नई नींव

गणितीय तर्क में, न्यू फ़ाउंडेशन (NF) एक सेट थ्योरी#फ़ॉर्मलाइज़्ड सेट थ्योरी है, जिसकी कल्पना विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन ने 'गणितीय सिद्धांत ' के प्रकार सिद्धांत के सरलीकरण के रूप में की है। क्विन ने पहली बार 1937 में गणितीय तर्क के लिए नई नींव नामक लेख में एनएफ प्रस्तावित किया था; इसके कारण नाम। इस प्रविष्टि में से अधिकांश NF की चर्चा urelements (NFU) के साथ करती है, जो जेन्सेन के कारण NF का एक महत्वपूर्ण संस्करण है और होम्स द्वारा स्पष्ट किया गया। 1940 में और 1951 में एक संशोधन में, Quine ने #The system ML (गणितीय तर्क) की शुरुआत की जिसे कभी-कभी गणितीय तर्क या ML कहा जाता है, जिसमें कक्षा (सेट सिद्धांत) के साथ-साथ सेट (गणित) भी शामिल है।

न्यू फ़ाउंडेशन का एक सार्वभौमिक सेट है, इसलिए यह एक गैर-स्थापित सेट सिद्धांत है। अर्थात्, यह एक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत है जो सदस्यता की अनंत अवरोही श्रृंखलाओं की अनुमति देता है, जैसे … एक्स_n ∈ एक्स_n-1 ∈ … ∈ एक्स₂ ∈ एक्स₁. यह केवल स्तरीकरण (गणित) की अनुमति देकर रसेल के विरोधाभास से बचा जाता है # एक विशिष्ट सेट सिद्धांत में विनिर्देश के स्वयंसिद्ध स्कीमा का उपयोग करके अच्छी तरह से गठित सूत्र परिभाषित किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, x ∈ y एक स्तरीकृत सूत्र है, लेकिन x ∈ x नहीं है।

न्यू फ़ाउंडेशन रसेलियन अनरेमिफाइड टाइप्ड सेट थ्योरी (TST) से निकटता से संबंधित है, जो कि प्रकार के रैखिक पदानुक्रम के साथ प्रिंसिपिया मैथेमेटिका के प्रकारों के सिद्धांत का एक सुव्यवस्थित संस्करण है।

टाइप थ्योरी टीएसटी

TST के आदिम विधेय हैं समानता (गणित) # तार्किक परिभाषाएँ ($=$) और सेट (गणित)#सदस्यता ($\in$). टीएसटी में प्रकारों का एक रेखीय पदानुक्रम होता है: प्रकार 0 में व्यक्तियों का समावेश होता है अन्यथा अवर्णित। प्रत्येक (मेटा-) प्राकृतिक संख्या n के लिए, टाइप n+1 ऑब्जेक्ट टाइप n ऑब्जेक्ट्स के सेट हैं; प्रकार n के समुच्चय में प्रकार n-1 के सदस्य होते हैं। पहचान से जुड़ी वस्तुओं का प्रकार समान होना चाहिए।

एक संरचना (गणितीय तर्क) में सूत्र लिखते समय # कई-क्रमबद्ध संरचनाएं | कई-क्रमबद्ध सिद्धांत जैसे टीएसटी, कुछ एनोटेशन आमतौर पर उनके प्रकारों को दर्शाने के लिए चर में जोड़े जाते हैं। टीएसटी में टाइप इंडेक्स को सुपरस्क्रिप्ट के रूप में लिखने की प्रथा है: $x^{n}$ प्रकार n के एक चर को दर्शाता है। इस प्रकार निम्नलिखित दो परमाणु सूत्र टाइपिंग नियमों का संक्षेप में वर्णन करते हैं: $x^{n}=y^{n}\!$ और $x^{n}\in y^{n+1}$. (क्विनियन सेट सिद्धांत इन प्रकार के सूचकांकों को स्पष्ट रूप से लिखने की आवश्यकता को समाप्त करना चाहता है।)

टीएसटी के स्वयंसिद्ध हैं:

• विस्तार का स्वयंसिद्ध: समान सदस्यों के साथ समान (सकारात्मक) प्रकार के सेट समान होते हैं;
• समझ का एक स्वयंसिद्ध स्कीमा, अर्थात्:

अगर $\phi (x^{n})$  एक सूत्र है, फिर समुच्चय है $\{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!$ मौजूद।

दूसरे शब्दों में, कोई भी सूत्र दिया गया है $\phi (x^{n})\!$, सूत्र $\exists A^{n+1}\forall x^{n}[x^{n}\in A^{n+1}\leftrightarrow \phi (x^{n})]$ एक स्वयंसिद्ध है जहाँ $A^{n+1}\!$ सेट का प्रतिनिधित्व करता है $\{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!$ और मुक्त चर और बाध्य चर नहीं है $\phi (x^{n})$.

इस प्रकार का सिद्धांत प्रिंसिपिया मैथमैटिका में पहले सेट किए गए सिद्धांत की तुलना में बहुत कम जटिल है, जिसमें संबंध (गणित) के प्रकार शामिल थे जिनके तर्क आवश्यक रूप से सभी प्रकार के नहीं थे। 1914 में, नॉर्बर्ट वीनर ने दिखाया कि ऑर्डर किए गए जोड़े को सेट के सेट के रूप में कैसे कोडित किया जाए, जिससे यहां वर्णित सेटों के रैखिक पदानुक्रम के पक्ष में संबंध प्रकारों को समाप्त करना संभव हो सके।

क्विनियन सेट थ्योरी

सिद्धांत और स्तरीकरण

न्यू फ़ाउंडेशन (NF) के अच्छी तरह से बनाए गए फ़ॉर्मूला TST के अच्छी तरह से बनाए गए फ़ॉर्मूला के समान हैं, लेकिन टाइप एनोटेशन मिटा दिए गए हैं। NF के स्वयंसिद्ध हैं:

• विस्तार: समान तत्वों वाली दो वस्तुएँ एक ही वस्तु होती हैं;
• अलगाव का एक स्वयंसिद्ध: TST समझ के सभी उदाहरण लेकिन प्रकार के सूचकांकों के साथ (और चर के बीच नई पहचान शुरू किए बिना)।

परिपाटी के अनुसार, NF के पृथक्करण स्कीमा के स्वयंसिद्ध को स्तरीकृत सूत्र की अवधारणा का उपयोग करके और प्रकारों के लिए कोई सीधा संदर्भ नहीं दिया गया है। एक सूत्र $\phi$ कहा जाता है कि यह स्तरीकृत सूत्र है यदि के टुकड़ों से कोई फ़ंक्शन (गणित) मौजूद है $\phi$का सिंटैक्स प्राकृतिक संख्याओं के लिए, जैसे कि किसी भी परमाणु उपसूत्र के लिए $x\in y$ का $\phi$ हमारे पास f(y) = f(x) + 1 है, जबकि किसी भी परमाणु उपसूत्र के लिए $x=y$ का $\phi$, हमारे पास f(x) = f(y) है। समझ तब बन जाती है:

$\{x\mid \phi \}$ प्रत्येक स्तरीकृत सूत्र के लिए मौजूद है $\phi$.

भोली सेट थ्योरी में उन लोगों के समान समस्याओं को समझना प्रतीत हो सकता है, लेकिन ऐसा नहीं है। उदाहरण के लिए, असंभव रसेल के विरोधाभास का अस्तित्व $\{x\mid x\not \in x\}$ NF की स्वयंसिद्ध नहीं है, क्योंकि $x\not \in x$ स्तरीकृत नहीं किया जा सकता।

परिमित स्वयंसिद्धीकरण

थिओडोर हैपरिन ने 1944 में दिखाया कि समझ इसके उदाहरणों के एक परिमित संयोजन के बराबर है, तो NF Axiom स्कीमा # परिमित स्वयंसिद्ध हो सकता है। इस तरह के परिमित स्वयंसिद्ध का एक फायदा यह है कि यह स्तरीकरण (गणित) की धारणा के माध्यम से प्रकारों के अप्रत्यक्ष संदर्भ को समाप्त कर देता है। मेटामैथ वेबसाइट पर न्यू फाउंडेशन के लिए मेटामैथ डेटाबेस हैल्परिन के परिमित स्वयंसिद्धीकरण को लागू करता है।

होम्स का मानना ​​है कि स्तरीकृत समझ का स्वयंसिद्ध, जबकि एक शक्तिशाली उपकरण, एक परिमित स्वयंसिद्धता में स्वयंसिद्धों की तुलना में बिल्कुल भी सहज नहीं है, जो सभी प्राकृतिक बुनियादी निर्माणों के अनुरूप हैं। इसलिए, NFU के अपने परिचय में, उन्होंने उन प्राकृतिक बुनियादी निर्माणों को स्वयंसिद्धों के रूप में लेने का विकल्प चुना, और बाद में एक प्रमेय के रूप में स्तरीकृत समझ को साबित किया।

