN 0-444-88074-7. Here: Sect.6.3, p.878

[Aliprantis-6] 6.0 ^6.1 Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007-05-02). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer. ISBN 978-3-540-32696-0., p. 6

[7] Makinson, David (2012-02-27). Sets, Logic and Maths for Computing. Springer. ISBN 978-1-4471-2500-6., p. 50

[8] Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1910). Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)

[9] Wall, Robert E. (1974). Introduction to Mathematical Linguistics. Prentice-Hall. page 114.

[10] Carl Pollard. "Relations and Functions" (PDF). Ohio State University. Retrieved 2018-05-28. Page 7.

[11] Kunen, Kenneth (2009). The Foundations of Mathematics. College Publications. ISBN 978-1-904987-14-7. p. 24

[12] Fishburn, Peter C. (2015-03-08). The Theory of Social Choice. Princeton University Press. p. 72. ISBN 978-1-4008-6833-9.

[13] Roberts, Fred S. (2009-03-12). Measurement Theory: Volume 7: With Applications to Decisionmaking, Utility, and the Social Sciences. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-10243-8. page 29

[Schmidt-14] 14.0 ^14.1 ^14.2 Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (1993). Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Berlin: Springer. ISBN 978-3-642-77970-1.

[15] Ganter, Bernhard; Wille, Rudolf (2012-12-06). Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-59830-2. p. 86

[18] Jochen Burghardt (Jun 2018). Simple Laws about Nonprominent Properties of Binary Relations (Technical Report). arXiv:1806.05036. Bibcode:2018arXiv180605036B. Lemma 8.2, p.8.

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[note 1]

[proof 1]

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[proof 2]

v t e Order theory
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone Riesz space Upper set Young's lattice

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