असममित संबंध

Not to be confused with Antisymmetric relation.

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

गणित में, एक असममित संबंध एक द्विआधारी संबंध है $R$ एक सेट पर (गणित) $X$ जहां सभी के लिए $a,b\in X,$ यदि $a$ से संबंधित है $b$ तब $b$ से संबंधित नहीं है $a.$

औपचारिक परिभाषा

एक द्विआधारी संबंध $X$ कोई उपसमुच्चय है $R$ का $X\times X.$ दिया गया $a,b\in X,$ लिखो $aRb$ अगर और केवल अगर $(a,b)\in R,$ जिसका मतलब है कि $aRb$ के लिए आशुलिपि है $(a,b)\in R.$ भाव $aRb$ के रूप में पढ़ा जाता है$a$ से संबंधित है $b$ द्वारा $R.$द्विआधारी संबंध $R$ कहा जाता हैasymmetricअगर सभी के लिए $a,b\in X,$ यदि $aRb$ सच है तो $bRa$ गलत है; वह है, अगर $(a,b)\in R$ तब $(b,a)\not \in R.$ इसे प्रथम-क्रम तर्क के अंकन में लिखा जा सकता है

$$\forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa).$$

एक तार्किक तुल्यता परिभाषा है:

सबके लिए $a,b\in X,$ कम से कम एक $aRb$ और $bRa$ है false,

जिसे पहले क्रम के तर्क के रूप में लिखा जा सकता है:

$$\forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa).$$

असममित संबंध का एक उदाहरण संबंध से कम है $\,<\,$ वास्तविक संख्या ओं के बीच: यदि $x<y$ फिर अनिवार्य रूप से $y$ से कम नहीं है $x.$ कम या बराबर संबंध $\,\leq ,$ दूसरी ओर, असममित नहीं है, क्योंकि उलटना उदाहरण के लिए, $x\leq x$ का उत्पादन $x\leq x$ और दोनों सच हैं। विषमता वही नहीं है जो सममित संबंध नहीं है: कम-से-या-बराबर संबंध एक ऐसे संबंध का उदाहरण है जो न तो सममित है और न ही असममित है। रिक्त संबंध एकमात्र ऐसा संबंध है जो (रिक्त सत्य) सममित और असममित दोनों है।

गुण

• एक संबंध असममित है यदि और केवल यदि यह प्रतिसममित संबंध और प्रतिवर्ती संबंध दोनों है।
• द्विआधारी संबंध#प्रतिबंध और असममित संबंधों के विलोम संबंध भी असममित होते हैं। उदाहरण के लिए, का प्रतिबंध $\,<\,$ वास्तविक से पूर्णांक तक अभी भी असममित और व्युत्क्रम है $\,>\,$ का $\,<\,$ असममित भी है।
• एक सकर्मक संबंध असममित है यदि और केवल यदि यह अपरिवर्तनीय है: यदि $aRb$ और $bRa,$ संक्रामण देता है $aRa,$ असंबद्धता के विपरीत।
• परिणामस्वरूप, एक संबंध सकर्मक और असममित होता है यदि और केवल यदि यह एक सख्त आंशिक क्रम है।
• सभी असममित संबंध सख्त आंशिक आदेश नहीं होते हैं। एक असममित गैर-संक्रमणीय, यहां तक ​​कि प्रतिसंक्रमणीय संबंध का एक उदाहरण है rock paper scissors रिश्ता: अगर $X$ धड़कता है $Y,$ तब $Y$ हरा नहीं करता है $X;$ और अगर $X$ धड़कता है $Y$ और $Y$ धड़कता है $Z,$ तब $X$ हरा नहीं करता है $Z.$
• एक असममित संबंध के लिए Connex संबंध होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, सख्त उपसमुच्चय संबंध $\,\subsetneq \,$ असममित है, और कोई भी सेट नहीं है $\{1,2\}$ और $\{3,4\}$ दूसरे का एक सख्त उपसमुच्चय है। एक संबंध जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर इसका पूरक असममित है।

यह भी देखें

• टार्स्की का वास्तविकताओं का स्वयंसिद्धीकरण - इसका एक हिस्सा वह आवश्यकता है जो $\,<\,$ वास्तविक संख्याओं पर असममित हो।