आदेशित जोड़े

संबंध (गणित) और कार्य (गणित) को टीएसटी (और एनएफ और एनएफयू में) सामान्य तरीके से आदेशित जोड़े के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। आदेशित जोड़ी की सामान्य परिभाषा, पहली बार 1921 में कुराटोव्स्की द्वारा प्रस्तावित की गई थी $(a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}$, NF और संबंधित सिद्धांतों के लिए एक गंभीर खामी है: परिणामी आदेशित जोड़ी (a, b) में आवश्यक रूप से इसके तर्क a और b के प्रकार की तुलना में एक प्रकार दो उच्च है। इसलिए स्तरीकरण के निर्धारण के प्रयोजनों के लिए, एक कार्य अपने क्षेत्र के सदस्यों की तुलना में तीन प्रकार से अधिक है।

यदि कोई एक जोड़ी को इस तरह से परिभाषित कर सकता है कि उसका प्रकार उसके तर्कों के समान है (परिणामस्वरूप 'प्रकार-स्तर' आदेशित जोड़ी), तो एक संबंध या कार्य सदस्यों के प्रकार से केवल एक प्रकार अधिक होता है इसके क्षेत्र का। इसलिए NF और संबंधित सिद्धांत आमतौर पर आदेशित जोड़ी #Quine–Rosser definition|Quine की क्रमबद्ध जोड़ी की सेट-सैद्धांतिक परिभाषा को नियोजित करते हैं, जो एक प्रकार-स्तर की आदेशित जोड़ी उत्पन्न करती है। हालाँकि, Quine की परिभाषा प्रत्येक तत्व a और b पर सेट संचालन पर निर्भर करती है, और इसलिए सीधे NFU में काम नहीं करती है।

एक वैकल्पिक दृष्टिकोण के रूप में, होम्स आदेशित जोड़ी (ए, बी) को एक आदिम धारणा के साथ-साथ इसके बाएँ और दाएँ प्रक्षेपण (गणित) के रूप में लेता है $\pi _{1}$ और $\pi _{2}$, यानी, ऐसे कार्य करता है $\pi _{1}((a,b))=a$ और $\pi _{2}((a,b))=b$ (होम्स के एनएफयू के स्वयंसिद्धीकरण में, बोध स्कीमा जो अस्तित्व पर जोर देती है $\{x\mid \phi \}$ किसी भी स्तरीकृत सूत्र के लिए $\phi$ एक प्रमेय माना जाता है और केवल बाद में सिद्ध होता है, इसलिए भाव पसंद करते हैं $\pi _{1}=\{((a,b),a)\mid a,b\in V\}$ उचित परिभाषाएँ नहीं मानी जाती हैं)। सौभाग्य से, क्या आदेशित जोड़ी परिभाषा के अनुसार प्रकार-स्तर है या धारणा (यानी, आदिम के रूप में ली गई) आमतौर पर कोई फर्क नहीं पड़ता।

प्राकृतिक संख्या और अनंत का स्वयंसिद्ध

अनन्तता के स्वयंसिद्ध का सामान्य रूप प्राकृतिक संख्याओं की सेट-सैद्धांतिक परिभाषा पर आधारित है, जो एनएफ के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि उत्तराधिकारी ऑपरेशन (और वॉन न्यूमैन अंकों के कई अन्य पहलुओं) का विवरण जरूरी नहीं है। एनएफ में प्रयुक्त प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य रूप प्राकृतिक संख्याओं की सेट-सैद्धांतिक परिभाषा का अनुसरण करता है#फ्रीज और रसेल|फ्रीज की परिभाषा, यानी, प्राकृतिक संख्या एन को एन तत्वों के साथ सभी सेटों के सेट द्वारा दर्शाया जाता है। इस परिभाषा के तहत, 0 को आसानी से परिभाषित किया जाता है $\{\varnothing \}$, और उत्तराधिकारी संचालन को स्तरीकृत तरीके से परिभाषित किया जा सकता है:

$S(A)=\{a\cup \{x\}\mid a\in A\wedge x\notin a\}.$

इस परिभाषा के तहत, अनंत के स्वयंसिद्ध के सामान्य रूप के अनुरूप एक बयान लिख सकते हैं। हालाँकि, सार्वभौमिक सेट के बाद से यह कथन तुच्छ रूप से सत्य होगा $V$ अनंत का एक स्वयंसिद्ध होगा।

चूंकि आगमनात्मक सेट हमेशा मौजूद होते हैं, प्राकृतिक संख्याओं का सेट $\mathbf {N}$ सभी आगमनात्मक सेटों के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह परिभाषा स्तरीकृत कथनों के लिए गणितीय आगमन को सक्षम बनाती है $P(n)$, क्योंकि सेट $\{n\in \mathbf {N} \mid P(n)\}$ बनाया जा सकता है, और कब $P(n)$ गणितीय आगमन की शर्तों को पूरा करता है, यह समुच्चय आगमनात्मक समुच्चय है।

परिमित समुच्चय को तब समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो एक प्राकृतिक संख्या से संबंधित हैं। हालाँकि, यह साबित करना तुच्छ नहीं है $V$ एक परिमित समुच्चय नहीं है, अर्थात ब्रह्मांड का आकार $|V|$ प्राकृतिक संख्या नहीं है। लगता है कि $|V|=n\in \mathbf {N}$. तब $n=\{V\}$ (यह आगमनात्मक रूप से दिखाया जा सकता है कि एक परिमित समुच्चय अपने उचित उपसमुच्चय के समतुल्य नहीं है), $n+1=S(n)=\varnothing$, और प्रत्येक बाद की प्राकृतिक संख्या होगी $\varnothing$ भी, जिससे अंकगणित टूट जाता है। इसे रोकने के लिए, NF के लिए अनन्तता का स्वयंसिद्ध परिचय दिया जा सकता है:

$\varnothing \notin \mathbf {N} .$

यह सहज रूप से प्रतीत हो सकता है कि किसी को एनएफ (यू) में किसी बाहरी रूप से अनंत सेट के अनुक्रम का निर्माण करके अनंतता को साबित करने में सक्षम होना चाहिए, जैसे कि $\varnothing ,\{\varnothing \},\{\{{\varnothing }\}\},\ldots$. हालांकि, इस तरह के अनुक्रम को केवल अस्तरीकृत निर्माणों के माध्यम से बनाया जा सकता है (इस तथ्य से प्रमाणित है कि टीएसटी में ही सीमित मॉडल हैं), इसलिए ऐसा प्रमाण एनएफ (यू) में नहीं किया जा सका। वास्तव में, इन्फिनिटी एनएफयू की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) है: जहां एनएफयू के मॉडल मौजूद हैं $|V|$ अंकगणित का एक गैर-मानक मॉडल है | गैर-मानक प्राकृतिक संख्या। ऐसे मॉडलों में, गणितीय आगमन के बारे में कथनों को सिद्ध किया जा सकता है $|V|$, जिससे भेद करना असंभव हो जाता है $|V|$ मानक प्राकृतिक संख्या से।

हालाँकि, कुछ ऐसे मामले हैं जहाँ इन्फिनिटी को सिद्ध किया जा सकता है (जिन मामलों में इसे 'इन्फिनिटी का प्रमेय' कहा जा सकता है):

• एनएफ में (यूरेलेमेंट के बिना), स्पेकर ने दिखाया है कि पसंद का स्वयंसिद्ध झूठा है। चूँकि यह प्रेरण के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है कि प्रत्येक परिमित सेट का एक विकल्प कार्य (एक स्तरीकृत स्थिति) होता है, यह उसका अनुसरण करता है $V$ अनंत है।
• एनएफयू में सिद्धांतों के साथ एक प्रकार-स्तरीय आदेशित जोड़ी के अस्तित्व पर जोर देते हुए, $V$ इसके उचित उपसमुच्चय के साथ समतुल्य है $V\times \{0\}$, जिसका अर्थ अनंत है। इसके विपरीत, एनएफयू + इन्फिनिटी + चॉइस एक प्रकार-स्तरीय आदेशित जोड़ी के अस्तित्व को साबित करता है। एनएफयू + इन्फिनिटी एनएफयू की व्याख्या करता है + एक प्रकार-स्तरीय आदेशित जोड़ी है (वे बिल्कुल समान सिद्धांत नहीं हैं, लेकिन अंतर अपरिहार्य हैं)।

परिणाम

उपयोगी बड़े सेटों की स्वीकार्यता

एनएफ (और एनएफयू + इन्फिनिटी + चॉइस, नीचे वर्णित और ज्ञात सुसंगत) दो प्रकार के सेटों के निर्माण की अनुमति देता है जो जेडएफसी और इसके उचित एक्सटेंशन अस्वीकार करते हैं क्योंकि वे बहुत बड़े हैं (कुछ सेट सिद्धांत उचित वर्गों के शीर्षक के तहत इन संस्थाओं को स्वीकार करते हैं):

