सघन क्रम

गणित में, एक आंशिक क्रम या कुल क्रम < एक सेट पर (गणित) $X$ सघन कहा जाता है यदि, सबके लिए $x$ और $y$ में $X$ जिसके लिए $x<y$, वहां एक है $z$ में $X$ ऐसा है कि $x<z<y$. अर्थात् किन्हीं दो तत्वों के लिए, एक दूसरे से कम, उनके बीच एक और तत्व होता है। कुल ऑर्डर के लिए इसे किसी भी दो अलग-अलग तत्वों के लिए सरल बनाया जा सकता है, उनके बीच एक और तत्व है, क्योंकि कुल ऑर्डर के सभी तत्व तुलनात्मक हैं।

उदाहरण

रैखिक रूप से क्रमबद्ध सेट के रूप में परिमेय संख्याएँ इस अर्थ में सघन रूप से क्रमबद्ध सेट हैं, जैसे कि बीजगणितीय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ, द्विअर्थी परिमेय और दशमलव अंश हैं। वास्तव में, प्रत्येक आर्किमिडीयन संपत्ति ने पूर्णांकों के Subring#Ring एक्सटेंशन का आदेश दिया $\mathbb {Z} [x]$ सघन क्रम वाला सेट है।

Proof

For the element $x\in \mathbb {Z} [x]$, due to the Archimedean property, if $x>0$, there exists a largest integer $n<x$ with $n<x<n+1$, and if $x<0$, $-x>0$, and there exists a largest integer $m=-n-1<-x$ with $-n-1<-x<-n$. As a result, $0<x-n<1$. For any two elements $y,z\in \mathbb {Z} [x]$ with $z<y$, $0<(x-n)(y-z)<y-z$ and $z<(x-n)(y-z)+z<y$. Therefore $\mathbb {Z} [x]$ is dense.

दूसरी ओर, पूर्णांकों पर रैखिक क्रम सघन नहीं है।

समापन बिंदुओं के बिना कुल सघन आदेशों के लिए विशिष्टता

Main article: Cantor's isomorphism theorem

जॉर्ज कैंटर ने साबित किया कि हर दो गैर-खाली घने पूरी तरह से कम या ऊपरी सीमा के बिना गणनीय सेट आदेश समरूपता हैं। ऑर्डर-आइसोमोर्फिक। यह बिना किसी सीमा के घने रैखिक आदेशों के सिद्धांत को ω-श्रेणीबद्ध सिद्धांत का उदाहरण बनाता है जहां ω सबसे छोटी सीमा क्रमसूचक है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं और अन्य सघन रूप से क्रमबद्ध गणनीय सेटों के बीच एक क्रम-समरूपता मौजूद है जिसमें डायाडिक परिमेय और बीजगणितीय संख्याएँ शामिल हैं। इन परिणामों के प्रमाण आगे-पीछे विधि का उपयोग करते हैं। मिन्कोव्स्की के प्रश्न चिह्न समारोह का उपयोग द्विघात अपरिमेय संख्या और परिमेय संख्याओं के बीच, और परिमेय और युग्मक परिमेय संख्याओं के बीच समरूपता के क्रम को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

सामान्यीकरण

किसी भी द्विआधारी संबंध R को सघन कहा जाता है, अगर सभी R-संबंधित x और y के लिए, एक z ऐसा है कि x और z और z और y भी R-संबंधित हैं। औपचारिक रूप से:

$\forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).$ वैकल्पिक रूप से, स्वयं के साथ R के संबंधों की संरचना के संदर्भ में, सघन स्थिति को R ⊆ R के रूप में व्यक्त किया जा सकता है; आर।

सघन होने के लिए समुच्चय X पर द्विआधारी संबंध R के लिए पर्याप्त शर्तें हैं:

• R स्वतुल्य संबंध है;
• आर कोरफ्लेक्सिव संबंध है;
• R क्वायरप्रतिवर्त संबंध है;
• R बाएँ या दाएँ यूक्लिडियन संबंध है; या
• आर सममित संबंध और अर्ध-कनेक्स संबंध है| अर्ध-कनेक्स और एक्स में कम से कम 3 तत्व हैं।

उनमें से कोई भी आवश्यक शर्त नहीं है। उदाहरण के लिए, एक संबंध R है जो स्वतुल्य नहीं बल्कि सघन है। एक खाली संबंध | गैर-रिक्त और सघन संबंध प्रतिसंक्रमणीय नहीं हो सकता।

एक सख्त आंशिक क्रम < एक सघन क्रम है यदि और केवल यदि < सघन संबंध है। एक सघन संबंध जो सकर्मक संबंध भी है, उसे उदासीन संबंध कहा जाता है।

यह भी देखें

• सघन समुच्चय - स्थलीय स्थान का एक उपसमुच्चय जिसका बंद होना संपूर्ण स्थान है
• सघन-स्वयं — एक उपसमुच्चय $A$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे कि $A$ एक अलग बिंदु शामिल नहीं है
• क्रिपके शब्दार्थ - अभिगम्यता का सघन संबंध स्वयंसिद्ध से मेल खाता है $\Box \Box A\rightarrow \Box A$

अग्रिम पठन

• David Harel, Dexter Kozen, Jerzy Tiuryn, Dynamic logic, MIT Press, 2000, ISBN 0-262-08289-6, p. 6ff