• सार्वत्रिक समुच्चय V. क्योंकि $x=x$ एक स्तरीकृत सूत्र है, सार्वभौमिक समुच्चय V = {x | x=x} समझ से मौजूद है। एक तत्काल परिणाम यह है कि सभी सेटों में पूरक (सेट सिद्धांत) होता है, और एनएफ के तहत पूरे सेट-सैद्धांतिक ब्रह्मांड में बूलियन बीजगणित (संरचना) संरचना होती है।
• कार्डिनल संख्या और क्रमसूचक संख्या संख्या। एनएफ (और टीएसटी) में, एन तत्वों वाले सभी सेटों का सेट (यहां परिपत्र तर्क केवल स्पष्ट है) मौजूद है। इसलिए बुनियादी संख्या ों की पूछा की परिभाषा एनएफ और एनएफयू में काम करती है: एक कार्डिनल संख्या समतुल्यता के संबंध (गणित) के तहत सेट का एक समतुल्य वर्ग है: सेट ए और बी समतुल्य हैं यदि उनके बीच एक आक्षेप मौजूद है, जिस स्थिति में हम लिखना $A\sim B$. इसी तरह, एक क्रमसूचक संख्या सुव्यवस्थित | सुव्यवस्थित सेटों का एक तुल्यता वर्ग है।

सेट-सैद्धांतिक विरोधाभासों का समाधान

NF समुच्चय सिद्धान्त के तीन प्रसिद्ध विरोधाभासों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग तरीकों से स्पष्ट करता है कि कैसे उन विरोधाभासों को ZFC जैसे सुस्थापित सेट सिद्धांतों में हल किया जाता है। कई उपयोगी अवधारणाएं जो एनएफ और इसके वेरिएंट के लिए अद्वितीय हैं, उन विरोधाभासों के समाधान से विकसित की जा सकती हैं। बेशक, किसी को इस बारे में संदेह हो सकता है कि क्या वे अपरिचित अवधारणाएं स्वाभाविक रूप से रेखा के नीचे विसंगतियां पैदा करेंगी, खासकर जब से उन्होंने कुछ आश्चर्यजनक परिणाम दिए, उदाहरण के लिए, कि NF पसंद के Axiom को नापसंद करता है (दूसरे शब्दों में, NF+Choice असंगत है)। हालांकि, तथ्य यह है कि एनएफयू, एक संगति (पीनो अंकगणित के सापेक्ष) सिद्धांत जो पसंद के अनुरूप है, विरोधाभासों से भी इसी तरह से बचता है, ऐसे संदेहों को दूर कर सकता है।

रसेल के विरोधाभास का संकल्प तुच्छ है: $x\not \in x$ एक स्तरीकृत सूत्र नहीं है, इसलिए का अस्तित्व $\{x\mid x\not \in x\}$ समझ के किसी भी उदाहरण द्वारा दावा नहीं किया गया है। क्विन ने कहा कि उन्होंने इस विरोधाभास को ध्यान में रखते हुए NF का निर्माण किया। दो और तकनीकी विरोधाभासों, कैंटर के विरोधाभास और बुराली-फोर्टी विरोधाभास का समाधान अधिक शामिल है।

कैंटर का विरोधाभास और कैंटोरियन सेट

कैंटर का विरोधाभास इस सवाल पर उबलता है कि क्या सबसे बड़ी कार्डिनल संख्या मौजूद है, या समकक्ष, क्या सबसे बड़ी प्रमुखता वाला एक सेट मौजूद है। एनएफ में, सार्वभौमिक सेट $V$ स्पष्ट रूप से सबसे बड़ी कार्डिनैलिटी वाला एक सेट है। हालाँकि, कैंटर का प्रमेय कहता है (ZFC दिया गया है) कि शक्ति सेट है $P(A)$ किसी भी सेट का $A$ से बड़ा है $A$ (कोई इंजेक्शन समारोह (वन-टू-वन मैप) नहीं हो सकता है $P(A)$ में $A$), जो एक विरोधाभास का संकेत देता है जब $A=V$.

बेशक वहाँ से एक इंजेक्शन समारोह है $P(V)$ में $V$ तब से $V$ सार्वभौमिक सेट है, इसलिए यह होना चाहिए कि कैंटर का प्रमेय (अपने मूल रूप में) एनएफ में नहीं है। दरअसल, कैंटर के प्रमेय का सबूत सेट पर विचार करके विकर्णकरण तर्क का उपयोग करता है $B=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}$. एनएफ में, $x$ और $f(x)$ एक ही प्रकार सौंपा जाना चाहिए, इसलिए की परिभाषा $B$ स्तरीकृत नहीं है। दरअसल, अगर $f:P(V)\to V$ तुच्छ इंजेक्शन है $x\mapsto x$, तब $B$ रसेल के विरोधाभास में समान (बीमार परिभाषित) सेट है।

यह विफलता तब से आश्चर्यजनक नहीं है $|A|<|P(A)|$ टीएसटी में कोई मतलब नहीं है: का प्रकार $P(A)$ के प्रकार से एक ऊँचा है $A$. एनएफ में, $|A|<|P(A)|$ सभी प्रकार के संयोजन के कारण एक वाक्य-विन्यास वाक्य है, लेकिन समझ से जुड़े किसी भी सामान्य प्रमाण के काम करने की संभावना नहीं है।

इस तरह की समस्या को ठीक करने का सामान्य तरीका रिप्लेस करना है $A$ साथ $P_{1}(A)$, के एक-तत्व सबसेट का सेट $A$. दरअसल, कैंटर के प्रमेय का सही ढंग से टाइप किया गया संस्करण $|P_{1}(A)|<|P(A)|$ टीएसटी में एक प्रमेय है (विकर्णीकरण तर्क के लिए धन्यवाद), और इस प्रकार एनएफ में एक प्रमेय भी है। विशेष रूप से, $|P_{1}(V)|<|P(V)|$: सेट की तुलना में कम एक-तत्व सेट हैं (और सामान्य वस्तुओं की तुलना में बहुत कम एक-तत्व सेट, यदि हम NFU में हैं)। स्पष्ट आपत्ति $x\mapsto \{x\}$ ब्रह्माण्ड से लेकर एक-तत्व समुच्चय तक समुच्चय नहीं है; यह समुच्चय नहीं है क्योंकि इसकी परिभाषा अस्तरीकृत है। ध्यान दें कि एनएफयू के सभी ज्ञात मॉडलों में ऐसा ही होता है $|P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|$; च्वाइस किसी को न केवल यह साबित करने की अनुमति देती है कि यूरेलेमेंट हैं बल्कि यह कि बीच में कई कार्डिनल हैं $|P(V)|$ और $|V|$.

हालांकि, टीएसटी के विपरीत, $|A|=|P_{1}(A)|$ एनएफ (यू) में एक वाक्य रचनात्मक वाक्य है, और जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, विशिष्ट मूल्यों के लिए इसके सत्य मूल्य के बारे में बात कर सकते हैं $A$ (उदाहरण कब $A=V$ यह गलत है)। एक सेट $A$ जो सहज रूप से आकर्षक को संतुष्ट करता है $|A|=|P_{1}(A)|$ कैंटोरियन कहा जाता है: एक कैंटोरियन सेट कैंटर के प्रमेय के सामान्य रूप को संतुष्ट करता है। एक सेट $A$ जो आगे की शर्त को संतुष्ट करता है कि $(x\mapsto \{x\})\lceil A$, ए के लिए सिंगलटन (गणित) मानचित्र का प्रतिबंध (गणित), एक सेट है जो न केवल कैंटोरियन सेट है बल्कि 'दृढ़ता से कैंटोरियन' है।

==={{Anchor|Burali-Forti paradox}बुरली-फोर्टी विरोधाभास और टी ऑपरेशन

सबसे बड़ी क्रम संख्या का बुराली-फोर्टी विरोधाभास विपरीत तरीके से हल किया गया है: NF में, क्रमसूचकों के सेट तक पहुंच होने से कोई सबसे बड़ी क्रम संख्या बनाने की अनुमति नहीं देता है। कोई क्रमसूचक का निर्माण कर सकता है $\Omega$ यह सभी अध्यादेशों के प्राकृतिक क्रम से मेल खाता है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है $\Omega$ उन सभी अध्यादेशों से बड़ा है।

एनएफ में बुराली-फोर्टी विरोधाभास को औपचारिक रूप देने के लिए, पहले क्रमसूचक संख्याओं की अवधारणा को औपचारिक रूप देना आवश्यक है। एनएफ में, ऑर्डिनल्स को समाकृतिकता के तहत अच्छी तरह से ऑर्डरिंग के समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित किया गया है (भोले सेट सिद्धांत के समान)। यह एक स्तरीकृत परिभाषा है, इसलिए अध्यादेशों का सेट $\mathrm {Ord}$ बिना किसी समस्या के परिभाषित किया जा सकता है। ट्रांसफिनिट इंडक्शन स्तरीकृत बयानों पर काम करता है, जो किसी को यह साबित करने की अनुमति देता है कि अध्यादेशों का प्राकृतिक क्रम ($\alpha \leq \beta$ iff वहाँ अच्छी तरह से आदेश मौजूद है $R\in \alpha ,S\in \beta$ ऐसा है कि $S$ की निरंतरता है $R$) का सुक्रम है $\mathrm {Ord}$. अध्यादेशों की परिभाषा के अनुसार, यह सुव्यवस्थित क्रम भी एक क्रमसूचक के अंतर्गत आता है $\Omega \in \mathrm {Ord}$. भोले-भाले सिद्धांत में, कोई व्यक्ति ट्रांसफ़ाइन इंडक्शन द्वारा यह साबित करने के लिए आगे बढ़ेगा कि प्रत्येक क्रमिक $\alpha$ से कम क्रमांक पर प्राकृतिक क्रम का क्रम प्रकार है $\alpha$, जिसका अर्थ तब से एक विरोधाभास होगा $\Omega$ परिभाषा के अनुसार सभी अध्यादेशों का क्रम प्रकार है, उनमें से कोई उचित प्रारंभिक खंड नहीं है।

हालाँकि, कथन$\alpha$ से कम क्रमांक पर प्राकृतिक क्रम का क्रम प्रकार है $\alpha$स्तरीकृत नहीं है, इसलिए एनएफ में ट्रांसफिनिट प्रेरण तर्क काम नहीं करता है। वास्तव में, आदेश प्रकार $\beta$ प्राकृतिक व्यवस्था का $R_{\alpha }$ से कम अध्यादेशों पर $\alpha$से कम से कम दो प्रकार अधिक है $\alpha$: आदेश संबंध $R_{\alpha }=\{(x,y)\mid x\leq y<\alpha \}$ से एक प्रकार अधिक है $\alpha$ ये मानते हुए $(x,y)$ एक #ऑर्डर्ड पेयर है | टाइप-लेवल ऑर्डर किया गया पेयर, और ऑर्डर टाइप (समतुल्यता वर्ग) $\beta =\{S\mid S\sim R_{\alpha }\}$ से एक प्रकार अधिक है $R_{\alpha }$. अगर $(x,y)$ सामान्य Kuratowski आदेशित जोड़ी है (दो प्रकार से अधिक $x$ और $y$), तब $\beta$ से चार प्रकार अधिक होगा $\alpha$.

इस प्रकार की समस्या को ठीक करने के लिए किसी को T ऑपरेशन की आवश्यकता होती है, $T(\alpha )$, जो एक क्रमसूचक के प्रकार को बढ़ाता है $\alpha$, जैसे कैसे $P_{1}(A)$ सेट के प्रकार को बढ़ाता है $A$. टी ऑपरेशन को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: यदि $W\in \alpha$, तब $T(\alpha )$ आदेश का आदेश प्रकार है $W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}$. अब ऑर्डर के प्रकार पर लेम्मा को स्तरीकृत तरीके से बहाल किया जा सकता है:

ऑर्डिनल्स पर प्राकृतिक ऑर्डर का ऑर्डर प्रकार $<\alpha$ है $T^{2}(\alpha )$ या $T^{4}(\alpha )$, जिसके आधार पर ऑर्डर किए गए जोड़े का उपयोग किया जाता है।

इस कथन के दोनों संस्करणों को ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा सिद्ध किया जा सकता है; हम इसके बाद टाइप लेवल जोड़ी मानते हैं। इस का मतलब है कि $T^{2}(\alpha )$ से हमेशा कम होता है $\Omega$, सभी अध्यादेशों का क्रम प्रकार। विशेष रूप से, $T^{2}(\Omega )<\Omega$.

एक अन्य (स्तरीकृत) कथन जिसे ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, वह यह है कि T ऑर्डिनल्स पर एक कड़ाई से मोनोटोनिक फ़ंक्शन (ऑर्डर-संरक्षण) ऑपरेशन है, अर्थात। $T(\alpha )<T(\beta )$ आईएफएफ $\alpha <\beta$. इसलिए T ऑपरेशन एक फंक्शन नहीं है: ऑर्डिनल्स का संग्रह $\{\alpha \mid T(\alpha )<\alpha \}$ कम से कम सदस्य नहीं हो सकता है, और इस प्रकार एक सेट नहीं हो सकता। अधिक ठोस रूप से, T की एकरसता का तात्पर्य है $\Omega >T^{2}(\Omega )>T^{4}(\Omega )\ldots$, क्रमवाचकों में एक अवरोही क्रम जो एक समुच्चय भी नहीं हो सकता।

कोई यह दावा कर सकता है कि यह परिणाम दर्शाता है कि एनएफ (यू) का कोई भी मॉडल अभीष्ट व्याख्या नहीं है, क्योंकि एनएफयू के किसी भी मॉडल में अध्यादेश बाह्य रूप से सुव्यवस्थित नहीं हैं। यह एक दार्शनिक प्रश्न है, औपचारिक सिद्धांत के भीतर क्या साबित किया जा सकता है इसका प्रश्न नहीं है। ध्यान दें कि एनएफयू के भीतर भी यह साबित किया जा सकता है कि एनएफयू के किसी भी सेट मॉडल में गैर-सुव्यवस्थित अध्यादेश हैं; NFU यह निष्कर्ष नहीं निकालता है कि ब्रह्मांड $V$ के बावजूद NFU का एक मॉडल है $V$ एक समुच्चय होना, क्योंकि सदस्यता संबंध एक समुच्चय संबंध नहीं है।

NFU में गणित के और विकास के लिए, ZFC में उसी के विकास की तुलना में, सेट थ्योरी में गणित का कार्यान्वयन देखें।

कार्टेशियन क्लोजर

वह श्रेणी जिसकी वस्तुएँ NF के समुच्चय हैं और जिनके तीर उन समुच्चयों के बीच के फलन हैं, कार्तीय बंद श्रेणी नहीं है; चूंकि एनएफ में कार्टेशियन क्लोजर का अभाव है, इसलिए प्रत्येक कार्य करी नहीं है जैसा कि सहज रूप से उम्मीद की जा सकती है, और एनएफ एक topos नहीं है।

संगति समस्या और संबंधित आंशिक परिणाम

कई वर्षों से, NF के साथ बकाया समस्या यह रही है कि यह निर्णायक रूप से किसी अन्य प्रसिद्ध स्वयंसिद्ध प्रणाली के साथ समानता साबित नहीं हुई है जिसमें अंकगणित को मॉडल किया जा सकता है। NF पसंद के स्वयंसिद्ध को अस्वीकार करता है, और इस प्रकार अनंत के स्वयंसिद्ध को सिद्ध करता है। लेकिन यह भी जाना जाता है कि यूरेलेमेंट (सदस्यों की कमी वाली कई अलग-अलग वस्तुओं) की अनुमति एनएफयू पैदा करती है, एक सिद्धांत जो पीनो अंकगणितीय के अनुरूप है; यदि इन्फिनिटी और चॉइस को जोड़ा जाता है, तो परिणामी सिद्धांत में अनंत या परिबद्ध ज़र्मेलो सेट सिद्धांत के साथ टाइप सिद्धांत के समान स्थिरता शक्ति होती है। (एनएफयू एक प्रकार के सिद्धांत टीएसटीयू से मेल खाता है जहां विस्तार का स्वयंसिद्ध विस्तार का स्वयंसिद्ध है # उर-तत्वों के साथ सेट सिद्धांत में प्रत्येक प्रकार के यूरेलेमेंट की अनुमति देने के लिए, न केवल टाइप 0।) एनएफ के अन्य अपेक्षाकृत सुसंगत रूप हैं।

NFU, मोटे तौर पर, NF से कमजोर है, क्योंकि NF में, ब्रह्माण्ड का शक्ति समुच्चय ब्रह्मांड ही है, जबकि NFU में, ब्रह्माण्ड का शक्ति समुच्चय ब्रह्माण्ड से सख्ती से छोटा हो सकता है (ब्रह्मांड के शक्ति समुच्चय में समाविष्ट है) केवल सेट होता है, जबकि ब्रह्मांड में यूरेलेमेंट हो सकते हैं)। NFU+ चॉइस में अनिवार्य रूप से यही स्थिति है।

अर्नस्ट स्पेकर ने दिखाया है कि NF, TST + Amb के साथ समानता है, जहाँ Amb 'विशिष्ट अस्पष्टता' की स्वयंसिद्ध योजना है जो दावा करती है $\phi \leftrightarrow \phi ^{+}$ किसी भी सूत्र के लिए $\phi$, $\phi ^{+}$ में हर प्रकार के सूचकांक को बढ़ाकर प्राप्त किया जाने वाला सूत्र है $\phi$ एक - एक करके। NF सिद्धांत के साथ भी समतुल्य है TST एक प्रकार की शिफ्टिंग ऑटोमोर्फिज्म के साथ संवर्धित है, एक ऑपरेशन जो एक के बाद एक टाइप करता है, प्रत्येक प्रकार को अगले उच्च प्रकार पर मैप करता है, और समानता और सदस्यता संबंधों को संरक्षित करता है (और जिसका उपयोग समझ के उदाहरणों में नहीं किया जा सकता है: यह सिद्धांत के बाहर है)। NF के संबंधित अंशों के संबंध में TST के विभिन्न अंशों के लिए समान परिणाम हैं।

उसी वर्ष (1969) में रोनाल्ड जेन्सेन ने NFU को सुसंगत साबित किया, ग्रिशिन ने साबित किया $NF_{3}$ एक जैसा। $NF_{3}$ एनएफ का पूर्ण विस्तार (कोई मूत्र नहीं) के साथ खंड है और समझ के वे उदाहरण हैं जिन्हें केवल तीन प्रकारों का उपयोग करके स्तरीकृत किया जा सकता है। यह सिद्धांत गणित के लिए एक बहुत ही अजीब माध्यम है (हालांकि इस अजीबता को कम करने का प्रयास किया गया है), बड़े पैमाने पर क्योंकि एक आदेशित जोड़ी के लिए कोई स्पष्ट परिभाषा नहीं है। इस अजूबे के बावजूद, $NF_{3}$ बहुत दिलचस्प है क्योंकि टीएसटी का हर अनंत मॉडल तीन प्रकार तक सीमित है जो एंब को संतुष्ट करता है। इसलिए ऐसे प्रत्येक मॉडल के लिए, का एक मॉडल होता है $NF_{3}$ उसी सिद्धांत के साथ। यह चार प्रकार के लिए सही नहीं है: $NF_{4}$ एनएफ के समान सिद्धांत है, और हमें पता नहीं है कि एंब धारण करने वाले चार प्रकारों के साथ टीएसटी का मॉडल कैसे प्राप्त किया जाए।

1983 में, मार्सेल क्रैबे ने एक प्रणाली को सुसंगत साबित किया, जिसे उन्होंने एनएफआई कहा, जिसके स्वयंसिद्ध अप्रतिबंधित विस्तार हैं और समझ के वे उदाहरण हैं जिनमें किसी भी चर को सेट के मौजूद होने की तुलना में उच्च प्रकार नहीं दिया गया है। यह एक अप्रतिबंधात्मक प्रतिबंध है, हालांकि NFI एक विधेय सिद्धांत नहीं है: यह प्राकृतिक संख्याओं के सेट को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त अप्रतिबंधता को स्वीकार करता है (सभी आगमनात्मक सेटों के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है; ध्यान दें कि परिमाणित आगमनात्मक सेट सेट के समान प्रकार के होते हैं। प्राकृतिक संख्याओं को परिभाषित किया जा रहा है)। क्रैबे ने एनएफआई के एक उप-सिद्धांत पर भी चर्चा की, जिसमें केवल पैरामीटर (फ्री वेरिएबल्स और बाउंड वेरिएबल्स) को समझ के एक उदाहरण से अस्तित्व में आने वाले सेट के प्रकार की अनुमति है। उन्होंने परिणाम को विधेय NF (NFP) कहा; बेशक, यह संदेहास्पद है कि स्व-सदस्यीय ब्रह्मांड वाला कोई भी सिद्धांत वास्तव में विधेय है या नहीं। होम्स के पास है ने दिखाया कि न्यूनीकरण की स्वयंसिद्धता के बिना NFP में प्रिंसिपिया मैथेमेटिका के प्रकार के विधेय सिद्धांत के समान स्थिरता शक्ति है।

2015 के बाद से, ZF के सापेक्ष NF की संगति के रान्डेल होम्स द्वारा कई उम्मीदवार प्रमाण arXiv और लॉजिशियन के होम पेज दोनों पर उपलब्ध हैं। होम्स टीएसटी के एक 'अजीब' संस्करण, अर्थात् टीटीटी की समानता प्रदर्शित करता है_λ - 'λ-प्रकारों के साथ पेचीदा प्रकार का सिद्धांत' - NF के साथ। होम्स आगे दिखाता है कि टी.टी.टी_λ ZFA के सापेक्ष संगत है, अर्थात ZF परमाणुओं के साथ लेकिन बिना विकल्प के। होम्स ZFA+C में निर्माण करके इसे प्रदर्शित करता है, अर्थात परमाणुओं और पसंद के साथ ZF, ZFA का एक वर्ग मॉडल जिसमें 'कार्डिनल्स के पेचीदा जाले' शामिल हैं। उम्मीदवार के प्रमाण काफी लंबे हैं, लेकिन अभी तक एनएफ समुदाय द्वारा किसी भी अपरिवर्तनीय दोष की पहचान नहीं की गई है।

== एनएफयू == के मॉडल जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी के मेटामैथमैटिक्स के लिए शुरुआती बिंदु। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी संचयी पदानुक्रम का आसान-से-औपचारिक अंतर्ज्ञान है, एनएफ और एनएफयू की गैर-अच्छी तरह से स्थापितता इस अंतर्ज्ञान को सीधे लागू नहीं करती है। हालांकि, पहले के चरणों में विकसित किए गए सेटों से एक चरण में सेट बनाने का अंतर्ज्ञान बढ़ाया जा सकता है ताकि सभी संभावित सेटों से युक्त एक चरण में सेट बनाने की अनुमति दी जा सके, लेकिन पहले के चरणों में बनाए गए सेट, सेट की एक समान पुनरावृत्त अवधारणा देते हैं।

थोक में एनएफयू के मॉडल तैयार करने की काफी सरल विधि है। मॉडल सिद्धांत की प्रसिद्ध तकनीकों का उपयोग करके, ज़र्मेलो सेट सिद्धांत के एक गैर-मानक मॉडल का निर्माण किया जा सकता है (मूल तकनीक के लिए पूर्ण ZFC जितना मजबूत कुछ भी आवश्यक नहीं है) जिस पर एक बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म j (मॉडल का एक सेट नहीं) है। जो एक रैंक ले जाता है (सेट सिद्धांत) $V_{\alpha }$ सेट के संचयी पदानुक्रम का। हम सामान्यता के नुकसान के बिना मान सकते हैं कि $j(\alpha )<\alpha$. हम automorphism के बारे में बात करते हैं जो क्रमसूचक के बजाय रैंक को आगे बढ़ाता है क्योंकि हम यह नहीं मानना ​​​​चाहते कि मॉडल में प्रत्येक क्रमांक एक रैंक का सूचकांक है।

NFU के मॉडल का डोमेन अमानक रैंक होगा $V_{\alpha }$. एनएफयू के मॉडल का सदस्यता संबंध होगा

• $x\in _{NFU}y\equiv _{def}j(x)\in y\wedge y\in V_{j(\alpha )+1}.$

अब यह साबित हो सकता है कि यह वास्तव में एनएफयू का एक मॉडल है। होने देना $\phi$ NFU की भाषा में एक स्तरीकृत सूत्र हो। सूत्र में सभी चरों के लिए प्रकार का एक असाइनमेंट चुनें जो इस तथ्य का गवाह हो कि यह स्तरीकृत है। इस स्तरीकरण द्वारा वेरिएबल्स को सौंपे गए सभी प्रकारों से अधिक प्राकृतिक संख्या N चुनें।

सूत्र का विस्तार करें $\phi$ एक सूत्र में $\phi _{1}$ एनएफयू के मॉडल में सदस्यता की परिभाषा का उपयोग करते हुए ऑटोमोर्फिज्म जे के साथ ज़र्मेलो सेट सिद्धांत के गैर-मानक मॉडल की भाषा में। एक समीकरण या सदस्यता कथन के दोनों पक्षों के लिए j की किसी भी शक्ति का अनुप्रयोग इसके सत्य मान को संरक्षित करता है क्योंकि j एक ऑटोमोर्फिज़्म है। में प्रत्येक परमाणु सूत्र के लिए ऐसा अनुप्रयोग करें $\phi _{1}$ इस तरह से कि प्रत्येक वेरिएबल x असाइन किए गए प्रकार i के साथ होता है $N-i$ जे के आवेदन। यह एनएफयू सदस्यता बयानों से प्राप्त परमाणु सदस्यता बयानों के रूप और स्तरीकृत होने वाले सूत्र के लिए संभव है। प्रत्येक परिमाणित वाक्य $(\forall x\in V_{\alpha }.\psi (j^{N-i}(x)))$ रूप में परिवर्तित किया जा सकता है $(\forall x\in j^{N-i}(V_{\alpha }).\psi (x))$ (और इसी तरह अस्तित्वगत क्वांटिफायर के लिए)। इस परिवर्तन को हर जगह करो और एक सूत्र प्राप्त करो $\phi _{2}$ जिसमें j कभी भी बाउंड वेरिएबल पर लागू नहीं होता है।

में कोई भी मुक्त चर y चुनें $\phi$ निर्दिष्ट प्रकार मैं। आवेदन करना $j^{i-N}$ एक सूत्र प्राप्त करने के लिए समान रूप से पूरे सूत्र के लिए $\phi _{3}$ जिसमें y बिना किसी j के अनुप्रयोग के प्रकट होता है। अब $\{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\}$ मौजूद है (क्योंकि j केवल मुक्त चर और स्थिरांक पर लागू होता है), से संबंधित है $V_{\alpha +1}$, और ठीक वही y समाहित करता है जो मूल सूत्र को संतुष्ट करता है $\phi$ एनएफयू के मॉडल में। $j(\{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\})$ एनएफयू के मॉडल में यह विस्तार है (एनएफयू के मॉडल में सदस्यता की विभिन्न परिभाषा के लिए जे का आवेदन सुधार)। यह स्थापित करता है कि स्तरीकृत समझ NFU के मॉडल में है।

यह देखने के लिए कि कमजोर विस्तारात्मकता सीधी है: का प्रत्येक गैर-खाली तत्व $V_{j(\alpha )+1}$ गैर-मानक मॉडल से एक अनूठा विस्तार प्राप्त करता है, खाली सेट अपने सामान्य विस्तार को भी प्राप्त करता है, और अन्य सभी वस्तुएं यूरेलेमेंट हैं।

मूल विचार यह है कि ऑटोमोर्फिज्म जे पावर सेट को कोड करता है $V_{\alpha +1}$ हमारे ब्रह्मांड का $V_{\alpha }$ इसकी बाहरी आइसोमोर्फिक प्रति में $V_{j(\alpha )+1}$ हमारे ब्रह्मांड के अंदर। ब्रह्मांड के सबसेट कोडिंग नहीं करने वाली शेष वस्तुओं को यूरेलेमेंट के रूप में माना जाता है।

अगर $\alpha$ एक प्राकृतिक संख्या n है, किसी को NFU का एक मॉडल मिलता है जो दावा करता है कि ब्रह्मांड परिमित है (यह बाह्य रूप से अनंत है, निश्चित रूप से)। अगर $\alpha$ अनंत है और च्वाइस का स्वयंसिद्ध ZFC के गैरमानक मॉडल में है, एक NFU + इन्फिनिटी + चॉइस का एक मॉडल प्राप्त करता है।

=== एनएफयू === में गणितीय नींव की आत्मनिर्भरता दार्शनिक कारणों से, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इस प्रमाण को पूरा करने के लिए ZFC या किसी संबंधित प्रणाली में काम करना आवश्यक नहीं है। गणित की नींव के रूप में एनएफयू के उपयोग के खिलाफ एक आम तर्क यह है कि इस पर भरोसा करने के कारण इस अंतर्ज्ञान के साथ करना है कि जेडएफसी सही है। टीएसटी (वास्तव में टीएसटीयू) को स्वीकार करना पर्याप्त है। रूपरेखा में: प्रकार सिद्धांत TSTU (प्रत्येक सकारात्मक प्रकार में यूरेलेमेंट की अनुमति) को मेटाथ्योरी के रूप में लें और TSTU में TSTU के सेट मॉडल के सिद्धांत पर विचार करें (ये मॉडल सेट के अनुक्रम होंगे) $T_{i}$ (मेटाथ्योरी में सभी एक ही प्रकार के) प्रत्येक के एम्बेडिंग के साथ $P(T_{i})$ में $P_{1}(T_{i+1})$ के पावर सेट की कोडिंग एंबेडिंग $T_{i}$ में $T_{i+1}$ एक प्रकार-सम्मानपूर्ण तरीके से)। की एक एम्बेडिंग दी $T_{0}$ में $T_{1}$ (आधार प्रकार के सबसेट के साथ आधार प्रकार के तत्वों की पहचान), एम्बेडिंग को प्रत्येक प्रकार से उसके उत्तराधिकारी में प्राकृतिक तरीके से परिभाषित किया जा सकता है। इसे ट्रांसफिनिट अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है $T_{\alpha }$ देखभाल के साथ।

ध्यान दें कि सेट के ऐसे अनुक्रमों का निर्माण उस प्रकार के आकार से सीमित होता है जिसमें उनका निर्माण किया जा रहा है; यह TSTU को अपनी स्वयं की संगति साबित करने से रोकता है (TSTU + अनंत TSTU की संगति साबित कर सकता है; TSTU+Infinity की संगति साबित करने के लिए एक प्रकार की आवश्यकता होती है जिसमें कार्डिनैलिटी का एक सेट होता है $\beth _{\omega }$, जिसे मजबूत मान्यताओं के बिना TSTU+Infinity में मौजूद साबित नहीं किया जा सकता)। अब मॉडल सिद्धांत के समान परिणामों का उपयोग NFU का एक मॉडल बनाने के लिए किया जा सकता है और यह सत्यापित किया जा सकता है कि यह उसी तरह से NFU का एक मॉडल है, जिसमें $T_{\alpha }$के स्थान पर प्रयोग किया जा रहा है $V_{\alpha }$ सामान्य निर्माण में। अंतिम कदम यह देखना है कि चूंकि एनएफयू सुसंगत है, इसलिए हम टीएसटीयू से एनएफयू तक मेटाथ्योरी को बूटस्ट्रैप करते हुए अपने मेटाथ्योरी में निरपेक्ष प्रकारों के उपयोग को छोड़ सकते हैं।

=== ऑटोमोर्फिज्म j === के बारे में तथ्य इस तरह के एक मॉडल का ऑटोमोर्फिज्म जे एनएफयू में कुछ प्राकृतिक परिचालनों से निकटता से संबंधित है। उदाहरण के लिए, यदि डब्ल्यू गैर-मानक मॉडल में एक अच्छी तरह से व्यवस्थित है (हम यहां मानते हैं कि हम आदेशित जोड़ी का उपयोग करते हैं ताकि दो सिद्धांतों में कार्यों का कोडिंग कुछ हद तक सहमत हो) जो एनएफयू में भी एक सुव्यवस्थित है (सभी NFU के वेल-ऑर्डर ज़र्मेलो सेट थ्योरी के गैर-मानक मॉडल में वेल-ऑर्डरिंग हैं, लेकिन इसके विपरीत नहीं, मॉडल के निर्माण में यूरेलेमेंट के गठन के कारण), और W का NFU में टाइप α है, फिर j(W) एनएफयू में टाइप टी (α) का एक सुव्यवस्थित क्रम होगा।

वास्तव में, j को NFU के मॉडल में एक फ़ंक्शन द्वारा कोडित किया गया है। गैर-मानक मॉडल में फ़ंक्शन जो किसी भी तत्व का सिंगलटन भेजता है $V_{j(\alpha )}$ अपने एकमात्र तत्व के लिए, NFU में एक फ़ंक्शन बन जाता है जो प्रत्येक सिंगलटन {x}, जहां x ब्रह्मांड में कोई वस्तु है, j(x) को भेजता है। इस फ़ंक्शन को एंडो कहें और इसमें निम्नलिखित गुण होने दें: एंडो सिंगलटन के सेट से सेट के सेट में एक इंजेक्शन फ़ंक्शन है, जिसमें एंडो ({x}) = {एंडो ({y}) | y∈x} प्रत्येक सेट x के लिए। यह फ़ंक्शन ब्रह्मांड पर एक प्रकार के स्तर के सदस्यता संबंध को परिभाषित कर सकता है, जो मूल गैर-मानक मॉडल के सदस्यता संबंध को पुन: उत्पन्न करता है।

अनन्तता के मजबूत स्वयंसिद्ध

इस खंड में, हमारे सामान्य आधार सिद्धांत, एनएफयू + इन्फिनिटी + चॉइस में अनंत के विभिन्न मजबूत स्वयंसिद्धों को जोड़ने के प्रभाव पर विचार किया गया है। यह आधार सिद्धांत, जिसे संगत माना जाता है, में टीएसटी + इन्फिनिटी, या जर्मेलो सेट थ्योरी के समान ताकत है, जो अलग-अलग फॉर्मूलों (मैक लेन सेट थ्योरी) तक सीमित है।

इस आधार सिद्धांत में ZFC संदर्भ से परिचित अनन्तता के मजबूत स्वयंसिद्धों को जोड़ा जा सकता है, जैसे कि एक बड़ा कार्डिनल मौजूद है, लेकिन कैंटोरियन और दृढ़ता से कैंटोरियन सेटों के बारे में विचार करना अधिक स्वाभाविक है। इस तरह के दावे न केवल सामान्य प्रकार के बड़े कार्डिनल बनते हैं, बल्कि सिद्धांत को अपनी शर्तों पर मजबूत करते हैं।

सामान्य मजबूत सिद्धांतों में सबसे कमजोर है:

• 'गिनती का रॉसर का अभिगृहीत'। प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय एक प्रबल कैंटोरियन समुच्चय है।

एनएफयू में प्राकृतिक संख्याओं को कैसे परिभाषित किया जाता है, यह देखने के लिए प्राकृतिक संख्याओं की सेट-सैद्धांतिक परिभाषा देखें। रॉसर द्वारा दिए गए इस स्वयंसिद्ध का मूल रूप सेट {m|1≤m≤n} में n सदस्य हैं, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए। यह सहज रूप से स्पष्ट अभिकथन अस्थिर है: NFU में जो सिद्ध किया जा सकता है वह सेट {m|1≤m≤n} है $T^{2}(n)$ सदस्य (जहां कार्डिनल्स पर टी ऑपरेशन द्वारा परिभाषित किया गया है $T(|A|)=|P_{1}(A)|$; यह एक के बाद एक कार्डिनल के प्रकार को बढ़ाता है)। किसी भी कार्डिनल संख्या (प्राकृतिक संख्या सहित) के लिए मुखर होना $T(|A|)=|A|$ यह दावा करने के बराबर है कि उस कार्डिनलिटी के सेट ए कैंटोरियन हैं (भाषा के सामान्य दुरुपयोग से, हम ऐसे कार्डिनल्स को कैंटोरियन कार्डिनल्स के रूप में संदर्भित करते हैं)। यह दिखाना सीधा है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या कैंटोरियन होने का दावा इस दावे के बराबर है कि सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट दृढ़ता से कैंटोरियन है।

गणना एनएफयू के अनुरूप है, लेकिन इसकी स्थिरता शक्ति काफ़ी बढ़ जाती है; नहीं, जैसा कि कोई उम्मीद करेगा, अंकगणित के क्षेत्र में, लेकिन उच्च सेट सिद्धांत में। NFU + अनंतता यह साबित करती है कि प्रत्येक $\beth _{n}$ मौजूद है, लेकिन वह नहीं है $\beth _{\omega }$ मौजूद; NFU + काउंटिंग (आसानी से) इन्फिनिटी को साबित करता है, और आगे के अस्तित्व को साबित करता है $\beth _{\beth _{n}}$ प्रत्येक एन के लिए, लेकिन अस्तित्व नहीं $\beth _{\beth _{\omega }}$. (बेथ संख्या देखें)।

गिनती का तात्पर्य तुरंत है कि किसी को सेट के लिए प्रतिबंधित चरों को प्रकार निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है $N$ स्तरीकरण के प्रयोजनों के लिए प्राकृतिक संख्याओं की; यह एक प्रमेय है कि एक जोरदार कैंटोरियन सेट का पावर सेट दृढ़ता से कैंटोरियन है, इसलिए प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी पुनरावृत्त पावर सेट या वास्तविक संख्याओं के सेट के रूप में इस तरह के परिचित सेटों के लिए प्रतिबंधित चरों को टाइप करना आवश्यक नहीं है। , वास्तविक से वास्तविक तक के कार्यों का सेट, और इसी तरह। काउंटिंग की सेट-सैद्धांतिक शक्ति अभ्यास में कम महत्वपूर्ण है, क्योंकि सिंगलटन ब्रैकेट्स के साथ प्राकृतिक संख्या मान (या संबंधित प्रकार के मान) के लिए जाने जाने वाले वेरिएबल्स को एनोटेट करने की सुविधा नहीं है, या स्तरीकृत सेट प्राप्त करने के लिए टी ऑपरेशन लागू करने के लिए परिभाषाएँ।

गिनती का तात्पर्य अनंत है; इन्फिनिटी के मजबूत रूपों के प्रभाव को प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए प्रत्येक सिद्धांतों को एनएफयू + अनंतता से जोड़ा जाना चाहिए; अली देखभाल ने NFU + ब्रह्मांड परिमित है के मॉडल में इनमें से कुछ स्वयंसिद्धों की शक्ति की जांच की है।

ऊपर निर्मित प्रकार का एक मॉडल काउंटिंग को संतुष्ट करता है यदि ऑटोमोर्फिज्म j ज़र्मेलो सेट सिद्धांत के अंतर्निहित गैर-मानक मॉडल में सभी प्राकृतिक संख्याओं को ठीक करता है।

अगला मजबूत स्वयंसिद्ध जिस पर हम विचार करते हैं वह है

• 'दृढ़ता से कैंटोरियन पृथक्करण का अभिगृहीत': किसी भी प्रबल कैंटोरियन सेट ए और किसी भी सूत्र के लिए $\phi$ (जरूरी नहीं कि स्तरीकृत हो!) सेट $\{x\in A|\;\phi \}$ मौजूद।

तत्काल परिणामों में अस्तरीकृत स्थितियों के लिए गणितीय प्रेरण शामिल है (जो गिनती का परिणाम नहीं है; गिनती से प्राकृतिक संख्याओं पर प्रेरण के कई लेकिन सभी अस्तरीकृत उदाहरण नहीं हैं)।

यह स्वयंसिद्ध आश्चर्यजनक रूप से मजबूत है। रॉबर्ट सोलोवे के अप्रकाशित कार्य से पता चलता है कि सिद्धांत की संगति शक्ति NFU* = NFU + काउंटिंग + स्ट्रांगली कैंटोरियन सेपरेशन ज़र्मेलो सेट थ्योरी + के समान है $\Sigma _{2}$ प्रतिस्थापन।

यह स्वयंसिद्ध ऊपर (विकल्प के साथ) निर्मित प्रकार के एक मॉडल में है, यदि जेरमेलो सेट सिद्धांत के अंतर्निहित गैर-मानक मॉडल में जे द्वारा तय किए गए ऑर्डिनल्स केवल जे द्वारा तय किए गए ऑर्डिनल्स मानक हैं, और ऐसे किसी भी ऑर्डिनल का पावर सेट मॉडल में भी मानक है। यह स्थिति पर्याप्त है लेकिन आवश्यक नहीं है।

अगला है

• 'कैंटोरियन सेट का स्वयंसिद्ध': प्रत्येक कैंटोरियन सेट दृढ़ता से कैंटोरियन है।

यह बहुत ही सरल कथन अत्यंत मजबूत है। सोलोवे ने सिद्धांत NFUA = NFU + अनंत + कैंटोरियन सेट की ZFC + एक स्कीमा के साथ प्रत्येक ठोस प्राकृतिक संख्या n के लिए एक n-महलो कार्डिनल के अस्तित्व पर जोर देते हुए सिद्धांत की स्थिरता शक्ति की सटीक समानता दिखाई है। अली इनायत ने दिखाया है कि अच्छी तरह से स्थापित विस्तारित संबंधों के कैंटोरियन तुल्यता वर्गों का सिद्धांत (जो ZFC के संचयी पदानुक्रम के एक प्रारंभिक खंड की एक प्राकृतिक तस्वीर देता है) सीधे n-महलो कार्डिनल्स के साथ ZFC के विस्तार की व्याख्या करता है। एक मॉडल देने के लिए इस सिद्धांत के एक मॉडल पर एक क्रमचय तकनीक लागू की जा सकती है जिसमें आनुवंशिक रूप से दृढ़ता से कैंटोरियन सामान्य सदस्यता संबंध मॉडल के साथ ZFC के मजबूत विस्तार को सेट करता है।

यह स्वयंसिद्ध ऊपर निर्मित (विकल्प के साथ) प्रकार के एक मॉडल में है, यदि जेएफसी के अंतर्निहित गैर-मानक मॉडल में जे द्वारा तय किए गए अध्यादेश मॉडल के अध्यादेशों के प्रारंभिक (उचित वर्ग) खंड हैं।

आगे विचार करें

• 'कैंटोरियन सेपरेशन का एक्सिओम': किसी भी कैंटोरियन सेट ए और किसी भी फॉर्मूले के लिए $\phi$ (आवश्यक रूप से स्तरीकृत नहीं!) सेट {x∈A|φ} मौजूद है।

यह दो पूर्ववर्ती स्वयंसिद्धों के प्रभाव को जोड़ता है और वास्तव में और भी मजबूत है (ठीक कैसे ज्ञात नहीं है)। अस्तरीकृत गणितीय प्रेरण यह साबित करने में सक्षम बनाता है कि कैंटोरियन सेट दिए गए प्रत्येक एन के लिए एन-महलो कार्डिनल्स हैं, जो जेडएफसी का विस्तार देता है जो पिछले एक से भी मजबूत है, जो केवल यह दावा करता है कि प्रत्येक ठोस प्राकृतिक संख्या के लिए एन-महलोस हैं ( गैरमानक प्रतिउदाहरणों की संभावना को खुला छोड़ना)।

यह स्वयंसिद्ध ऊपर वर्णित प्रकार के एक मॉडल में धारण करेगा यदि j द्वारा तय किया गया प्रत्येक क्रमांक मानक है, और j द्वारा निर्धारित एक क्रमसूचक का प्रत्येक शक्ति सेट भी ZFC के अंतर्निहित मॉडल में मानक है। फिर से, यह स्थिति पर्याप्त है लेकिन आवश्यक नहीं है।

एक ऑर्डिनल को कैंटोरियन कहा जाता है यदि यह टी द्वारा तय किया जाता है, और जोरदार कैंटोरियन अगर यह केवल कैंटोरियन ऑर्डिनल्स पर हावी होता है (इसका मतलब है कि यह स्वयं कैंटोरियन है)। ऊपर निर्मित प्रकार के मॉडल में, एनएफयू के कैंटोरियन ऑर्डिनल्स जे द्वारा तय किए गए ऑर्डिनल्स के अनुरूप हैं (वे एक ही वस्तु नहीं हैं क्योंकि क्रमिक संख्याओं की विभिन्न परिभाषाओं का उपयोग दो सिद्धांतों में किया जाता है)।

कैंटोरियन सेट की ताकत के बराबर है

• 'एक्सिओम ऑफ़ लार्ज ऑर्डिनल्स': प्रत्येक गैर-कैंटोरियन क्रमसूचक के लिए $\alpha$, एक प्राकृतिक संख्या n है जैसे कि $T^{n}(\Omega )<\alpha$.

याद करें कि $\Omega$ सभी अध्यादेशों पर प्राकृतिक क्रम का आदेश प्रकार है। यह केवल कैंटोरियन सेट का अर्थ है अगर हमारे पास विकल्प है (लेकिन किसी भी मामले में स्थिरता के उस स्तर पर है)। यह उल्लेखनीय है कि कोई परिभाषित भी कर सकता है $T^{n}(\Omega )$: यह nवाँ पद है $s_{n}$ लंबाई n के ordinals के किसी भी परिमित अनुक्रम में ऐसा है $s_{0}=\Omega$, $s_{i+1}=T(s_{i})$ प्रत्येक उपयुक्त के लिए मैं। यह परिभाषा पूरी तरह से असंबद्ध है। की विलक्षणता $T^{n}(\Omega )$ साबित किया जा सकता है (उन लोगों के लिए जिनके लिए यह मौजूद है) और इस धारणा के बारे में सामान्य ज्ञान तर्क की एक निश्चित मात्रा को बाहर किया जा सकता है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि बड़े ऑर्डिनल्स का अर्थ पसंद की उपस्थिति में कैंटोरियन सेट है। इस स्वयंसिद्ध के गाँठदार औपचारिक कथन के बावजूद, यह एक बहुत ही स्वाभाविक धारणा है, जो कि टी की कार्रवाई को यथासंभव सरल बनाने के लिए है।

ऊपर निर्मित प्रकार का एक मॉडल बड़े ऑर्डिनल्स को संतुष्ट करेगा, यदि j द्वारा स्थानांतरित किए गए ऑर्डिनल्स ठीक वही ऑर्डिनल्स हैं जो कुछ पर हावी हैं $j^{-i}(\alpha )$ ZFC के अंतर्निहित अमानक मॉडल में।

• छोटे क्रमसूचकों का अभिगृहीत: किसी भी सूत्र φ के लिए, एक समुच्चय A होता है जैसे कि A के तत्व जो प्रबल रूप से कैंटोरियन क्रमसूचक होते हैं, वास्तव में प्रबल कैंटोरियन क्रमसूचक होते हैं जैसे कि φ।

सोलोवे ने NFUB = NFU + इन्फिनिटी + कैंटोरियन सेट्स + स्मॉल ऑर्डिनल्स की मोर्स-केली सेट थ्योरी के साथ संगति शक्ति में सटीक तुल्यता दिखाई है, साथ ही यह दावा किया है कि उचित वर्ग क्रमसूचक (वर्ग सभी अध्यादेशों में) एक कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट कार्डिनल है। यह वास्तव में बहुत मजबूत है! इसके अलावा, NFUB-, जो कि NFUB है जिसमें कैंटोरियन सेट को छोड़ दिया गया है, आसानी से NFUB के समान ताकत के साथ देखा जाता है।

ऊपर निर्मित प्रकार का एक मॉडल इस स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करेगा यदि 'जे' द्वारा तय किए गए अध्यादेशों का प्रत्येक संग्रह जेडएफसी के अंतर्निहित गैर-मानक मॉडल में 'जे' द्वारा तय किए गए अध्यादेशों के साथ अध्यादेशों के कुछ सेट का प्रतिच्छेदन है।

इससे भी मजबूत सिद्धांत NFUM = NFU + इन्फिनिटी + लार्ज ऑर्डिनल्स + स्मॉल ऑर्डिनल्स है। यह मोर्स-केली सेट सिद्धांत के समतुल्य है, जो वर्गों पर एक विधेय के साथ है, जो उचित वर्ग क्रमसूचक κ पर एक κ-पूर्ण गैर-प्रमुख ultrafilter है; वास्तव में, यह मोर्स-केली सेट थ्योरी है + उचित वर्ग क्रमसूचक एक औसत दर्जे का कार्डिनल है!

यहां तकनीकी विवरण मुख्य बिंदु नहीं हैं, जो कि उचित और प्राकृतिक (एनएफयू के संदर्भ में) दावा जेडएफसी संदर्भ में अनंत के बहुत मजबूत सिद्धांतों के बराबर शक्ति के बराबर हो जाते हैं। यह तथ्य एनएफयू के मॉडल के अस्तित्व के बीच संबंध से संबंधित है, जो ऊपर वर्णित है और इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, और जेडएफसी के मॉडल के अस्तित्व में विशेष गुणों वाले ऑटोमोर्फिज्म हैं।

सिस्टम एमएल (गणितीय तर्क)

एमएल एनएफ का एक विस्तार है जिसमें उचित वर्ग और साथ ही सेट शामिल हैं। 1940 के पहले संस्करण के विलार्ड वान ऑरमैन क्वीन के गणितीय तर्क के सेट सिद्धांत ने एनएफ को वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत के उचित वर्गों से जोड़ा और उचित वर्गों के लिए अप्रतिबंधित समझ का एक स्वयंसिद्ध स्कीमा शामिल किया। हालांकि जे। बार्कले रोसेर ने साबित किया कि गणितीय तर्कशास्त्र में प्रस्तुत प्रणाली बुराली-फोर्टी विरोधाभास के अधीन थी। यह परिणाम एनएफ पर लागू नहीं होता है। हाओ वांग (अकादमिक) ने दिखाया कि इस समस्या से बचने के लिए एमएल के लिए क्विन के स्वयंसिद्धों को कैसे संशोधित किया जाए, और क्विन ने 1951 के गणितीय तर्क के दूसरे और अंतिम संस्करण में परिणामी स्वयंसिद्धता को शामिल किया।

वांग ने साबित किया कि यदि एनएफ संगत है तो संशोधित एमएल भी है, और यह भी दिखाया कि संशोधित एमएल की स्थिरता एनएफ की स्थिरता का तात्पर्य है। अर्थात्, NF और संशोधित ML समान हैं।

यह भी देखें

• वैकल्पिक सेट सिद्धांत
• स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत
• सेट थ्योरी में गणित का कार्यान्वयन
• सकारात्मक सेट सिद्धांत
• प्राकृतिक संख्याओं की सेट-सैद्धांतिक परिभाषा

संदर्भ

• Crabbé, Marcel (1982). "On the consistency of an impredicative fragment of Quine's NF". The Journal of Symbolic Logic. 47 (1): 131–136. doi:10.2307/2273386. JSTOR 2273386. S2CID 42174966.
• Fenton, Scott (2015). "New Foundations Explorer Home Page".
• Forster, Thomas (October 14, 2007). "Why the Sets of NF do not form a Cartesian-closed Category" (PDF). www.dpmms.cam.ac.uk.
• Forster, T. E. (2008). "The iterative conception of set" (PDF). The Review of Symbolic Logic. 1: 97–110. doi:10.1017/S1755020308080064. S2CID 15231169.
• Forster, T. E. (1992), Set theory with a universal set. Exploring an untyped universe, Oxford Science Publications, Oxford Logic Guides, vol. 20, New York: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 0-19-853395-0, MR 1166801
• Forster, T. E. (2018). "Quine's New Foundations". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Hailperin, T (1944). "A set of axioms for logic". Journal of Symbolic Logic. 9 (1): 1–19. doi:10.2307/2267307. JSTOR 2267307. S2CID 39672836.
• Holmes, M. Randall (1998), Elementary set theory with a universal set (PDF), Cahiers du Centre de Logique, vol. 10, Louvain-la-Neuve: Université Catholique de Louvain, Département de Philosophie, ISBN 2-87209-488-1, MR 1759289
• Holmes, M. Randall (2008). "Symmetry as a Criterion for Comprehension Motivating Quine's 'New Foundations'". Studia Logica. 88 (2): 195–213. doi:10.1007/s11225-008-9107-8. S2CID 207242273.
• Jensen, R. B. (1969), "On the Consistency of a Slight(?) Modification of Quine's NF", Synthese, 19 (1/2): 250–63, doi:10.1007/bf00568059, JSTOR 20114640, S2CID 46960777 With discussion by Quine.
• Quine, W. V. (1937), "New Foundations for Mathematical Logic", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 44 (2): 70–80, doi:10.2307/2300564, JSTOR 2300564
• Quine, Willard Van Orman (1940), Mathematical Logic (first ed.), New York: W. W. Norton & Co., Inc., MR 0002508
• Quine, Willard Van Orman (1951), Mathematical logic (Revised ed.), Cambridge, Mass.: Harvard University Press, ISBN 0-674-55451-5, MR 0045661
• Quine, W. V., 1980, "New Foundations for Mathematical Logic" in From a Logical Point of View, 2nd ed., revised. Harvard Univ. Press: 80-101. The definitive version of where it all began, namely Quine's 1937 paper in the American Mathematical Monthly.
• Quine, Willard Van Orman (1987). "The Inception of "New Foundations"". Selected Logic Papers - Enlarged Edition. Harvard University Press. ISBN 9780674798373.
• Rosser, Barkley (1942), "The Burali-Forti paradox", Journal of Symbolic Logic, 7 (1): 1–17, doi:10.2307/2267550, JSTOR 2267550, MR 0006327, S2CID 13389728
• Specker, Ernst P. (1953). "The axiom of choice in Quine's new foundations for mathematical logic". Proceedings of the National Academy of Sciences. National Acad Sciences. 39 (9): 972–975.
• Wang, Hao (1950), "A formal system of logic", Journal of Symbolic Logic, 15 (1): 25–32, doi:10.2307/2268438, JSTOR 2268438, MR 0034733, S2CID 42852449

बाहरी संबंध

• "Enriched Stratified systems for the Foundations of Category Theory" by Solomon Feferman (2011)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • Quine's New Foundations — by Thomas Forster.
  • Alternative axiomatic set theories — by Randall Holmes.
• Randall Holmes: New Foundations Home Page.
• Randall Holmes: Bibliography of Set Theory with a Universal Set.
• Randall Holmes: A new pass at the NF consistency proof